유클리드 평면상의 모든 삼각형의 특성
이 기사는 삼각법의 사인 법칙에 관한 것이다. 물리학의 사인 법칙은 스넬의 법칙 을 참고하세요.
사인 법칙의 성분으로 레이블이 지정된 두 삼각형. α θ 대문자 B C 각도 소문자 b 및 (a 반대쪽α
삼각법 에서 사인법칙 , 사인법칙 , 사인법칙 또는 사인법칙 은 삼각형 의 변의 길이 와 각도의 사인 과의 관계를 나타내는 방정식 입니다.법에 따르면
a 죄 α = b 죄 β = c 죄 γ = 2 R , {\displaystyle {\frac {a},=,{\frac {b},=,{\frac {c},{\sin {c},=,2R,} 여기 b c 길이 α , β, θ 반면 원주 반지름 이다.방정식의 마지막 부분을 사용하지 않을 때, 법칙은 때때로 역수 를 사용하여 명시된다. 죄 α a = 죄 β b = 죄 γ c . {\displaystyle {\frac {\sin } {a},=,{\frac {\sin } {c}} } 사인 법칙은 두 개의 각도와 변이 알려진 경우 삼각형의 나머지 변을 계산하는 데 사용될 수 있습니다. 즉, 삼각 측량이라고 알려진 기술입니다. 또한 두 변과 닫히지 않은 각도 중 하나를 알고 있는 경우에도 사용할 수 있습니다. 이러한 경우 삼각형이 이 데이터에 의해 고유하게 결정되지 않으며(모호한 대소문자라고 함), 이 기술은 둘러싸인 각도에 대해 두 가지 가능한 값을 제공합니다.
사인의 법칙은 스칼렌 삼각형의 길이와 각도를 찾기 위해 일반적으로 적용되는 두 개의 삼각 방정식 중 하나이며, 다른 하나는 코사인 법칙 입니다.
사인 법칙은 일정한 [1]
역사 Ubiratahn D' Ambrosio와 Helaine Selin에 따르면, 시네의 구면 법칙은 10세기에 발견되었다.그것은 아부-마흐무드 코잔디 , 아부 알-와파의 부쟈니 , 나시르 알-딘 알-투시 , 아부 나스르 [2]
Ibn muʿah al-Jayyannā 의 11세기 알 수 없는 구체의 호 책 은 [3] 있다 . 사인 평면의 법칙은 나중에 13세기에 나시르 알-딘 알-투시에 의해 언급되었다. 그 의 "섹터 그림 "에서, 그는 평면과 구면 삼각형의 사인 법칙을 언급했고, 이 [4]
글렌 반 브룸멜렌에 따르면 , "시네스의 법칙은 사실 제4권에서 직각 삼각형에 대한 그의 해법에 대한 레지오몬타누스 의 기초이며, 이 해법들은 차례로 그의 일반 [5] 레지오몬타누스는 15세기 독일의 수학자였다.
증명 삼각형의 면적 삼각형의 한 변을 베이스로 선택하면 해당 베이스에 대한 삼각형의 높이는 선택한 변과 베이스 사이의 각도의 사인 값에 다른 변의 길이를 곱한 값으로 계산됩니다. 따라서 밑면의 선택에 따라 삼각형의 면적은 다음 중 하나로 기록될 수 있습니다.
T = 1 2 b ( c 죄 α ) = 1 2 c ( a 죄 β ) = 1 2 a ( b 죄 γ ) . ({displaystyle T=snarfrac {1}{2}b\left(c\sin {alpha }\right)=snarfrac {1}{2}a\left(b\sin {}\right) } .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px에 의해 이 Multiplying.고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}2/abc을 준다 2 T a b c = 죄 α a = 죄 β b = 죄 γ c . {\displaystyle\frac{2} T} {abc} = frac {sin } {a} = frac {sin } {b} = frac {sin } {c} , }
삼각 해법의 모호한 경우 삼각형의 변을 찾기 위해 사인 법칙을 사용할 때 제공된 데이터에서 두 개의 개별 삼각형을 구성할 수 있는 모호한 경우가 발생합니다(즉, 삼각형에 대해 두 개의 다른 가능한 솔루션이 있습니다). 아래 예시는 삼각형 ABC .
일반적인 삼각형이 주어졌을 때, 다음과 같은 조건이 충족되어야만 사례가 모호해질 수 있다.
삼각형에 대해 알려진 유일한 정보는 각도α a 각도 예각 이다(즉 변 변 a c 측면 각도 고도 여기 c sin α(즉, a > h 위의 조건이 모두 참일 경우, 각도 β와
γ ′ = 아크신 c 죄 α a 또는 γ = π − 아크신 c 죄 α a . {\displaystyle}=\arcsin{c\sin}{a}}{text{or}=\pi -\arcsin{frac}{c\sin}{a}}}} }
여기서 우리는 대응 β 또는 β와 여기 정점 A bθ C 의해
예 다음은 사인 법칙을 사용하여 문제를 해결하는 방법의 예입니다.
예 1 주어진 값: 변 20 , 변 c 24 , 각도 θ 40° 각도α
사인 법칙을 사용하여 다음과 같이 결론을 내립니다.
죄 α 20 = 죄 ( 40 ∘ ) 24 . {\displaystyle {\frac \sin \alpha } {20} = {24} 。 } α = 아크신 ( 20 죄 ( 40 ∘ ) 24 ) ≈ 32.39 ∘ . \displaystyle \alpha =\arcsin \leftfrac {20\sin(40^{\flac}}{24}\right)\약 32.39^{\flac }.
잠재적 용액α 147 .61° 는 반드시 α + β + δ > 180° 가 되기 때문에 제외된다.
예 2 삼각형 b x 길이 길이 b c 각각 θ
α = β = 180 ∘ − γ 2 = 90 ∘ − γ 2 죄 α = 죄 β = 죄 ( 90 ∘ − γ 2 ) = 왜냐하면 ( γ 2 ) c 죄 γ = a 죄 α = x 왜냐하면 ( γ 2 ) c 왜냐하면 ( γ 2 ) 죄 γ = x ({displaystyle {aligned}&\alpha =\frac {180^{\frac}=90^{\frac}-{\frac}-{\frac}-{\frac}-{6pt}&\sin \alpha =\sin =\sin left(90^{\fr}-}) \[6pt]&{\frac {c}{\sin \flac }}=flac {a}{\sin \alpha }}=flac {x}{\cos \flac }{2}}\오른쪽) }}\\[6pt]&{\frac {cos\leftflac\frac}{2}\right} }{\sin \sin }}=x\end {aligned}}
원주와의 관계 아이덴티티에서
a 죄 α = b 죄 β = c 죄 γ , {\displaystyle {\frac {a} {\sin {\alpha } = sin frac {c} {\sin } } 세 개의 분수의 공통값은 사실 삼각형의 원 의 지름 입니다. 이 결과는 [6] [7] 거슬러 올라간다.
외접 직경과 동일한 사인 법칙의 비율을 도출합니다. 삼각형 지름 증명 그림과 같이 원의 중심 O를 지나는 △ A B (\displaystyle\ \ display 또 A D \display ) A OD 중심각도 180µ { displaystyle 180^{\ circ } A D = 90µ (\ displaystyle ABD circ }). A B D ,
죄 δ = 반대로 빗변 = c 2 R , \displaystyle\sin\sin\text{param}{\text{paramenuse}}=paramfrac{c}{2 R}},} 여기 = d2 ({ displaystyle =subscfrac {d}{2}) [7] 각도 γ({ displaystyle}) {\({ displaystyle}) 중심 각도가 같으므로 = display displaystyle})= }}}). 죄 δ = 죄 γ = c 2 R . {\displaystyle\sin\sin\sin\sin\sin\frac{c}{2R}}
수율 재배치
2 R = c 죄 γ . {\displaystyle 2R=syn\frac {c}}. }
△ A DB displaystyle\displaystyle )
a 죄 α = b 죄 β = c 죄 γ = 2 R . {\displaystyle\frac {a}{\sin\alpha }=syn frac {c}{\sin }=2R. }
삼각형의 면적과의 관계 삼각형의 면적은 T = 1 2 a b textstyle frac }{2}}ab\sin \theta } displaystyle \theta 길이 a 이 방정식에 사인법칙을 대입하면
T = 1 2 a b ⋅ c 2 R . {\displaystyle T=block {1}{2}}ab\cdot {\flac {c}{2R}}
R(\displaystyle ) [8]
T = a b c 4 R . {\displaystyle T=black {flac} {4} R}}}.
또한 이 평등은 다음을 의미한다는 것을 보여줄 수 있다.
a b c 2 T = a b c 2 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) = 2 a b c ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) , {\displaystyle}{\frac}{2 T}} & = flac { } - 2 { rt { s - a ( s - b ) ( s - c ) } } \ [ 6pt ] & = flac { 2 } } { \ flac { \ （ a ^ { 2 ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ 2 } } 、 { 2 } 여기 면적 반지름 = b c . textstyle =scipfrac {a+b+c}{ }
위의 두 번째 등식은 면적에 대한 헤론의 공식 으로 쉽게 단순화된다.
사인 규칙은 삼각형의 면적에 대한 다음 공식을 도출하는 데도 사용할 수 있습니다. 각도의 반합은 S = a sin b sin c C textstyle sn sin sin sin 2 [9]
T = 4 R 2 S ( S − 죄 A ) ( S − 죄 B ) ( S − 죄 C ) \displaystyle T=4R^{2}{\sqrt {S\left(S-\sin A\right)\left(S-\sin B\right)\left(S-\sin C\right) }}}
여기 (\displaystyle ) 2 R = a sin A = b = B = sin c textstyle 2R sn a sin sin b} sin crc
사인 구체의 법칙 사인의 구면 법칙은 구면의 삼각형을 다루는데, 삼각형의 변은 큰 원 의 호이다.
구의 반지름이 1이라고 가정합니다. a, b c 하자 단위구이기 때문 b 및 A B C 이것들은 세 개의 큰 원의 평면 사이의 이면각 이다.
그리고 구면 사인 법칙은 다음과 같습니다.
죄 A 죄 a = 죄 B 죄 b = 죄 C 죄 c . (\displaystyle\frac{\sin a}=frac{\sin b}=frac{\sin C}{\sin c}). }
벡터 프루프 원점에서 삼각형의 꼭지점까지 그려진 세 개의 단위 벡터 OB 및 따라서 α θ b c 호 BC는 중심에서 규모 z축을OA 사용 각도 벡터 ON 으로 투영되며 ON과 x축사이 의 각도는 A 따라서 3개의 벡터에는 다음 컴포넌트가 있습니다.
O A = ( 0 0 1 ) , O B = ( 죄 c 0 왜냐하면 c ) , O C = ( 죄 b 왜냐하면 A 죄 b 죄 A 왜냐하면 b ) . \displaystyle \mathbf {OA} =sys {pmatrix} 0\\1\end{pmatrix},\sys \mathbf {OB} =sysin c\0\cos c\end{pmatrix},\cos \sin \cos \mathbf {OC}\cos A }
스칼라 삼중곱 OA OB × OC 삼각형 OB 및 입체 의 부피이다.이 부피는 OA, OB 및 나타내기 스칼라 삼중곱 × OC )의 값은 OA, OB 및 하는 3 결정식 이다.OA
( O A ⋅ ( O B × O C ) ) 2 = ( 멈추다 ( O A O B O C ) ) 2 = 0 0 1 죄 c 0 왜냐하면 c 죄 b 왜냐하면 A 죄 b 죄 A 왜냐하면 b 2 = ( 죄 b 죄 c 죄 A ) 2 . {\displaystyle{\begin{정렬}{\bigl(}\mathbf{OA}\cdot(\mathbf{OB}\times \mathbf{OC}){\bigr)}^{2}&, =\leftᆪ^ᆮ\\[4pt]&, ={\begin{vmatrix}0&, 0&, 1\\\sin c&, 0&, \cosc\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&(b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\s.b\sin에서 A\right)^{2}c\sin. \end { aligned}} OB를 따라 sin sin sin )2 가 되고 OC를 따라 sin sin )2 가 됩니다. 이 표현들을 동일시하고 (sin a sin b sin )2 로 나누면 죄 2 A 죄 2 a = 죄 2 B 죄 2 b = 죄 2 C 죄 2 c = V 2 죄 2 ( a ) 죄 2 ( b ) 죄 2 ( c ) , 디스플레이 스타일 A}{\sin ^{2}a}=sinfrac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}C}=sinfrac {V^{2}(a)\sin ^2}(b)\sin ^2}(c)}, 여기 서 V는 구면 삼각형의 꼭지점 위치 벡터에 의해 형성된 평행입방체 의 부피이다.그 결과, 결과는 다음과 같습니다.
작은 구면 삼각형의 경우, 구면의 반지름이 삼각형의 변보다 훨씬 클 때, 이 공식은 한계에서 평면 공식이 되는 방법을 쉽게 알 수 있다.
림 a → 0 죄 a a = 1 \displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {sin a}{a}}=1} sin b 와 sin c 도 마찬가지입니다.
기하학적 증명 다음과 같은 단위 구를 고려합니다.
O A = O B = O C = 1 {\displaystyle OA=OB= OC=1}
점 ({displaystyle displaystyle }) a A = A E = 90 {\ displaystyle ADO angle 90^{\circ
점 ′ displaystyle ' DO = a EO = 90 ∘ displaystyle angle ' DO=\각도 A' EO=90^{\circ}}
따라서 a D ′ = B displaystyle \ angle = e E A = displaystyle angle AEA =
A ′ displaystyle 평면 C displaystyle 것 . 따라서 dD 90 = displaystyle angle 'd = angle ' E=90^{\circ}}
기본 삼각법에는 다음이 있습니다.
A D = 죄 c {\displaystyle AD=\sin c} A E = 죄 b {\displaystyle AE=\sin b}
하지만 = A D b = A E c display style = AD\sin B= AE\sin C}
이들을 조합하면 다음과 같은 이점이 있습니다.
죄 c 죄 B = 죄 b 죄 C {\displaystyle \sin c\sin B=\sin b\sin C} 죄 B 죄 b = 죄 C 죄 c (\displaystyle\frac\sinB}=\frac\sinC}{\sinc})
유사한 추론을 적용하여 사인 구체의 법칙을 구한다.
죄 A 죄 a = 죄 B 죄 b = 죄 C 죄 c (\displaystyle {\sin a} = frac {\sin b} = frac {\sin C} {\sin c} )
기타 증명 코사인 구면 법칙 에서 순수하게 대수적 증명을 구성할 수 있다.항등식 sin a = 1 cos a displaystyle \ sin ^ = {2} A 명시적 ines displaystyle cos }
죄 2 A = 1 − ( 왜냐하면 a − 왜냐하면 b 왜냐하면 c 죄 b 죄 c ) 2 = ( 1 − 왜냐하면 2 b ) ( 1 − 왜냐하면 2 c ) − ( 왜냐하면 a − 왜냐하면 b 왜냐하면 c ) 2 죄 2 b 죄 2 c 죄 A 죄 a = [ 1 − 왜냐하면 2 a − 왜냐하면 2 b − 왜냐하면 2 c + 2 왜냐하면 a 왜냐하면 b 왜냐하면 c ] 1 / 2 죄 a 죄 b 죄 c . '디스플레이 스타일'입니다. sin ^{2} A&=1-\left({\frac{\cos a-\cos(c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&, ={\frac{{2\left(1-\cos ^{2}년!b\right)\left(1-\cos ^{2}년!c\right)-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\right)^}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[8pt]{\frac{A\sin}{\sin}}&={\frac{\left[1-\cos ^{2}년!a-\cos^{2}년!b-\cos^{2}년!c+2\cosa\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin. b이다.\sin c}}. \end { aligned}} 오른쪽 , c (\displaystyle ,\;b,\;c)
위의 기하학적 증명에 사용된 그림은 기본 선형 대수와 투영 행렬을 사용하여 사인 법칙을 도출하기 위해 Banerjee에[10]
쌍곡선 대소문자 쌍곡선 기하학에서 곡률이 -1일 때, 사인 법칙은
죄 A 신 a = 죄 B 신 b = 죄 C 신 c . (*displaystyle {\frac {\sinh a} = frac {\sinh B} {\sinh b} = frac {\sin c} {\sinh c} ) }
B가 직각일 때 특별
죄 C = 신 c 신 b (\displaystyle \sin C=synh c}{\sinh b})
이것은 각도의 사인을 빗변으로 나눈 반대변으로 표현하는 유클리드 기하학의 공식과 유사하다.
곡률이 일정한 표면의 경우 실제 파라미터
죄 K x = x − K x 3 3 ! + K 2 x 5 5 ! − K 3 x 7 7 ! + ⋯ . {\displaystyle _{K}x={\frac {Kx^{3}}}{3! }+{\frac {K^{2}x^{5}}{5}! }-{\frac {K^{3}x^{7}}{7}! }}+\cdots .}
일정한 곡률 [1]
죄 A 죄 K a = 죄 B 죄 K b = 죄 C 죄 K c . {\displaystyle {\frac {\sin A} {\sin _{K} a}}=sin frac {\sin C} {\sin _{K} c}, }
K = 0 , K 1 , K -1 을 대입
p K r )곡률 반지름 그러면 K p ( 2µK sin 따라서 사인 법칙은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
죄 A p K ( a ) = 죄 B p K ( b ) = 죄 C p K ( c ) . ({displaystyle {frac {p_{K}(a)}}={p_{K}(b)}={frac {p_{K}(c)})},
이 공식은 야노스 볼야이 에 [11]
고차원 n차원 유클리드 공간에서의 n차원심플렉스 (즉, 삼각형 (n = 2), 사면체 n = 3), 펜타토프 (n 4 ) 등에 대해 정점 에서 만나는 패싯 의 법선 벡터의 극사인 (psin )의 절대값 은 정점 반대편 패싯의 하이퍼 면적으로 나눈 값과는 독립적이다.n차원쓰고 그 (n - 1)차원 패싯의 하이퍼 영역 곱에 대해 P를 쓰면, 공통
( n V ) n − 1 ( n − 1 ) ! P . {\displaystyle {\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)! P}}.
예를 들어, 사면체는 네 개의 삼각형 면을 가지고 있다. 정점을 공유하는 세 패싯에 대한 정규 벡터의 극 사인 절대값을 네 번째 패싯 면적으로 나눈 값은 정점의 선택에 따라 달라지지 않습니다.
PSIN ( n 2 , n 3 , n 4 ) A r e a 1 = PSIN ( n 1 , n 3 , n 4 ) A r e a 2 = PSIN ( n 1 , n 2 , n 4 ) A r e a 3 = PSIN ( n 1 , n 2 , n 3 ) A r e a 4 = ( 3 용량 t e t r a h e d r o n ) 2 2 ! A r e a 1 A r e a 2 A r e a 3 A r e a 4 . {\displaystyle{\begin{정렬}&,{\frac{\left \operatorname{psin}(\mathbf{{2}}n_ ,\mathbf{n_{3}},\mathbf{n_{4}})\right}{\mathrm{지역}_{1}}}={\frac{\left \operatorname{psin}(\mathbf{n_{1}},\mathbf{n_{3}},\mathbf{n_{4}})\right}{\mathrm{지역}_{2}}}={\frac{\left \operatorname{psin}(\mathbf{n_{1}},\mathbf}{n_{2},\mathbf. {n_{ 4}})\right }{\mathrm {Area}_{3}}=psinfrac {\left \operatorname {psin}(\mathbf {n_{1},\mathbf {n_{3}},\right }{\mathbf {Area}\{4}\pac} ~\mathrm {Area}_{1}\mathrm {Area}_{2}\mathrm {Area}_{3}\mathrm {Area}, \end { aligned}}
「 」를 참조해 주세요. 레퍼런스 ^ a b "Generalized law of sines" . mathworld .^ 세시아노는 단지 알-와파를 기고자로 등재했다. Sesiano, Jacques (2000) "이슬람 수학" 페이지 137–157, ^ O'Connor, John J. ; Robertson, Edmund F. , "Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani" , MacTutor History of Mathematics archive University of St Andrews ^ Berggren, J. Lennart (2007). "Mathematics in Medieval Islam". The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook . Princeton University Press. p. 518. ISBN 978-0-691-11485-9 ^ Glen Van Brummelen (2009). "천지의 수학 삼각법 초기 역사 프린스턴 대학 출판부 259쪽 ISBN 0-691-1273-8 ^ 콕서터, H.S.M.과 그리처, S.L. 기하학 재방문 워싱턴 DC: 수학. Assoc. Amer., 페이지 1-3, 1967 ^ a b "Law of Sines" . www.pballew.net . Retrieved 2018-09-18 .^ Mr. T's Math Videos (2015-06-10), Area of a Triangle and Radius of its Circumscribed Circle archived from the original on 2021-12-11, retrieved 2018-09-18 ^ Mitchell, Douglas W., "사인 관점에서 왜가리형 면적 공식", Mathemical Gazette 93, 2009년 3월, 108–109. ^ Banerjee, Sudipto (2004), "Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors", The College Mathematics Journal , Mathematical Association of America, 35 (5): 375–381, doi :10.1080/07468342.2004.11922099 , S2CID 122277398 Text online CS1 유지보수: 포스트스크립트(링크 ) ^ Katok, Svetlana (1992). Fuchsian groups 22 . ISBN 0-226-42583-5 외부 링크 
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![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c04742b006ecbfdbe47aa89107f544c1941a5c)
.svg)
새겨진 원이 있다고 가정합니다.
외접반경으로 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0791f9e5aaf7e592ffdd98ae27e4b34555d1a68)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cea5e52de68d1a8f7e1580b11fc867bdd7daf4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!b\right)\left(1-\cos ^{2}\!c\right)-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\right)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[8pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\left[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e3a1ba99b4e218fe49d60329e8dc43b300c769)
순환 순열에서는 불변하므로 구면 사인 규칙이 즉시 뒤따릅니다. 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} )\right|}{\mathrm {Area} _{1}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} )\right|}{\mathrm {Area} _{2}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{4}} )\right|}{\mathrm {Area} _{3}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} )\right|}{\mathrm {Area} _{4}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3\operatorname {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2!~\mathrm {Area} _{1}\mathrm {Area} _{2}\mathrm {Area} _{3}\mathrm {Area} _{4}}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff50cbe7245673943f880bd1003eb27712a33609)
