확률

확률
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통계에 대한 시리즈 일부
확률론
확률 공리 결정론 시스템 인디테르민주의 무작위성
확률공간 샘플 공간 이벤트 총체적으로 철저한 사건들 초등 이벤트 상호배타성 결과 싱글턴 실험 베르누이 재판 확률분포 베르누이 분포 이항 분포 정규 분포 확률측도 변량변수 베르누이 과정 연속 또는 이산형 기대값 마르코프 체인 관측치 무작위 보행 확률적 과정
보완적 사건 관절확률 한계 확률 조건부 확률
독립 조건부 독립성 전체 확률의 법칙 대수의 법칙 베이즈 정리 부울의 부등식
벤 다이어그램 트리 다이어그램
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확률은 사건이 발생할 가능성이 얼마나 되는지 또는 명제가 사실일 가능성이 얼마나 되는지에 대한 수치적 설명과 관련된 수학의 한 분야다.사건의 확률은 0과 1 사이의 숫자인데, 여기서 대략적으로 말하면 0은 사건의 불가능을 나타내고 1은 확실성을 나타낸다.^{[note 1][1][2]}사건의 확률이 높을수록 사건이 발생할 가능성이 높아진다.간단한 예가 공정한(편견이 없는) 동전을 던지는 것이다.동전이 공평하기 때문에, 두 결과("헤드"와 "테일")는 모두 동등하게 개연성이 있고, "헤드"의 확률은 "테일"의 확률과 같으며, 다른 결과가 가능하지 않기 때문에 "헤드"나 "테일"의 확률은 1/2이다(0.5 또는 50%로 표기될 수도 있다).

이러한 개념들은 확률론에서 자명한 수학 공식화가 주어졌는데, 이는 예를 들어 ev의 예상 빈도에 대한 추론을 이끌어내기 위해 통계, 수학, 과학, 금융, 도박, 인공지능, 기계학습, 컴퓨터 과학, 게임 이론, 철학 등의 연구 분야에서 널리 사용되고 있다.ents. 확률 이론은 또한 복잡한 시스템의 근본적인 역학과 규칙성을 설명하는데 사용된다.^[3]

해석

무작위적이고 순전히 이론적인 환경(동전을 던지듯)에서 잘 정의된 실험을 다룰 때, 원하는 결과의 수에 따라 확률을 수치적으로 설명할 수 있으며, 모든 결과의 총 수로 나눈다.예를 들어, 동전을 두 번 던지면 "머리 머리", "머리 꼬리", "꼬리 머리" 및 "꼬리 꼬리" 결과가 나온다."머리-머리"의 결과를 얻을 확률은 4개 결과 중 1개 또는 수치로 환산하면 1/4, 0.25 또는 25%이다.그러나 실제 적용에 있어서는 확률 해석의 두 가지 주요 경쟁 범주가 있는데, 이들의 추종자들은 확률의 근본적 특성에 대해 서로 다른 견해를 가지고 있다.

• 객관주의자들은 객관적이거나 물리적인 상황을 묘사하기 위해 숫자를 할당한다.객관적 확률의 가장 일반적인 버전은 빈도수론적 확률로, 무작위 사건의 확률은 실험이 무한정 반복될 때 실험 결과의 상대적 발생 빈도를 나타낸다고 주장한다.이 해석은 확률로 결과의 상대적 빈도를 "장기적으로" 고려한다.^[4]이것의 수정은 성향 확률로, 한 번만 실시하더라도 어떤 실험이 특정한 결과를 산출하는 경향으로 해석한다.
• 주관주의자들은 주관적 확률, 즉 믿음의 정도에 따라 숫자를 할당한다.^[5]그 믿음의 정도는 비록 보편적으로 합의된 것은 아니지만, "E가 아니라면 0, 0, E가 아닌 경우 효용 1단위를 지불하는 내기를 사거나 파는 가격"^[6]으로 해석되어 왔다.^[7]주관적 확률을 가장 많이 사용하는 버전은 베이지안 확률로, 확률 생성을 위한 실험 데이터와 더불어 전문가적 지식을 포함한다.전문 지식은 일부 (주관적) 사전 확률 분포로 표현된다.이 데이터는 우도 함수에 통합된다.이전과 우도의 산물은 정규화되었을 때, 현재까지 알려진 모든 정보를 포함하는 후방 확률 분포를 초래한다.^[8]아우만의 합의 정리에 의해 이전의 신념이 비슷한 베이시안 요원들도 유사한 후방의 신념으로 끝나게 된다.그러나 충분히 다른 전과는 에이전트들이 얼마나 많은 정보를 공유하든 상관없이 다른 결론을 이끌어낼 수 있다.^[9]

어원

확률이라는 단어는 유럽의 법률 사건에서 증인의 권위에 대한 척도인 "probity"를 의미하기도 하며 증인의 귀족과 종종 상관관계가 있는 라틴어 확률에서 유래한다.어떤 의미에서 이것은 현대적인 확률의 의미와는 많이 다른데, 이와는 대조적으로 경험적 증거의 무게를 측정하는 척도로서 귀납적 추론과 통계적 추론으로부터 도달한다.^[10]

역사

확률에 대한 과학적 연구는 수학의 현대적인 발전이다.도박은 수천 년 동안 확률의 사상을 정량화하는 데 관심이 있었음을 보여주지만, 훨씬 후에 정확한 수학적 묘사가 생겨났다.확률 수학의 발전이 더딘 데는 이유가 있다.우연의 게임은 확률의 수학적인 연구를 위한 자극을 제공했지만, 근본적인 문제는 여전히 도박꾼들의 미신에 가려져 있다.^[11]

리처드 제프리에 따르면, "17세기 중반 이전에 'probable'(라틴 확률)이라는 용어는 승인할 수 있다는 뜻이었고, 그런 의미에서 단발적으로 의견과 행동에 적용되었다.그럴듯한 행동이나 의견은 현명한 사람들이 그 상황에서 떠맡거나 붙잡을 만한 것이었다."^[12]그러나, 특히 법적 맥락에서, 'probable'은 좋은 증거가 있는 제안에도 적용될 수 있다.^[13]

16세기 이탈리아 다산술 게롤라모 카르다노는 불리한 결과에 대한 유리한 결과의 비율로 오즈를 정의하는 효능을 입증했다(이것은 사건의 확률이 가능한 총 결과 수에^[14] 대한 바람직한 결과의 비율로 주어진다는 것을 의미한다).카르다노의 초창기 작품과는 별도로 확률의 교리는 피에르 드 페르마트와 블라이즈 파스칼(1654)의 일치에 기인한다.Christiaan Huygens (1657년)는 이 주제에 대해 가장 일찍 알려진 과학적 치료를 했다.^[15]야콥 베르누이의 아르스 추측단디(후기, 1713년)와 아브라함 드 모이브르의 기회론(1718년)은 이 과목을 수학의 한 분야로 취급했다.^[16]바로 수학적 확률의 개념의 초기 발전의 역사에 대한 이안 해킹의 "확률의^[10] 출현"과 제임스 프랭클린의 "추측^[17] 과학"을 보라.

오류 이론은 로저 코테스의 오페라 미셀라네아(후기, 1722년)로 거슬러 올라갈 수도 있지만, 1755년(인쇄 1756년) 토마스 심슨이 준비한 회고록은 이 이론을 관찰 오류 논의에 처음 적용했다.^[18]이 회고록의 재인쇄(1757년)는 긍정 오류와 부정 오류가 똑같이 발생할 가능성이 있으며, 특정 할당 가능한 한계가 모든 오류의 범위를 정의한다는 공리를 명시하고 있다.심슨은 또한 연속적인 오류에 대해 논하고 확률 곡선을 설명한다.

처음 제안된 두 오류의 법칙은 둘 다 피에르 시몬 라플라스에서 비롯되었다.첫 번째 법칙은 1774년에 발표되었고, 오류의 빈도는 오차의 수치의 지수 함수로 표현될 수 있다고 명시했다.오류의 두 번째 법칙은 1778년 라플레이스에 의해 제안되었고, 오류의 빈도는 오류 사각형의 지수함수라고 명시하였다.^[19]두 번째 오류의 법칙은 정규 분포 또는 가우스 법칙이라고 불린다."역사적으로 그 법을 가우스의 탓으로 돌리는 것은 어렵다. 가우스는 잘 알려진 조숙함에도 불구하고 그가 두 살 전에 이 발견을 하지 못했을 것이다."^[19]

다니엘 베르누이(1778)는 동시 에러 시스템의 확률의 최대 산출물의 원리를 소개했다.

Adrien-Marie Legendre(1805)는 최소 제곱법을 개발하여 Nouvelles méthodes pour la déterreation des comés(코메트의 궤도를 결정하는 새로운 방법)^[20]에 소개했다.레전드르의 공헌을 모르는 아일랜드계 미국인 작가 로버트 애드레인 '분석가'(1808) 편집장이 먼저 오류설비의 법칙을 추론했다.

${\displaystyle \phi(x)=ce^{-h^{2}x^{2}},}$

여기서 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은(는) 관측 정밀도에 따라$$ 상수이고$$c {\$displaystyle$ c$}$은 곡선 아래 면적이 1이라는 것을 확인하는 척도 계수다.그는 두 가지 증거를 제시했는데, 두 번째는 본질적으로 존 허셜(1850)의 증거와 같다.^{[citation needed]}가우스는 1809년 유럽(아드레인 다음 세 번째)에 알려진 것으로 보이는 첫 번째 증거를 제시했다.그 이상의 증거는 라플라스(1810, 1812), 가우스(1823), 제임스 아이보리(1825, 1826), 하겐(1837), 프리드리히 베셀(1838), W.F. 돈킨(1844, 1856), 모건 크로프톤(1870)에 의해 제시되었다.그 밖에 엘리스(1844년), 드 모건(1864년), 글라이셔(1872년), 조반니 스키아파렐리(1875년) 등이 기여했다.단일 관측의 개연성 오류인 r에 대한 피터스의(1856년) 공식은^{[clarification needed]} 잘 알려져 있다.

19세기에는 일반론에 관한 저자들이 라플레이스, 실베스트레 라크로릭스(1816), 리트로(1833), 아돌프 퀘틀렛(1853), 리차드 디데킨드(1860), 헬메르트(1872), 헤르만 로랑(1873), 리아그르, 디디온, 카를 피어슨 등이었다.아우구스투스 드 모건과 조지 볼은 이론의 전개를 향상시켰다.

1906년 안드레이 마르코프는 마르코프 사슬의 개념을^[21] 도입하였는데, 마르코프 사슬은 마코프 사슬의 개념을 도입하여 마코프 사슬의 이론과 그 이론의 응용에 중요한 역할을 하였다.측정 이론에 기초한 확률의 현대 이론은 1931년 안드레이 콜모고로프에 의해 개발되었다.^[22]

기하학적 측면에서는 교육 타임즈의 기고자들이 영향력이 있었다(밀러, 크로프톤, 맥콜, 월스텐홀름, 왓슨, 아르테마스 마틴).^[23]자세한 내용은 통합 형상을 참조하십시오.

이론

다른 이론들과 마찬가지로 확률론도 형식적인 용어, 즉 그 의미와 별도로 생각할 수 있는 용어로 그 개념을 표현하는 것이다.이러한 형식적인 용어는 수학과 논리의 규칙에 의해 조작되며, 어떤 결과도 다시 문제 영역으로 해석되거나 번역된다.

확률을 공식화하려는 시도가 적어도 두 번 있었는데, 바로 콜모고로프 제형과 콕스 제형이 그것이다.Kolmogorov의 공식(확률 공간 참조)에서 집합은 집합 종류에 대한 척도로 사건 및 확률로 해석된다.콕스의 정리에서는 확률을 원시(즉, 더 이상 분석하지 않음)로 취하며, 확률 값의 일관된 할당을 명제에 구성하는 것을 강조한다.두 경우 모두 기술적 세부사항을 제외하고 확률의 법칙은 동일하다.

불확실성을 계량하는 다른 방법으로는 뎀스터-샤퍼 이론이나 가능성 이론 등이 있지만, 그것들은 본질적으로 다르고 일반적으로 이해되는 확률의 법칙과 양립할 수 없다.

적용들

위험도 평가와 모델링에서 확률 이론이 일상생활에 적용된다.보험업계와 시장은 보험수리적 과학을 사용하여 가격을 결정하고 거래 결정을 내린다.정부는 환경규제, 권리분석, 금융규제 등에 확률론적 방법을 적용한다.

주식 거래에서 확률론을 사용하는 예로는 중동 분쟁의 확산 가능성이 인지된 가능성이 경제 전반에 파급효과를 미치는 유가에 미치는 영향이 있다.전쟁이 일어날 가능성이 높다는 한 상품 거래자의 평가는 그 상품의 가격을 올리거나 내리게 할 수 있고, 그 의견을 다른 거래자들에게 알리는 신호다.따라서 확률은 독립적으로 평가되지 않으며 반드시 합리적으로 평가되지 않는다.행동 금융 이론은 그러한 집단 사고가 가격, 정책, 평화와 갈등에 미치는 영향을 설명하기 위해 등장했다.^[24]

재무적 평가 외에도 생물학(예: 질병 확산)과 생태학(예: 생물학적 Punnett 광장)의 추세를 분석하는 데 확률을 사용할 수 있다.재정과 마찬가지로, 위험 평가는 바람직하지 않은 사건이 발생할 가능성을 계산하는 통계적 도구로 사용될 수 있으며, 그러한 상황에 부딪히지 않도록 프로토콜 구현을 지원할 수 있다.카지노가 수익을 보장할 수 있도록 우연의 게임을 설계하면서도 지속적인 플레이를 장려할 만큼 빈번한 선수들에게 보너스를 제공하는 데 확률도 활용된다.^[25]

일상생활에서 확률론의 또 다른 중요한 적용은 신뢰도다.자동차나 가전제품과 같은 많은 소비재들은 제품 설계에서 신뢰도 이론을 사용하여 고장 확률을 낮춘다.고장 확률은 제품 보증에 대한 제조업체의 결정에 영향을 미칠 수 있다.^[26]

자연어 처리에 사용되는 캐시언어 모델과 기타 통계언어 모델도 확률론의 적용 사례다.

수학적 처리

여러 결과를 낼 수 있는 실험을 생각해 보라.가능한 모든 결과의 컬렉션을 실험의 샘플 공간이라고 하며, 때때로 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$로 표시하기도 한다$.$ 샘플 공간의 파워 세트는 가능한 결과의 모든 컬렉션을 고려하여 형성된다.예를 들어, 주사위를 굴리면 6개의 가능한 결과가 나올 수 있다.가능한 결과의 한 집합은 주사위에 홀수를 준다.따라서, 하위 집합 {1,3,5}은 주사위 굴림의 샘플 공간의 동력 집합의 한 요소다.이 수집품들은 "이벤트"라고 불린다.이 경우 {1,3,5}은 주사위가 일부 홀수 위에 떨어지는 사건이다.실제로 일어나는 결과가 주어진 사건에 해당하면 그 사건이 발생했다고 한다.

확률은 모든 사건에 0과 1 사이의 값을 할당하는 방법이며, 가능한 모든 결과로 구성된 사건(예: 사건 {1,2,3,4,5,6})에 1의 값이 할당된다.확률로 적합하기 위해, 값의 배분은 상호 배타적 사건(예: 사건 {1,6, {3}, {2,4} 등 공통 결과가 없는 사건)의 집합에 대해 적어도 하나의 사건이 발생할 확률은 모든 개별 사건의 확률의 합에 의해 제공된다는 요건을 충족해야 한다.^[27]

사건 A의 확률은 $P{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle P(A$^[28] P ${\displaystyle (A)}$ ${\displaystyle p(A$ ${\displaystyle \text{Pr}}$(${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle {\text{Pr}(A)}$로 기록된다$.$^[29] 확률의 수학적 정의는 측도의 개념을 사용하여 무한 표본 공간, 심지어 셀 수 없는 표본 공간까지 확장될 수 있다.

또는 보완하는 행사를 반대 A는 행사[A는 아니](A발생하지 않의 국제 행사), 종종 한 ′, Ac{\displaystyle A',A^{c}}, A¯, A∁로,를 설명 ¬{\displaystyle{\overline{A}}또는 A{\displaystyle{\sim}A ∼}한},A^{\complement},\neg합니다;그것의 확률 P(A는 아니)에 의해=1− P(A) 주어진다.[30]예를 들어 6면 다이에 대해 6을 굴리지 않을 확률은 1 – (6을 굴리는 정도$){\displaystyle }$ =${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ - 1${\displaystyle \frac{6}{}}$ = ${\displaystyle \frac{5}{}}$ 6 ${\$=$1-{\tfrac{1}{6}}={{6$}}}{\$tfrac{5}{6$ 보다 포괄적인 치료는 보충 이벤트를 참조하십시오.

실험의 단일 수행에서 두 사건 A와 B가 발생하는 경우, 이를 A와 B의 교차점 또는 공동 확률이라고 하며, $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle (A}$ ${\displaystyle \cap }$ B${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ P $(A\cap B)}$로 표시한다$.$

독립 이벤트

A와 B라는 두 사건이 독립적인 경우, 공동 확률은 다음과 같다^[28].

${\displaystyle P(A{\mbox{ 및 }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B).}$

예를 들어, 두 개의 동전이 뒤집힌 경우, 두 동전이 모두 헤드가 될 확률은 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$= 1 ${\displaystyle 4\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$1}:{$1}}}\time {\tfrac$ {$1}{1}}}{\tfrac${1$}{4$^[31]

상호 배타적 이벤트

이벤트 A 또는 이벤트 B 중 하나가 동시에 발생할 수 있지만 동시에 발생할 수 없는 경우, 상호 배타적 이벤트라고 한다.

두 사건이 상호 배타적인 경우, 두 사건의 발생 확률은 $P{\displaystyle }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cap }$ B${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ P $(A\cap$ B$)}$로 표시되며,

${\displaystyle P(A{\mbox{ 및 }}B)=P(A\cap B)=0}$

두 사건이 상호 배타적인 경우, 두 사건의 발생 확률은 $P{\displaystyle }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cup }$ B${\displaystyle }$) ${\디스플레이$ 스타일 P$(A\cup$ B$)}$로 표시된다$$.

${\displaystyle P(A{\mbox{ 또는 }}B)=P(A\컵B)=P(A)+P(B)+P(A\cap B)=P(A)-0=P(A)+P(B)}$

For example, the chance of rolling a 1 or 2 on a six-sided die is ${\displaystyle P(1{\mbox{ or }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}.$$}$

상호 배타적이지 않은 이벤트

이벤트가 상호 배타적이지 않은 경우

${\displaystyle P\왼쪽(A{\hbox{ 또는 }}}B\오른쪽)=P(A\컵 B)=P\왼쪽(A\오른쪽)+P\왼쪽(B\오른쪽)-P\왼쪽(A{\mbox{ 및 }}B\오른쪽).}$

For example, when drawing a card from a deck of cards, the chance of getting a heart or a face card (J,Q,K) (or both) is ${\displaystyle {\tfrac {13}{52}}+{\tfrac {12}{52}}-{\tfrac {3}{52}}={\tfrac {11}{26}}}$, since among the 52 cards of a deck, 13 are hearts, 12 are face cards, and 3 are둘 다: 여기서 "둘 다인 3"에 포함된 가능성은 "13개의 심장"과 "12개의 얼굴 카드" 각각에 포함되지만 한 번만 계산되어야 한다.

조건부 확률

조건부 확률은 일부 다른 사건 B의 발생을 고려할 때 일부 사건 A의 확률이다.조건부 확률은 $P{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle$ P $(A\mid$ B$)}$라고 쓰여 있으며, "A의 확률, 주어진 B"로 읽힌다.에 의해^[32] 정의된다.

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\,}$

${\displaystyle \mathrm{P}}$(${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle P(B)=0}$이면 $P$ (${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle P(A\mid B)}$은 이 표현식에 의해 공식적으로 정의되지 않는다$$.In this case ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ are independent, since ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)=0}$. However, it is possible to define a conditional probability for some zero-probability events using a σ-algebra of such events (such as those arising from a continuous random 변수).^{[citation needed]}

예를 들어, 2개의 빨간 공과 2개의 파란 공(총 4개의 공)으로 이루어진 가방에서, 빨간 공을 가져갈 확률은 1/$[\displaystyle$1$/2]$이지만$,$ 두 번째 공을 가져갈 때, 이전에 가져간 공에 따라 빨간 공이나 파란 공이 될 확률은 달라진다.예를 들어, 만약 빨간 공을 가져간다면, 빨간색 공은 1개, 파란색 공은 2개만 남았을 것이기 때문에 빨간 공을 다시 고를 확률은 1/$[\displaystyle$ 1/3$\}$그리고 만약 이전에 파란 공을 가져갔다면, 빨간 공을 가져갈 확률은 $2{\displaystyle \mathrm{}}$/ $[\$디스플레이 스타일 2/3})이$$될 $것$이다$.$

역확률

확률 이론과 응용에서, 베이스의 규칙은 $사건{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$1}의$$ $확률$과 ${\displaystyle {사건\mathrm{}}_{}}$ A$$2 {\$displaystyle A_{$2$\}\},$ 다른 $사건{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$에 대한 (posterior to) 조건화 전과 후의 확률과 관련된다$.$$A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}에 대한$$ 사건 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 확률은 단순히 두 사건 확률의 비율이다$$.When arbitrarily many events ${\displaystyle A}$ are of interest, not just two, the rule can be rephrased as posterior is proportional to prior times likelihood, ${\displaystyle P(A B)\propto P(A)P(B A)}$ where the proportionality symbol means that the left hand side is proportional to (i.e., equals) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 오른쪽 측면은 고정 또는 $지정$된 B ${\displaystyle$ B$}$에 따라$$ 변화한다($$Lee, 2012; Bertsch McGrayne, 2012).이 형태는 라플라스(1774년)와 쿠르노(1843년)로 거슬러 올라간다. Fienberg(2005년)를 참조한다.자세한 내용은 역 확률 및 베이지의 규칙을 참조하십시오.

확률 요약

확률 요약

이벤트	확률
A	$[0,1]\,}의 [\displaystyle P(A)\,}$
A이 아닌	${\displaystyle P(A^{\complete }=1-P(A)\,}$
A 또는 B	${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\P(A\cup B)&=P(A)+P(B)\qquad {\mbox{if A and B are mutually exclusive}}\\\end{aligned}}}$
A와 B	${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A B)P(B)=P(B A)P(A)\\P(A\cap B)&=P(A)P(B)\qquad {\mbox{if A and B are independent}}\\\end{aligned}}}$
A 주어진 B	${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B)P(A)}}},}$

양자역학에서의 무작위성과 확률과의 관계

결정론적 우주에서, 뉴턴의 개념에 근거해, 모든 조건이 알려져 있다면, 개연성은 없을 것이다(Laplace의 악마), (그러나 초기 조건에 대한 민감성이, 즉 그것들을 측정할 수 있는 우리의 능력을 초과하는 상황들이 있다).룰렛 휠의 경우, 만약 손의 힘과 그 힘의 기간이 알려져 있다면, 공이 멈출 숫자는 확실할 것이다(실제적으로, 이것은 토마스 A와 같이 정확히 수평이 유지되지 않았던 룰렛 휠의 경우에만 해당될 것이다).배스의 뉴턴 카지노가 폭로했다.)이것은 또한 바퀴의 관성 및 마찰, 무게, 부드러움, 공의 둥글음, 회전 중의 손 속도의 변화 등에 대한 지식을 가정한다.따라서 확률론적 설명은 뉴턴 역학보다 룰렛 휠의 반복 롤링 결과의 패턴을 분석하는 데 더 유용할 수 있다.물리학자들은 기체의 운동 이론에서 동일한 상황에 직면하고 있는데, 기체의 운동 이론에서는 원칙적으로 결정론적이기는 하지만, 시스템이 너무 복잡해서(일반적으로 분자의 수는 아보가드로 상수 6.02×10의²³ 크기 순서에 따라) 그 성질에 대한 통계적 설명만이 실현 가능하다.

양자 현상을 기술하기 위해서는 확률 이론이 필요하다.^[33]20세기 초 물리학의 혁명적인 발견은 아원자 척도로 발생하며 양자역학의 법칙에 의해 지배되는 모든 물리적 과정의 무작위적 특성이었다.객관적 파동함수는 결정적으로 진화하지만 코펜하겐 해석에 따르면 파동함수에 의해 설명되는 결과는 관측될 확률을 다룬다.그러나 기구주의를 위한 결정론의 상실은 보편적인 찬성을 얻지 못했다.알버트 아인슈타인은 맥스 본에게 보낸 편지에서 "나는 신이 주사위를 던지지 않는다고 확신한다"^[34]고 말한 것으로 유명하다.아인슈타인과 마찬가지로 파동 함수를 발견한 에르윈 슈뢰딩거는 양자역학이 근본적인 결정론적 현실의 통계적 근사치라고 믿었다.^[35]측정의 통계적 역학에 대한 일부 현대적 해석에서는 주관적 확률론적 실험 결과의 외관을 설명하기 위해 양자 파괴를 호출한다.

참고 항목

• 찬스(동음이의)
• 클래스 멤버 자격 확률
• 우발성
• 등가성
• 판단과 의사결정에 있어서 휴리스틱스
• 확률론
• 무작위성
• 통계
• 추정기
• 추정 이론
• 확률밀도함수
• 쌍방향 독립성

법률상

• 확률의 균형

메모들

참조

참고 문헌 목록

• 칼렌베르크, O. (2005) 확률론적 대칭 및 불변성 원리.스프링거-베를랙, 뉴욕 510 pp.ISBN 0-387-25115-4
• Kalenberg, O. (2002) 현대 확률의 기초, 2차 개정.Springer Series in Statistics(통계학)육백오십ISBN 0-387-95313-2
• 올록슨, 피터(2005) 확률, 통계, 확률 과정, 와일리-인터사이언스 504pp ISBN 0-471-67969-0.

외부 링크

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위키미디어 커먼즈에는 확률과 관련된 미디어가 있다.

라이브러리 리소스 정보 확률

라이브러리의 리소스

• 확률과 통계에서의 가상 실험실 (알라의 유니브)-헌츠빌)
• BBC의 우리 시대에서의 가능성
• 확률과 통계 EBook
• 에드윈 톰슨 제인스확률 이론: 과학의 논리.사전 인쇄:워싱턴 대학, (1996년).- PostScript 파일 및 PDF에 대한 링크가 포함된 HTML 색인(첫 번째 3장)
• 확률과 통계학의 역사에서 온 사람들 (사우스햄프턴의 유니브)
• 초기 사용 페이지의 확률 및 통계(Southampton의 유니브)
• 다양한 수학적 기호의 초기 사용에 대한 확률의 초기 기호와 통계량의 초기 사용
• 옥스퍼드 대학교 1학년 학생들을 위해 고안된 확률과 베이지의 정리에 관한 튜토리얼
• [1] UbuWeb에 있는 찬스 운영의 Anthology of Chance Operation(1963)의 pdf 파일
• 확률 소개 – eBook, Charles Grinstad, Laurie Snell Source Archived 2012년 3월 25일 웨이백 머신(GNU Free Documentation License)에 보관
• (영어 및 이탈리아어) Bruno de Finetti, Probabilita e Induzione, Bologna, CLUBB, 1993.ISBN 88-8091-176-7(디지털 버전)
• 리처드 P.파인만의 개연성에 관한 강의.