다람쥐와 품종의 역사

History of manifolds and varieties

다지관에 대한 연구는 수학의 많은 중요한 영역들을 결합시킨다: 그것은 선형 대수학과 위상에서 나온 아이디어뿐만 아니라 곡선과 표면과 같은 개념들을 일반화한다.특정 다지관의 특별한 등급은 또한 추가적인 대수적 구조를 가지고 있다; 예를 들어 그들은 집단처럼 행동할 수 있다.이 경우, 그들은 거짓말 그룹이라고 불린다.또는 다항식 방정식으로 설명할 수도 있는데, 이 경우 대수적 품종이라고 하며, 집단 구조를 추가로 운반하는 경우에는 대수적 집단이라고 한다.

명명법

"manifold"라는 용어는 리만이 쓴 독일의 Mannigfaltigkeit에서 유래했다.

영어에서 "manifold"는 서로 다르고 위상적인 구조를 가진 공간을 말하는 반면, "변수"는 대수적 품종에서와 같이 대수적 구조를 가진 공간을 말한다.

로맨스 언어에서 다지관은 "변수"로 번역된다. 즉, 다른 구조를 가진 공간은 문자 그대로 "분석적 품종"으로 번역되는 반면, 대수학적 구조를 가진 공간은 "알제브라질 품종"이라고 불린다.따라서 예를 들어 프랑스어 단어 "variété topologique"는 위상학적 다양성을 의미한다.같은 맥락에서 일본어의 '様体体' (타요타이)도 다양성과 다양성을 모두 아우른다.(" ("様" (타요)는 다양성을 의미한다)

배경

현대적인 다지관 개념의 조상들은 18세기와 19세기 수학의 몇 가지 중요한 결과였다.이 중 가장 오래된 것은 유클리드 평행 가설의 실패 공간을 고려하는 비유클리드 기하학이었다.Saccheri는 1733년에 처음으로 이 기하학을 연구했다.로바체프스키, 볼야이, 리만 등은 100년 후 이 주제를 더욱 발전시켰다.그들의 연구는 기하학적 구조가 고전적인 유클리드 공간의 그것과 다른 두 종류의 공간을 밝혀냈다; 이것들은 쌍곡 기하학과 타원 기하학이다.현대 다지관 이론에서 이러한 개념은 각각 일정, 음, 양의 곡률을 갖는 다지관에 해당한다.

칼 프리드리히 가우스는 추상적인 공간을 그들 자신의 권리로 수학적인 대상으로 간주한 최초의 인물이었는지도 모른다.그의 이론적 자아도취는 표면이 놓여 있는 주변 공간을 고려하지 않고 표면의 곡률을 계산하는 방법을 제시한다.현대적인 관점에서, 그 정리는 표면의 곡면성이 본질적인 속성임을 증명했다.다지관 이론은 주변 공간의 외적 성질을 대체로 무시하면서 이러한 내적 특성(또는 불변성)에만 초점을 맞추게 되었다.

다지관의 내적 속성에 대한 또 다른 위상학적 예는 오일러 특성이다.V 정점(또는 코너)이 있는 유클리드 평면에서 교차하지 않는 그래프의 경우 E 가장자리와 F 면(외부 카운트) 오일러는 V-E+F= 2를 나타냈다.따라서 2를 평면의 오일러 특성이라고 한다.이와는 대조적으로 1813년 앙투안-장 루힐리에르는 7개 지점에 대한 완전한 그래프를 토러스 안에 삽입할 수 있기 때문에 토러스 유러 특성은 0이라는 것을 보여주었다.다른 표면의 오일러 특성은 유용한 위상학적 불변성으로, 베티 숫자를 사용하여 더 높은 차원으로 확장되었다.19세기 중반 가우스-보넷 정리는 오일러 특성을 가우스 곡률과 연결시켰다.

라그랑의 역학과 해밀턴의 역학은 기하학적으로 생각할 때 자연적으로 다양한 이론이다.이 모든 것은 몇 가지 특성 축이나 치수(후기 두 경우에서 일반화된 좌표라고 알려져 있음)의 개념을 사용하지만, 이러한 치수는 폭, 높이, 폭의 물리적 치수를 따라 놓여 있지 않다.

19세기 초 타원함수 이론은 타원적분 이론의 근거를 제공하는 데 성공했고, 이는 연구의 분명한 길을 열어주었다.타원형 적분 표준 형태는 입방형 및 사방형 다항식의 제곱근을 포함한다.5분위수처럼 높은 수준의 다항식으로 대체되면 어떻게 될까?

닐스 아벨과 칼 자코비의 연구에서는, 그 결과 적분은 네 개의 독립된 기간(즉, 주기 벡터)을 갖는 두 개의 복잡한 변수의 기능을 수반한다는 해답이 공식화되었다.이것은 아벨의 다양한 차원 2(아벨의 표면)를 처음으로 엿볼 수 있게 해주었다: 현재 2개의 과대망상곡선의 자코비안이라고 불릴 만한 것을.

리만

베른하르트 리만은 표면의 개념을 보다 높은 차원으로 일반화하는 광범위한 작업을 최초로 수행했다.다지관이라는 명칭은 리만의 원래 독일어 용어인 Mannigfaltigkeit에서 유래되었는데, 이 용어는 윌리엄 킹돈 클리퍼드가 "manifoldness"로 번역한 것이다.리만은 괴팅겐 취임 강연에서 변수가 많은 가치를 가질 수 있기 때문에 특정 제약조건을 가진 변수의 가능한 모든 가치 집합을 만니그팔티그케이트라고 설명했다.그는 값이 계속 변하는지 여부에 따라 스테티지 만니그팔티그케이트와 디스커트 만니그팔티그케이트(연속 다지관과 불연속 다지관)를 구별한다.리만(Riemann)은 연속적인 예로, 색상과 우주에 있는 물체의 위치뿐만 아니라 공간적 형상의 가능한 형태도 언급하고 있다.Riemann은 유도를 사용하여 (n-1)차원 다지관의 연속 스택으로서 n-fach ausgedehnte Mannigfaltgkeit(n 배 확장 다지관성 또는 n-차원 다지관성)를 구성한다.리만의 직관적인 Mannigfaltigkeit에 대한 개념은 오늘날 다지관으로서 공식화된 것으로 진화했다.리만 다지관과 리만 표면은 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)의 이름을 따서 명명되었다.

1857년 리만 표면은 분석적 지속 과정에 대한 연구의 일환으로 리만 표면의 개념을 도입하였다. 리만 표면은 현재 1차원 복합 다지관으로 인식되고 있다.그는 또한 아벨리안 및 기타 다변량 복합함수에 대한 연구를 상세히 설명하였다.

리만의 동시대의 사람들

"토폴로지"라는 단어의 창안자인 요한 베네딕트 리스팅은 1847년 논문 "보스튜디엔 수르 토폴로지"를 썼는데, 이 논문에서 그는 "복잡한"을 정의했다.그는 1861년(Möbius에 의해 4년 후에 재발견됨) 뫼비우스 띠를 처음으로 방향성이 없는 표면의 예로 정의했다.

아벨, 야코비, 리만 다음으로 아벨 기능 이론의 가장 중요한 공헌자는 위어스트라스, 프로베니우스, 푸앵카레, 피카르드였다.이 주제는 그 당시 이미 많은 문헌을 가지고 있을 정도로 매우 인기가 있었다.19세기 말에 이르러 수학자들은 아벨 함수 연구에 기하학적 방법을 사용하기 시작했다.

푸앵카레

앙리 푸앵카레의 1895년 논문 Analysis Situs는 호몰로지, 호모토피, 베티 숫자에 대한 엄격한 정의를 내리며 3-높은 차원 다지관(이것을 "varieties"라고 부름)을 연구했고 오늘날 푸앵카레 추측으로 알려진 그의 새로운 개념에 근거하여 문제를 제기했다.2003년, 그리고리 페렐만은 리처드 S를 사용하여 추측을 증명했다. 해밀턴의 리치 흐름, 이것은 많은 수학자들의 거의 1세기 동안의 노력 끝에 이루어진 것이다.

후기 개발

헤르만 바일은 1912년에 차별 가능한 다지관에 대한 본질적인 정의를 내렸다.1930년대 하슬러 휘트니 등이 주제의 근본적 측면을 명확히 했으며, 따라서 19세기 후반으로 거슬러 올라가는 직관력이 정밀해졌고, 미분 기하학과 리 집단 이론을 통해 발전되었다.

휘트니 임베딩 정리에서는 차트에 의해 본질적으로 정의되는 다지관이 외부 정의에서와 같이 유클리드 공간에 항상 임베디드될 수 있다는 것을 보여주었고, 다지관의 두 개념은 동등하다는 것을 보여주었다.이러한 통일로 인해 현대적인 다지관 개념의 완전한 첫 번째 전시라고 한다.

결국 1920년대에 렙체츠는 복잡한 토리(tori)의 관점에서 아벨의 기능을 연구하는 기초를 닦았다.그는 또한 "아벨라 버라이어티"라는 이름을 처음 사용한 것으로 보인다; 로망스 언어에서 "변수"는 리만의 "마니그팔티그케이트"라는 용어를 번역하는데 사용되었다.대수 기하학의 언어로 이 과목의 현대적 기초를 제공한 사람은 1940년대의 웨일이었다.

원천

  • Riemann, Bernhard, Grundlagen für eine algemeine Theory der Functionen einer verenderlichen complexen Gröse.
    • '매니폴드'(Mannigfaltigkeit)가 처음 등장하는 1851년 박사학위 논문.
  • 리만, 베른하르트, 기하학의 기초에 놓여 있는 가설에서.
    • 1854년의 유명한 괴팅겐 취임 강연(Habilonesschrift)이다.
  • St-Andrews 수학 웹사이트의 매듭 이론의 초기 역사
  • 세인트 토폴로지 초기 역사앤드루스
  • H. 랭과 첸.비르켄하케, 콤플렉스 아벨리안 품종, 1992년 ISBN0-387-54747-9
    • 아벨 품종 이론에 대한 종합적인 처리로, 그 역사에 대한 개요를 주제로 한다.
  • 안드레 웨일: 쿠르베스 알제브리크 외 변종 아베리에네스, 1948년
    • 아벨의 다양성에 대한 최초의 현대적 텍스트.프랑스어로.
  • 앙리 푸앵카레, Analysis Situs, Journal de L'école Polytechnique Ser 2, 1페이지(1895) 1-123페이지.
  • 앙리 푸앵카레, 컴플레멘트 á l'Analysis Situs, 렌디콘티 델 시콜로 마테마토 디 팔레르모, 13페이지(1899) 285–343.
  • Henri Poincaré, 제2의 컴플레인 a'Analysis Situs, 런던 수학 학회의 Processions, 32 (1900), 277–308페이지.
  • 앙리 푸앵카레, 수르메슈테스는 알제브라이크의 표면; 트로이시엠 컴플렉트 아 l'Analysis Situs, Bulletin de la Societé mathématique de France, 30페이지(1902), 49-70페이지.
  • 앙리 푸앵카레, Sur les cycle des surface algébrike; quaterme complies a l'Analysis Situs, Journal de mathémique pures et applicquées, 5° série, 8(1902) 페이지 169–214.
  • 앙리 푸앵카레, 신퀴엠 컴플렉스 아 l'분석 시투스, 렌디콘티델크로마테모 디 팔레르모 18페이지(1904) 45–110페이지.
  • 에르하르트 숄츠, 게쉬히테 데스 만니그팔티그케이트스베그리프스 폰 리만 비스 푸앵카레, 비르케유저, 1980.
    • 다지관 개념의 기원에 관한 연구에그버트 브리스코른이 연출한 저자의 논문을 바탕으로 한다.