페르마의 마지막 정리

페르마의 마지막 정리

디오판토스의 산술 1670년판에는 그의 아들이 사후에 출판한 페르마의 "마지막 정리"(Observatio Domini Petri de Fermat)라고 하는 주석이 포함되어 있습니다.
들판	수론
진술	임의의 정수 n > 2에 대하여 방정식 a + b = c는 양의 정수 해를 갖지 않습니다.
처음에 다음과 같이 언급했습니다.	피에르 드 페르마
에 처음 기재됨	c. 1637
첫 번째 증명:	앤드루 와일스
첫번째 증거	1994년 출시 1995년 발간
암시하는 바	유효 abc 추측 효과적인 수정된 스치로 추측 모듈성 정리
일반화	빌 추측 페르마-카탈란 추측

수론에서 페르마의 마지막 정리(특히 오래된 문헌에서는 페르마의 추측이라고도 함)는 어떤 세 개의 양의 정수 a, b, c도 2보다 큰 n의 정수 값에 대해 방정식 a + b = c를 만족하지 않는다고 말합니다. 사례 n = 1과 사례 n = 2는 무한히 많은 해를 가지고 있다고 고대부터 알려져 왔습니다.

이 명제는 1637년경 피에르 드 페르마에 의해 산술 사본의 여백에 정리로 처음 언급되었습니다. 페르마는 증거가 너무 커서 여백에 들어갈 수 없다고 덧붙였습니다. 페르마가 증명 없이 주장한 다른 진술들은 나중에 다른 사람들에 의해 증명되었고 페르마의 정리(예를 들어, 두 제곱의 합에 대한 페르마의 정리)로 인정받았지만, 페르마의 마지막 정리는 증명에 저항하여 페르마가 정확한 증명을 가지고 있는지 의심하게 되었습니다. 결과적으로 그 명제는 정리가 아닌 추측으로 알려지게 되었습니다. 수학자들의 358년의 노력 끝에 첫 번째 성공적인 증명은 1994년 앤드류 와일스에 의해 발표되었고 1995년에 공식적으로 발표되었습니다. 이는 2016년 와일스 아벨상 수상을 위한 표창장에서 "놀라운 진보"로 묘사되었습니다.^[2] 또한 다니야마의 많은 부분을 증명했습니다.이후 모듈성 정리로 알려진 시무라 추측은 수많은 다른 문제와 수학적으로 강력한 모듈성 리프팅 기술에 대한 완전히 새로운 접근 방식을 열었습니다.

해결되지 않은 문제는 19세기와 20세기 대수적 수론의 발전을 자극했습니다. 수학의 역사에서 가장 주목할 만한 정리 중 하나이며, 증명 이전에는 "가장 어려운 수학 문제"로 기네스북에 오르기도 했는데, 부분적으로는 이 정리가 가장 많은 수의 성공적인 증명을 가지고 있기 때문입니다.^[3]

개요

피타고라스의 기원

x + y = z인 피타고라스 방정식은 x, y, z에 대해 무한히 많은 양의 정수 해를 가지며, 이 해들을 피타고라스 3배수(가장 간단한 예는 3, 4, 5)라고 합니다. 1637년경 페르마는 책의 여백에 n이 2보다 큰 정수일 경우 일반적인 방정식 a + b = c는 양의 정수에서 해가 없다고 썼습니다. 페르마는 자신의 추측에 대한 일반적인 증거를 가지고 있다고 주장했지만, 자신의 증명에 대한 세부 사항을 남기지 않았고, 그에 의한 증거도 발견되지 않았습니다. 그의 주장은 그가 죽은 후 약 30년 후에 발견되었습니다. 페르마의 마지막 정리로 알려지게 된 이 주장은 이후 3세기 반 동안 풀리지 않았습니다.^[4]

그 주장은 결국 수학의 가장 주목할 만한 미해결 문제 중 하나가 되었습니다. 그것을 증명하려는 시도는 정수론의 상당한 발전을 촉발했고, 시간이 흐르면서 페르마의 마지막 정리는 수학의 해결되지 않은 문제로 부각되었습니다.

후속 개발 및 솔루션

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페르마 자신이 증명한 특수한 경우 n = 4는 소수가 아닌 어떤 지수 n에 대하여 정리가 거짓이면 어떤 더 작은 n에 대하여도 거짓이어야 하므로 n의 소수값만 더 조사할 필요가 있다는 것을 증명하기에 충분합니다. 그 후 두 세기 동안(1637–1839), 비록 소피 제르맹이 전체 소수 계층과 관련된 접근법을 혁신하고 증명했지만, 그 추측은 소수 3, 5, 7에 대해서만 증명되었습니다. 19세기 중반, 에른스트 쿠머는 이를 확장하여 모든 규칙적인 소수에 대한 정리를 증명했고, 불규칙적인 소수는 개별적으로 분석되어야 합니다. 쿠머의 연구와 정교한 컴퓨터 연구를 바탕으로 다른 수학자들은 증명을 확장하여 모든 소수 지수를 4백만까지 포괄할 수 있었지만,^[5] 모든 지수에 대한 증명은 접근할 수 없었습니다(수학자들은 일반적으로 증명이 불가능하거나, 매우 어렵거나, 현재의 지식으로는 달성할 수 없다고 생각했습니다).^[6]

이와는 별도로 1955년경 일본 수학자 시무라 고로와 다니야마 유타카는 타원 곡선과 모듈 형태 사이에 전혀 다른 두 수학 영역이 존재할 수 있다고 의심했습니다. 그 당시에 다니야마로 알려졌습니다.시무라 추측(결국 모듈성 정리)은 페르마의 마지막 정리와 명백한 연관성 없이 스스로 일어섰습니다. 그것은 그 자체로 중요하고 중요한 것으로 널리 여겨졌지만, (페르마의 정리처럼) 증명할 수 없는 것으로 널리 여겨졌습니다.^[7]

1984년 게르하르트 프레이는 이전에 관련이 없고 해결되지 않은 이 두 문제 사이의 명백한 연관성을 발견했습니다. 프레이는 이것이 증명될 수 있음을 암시하는 개요를 제시했습니다. 두 문제가 밀접하게 연결되어 있다는 완전한 증명은 1986년에 켄 리벳에 의해 이루어졌는데, 그는 "엡실론 추측"으로 알려진 한 부분을 제외한 모든 부분을 증명했습니다(리벳의 정리와 프레이 곡선 참조).^[2] 프레이, 세레, 리벳의 이 논문들은 다니야마 가족이시무라 추측은 적어도 반안정적인 타원 곡선 클래스에 대해 증명될 수 있으며, 페르마의 마지막 정리의 증명도 자동으로 뒤따를 것입니다. 그 연관성은 다음과 같습니다. 페르마의 마지막 정리와 모순될 수 있는 모든 해는 다니야마를 모순시키는 데에도 사용될 수 있습니다.시무라 추측. 따라서 모듈성 정리가 참인 것으로 판명되면 정의에 따라 페르마의 마지막 정리와 모순되는 해결책은 존재할 수 없으며, 따라서 이 역시 참이어야 할 것입니다.

비록 두 문제 모두 당시에는 증명하기가 어렵고 "완전히 접근할 수 없다"고 널리 여겨졌지만,^[2] 이것은 페르마의 마지막 정리가 일부 숫자에 대해서만이 아니라 모든 숫자에 대해서 확장되고 증명될 수 있는 경로에 대한 최초의 제안이었습니다. 페르마의 마지막 정리와 달리 다니야마-시무라 추측은 주요한 활발한 연구 분야였으며 현대 수학의 범위 내에 있는 것으로 여겨졌습니다.^[8] 그러나 일반적인 의견은 이것이 단지 다니야마를 증명하는 비현실성을 보여주는 것이라는 것이었습니다.시무라 추측.^[9] 수학자 존 코츠가 인용한 반응은 일반적입니다.^[9]

"나 자신도 페르마의 마지막 정리와 다니야마 사이의 아름다운 연결고리에 대해 매우 회의적이었습니다.시무라의 추측은 실제로 어떤 결과로 이어질 것입니다. 왜냐하면 다니야마 가문은 생각하지 못했다는 것을 고백해야 하기 때문입니다.시무라 추측은 증명할 수 있었습니다. 이 문제는 아름다웠지만 실제로 증명하는 것은 불가능해 보였습니다. 제 인생에서 아마도 그것이 증명되는 것을 볼 수 없을 거라고 생각했다는 것을 고백해야 합니다."

리벳이 프레이의 연결고리가 옳다는 것을 증명했다는 소식을 듣고, 어린 시절 페르마의 마지막 정리에 매료되어 타원 곡선과 관련 분야를 연구한 경력이 있는 영국 수학자 앤드루 와일스는 다니야마의 증명을 시도하기로 결심했습니다.페르마의 마지막 정리를 증명하기 위한 방법으로 시무라 추측. 1993년, 6년 동안 비밀리에 이 문제를 연구한 끝에 와일스는 페르마의 마지막 정리를 증명하기에 충분한 추론을 증명하는 데 성공했습니다. 와일스의 논문은 크기와 범위가 엄청났습니다. 동료 심사 중에 그의 원본 논문의 한 부분에서 결함이 발견되었고, 이를 해결하기 위해서는 1년의 시간과 과거 학생인 Richard Taylor와의 협력이 더 필요했습니다. 그 결과 1995년의 최종 증명에는 고정 단계가 유효하다는 것을 보여주는 더 작은 공동 논문이 첨부되었습니다. 와일스의 업적은 대중 언론에 널리 보도되었고, 책과 텔레비전 프로그램에서 대중화되었습니다. 다니야마의 나머지 부분들은-시무라-이제는 모듈성 정리로 증명되고 알려진 바일 추측은 1996년에서 2001년 사이에 와일스의 연구를 기반으로 한 다른 수학자들에 의해 그 후에 증명되었습니다.^[10][11][12] 와일스는 그의 증명으로 명예를 얻었고 2016년 아벨상을 포함하여 많은 상을 받았습니다.^[13][14][15]

그 정리의 동치 명제

페르마의 마지막 정리를 진술하는 데에는 수학적으로 문제의 원래 진술과 동등한 몇 가지 대안적인 방법이 있습니다.

이를 기술하기 위해 다음과 같은 표기법을 사용합니다. N을 자연수 1, 2, 3, ...의 집합, Z를 정수 0, ±1, ±2, ...의 집합, Q를 유리수 a/b의 집합, a와 b는 ≠ 0인 Z입니다. 다음에서 우리는 x, y, z 중 하나 이상이 0인 x + y = z에 대한 해를 사소한 해라고 부를 것입니다. 세 가지가 모두 0이 아닌 해를 대수롭지 않은 해라고 부를 것입니다.

비교를 위해 원래 제형부터 시작합니다.

• 원진술. n, x, y, z ∈ N(n, x, y, z가 모두 양수임을 의미함)과 n > 2인 경우 방정식 x + y = z는 해가 없습니다.

대부분의 일반적인 치료법은 이런 식으로 기술합니다. 또한 일반적으로 Z를 통해 다음과 같이 언급됩니다.^[16]

• 등가문 1: x + y = z, 여기서 정수 n ≥ 3은 trivial이 아닌 해 x, y, z ∈ Z가 없습니다.

n이 짝수이면 동치는 명확합니다. 만약 n이 홀수이고 x, y, z 세 개가 모두 음수이면, 우리는 n에서 해를 얻기 위해 x, y, z를 -x, -y, -z로 바꿀 수 있습니다. 그들 중 두 개가 음수이면, 그것은 x와 z 또는 y와 z여야 합니다. 만약 x, z가 음수이고 y가 양수이면, 우리는 (-z) + y = (-x)를 얻도록 재배열하여 N에서 해를 얻을 수 있고, 다른 경우도 유사하게 처리됩니다. 이제 하나만 음수이면 x 또는 y여야 합니다. x가 음수이고 y와 z가 양수이면 다시 정렬하여 (-x) + z = y를 얻을 수 있고, y가 음수이면 대칭적으로 결과가 나옵니다. 따라서 모든 경우에 Z의 사소한 해는 문제의 원래 공식인 N에 해가 존재한다는 것을 의미합니다.

• 등가문 2: x + y = z, 여기서 정수 n ≥ 3은 trivial해가 아닌 해 x, y, z ∈ Q가 없습니다.

이것은 x, y, z의 지수가 n과 같으므로 Q에 해가 있으면 그것에 적절한 공분모를 곱하여 Z에 해를 얻을 수 있고, 따라서 N에 해를 얻을 수 있기 때문입니다.

• 등가문 3: x + y = 1, 여기서 정수 n ≥ 3은 trivial해가 아닌 해 x, y ∈ Q가 없습니다.

비trivial 용액 a, b, c ∈ Z 내지 x + y = z는 v + w = 1에 대한 비∈ 용액 a/c, b/c ∈ Q를 산출하고, 반대로 용액 a/b, c/d trivial Q 내지 v + w = 1은 x + y = z에 대한 비trivial 용액 a, cb, bd를 산출합니다.

이 마지막 공식은 3차원 표면에 대한 문제에서 2차원 곡선에 대한 문제로 문제를 줄이기 때문에 특히 효과적입니다. 또한 링 Z 위가 아닌 필드 Q 위에서 작업할 수 있습니다. 필드는 링보다 더 많은 구조를 보여주기 때문에 요소를 더 깊이 분석할 수 있습니다.

• 등가문 4 – 타원 곡선에 대한 연결: a, b, c가 a + b = c, pod 소수에 대한 비 trivial 해이면 y = x (x - a) (x + b) (Frey 곡선)은 타원 곡선이 됩니다.

리벳의 정리로 이 타원 곡선을 조사하면 모듈 형태를 갖지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 그러나 Andrew Wiles의 증명은 y = x(x - a)(x + b) 형태의 어떤 방정식도 모듈식 형태를 갖는다는 것을 증명합니다. 따라서 x + y = z(홀수 소수)에 대한 trivial이 아닌 해는 모순을 발생시키며, 이는 다시 trivial이 아닌 해가 존재하지 않음을 증명합니다.

즉, 페르마의 마지막 정리와 모순될 수 있는 어떤 해도 모듈성 정리와 모순될 수 있습니다. 따라서 모듈성 정리가 사실로 판명되면 페르마의 마지막 정리에도 모순이 존재하지 않을 수 있습니다. 위에서 설명한 바와 같이, 이 동등한 진술의 발견은 페르마의 마지막 정리의 궁극적인 해결에 결정적이었습니다. 왜냐하면 모든 수에 대해 한꺼번에 "공격"될 수 있는 수단을 제공했기 때문입니다.

수학사

피타고라스와 디오판토스

피타고라스 세쌍둥이

고대에는 변의 수가 3:4:5인 삼각형이 그 각도 중 하나로 직각을 갖는다고 알려져 있었습니다. 이것은 건축과 이후 초기 기하학에 사용되었습니다. 또한 두 변의 길이를 각각 제곱한 다음 합한 값(3 + 4 = 9 + 16 = 25)이 세 번째 변의 길이의 제곱(5 = 25)과 동일한 어떤 삼각형도 직각 삼각형이라는 일반적인 규칙의 한 예로 알려져 있습니다. 이것은 현재 피타고라스 정리로 알려져 있고, 이 조건을 충족시키는 숫자의 3배를 피타고라스 3배라고 부르는데, 둘 다 고대 그리스 피타고라스의 이름을 따서 붙여졌습니다. 예를 들면 (3, 4, 5) 및 (5, 12, 13)이 있습니다. 그런 세쌍원소는 무한히 많으며,^[19] 바빌로니아를^[20] 시작으로 고대 그리스, 중국, 인도의 수학자들까지 다양한 문화권에서 그런 세쌍원소를 만들어내는 방법이 연구되어 왔습니다.^[1] 수학적으로 피타고라스의 3배의 정의는 방정식 $a$ ${\displaystyle 2^{}}$+ b ${\displaystyle 2^{}}$ = c ${\displaystyle 2^{}}$를 만족하는 3개의 정수(a, b, c)의 집합입니다. {\$displaystyle$ a$^{2}+b^{2$$}=c^{2}.$

디오판토스 방정식

양의 정수해를 가진 x + y = z인 페르마의 방정식은 3세기 알렉산드리아 수학자 디오판토스의 이름을 딴 디오판토스 방정식의 한 예로, 디오판토스 방정식을 연구하고 여러 종류의 디오판토스 방정식의 풀이 방법을 개발했습니다. 디오판토스의 대표적인 문제는 두 개의 정수 x와 y의 합과 제곱의 합이 각각 주어진 두 개의 숫자 A와 B와 같다는 것입니다.

${\displaystyle A = x+y}$

${\displaystyle B=x^{2}+y^{2}}입니다.$

디오판토스의 주요 작품은 산술인데, 그중 일부만 남아 있습니다.^[23] 페르마의 마지막 정리에 대한 추측은 1621년 클로드 바셰에 의해 라틴어로 번역되어 출판된 산술의 새로운 판을 읽는 동안 영감을 받았습니다.^[24][25][26]

디오판토스 방정식은 수천 년 동안 연구되어 왔습니다. 예를 들어, 2차 디오판토스 방정식 x + y = z의 해는 원래 바빌로니아인(기원전 1800년)이 풀었던 피타고라스 세쌍원소에 의해 주어집니다. 26x + 65y = 13과 같은 선형 디오판토스 방정식에 대한 해결책은 유클리드 알고리즘(c. BC 5세기)을 사용하여 찾을 수 있습니다. 많은 디오판토스 방정식은 특별한 성질을 공유하지 않고 두 글자를 혼합하는 교차항이 없다는 점에서 대수학의 관점에서 페르마의 마지막 정리의 방정식과 유사한 형태를 가지고 있습니다. 예를 들어, x + y = z 정도로 양의 정수 x, y, z가 무한히 많은 것으로 알려져 있는데, 여기서 n과 m은 비교적 소수의 자연수입니다.

페르마의 추측

산술의 문제 II.8은 주어진 제곱수가 어떻게 다른 두 제곱수로 나뉘는지를 묻는데, 즉 주어진 유리수 k에 대하여 유리수 u와 v를 구하여 k = u + v가 되도록 합니다. 디오판토스는 k = 4에 대하여 이 squares의 합 문제를 푸는 방법을 보여줍니다(해는 u = 16/5와 v = 12/5입니다).

1637년경 페르마는 디오판토스의 제곱합 문제 옆에 있는 산술 사본의 여백에 마지막 정리를 썼습니다.^[30][31][32]

두오스 큐보스의 큐붐 오템, 두오스 콰드라토스의 오토 콰드라툼과 두오스 콰드라토스의 일반적인 티터 널람의 무한한 울트라 콰드라툼 포테스테이트의 두오스 에이우스 데 노미니스 가장 빠른 디바이더 레이우시 데모 에므 미라빌렘 사네 데텍스. Hanc margin은 non caperet으로 exiguit입니다.

정육면체를 두 개의 정육면체로 분리하거나, 네 번째 거듭제곱을 두 개의 네 번째 거듭제곱으로 분리하거나, 일반적으로 두 번째 거듭제곱보다 높은 어떤 거듭제곱을 두 개의 거듭제곱처럼 분리하는 것은 불가능합니다. 저는 이 증거에 대한 정말 놀라운 증거를 발견했습니다. 이 증거는 너무 좁아서 포함할 수 없습니다.[33][34]

1665년 페르마가 죽은 후, 그의 아들 클레멘트-사무엘 페르마는 아버지의 의견으로 증보된 새로운 판의 책 (1670)을 만들었습니다.^[35] 비록 그 당시에는 실제로 정리는 아니었지만(증명이 존재하는 수학적 진술을 의미함), 한계음은 페르마의 마지막 정리로서 시간이 지남에 따라 알려지게 되었고,^[30] 이는 페르마가 증명되지 않은 채 남아 있다고 주장한 정리들 중 마지막 정리였기 때문입니다.^[36][37]

페르마가 실제로 모든 지수 n에 대해 유효한 증거를 찾았는지는 알 수 없지만, 그럴 가능성은 없어 보입니다. 특정 지수에 대한 증명 섹션에서 설명한 바와 같이, 그에 의한 관련 증명은 n=4인 경우에 대해서만 살아남았습니다. 페르마는 마랭 메르센, 블레즈 파스칼, 존 월리스 등 자신의 수학 통신원들에게 n=4와 n=3의 경우를 난제로 제기했지만, 일반적인 경우는 결코 제기하지 않았습니다. 게다가 페르마는 그의 생애 마지막 30년 동안 일반적인 사건에 대한 "정말 놀라운 증거"를 다시는 쓰지 않았고, 그것을 출판하지도 않았습니다. 반 데르 푸르텐은^[40] 증명의 부재는 미미하지만, 도전의 부재는 페르마가 자신이 증명을 가지고 있지 않다는 것을 깨달았음을 의미한다고 제안합니다. 그는 바일의^[41] 말을 인용하여 페르마가 회수할 수 없는 아이디어로 잠시 자신을 착각했을 것이라고 말합니다.

페르마가 그런 "경이로운 증명"에 사용했을 법한 기술은 알려지지 않았습니다. 와일스와 테일러의 증명은 20세기 기법에 의존합니다.^[42] 페르마의 증명은 그의 시대의 수학적 지식을 고려할 때 비교적 기초적인 것이어야 했을 것입니다.

하비 프리드먼의 거대한 추측은 어떤 증명 가능한 정리(페르마의 마지막 정리를 포함하여)도 오직 '기본 함수 산술'만을 사용하여 증명될 수 있다는 것을 암시하지만, 그러한 증명은 기술적인 의미에서만 '기본적'일 필요가 있고 수백만 단계를 포함할 수 있으므로 페르마의 증명이 되기에는 너무 길었습니다.

특정 지수에 대한 증명

지수 = 4

페르마가 증명한 관련 증거는 단 한 가지뿐인데, 그는 무한강하의 기술을 사용하여 정수변을 가진 직각삼각형의 넓이가 결코 정수의 제곱과 같을 수 없다는 것을 보여줍니다.^[43][44][45] 그의 증명은 방정식이

${\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}$

는 정수에 원시해가 없습니다(쌍별 코프라임 해가 없습니다). 따라서 방정식 a + b = c는 c - b = (a)로 쓸 수 있으므로, 이것은 n = 4인 경우에 대한 페르마의 마지막 정리를 증명합니다.

Alternative proofs of the case n = 4 were developed later^[46] by Frénicle de Bessy (1676),^[47] Leonhard Euler (1738),^[48] Kausler (1802),^[49] Peter Barlow (1811),^[50] Adrien-Marie Legendre (1830),^[51] Schopis (1825),^[52] Olry Terquem (1846),^[53] Joseph Bertrand (1851),^[54] Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862),^[55] Théophile Pépin (1883),^[56] Tafelmacher (1893),^[57] David Hilbert (1897),^[58] Bendz (1901),^[59] Gambioli (1901),^[60] Leopold Kronecker (1901),^[61] Bang (1905),^[62] Sommer (1907),^[63] Bottari (1908),^[64] Karel Rychlík (1910),^[65] Nutzhorn (1912),^[66] Robert Carmichael (1913),^[67] Hancock (1931),^[68] Gheorghe Vrănceanu (1966),^[69] Grant and Perella (1999),^[70] Barbara (2007),^[71] and Dolan (2011).^[72]

기타 지수

페르마가 특수한 경우 n = 4를 증명한 후, 모든 n에 대한 일반적인 증명은 모든 홀수 소수 지수에 대해 정리가 성립하는 것만을 요구했습니다. 즉, n이 홀수 소수일 때 방정식 a + b = c가 양의 정수해(a, b, c)가 없다는 것만 증명하면 되었습니다. 다음은 주어진 n에 대한 해(a, b, c)가 모든 n의 인자에 대한 해와 같기 때문입니다. 예를 들어 d와 de, n = de로 구분할 수 있습니다. 일반방정식

a + b = c

(a^d, b^d, c^d)는 지수 e에 대한 해임을 의미합니다.

(a^d+ (b) = (c).

따라서 페르마의 방정식이 n > 2에 대한 해가 없다는 것을 증명하기 위해서는 적어도 n의 소인수 하나에 대한 해가 없다는 것을 증명하는 것으로 충분합니다. 각 정수 n > 2는 4 또는 홀수 소수(또는 둘 다)로 나뉩니다. 따라서 페르마의 마지막 정리는 n=4에 대하여 증명될 수 있고 모든 홀수 소수 p에 대하여 증명될 수 있다면 모든 n에 대하여 증명될 수 있습니다.

추측 이후(1637–1839), 페르마의 마지막 정리는 3개의 홀수 소수 지수 p = 3, 5, 7에 대해 증명되었습니다. 사례 p = 3은 Abu-Mahmud Khojandi (10세기)에 의해 처음으로 언급되었지만 그가 그 정리에 대한 증명을 시도한 것은 잘못된 것이었습니다. 1770년 레온하르트 오일러는 p = 3이라는 증명을 내놓았지만, 무한한 하강에 의한 그의 증명은 커다란 간극을 포함하고 있었습니다. 그러나 오일러 자신이 다른 작업에서 증명을 완성하는 데 필요한 보조정리를 증명했기 때문에 일반적으로 첫 번째 증명으로 인정됩니다.^[45][81][82] Independent proofs were published^[83] by Kausler (1802),^[49] Legendre (1823, 1830),^[51][84] Calzolari (1855),^[85] Gabriel Lamé (1865),^[86] Peter Guthrie Tait (1872),^[87] Siegmund Günther (1878),^[88] Gambioli (1901),^[60] Krey (1909),^[89] Rychlík (1910),^[65] Stockhaus (1910),^[90] Carmichael (1915),^[91] Johannes van der Corput (1915),^[92] Axel Thue (1917),^[93] and Duarte (1944).^[94]

사례 p = 5는 1825년경 레전드레와 피터 구스타프 르주느 디리클레에 의해 독립적으로 증명되었습니다. Alternative proofs were developed^[99] by Carl Friedrich Gauss (1875, posthumous),^[100] Lebesgue (1843),^[101] Lamé (1847),^[102] Gambioli (1901),^[60][103] Werebrusow (1905),^{[104][full citation needed]} Rychlík (1910),^{[105][dubious – discuss][full citation needed]} van der Corput (1915),^[92] and Guy Terjanian (1987).^[106]

사례 p = 7은 1839년 라메에 의해 증명되었습니다. 그의 다소 복잡한 증명은 1840년 르베그에 의해 단순화되었고,^[111] 더 간단한 증명들은^[112] 1864년, 1874년, 1876년 안젤로 제노치에 의해 출판되었습니다.^[113] 테오필 페핀(Théophile Pépin, 1876)^[114]과 에드몽 메일렛(Edmond Maillet, 1897)에 의해 대안적인 증명들이 개발되었습니다.^[115]

지수 n = 6, 10, 14에 대해서도 페르마의 마지막 정리가 증명되었습니다. n = 6에 대한 증명은 Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, Swift 및 Breusch에 의해 발표되었습니다. 마찬가지로 Dirichlet과 Terjanian은 각각 사례 n = 14를 증명했고, Kapferer와 Breusch는 각각 사례 n = 10을 증명했습니다. 엄밀하게 말하면, 이들 경우는 각각 n=3, 5, 7에 대한 증명을 따르므로 이러한 증명은 불필요합니다. 그럼에도 불구하고 이 짝수 지수 증명들의 논리는 홀수 지수 증명들과 다릅니다. 디리클레의 n=14에 대한 증명은 1832년에 발표되었는데, 이는 1839년 라메의 n=7에 대한 증명 이전입니다.

특정 지수에 대한 모든 증명은 페르마의 무한 하강 기법을 사용하여 ^{[citation needed]}원래의 형태로 또는 타원 곡선이나 아벨리안 품종에 대한 하강 형태로 사용되었습니다. 그러나 세부 사항과 보조 주장은 종종 임시방편이었고 고려 중인 개별 지수와 연결되어 있었습니다.^[125] p가 증가함에 따라 그들은 훨씬 더 복잡해졌기 때문에, 페르마의 마지막 정리의 일반적인 경우가 개별 지수에 대한 증명을 바탕으로 증명될 가능성은 거의 없어 보였습니다.^[125] 페르마의 마지막 정리에 관한 몇 가지 일반적인 결과가 19세기 초에 닐스 헨리크 아벨과 피터 발로우에 의해 발표되었지만,^[126][127] 일반적인 정리에 관한 첫 번째 중요한 작업은 소피 제르맹에 의해 이루어졌습니다.^[128]

근대 초기의 돌파구

소피 제르맹

19세기 초 소피 제르맹은 모든 지수에 대한 페르마의 마지막 정리를 증명하는 몇 가지 새로운 접근법을 개발했습니다.^[129] 먼저 그녀는 소수$지수$ p${\displaystyle$ p}에서 구성된 보조 소수$$θ {\displaystyle$$\theta } 집합을 θ = 2h p + $1$ {\displaystyle \theta = 2hp+1} $방정식$으로 정의했습니다. 여기서 h {\displaystyle h}는 3으로 분할되지 않는 정수입니다. 그녀는 $만약$ p$${\$displaystyle$ p$}$번째 전력으로 상승하는 정수가$인접$한 모듈로 θ ${\$displaystyle \theta}(불연속 조건)에 있다면$,$ θ {\displaystyle \theta}는$$ $xyz$ $\{\backslash$displaystyle xyz}를 나누어야 한다는 것을 보여주었습니다. 그녀의 목표는 수학적 귀납법을 사용하여 다음을 증명하는 것이었습니다. $임의$의 주어진$$p {\$displaystyle$p$}$에 대하여, 무한히 많은$보조$ 소수$$θ ${\displaystyle$ \theta}가 비$$consecutility 조건을 ${\displaystyle \mathrm{만족}}$하므로 $분할된 xyz$ $\{\backslash$displaystyle xyz$};$ $제품 xyz {\$displaystyle xyz}는 많아야 유한한 수의 소수 인자를 가질 수 있으므로, 그런 증명을 통해 페르마의 마지막 정리가 성립되었을 것입니다. 그녀는 불연속성 조건을 확립하기 위한 많은 기술들을 개발했지만, 전략적 목표를 달성하는데 성공하지 못했습니다. 그녀는 또한 주어진 $p$ {\displaystyle $p}$에 대한 페르마 방정식의 해 크기에 대한 하한을 설정하기 위해 노력했으며,$$그 해의 수정된 버전은 Adrien-Marie Legendre에 의해 출판되었습니다. 이 후자의 작업의 부산물로, 그녀는 ${\displaystyle 270}$ ${\displaystyle 270}$ 미만의 모든 홀수 소수 지수에 대해 페르마의 마지막 정리의 첫 번째 경우(즉, $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle \mathrm{xyz}}$ ${\displaystyle xyz$를 나누지 않는 경우)를 검증한 소피 제르맹의 정리를 증명했습니다$.$^[129][130] and for all primes ${\displaystyle p}$ such that at least one of ${\displaystyle 2p+1}$, ${\displaystyle 4p+1}$, ${\displaystyle 8p+1}$, ${\displaystyle 10p+1}$, ${\displaystyle 14p+1}$ and ${\displaystyle 16p+1}$ is prime (specially, ${\displaystyle \mathrm{2p}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2p+1}$이 소수인 소수 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$를 소피 제르마인 소수라고 합니다. 제르맹은 1977년 가이 테르자니안에 의해 증명된 $모든$ 짝수 지수에 대한 페르마의 마지막 정리의 첫 번째 사례, ${\displaystyle \mathrm{구체적}}$으로 n$$= 2 p {\$display$ n = 2 p}에 대해 증명하는 데 성공하지 못했습니다. 1985년, 레너드 애들먼, 로저 히스 브라운, 에티엔 푸브리는 페르마의 마지막 정리의 첫 번째 경우가 무한히 많은 홀수 $소수$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$에 대해 성립한다는 것을 증명했습니다$.$^[132]

에른스트 쿠머와 이상론

1847년 가브리엘 라메는 복소수에서 방정식 x + y = z를 인수분해하고, 구체적으로는 숫자 1의 근에 기초한 순환론적 장을 기반으로 페르마의 마지막 정리의 증명을 설명했습니다. 그러나 그의 증명은 실패했습니다. 왜냐하면 그런 복잡한 수들이 정수와 마찬가지로 소수로 고유하게 인수분해될 수 있다고 잘못 가정했기 때문입니다. 조셉 리우빌(Joseph Liouville)은 이 격차를 즉시 지적했는데, 그는 나중에 에른스트 쿠머(Ernst Kummer)가 쓴 독특한 인수분해의 실패를 보여주는 논문을 읽었습니다.

Kummer는 사이클로토믹 분야가 새로운 소수를 포함하도록 일반화되어 고유한 인수분해가 복원될 수 있는지 여부를 결정하는 임무를 맡았습니다. 그는 이상적인 숫자를 개발함으로써 그 일에 성공했습니다.

(참고: 쿰머가 페르마의 마지막 정리에 대한 관심으로 인해 "이상적인 복소수"에 이르게 되었다고 종종 언급됩니다; 심지어 쿰머가 라메와 같이, 르장 디리클레가 페르마의 마지막 정리를 증명했다고 믿었지만, 그의 주장이 독특한 인수분해에 의존한다고 말하기 전까지는 그가 페르마의 마지막 정리를 증명했다고 믿었지만, 그 이야기는 1910년에 쿠르트 헨젤에 의해 처음 전해졌고, 그 증거는 그것이 헨젤의 출처 중 하나에 의한 혼란에서 비롯되었을 가능성이 높다는 것을 나타냅니다. 해롤드 에드워즈는 쿰머가 페르마의 마지막 정리에 주로 관심이 있었다는 믿음이 "확실히 잘못된 것"이라고 말합니다.^[133] 이상적인 숫자의 역사를 참고하세요.)

쿰머는 라메에 의해 개괄된 일반적인 접근법을 사용하여 모든 정규 소수에 대한 페르마의 마지막 정리의 두 경우를 증명했습니다. 그러나 그는 추측적으로 약 39%의 시간에서 발생하는 예외적인 소수(불규칙 소수)에 대한 정리를 증명할 수 없었습니다. 270 미만의 유일한 불규칙 소수는 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 및 263입니다.

모델 추측

1920년대에 루이 모델은 페르마의 방정식이 지수 n이 2보다 크면 최대 유한 수의 자명하지 않은 원시 정수 해를 갖는다는 추론을 제시했습니다.^[134][135] 이 추측은 1983년 Gerd Faltings에 의해 증명되었고,^[136] 현재 Faltings의 정리로 알려져 있습니다.

전산학

20세기 후반, 불규칙 소수에 대한 쿠머의 접근법을 확장하기 위해 계산 방법이 사용되었습니다. 1954년, 해리 밴디버는 SWAC 컴퓨터를 사용하여 2521년까지의 모든 소수에 대한 페르마의 마지막 정리를 증명했습니다.^[137] 1978년에 사무엘 와그스태프는 이것을 125,000 미만의 모든 소수로 확장했습니다.^[138] 1993년까지 페르마의 마지막 정리는 400만 개 미만의 모든 소수에 대해 증명되었습니다.^[5]

그러나 이러한 노력과 그 결과에도 불구하고 페르마의 마지막 정리에 대한 증거는 존재하지 않았습니다. 개별 지수의 성질을 증명하는 것은 결코 일반적인 경우를 증명할 수 없습니다. 모든 지수가 극단적으로 큰 X까지 검증되었다고 해도, X를 넘어서는 더 높은 지수가 존재할 수 있고, 그 주장이 사실이 아닐 수도 있습니다. (이것은 다른 과거의 추측의 경우에도 마찬가지였고, 이 추측에서는 그것을 배제할 수 없었습니다.)^[139]

타원 곡선과의 연결

궁극적으로 페르마의 마지막 정리를 성공적으로 증명하게 된 전략은 "놀라운"^{[140]: 211} 다니야마로부터 비롯되었습니다.시무라-많은 수학자들이 증명이 거의 불가능할 것이라고 믿었던 1955년경에 제안된 바일 추측은 1980년대에 게르하르트 프레이, 장 피에르 세레, 켄 리베트에 의해 페르마의 방정식과 연결되었습니다.^{[140]: 223} 1994년에 이 추측을 부분적으로 증명함으로써 앤드류 와일스는 궁극적으로 페르마의 마지막 정리를 증명하는 데 성공했고, 다른 사람들에 의해 현재 모듈성 정리로 알려진 것의 완전한 증명으로 이어졌습니다.

다니야마-시무라-바일 추측

1955년경, 일본의 수학자 시무라 고로와 다니야마 유타카는 타원 곡선과 모듈 형태라는, 겉보기에는 완전히 구별되는 두 가지 수학 분야 사이의 가능한 연결고리를 관찰했습니다. 결과적인 모듈성 정리(당시 다니야마-라고 알려짐)시무라 추측)은 모든 타원 곡선이 모듈식이며, 이는 고유한 모듈식 형태와 연관될 수 있음을 의미합니다.

이 연결은 처음에는 가능성이 낮거나 추측성이 높은 것으로 치부되었으나, 숫자 이론가 앙드레 바일이 증명하지는 않았지만 이를 뒷받침하는 증거를 발견했을 때 더 심각하게 받아들여졌습니다. 결과적으로 이 추측은 종종 다니야마-로 알려졌습니다.시무라-추측을 할 것입니다.^{[140]: 211–215}

심각한 관심을 얻은 후에도, 이 추측은 현대 수학자들에 의해 유난히 어렵거나 아마도 증명에 접근할 수 없을 것이라고 여겨졌습니다.^{[140]: 203–205, 223, 226} 예를 들어 와일스의 박사과정 지도교수인 존 코츠(John Coates)는 "실제로 증명하는 것은 불가능해 보였다"^{[140]: 226} 고 말했고, 켄 리벳(Ken Ribet)은 자신을 "그것은 완전히 접근할 수 없다고 믿는 대다수의 사람들 중 하나"라고 생각했습니다. "앤드류 와일스는 아마도 당신이 실제로 가서 그것을 증명할 수 있다는 것을 꿈꿀 수 있는 대담함을 가진 몇 안 되는 사람들 중 하나였을 것입니다."^{[140]: 223}

프레이 곡선에 대한 리벳 정리

1984년, 게르하르트 프레이는 페르마의 방정식과 모듈성 정리 사이의 연관성에 주목했고, 여전히 추측입니다. 페르마의 방정식에 지수 p > 2에 대한 해 (a, b, c)가 존재한다면, 반안정 타원 곡선(현재는 프레이-헬레구아르로^{[note 3]} 알려짐)이 나타남을 알 수 있습니다.

y² = x(x − a^p)(x + b^p)

모듈식일 가능성이 거의 없을 정도로 특이한 특성을 가지고 있습니다.^[141] 이는 모든 타원 곡선이 모듈식이라고 주장하는 모듈성 정리와 상충됩니다. 그래서 프레이는 다니야마의 증거를 관찰했습니다.시무라-바일 추측은 페르마의 마지막 정리를 동시에 증명할 수도 있습니다.^[142][143] 페르마의 마지막 정리를 반박하거나 반박하는 것은 다니야마를 반증하는 것입니다.시무라-추측을 할 것입니다.

프레이는 자신의 방정식에 대한 직관이 옳다면 페르마의 마지막 정리를 반증할 수 있는 네 개의 수 집합(a, b, c, n)도 다니야마를 반증하는 데 사용될 수 있음을 보여주었습니다.시무라-추측을 할 것입니다. 따라서 후자가 사실이라면 전자는 반증될 수 없고, 또한 사실이어야 할 것입니다.

이 방법을 따라 페르마의 마지막 정리를 증명하려면 두 단계가 필요했습니다. 첫째, 모듈성 정리를 증명하거나, 적어도 프레이 방정식(반정적 타원 곡선으로 알려진)을 포함하는 타원 곡선의 유형에 대해 증명할 필요가 있었습니다. 이것은 현대 수학자들이 증명할 수 없다고 널리 믿었습니다.^{[140]: 203–205, 223, 226} 둘째, 페르마 방정식의 해가 되는 수들을 사용하여 이렇게 타원 곡선을 만들면 결과적으로 나타나는 타원 곡선은 모듈식이 될 수 없다는 프레이의 직관이 옳다는 것을 보여줄 필요가 있었습니다. 프레이는 이것이 그럴듯하다는 것을 보여주었지만 완전한 증거까지 제시하지는 않았습니다. 누락된 조각(이른바 "엡실론 추측", 현재는 리벳의 정리로 알려져 있음)은 장 피에르 세레에 의해 확인되었고 프레이에 의해 제안된 연결고리는 1986년 켄 리벳에 의해 마침내 증명되었습니다.^[144]

프레이, 세레, 리벳의 작업에 이어, 이것이 문제의 현주소입니다.

• 페르마의 마지막 정리는 소수인 모든 지수 n에 대해 증명되어야 했습니다.
• 모듈성 정리는 반안정 타원 곡선에 대해 증명된다면 모든 반안정 타원 곡선은 모듈식이어야 한다는 것을 의미합니다.
• 리벳의 정리는 소수에 대한 페르마의 방정식에 대한 어떤 해도 모듈화될 수 없는 반정형 타원 곡선을 만드는 데 사용될 수 있음을 보여주었습니다.
• 이 두 진술이 모두 사실일 수 있는 유일한 방법은 페르마의 방정식에 대한 해가 존재하지 않는 경우(그러면 그러한 곡선을 만들 수 없기 때문에), 이것이 페르마의 마지막 정리가 말한 것입니다. 리벳의 정리가 이미 증명되었듯이, 이것은 모듈성 정리의 증명이 페르마의 마지막 정리도 마찬가지라는 것을 자동적으로 증명한다는 것을 의미했습니다.

와일스의 일반적 증명

1986년 엡실론 추측에 대한 리벳의 증명은 프레이가 제안한 두 가지 목표 중 첫 번째 목표를 달성했습니다. 리벳의 성공 소식을 들은 영국의 수학자 앤드루 와일스는 어린 시절 페르마의 마지막 정리에 매료되어 타원 곡선을 연구하던 중 후반 작업에 전념하기로 결심했습니다: 모듈성 정리의 특별한 경우(당시 다니야마로 알려짐)를 증명하는 것입니다.반정형 타원 곡선에 대한 시무라 추측).^[145][146]

와일스는 6년 동안 거의 완전한 비밀리에 이 일을 수행했으며, 이전 연구를 별도의 논문으로 발표하고 아내에게만 비밀을 털어 놓았습니다.^{[140]: 229–230} 그의 초기 연구는 귀납법에 의한 증명을 제안했고,^{[140]: 230–232, 249–252} 그는 그의 초기 연구와 갈루아 이론에^{[140]: 251–253, 259} 대한 첫 번째 중요한 돌파구를 기반으로 한 후 1990-91년경 귀납법 논쟁을 위해 수평적 이와사와 이론을 확장하려는 시도로 전환했습니다.^{[140]: 258–259} 그러나 1991년 중반까지 이와사와 이론 역시 문제의 중심 쟁점에 도달하지 못한 것으로 보입니다.^{[140]: 259–260 [147][148]} 이에 대응하여 그는 동료들에게 접근하여 최첨단 연구와 새로운 기술의 힌트를 찾았고, 최근 빅토르 콜리바긴과 마티아스 플라흐가 개발한 오일러 시스템을 발견했습니다. 이 시스템은 그의 증명의 귀납적인 부분을 위해 "맞춤형으로 만들어" 보이는 것이었습니다.^{[140]: 260–261} 와일스는 이 접근법을 연구하고 확장하여 효과가 있었습니다. 그의 연구는 수학과 와일스에게는 처음인 이 접근법에 크게 의존했기 때문에 1993년 1월 그는 프린스턴 동료인 닉 카츠에게 미묘한 오류가 있는지 그의 추론을 확인하는 것을 도와달라고 요청했습니다. 당시 그들의 결론은 와일스가 사용한 기술이 제대로 작동하는 것처럼 보인다는 것이었습니다.^{[140]: 261–265 [149][150]}

1993년 5월 중순, 와일스는 자신이 페르마의 마지막 정리의 증명을 풀었다고 생각한다고 아내에게 ^{[140]: 265} 말할 준비가 되었고, 6월까지 아이작 뉴턴 수리과학 연구소에서 1993년 6월 21일부터 23일까지 세 번의 강의에서 자신의 결과를 발표할 수 있을 정도로 자신감이 넘쳤습니다.^[151][152] 구체적으로 와일스는 다니야마에 대한 증거를 제시했습니다.반안정 타원 곡선에 대한 시무라 추측; 엡실론 추측에 대한 리벳의 증명과 함께 이는 페르마의 마지막 정리를 암시했습니다. 그러나 동료 검토 중에 증명의 중요한 지점이 잘못되었음이 분명해졌습니다. 특정 그룹 순서의 경계에 오류가 포함되어 있습니다. 오류는 1993년 8월 23일에 와일스에게 경고한 카츠(평론가 역할)^[153]를 포함한 와일스의 원고를 여러 수학자들이 심판하면서 발견되었습니다.^[154]

그 오류가 그의 작품을 가치 없는 것으로 만들지는 않았을 것입니다: 와일스의 작품의 각 부분은 그 자체로 매우 중요하고 혁신적이었고, 그가 작품을 만드는 과정에서 많은 발전과 기술이 있었고, 오직 한 부분만이 영향을 받았습니다.^{[140]: 289, 296–297} 그러나 이 부분이 증명되지 않고는 페르마의 마지막 정리에 대한 실질적인 증명이 없었습니다. 와일스는 처음에는 혼자서 그리고 그의 이전 제자인 리처드 테일러와 협력하여 그의 증명을 고치려고 거의 1년을 노력했지만 성공하지 못했습니다.^{[155][156][157]} 1993년 말, 정밀 조사 하에 와일스의 증명이 실패했다는 소문이 퍼졌지만, 얼마나 심각한지는 알려지지 않았습니다. 수학자들은 와일스가 그의 연구가 완성되었는지 아닌지를 공개하여 더 넓은 공동체가 그가 성취한 모든 것을 탐구하고 사용할 수 있도록 압력을 가하기 시작했습니다. 그러나 원래는 문제가 해결되는 대신에 아주 중요해 보였고, 훨씬 더 심각했으며, 해결하기가 쉽지 않아 보였습니다.^[158]

와일스는 1994년 9월 19일 아침, 자신이 실패했다는 사실을 인정하고, 다른 사람들이 이를 기반으로 오류를 수정할 수 있도록 자신의 작품을 출판하기로 거의 체념했다고 말합니다. 그는 자신의 접근 방식이 효과를 발휘하지 못하는 근본적인 이유를 이해하기 위해 최종적으로 살펴보려고 했다고 덧붙였습니다. 바로 콜리바긴의 구체적인 이유입니다.또한 이와사와 이론을 사용한 그의 원래 시도가 콜리바긴에서 얻은 경험을 이용하여 강화된다면 효과를 발휘할 수 있을 것이라는 것을 의미했습니다.플라크 접근. 하나의 접근 방식을 다른 접근 방식의 도구로 수정하면 그의 참고 논문에서 아직 입증되지 않은 모든 경우에 대한 문제가 해결될 것입니다.^[155][159] 그는 나중에 이와사와 이론과 콜리바긴 이론을 설명했습니다.Flach 접근 방식은 각각 자체적으로 부적절했지만, 함께 이 마지막 장애물을 극복할 수 있을 정도로 강력하게 만들 수 있었습니다.^[155]

"나는 책상에 앉아 콜리바긴을 조사하고 있었습니다.플래시 메소드. 작동할 수 있다고 믿었던 것은 아니지만, 적어도 작동하지 않는 이유를 설명할 수 있다고 생각했습니다. 갑자기 저는 이 놀라운 사실을 알게 되었습니다. 저는 깨달았어요, 콜리바긴..Flach method는 작동하지 않았지만, 3년 전부터 원래의 이와사와 이론을 작동시키기 위해 필요한 모든 것이었습니다. 콜리바긴의 잿더미에서..Flach는 그 문제에 대한 진정한 해답을 제시하는 것처럼 보였습니다. 말로 표현할 수 없을 정도로 아름다웠고, 너무 단순하고 우아했습니다. 어떻게 놓쳤는지 이해할 수 없었고 20분 동안 믿을 수 없다는 듯이 바라만 보았습니다. 그런 다음 낮에는 부서 주변을 돌아다녔고, 계속 책상으로 돌아와 그것이 아직 있는지 확인했습니다. 아직 거기 있었어요. 제 자신을 억누를 수가 없었어요, 저는 너무 흥분했어요. 제 직장생활에서 가장 중요한 순간이었습니다. 다시는 내가 하는 일이 그렇게 큰 의미는 없을 것입니다."

— 사이먼 싱이^[160] 인용한 앤드류 와일스

1994년 10월 24일, 와일스는 "모듈형 타원 곡선과 페르마의 마지막 정리"^[161][162]와 "특정 헤케 대수의 고리 이론적 성질"이라는 두 개의 원고를 제출했는데,^[163] 그 중 두 번째 원고는 테일러와 공동으로 집필되었으며, 본 논문에서 수정된 단계를 정당화하는 데 필요한 특정 조건이 충족되었음을 증명했습니다. 이 두 논문은 수학연보 1995년 5월호 전체를 조사해 발표했습니다. 대수적 수론에서 모듈성 리프팅 정리를 증명하기 위해 헤케 대수(현재는 R=T 정리라고 함)로 변형 링을 식별하는 증명 방법은 영향력이 있었습니다.

이 논문들은 페르마의 마지막 정리를 증명하기 위한 마지막 단계인 반안정 타원 곡선에 대한 모듈성 정리를 추측한 지 358년 만에 확립했습니다.

그 후의 전개

완전한 다니야마-시무라-Weil 추측은 Diamond(1996),^[10] Conrad et al.(1999) ^[11]및 Breuil et al.에 의해 최종적으로 증명되었습니다. (2001)^[12] 와일스의 연구를 바탕으로, 완전한 결과가 증명될 때까지, 나머지 사건들을 점진적으로 연구해 나갔습니다. 이제 완전히 증명된 추론은 모듈성 정리로 알려지게 되었습니다.

페르마의 마지막 정리와 유사한 수론의 다른 여러 정리들도 모듈성 정리를 사용하여 같은 추론을 따릅니다. 예를 들어, 어떤 정육면체도 n ≥ 3인 두 공칭제곱의 합으로 쓸 수 없습니다. (대례 n = 3은 이미 오일러에 의해 알려져 있었습니다.)

다른 문제와의 관계 및 일반화

페르마의 마지막 정리는 양의 정수 a, b, c를 갖는 a + b = c와 2보다 큰 정수 n을 갖는 페르마 방정식의 해를 고려합니다. 지수 n을 음의 정수 또는 유리수로 하거나 세 개의 다른 지수를 고려할 수 있는 보다 일반적인 방정식에 대한 페르마 방정식의 일반화는 여러 가지가 있습니다.

일반화 페르마 방정식

일반화 페르마 방정식은 양의 정수 해 a, b, c, m, n, k를 만족시키는^[164] 것을 고려하여 페르마의 마지막 정리의 진술을 일반화합니다.

${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}.}$

(1)

특히 지수 m, n, k가 같을 필요는 없지만 페르마의 마지막 정리는 대소문자 m = n = k를 고려합니다.

물딘 추측과^[165] 티즈데만-자기에 추측으로도 알려진 ^{[166][167][168]}빌 추측은 양의 정수 a, b, c, m, n, k에서 일반화된 페르마 방정식에 대한 해가 없으며 a, b, c는 쌍대 코프라임이고 m, n, k는 모두 2보다 크다는 것을 말합니다.^[169]

페르마-카탈란 추론은 페르마의 마지막 정리를 카탈란 추론의 아이디어와 일반화합니다.^[170][171] 이 추측은 일반화된 페르마 방정식은 (a^m, bⁿ, c^k) 값의 뚜렷한 삼중항을 갖는 (a, b, c, m, n, k)개의 해만 유한하게 많다는 것을 의미하며, 여기서 a, b, c는 양의 코프라임 정수이고 m, n, k는 만족하는 양의 정수입니다.

${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.}$

(2)

이 문장은 알려진 10개의 해가 있기 때문에 해 집합의 유한성에 관한 것입니다.^[164]

역 페르마 방정식

지수 n이 정수의 역수, 즉 어떤 정수 ${\displaystyle m^{}}$에 대해 n = 1/m이 되도록 할 때, 역 페르마 방정식 a 1/m + b 1/m = c 1/m을 $갖습니다$. {\displaystyle a^{1/m}+b^{1/m} = c^{1/m}} 이 방정식의 모든 해는 1992년 헨드릭 렌스트라에 의해 계산되었습니다. 제m근이 실제이고 양수일 것을 요구하는 경우, 모든 해는 다음에^[173] 의하여 주어집니다.

${\displaystyle a=rs^{m}}$

${\displaystyle b=rt^{m}}$

${\displaystyle c=r(s+t)^{m}}$

양의 정수 r, s, t가 s이고 t가 t인 경우.

유리 지수

n이 1과 같지 ${\displaystyle {않은}^{}}$ 디오판토스 방정식 $n{\displaystyle {}^{}}$/${\displaystyle m^{}}$ + ${\displaystyle n^{}}$ / ${\displaystyle m^{}}$ = c n / m${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$ a$^{n/m$}+ b^{n/m} = c^{n/m$}}$에 대해 2004년에 베넷, 글래스, 세켈리는 n > 2에 대해 n과 m이 코프라임인 경우, 6이 m을 나누는 경우에만 정수 해가 존재하고, 1 / m {\displaystyle a^{1/m}, ${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle m^{}}$ ${\displaystyle$ b$^{1/m}},$ $c$ ${\displaystyle 1^{}}$/ m ${\$는 동일한 실수의 서로 다른 복소 6번째 근입니다.^[174]

음의 정수 지수

n = ;-1

광학 방정식 $a{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{b}}^{}}$- 1 = c${\displaystyle {}^{}}$-$$ {\displaystyle a^{-1} + b^{-1} = c^{-1}에 대한 모든 원시 정수 해(즉, a, ${\displaystyle {}^{}}$, c 모두에 공통적인 소인수가 없는 것)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle a= mk+m^{2}}$

${\displaystyle b= mk+k^{2}}$

${\displaystyle c= mk}$

양의 경우, 코프라임 정수 m, k.

n = -2

경우 n = -2도 해의 무한대를 가지며, 이들은 빗변의 정수 고도와 빗변까지의 정수 고도를 갖는 직각삼각형의 관점에서 기하학적 해석을 합니다. ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$- ${\displaystyle 2^{}}$+ b${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 2^{}}$ = ${\displaystyle d{}^{}}$-$$2 {\displaystyle a^{-2}+b^{-2} = d^{-2}에 대한 모든 원시 해는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle a=(v^{2}-u^{2})(v^{2}+u^{2}),}$

${\displaystyle b=2uv(v^{2}+u^{2}),}$

${\displaystyle d=2uv(v^{2}-u^{2}),}$

coprime 정수 u의 경우 v > u입니다. 기하학적 해석은 a와 b는 직각삼각형의 정수 다리이고 d는 빗변까지의 정수 고도라는 것입니다. 그러면 빗변 자체가 정수입니다.

${\displaystyle c=(v^{2}+u^{2})^{2},}$

그래서 (a, b, c)는 피타고라스의 세쌍둥이입니다.

n < −2

$정수$ n < -2에 대한 ${\displaystyle n^{}}$+ ${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ = c {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}에 대해서는 정수에 해가 없습니다. If there were, the equation could be multiplied through by ${\displaystyle a^{ n }b^{ n }c^{ n }}$ to obtain ${\displaystyle (bc)^{ n }+(ac)$$^{ n$}$=$(ab)^{$n$ 페르마의 마지막 정리로는 불가능합니다.

abc 추측

abc 추측은 세 개의 양의 정수 a, b, c (이름 hence)가 코프라임이고 a + b = c를 만족한다면 abc의 라디칼 d는 일반적으로 c보다 훨씬 작지 않다고 대략적으로 말합니다. 특히 가장 표준적인 공식에서 abc 추측은 충분히 큰 n에 대한 페르마의 마지막 정리를 암시합니다.^{[178][179][180]} 수정된 Szpiro 추측은 abc 추측과 동일하므로 동일한 의미를 갖습니다.^[181][180] abc 추측의 효과적인 버전 또는 수정된 Szpiro 추측의 효과적인 버전은 페르마의 마지막 정리를 노골적으로 암시합니다.^[180]

경품 및 잘못된 증명

1816년, 그리고 다시 1850년에 프랑스 과학 아카데미는 페르마의 마지막 정리에 대한 일반적인 증명으로 상을 수여했습니다.^[182][183] 1857년, 아카데미는 이상수에 대한 연구로 3,000 프랑과 금상을 수여했지만, 그는 상에 대한 출품작을 제출하지 않았습니다.^[182] 또 다른 상은 1883년 브뤼셀 아카데미에 의해 제공되었습니다.^[184]

1908년 독일의 산업가이자 아마추어 수학자인 파울 볼프스켈은 페르마의 마지막 정리를 완전히 증명한 것에 대한 상으로 100,000 골드 마크(당시 거액)를 괴팅겐 과학 아카데미에 기증했습니다.^[185][186] 1908년 6월 27일, 아카데미는 상을 수여하기 위한 9가지 규칙을 발표했습니다. 무엇보다도, 이 규칙들은 증명을 동료 심사 저널에 게재할 것을 요구했습니다; 상은 발표 후 2년이 지나야 수여될 것입니다; 그리고 대회가 시작된 지 약 1세기가 지난 2007년 9월 13일 이후에는 어떠한 상도 주어지지 않을 것입니다.^[187] 와일스는 1997년 6월 27일 당시 5만 달러의 가치가 있는 울프스켈 상금을 모았습니다.^[188] 2016년 3월, 와일스는 "반정적 타원 곡선에 대한 모듈성 추측을 통해 페르마의 마지막 정리를 놀라운 방법으로 증명하여 정수론의 새로운 시대를 열었다"는 공로로 600,000유로 상당의 노르웨이 정부의 아벨상을 수상했습니다.^[189]

와일스가 증명하기 전에 울프스켈 위원회에는 약 10피트(3.0미터)의 서신에 달하는 수천 개의 잘못된 증명이 제출되었습니다.^[190] 첫 해에만 621건의 증명을 시도했지만, 1970년대에 이르러서는 매달 3~4건 정도의 증명 시도로 제출 비율이 감소했습니다. 일부 주장에 따르면 에드먼드 랜도는 그러한 증명을 위해 특별한 미리 인쇄된 양식을 사용하는 경향이 있었고, 첫 번째 실수의 위치는 그의 대학원생 중 한 명이 채워야 했습니다.^[191] F에 의하면. 볼프스켈 평론가 슐라이칭(Schlichting)은 대부분의 증명은 학교에서 가르친 기초적인 방법에 기반을 두고 있으며, 종종 "기술 교육을 받았지만 실패한 경력을 가진 사람들"이 제출했습니다.^[192] 수학 역사학자 하워드 에베스의 말에 따르면, "페르마트의 마지막 정리는 가장 많은 수의 잘못된 증명이 발표된 수학 문제라는 독특한 구분을 가지고 있습니다."^[184]

대중문화에서는

과학계 밖에서 이 정리가 인기를 끌면서 "가장 드문 수학적 상을 수상했다"고 묘사되고 있습니다. 대중문화의 틈새 역할."^[193]

아서 포지의 1954년 단편 소설 "악마와 사이먼 플래그"는 24시간 안에 페르마의 마지막 정리를 증명할 수 없다는 악마와 협상하는 수학자를 주인공으로 합니다.^[194]

심슨 가족의 에피소드 '상록의 테라스의 마법사'에서 호머 심슨은 식 ${398712}^{}$ ${}^{}$ ${4365}^{}$ ${12}^{}$ = ${4472}^{}$ 12$${\$textstyle 3987^{12$} + 4365^{12} = 4472^{12$}}$를 칠판에 적는데, 이는 페르마의 마지막 정리의 반례로 보입니다. 방정식은 틀리지만 유효숫자가 10개인 계산기에 입력하면 맞는 것으로 보입니다.^[195]

스타 트렉에서: 차세대 에피소드 "The Royale"에서 피카르 선장은 이 정리가 24세기에도 여전히 증명되지 않았다고 말합니다. 그 증명은 원래 방송된 지 5년 만에 공개된 것입니다.^[196]

참고 항목

• 오일러의 거듭제곱 추측
• 불가능성 증명
• 거듭제곱들의 합, 관련 추측들과 정리들의 목록
• 월-일-일 프라임

각주

참고문헌

서지학

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외부 링크

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