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수학과 미술

Mathematics and art
예술에서의 수학: 멜렌콜리아 1세, 1514년을 새긴 알브레히트 뒤러의 동판.수학적 참고문헌에는 기하학 나침반, 마술 사각형, 잘린 림보헤드론이 포함되며, 측정은 저울과 모래시계로 표시된다.[1]

수학과 예술은 다양한 방식으로 연관되어 있다.수학은 그 자체가 아름다움에 의해 동기 부여된 예술로 묘사되어 왔다.수학은 음악, , 그림, 건축, 조각, 섬유와 같은 예술에서 발견될 수 있다.그러나 이 기사는 시각예술의 수학에 초점을 맞추고 있다.

수학과 예술은 오랜 역사적 관계를 가지고 있다.예술가들은 그리스 조각가 폴리클레이토스가 캐논을 집필 기원전 4세기 이후 수학을 사용해 왔으며 이상적인 남성 누드화 비율 1:152근거한 것으로 추측되는 비율을 정했다.믿을 만한 증거도 없이, 고대 미술과 건축에서 황금 비율을 사용하자는 끈질긴 대중적 주장이 제기되어 왔다.이탈리아 르네상스 시대에 루카 파치올리레오나르도 다빈치의 목판화를 그린 영향력 있는 논문디비나 비율(1509년)을 예술에 사용하는 것에 썼다.또 다른 이탈리아 화가인 피에로 델라 프란체스카는 드 프로스펙티바 핑엔디와 같은 치료법과 그의 그림에서 원근법관한 유클리드 사상을 발전시켰다.판화사 알브레히트 뒤러는 그의 작품 멜렌콜리아 1에서 수학에 대해 많은 언급을 했다.현대에 그래픽 아티스트 M. C. 에셔는 수학자 H. S. M. Coxeter의 도움으로 테셀레이션쌍곡 기하학을 집중적으로 사용했고, 테오 도스부르크피에트 몬드리안이 이끄는 드 스티글 운동은 명시적으로 기하학적 형태를 수용했다.수학은 퀼팅, 뜨개질, 크로스 스티치, 크로셰, 자수, 짜기, 터키어 및 기타 카펫 제작과 같은 섬유 예술에 영감을 주었다.이슬람 예술에서 대칭은 페르시아 기리히와 모로코 젤리그 타일워크, 무굴잘리 뚫린 돌막, 널리 퍼져 있는 무카르나 도마뱀처럼 다양한 형태로 뚜렷이 나타난다.

수학은 선형 원근법, 대칭 분석과 같은 개념적 도구와 다면체, 뫼비우스 스트립과 같은 수학적 사물로 예술에 직접적인 영향을 끼쳤다.Magnus Wenninger는 원래 가르치는 모델로서 컬러풀한 스틸 폴리헤드라를 만든다.르네 마그리트의 그림이나 M. C. 에셔의 판화에서 재귀와 논리 역설과 같은 수학적 개념들을 볼 수 있다.컴퓨터 예술은 종종 만델브로트 세트를 포함한 프랙탈을 사용하며, 때로는 세포 자동화와 같은 다른 수학적 사물을 탐구하기도 한다.논란의 여지가 있는, 예술가 데이비드 호크니는 르네상스 시대의 예술가들이 장면의 정확한 표현을 그리기 위해 카메라 루시다를 사용했다고 주장해왔다; 건축가 필립 스테드먼도 비슷하게 베르메르가 독특하게 관찰한 그림에서 카메라 옵스큐라를 사용했다고 주장했다.

다른 관계로는 X선 형광 분광법에 의한 미술작품의 알고리즘 분석, 자바의 여러 지역에서 온 전통 바티크가 뚜렷한 프랙탈 치수를 가지고 있다는 발견, 수학 연구에 대한 자극, 특히 필리포 브루넬레스치의 원근법 이론 등이 있으며, 이것이 결국 지라드 데스칼투영으로 이어졌다.기하학음악의 조화에 대한 피타고라스적 개념에 기초하여 궁극적으로 모든 것이 숫자에 의해 배열되었고, 신은 세계의 지오미터(geometer)이며, 따라서 세계의 지오메트리가 신성하다는 것을 집요하게 간직하고 있다.

기원: 고대 그리스에서 르네상스에 이르기까지

폴리클레이토스의 캐논대칭

도리포로스의 대리석으로 된 로마 카피, 원래 폴리클레이토스의 청동.

폴리클레이토스 장로(기원전 450–420년)는 아르고스 학파 출신의 그리스 조각가였으며, 피디아스의 동시대의 조각가였다.그의 작품과 조각상은 주로 청동으로 이루어져 있었고 운동선수들로 이루어져 있었다.철학자 겸 수학자 제노크라테스에 따르면 폴리클레이토스는 도리포루스(Doryphorus)와 아르고스(Heraion of Argos)[3]의 헤라상(Hera)에 관한 연구로 고전 고대의 가장 중요한 조각가 중 한 명으로 꼽히고 있다.그의 조각품들은 피디아스의 것만큼 유명하지는 않을지 모르지만, 그들은 많은 존경을 받는다.가 쓴 논문인 캐논에서 폴라이토스는 남성 누드의 "완벽한" 신체 비율을 기록하기 위해 우리에게 인간의 몸을 조각하는 수학적 접근법을 제공한다.[3]

캐논 자체는 유실되었지만 폴리클레이토스는 각각의 길이가 전임자 1:152(약 1:1.4142)에 그려진 정사각형의 대각선 길이인 비율의 순서를 사용했을 것으로 추측된다.[4]

폴리클레이토스의 캐논의 영향은 고전 그리스, 로마, 르네상스 조각에 막대한 영향을 미치고 있는데, 폴리클레이토스의 처방을 따르는 조각가들이 많다.폴리클레이토스의 원작 중 어느 작품도 살아남지 못하는 반면, 로마 카피들은 물리적 완벽함과 수학적 정확성에 대한 그의 이상을 보여준다.일부 학자들은 피타고라스 사상이 폴리클레이토스의 캐논에 영향을 미쳤다고 주장한다.[5]캐논은 비율, 비율, 대칭 등 그리스 기하학의 기본적인 수학 개념을 적용하여 일련의 연속적인 기하학적 진보를 통해 인간의 형태를 기술할 수 있는 시스템으로 변모시킨다.[4]

관점 및 비율

브루넬레스치선형 원근법을 이용한 실험

고전시대에는 선형으로 멀리 떨어져 있는 형상을 작게 만들기보다는 화가가 주제적 중요성에 따라 사물과 형상의 크기를 조정했다.중세에는, 일부 예술가들은 특별한 강조를 위해 역관을 사용하였다.무슬림 수학자 알하젠(Ivn al-Haytham)은 1021년 자신의 광학 서적에서 광학 이론을 기술했지만 결코 예술에 적용하지 않았다.[6]르네상스는 고대 그리스 로마 문화와 사상의 부활을 보았는데, 그 가운데 자연과 예술을 이해하기 위한 수학 연구가 있었다.중세 말기와 르네상스의 두 가지 주요 동기는 예술가를 수학 쪽으로 몰았다.먼저 화가들은 입체적인 장면을 2차원 캔버스에 어떻게 묘사할 것인지에 대해 생각해 볼 필요가 있었다.둘째, 철학자와 예술가는 모두 수학이 물리적 세계의 진정한 본질이며 예술을 포함한 우주 전체가 기하학적 용어로 설명될 수 있다고 확신했다.[7]

원근법의 기초는 지오토(1266/7 – 1337)가 도착하였는데, 이들은 원거리 선의 배치를 결정하기 위해 대수법을 사용하여 원근법을 그리려 했다.1415년 이탈리아 건축가 필리포 브루넬레스치와 그의 친구 레온 바티스타 알베르티는 유클리드(유클리드)[8][9]가 공식화한 것과 유사한 삼각형을 사용하여 피렌체에서 원근법을 적용하는 기하학적 방법을 시연하여 먼 물체의 겉보기 높이를 찾아냈다.브루넬레스치 자신의 원근법은 사라졌지만 마사치오의 성 삼위일체 그림은 작품에서의 그의 원리를 보여준다.[6][10][11]

Paolo UcccelloThe Battle of San Romano (c. 1435–1460)에서 원근법을 혁신적으로 사용했다.

이탈리아 화가 파올로 우크첼로(1397–1475)는 산 로마노 전투(135–1460)의 그림에서 보듯이 원근법에 매료되었다: 부러진 랜스는 원근법을 따라 편리하게 놓여 있다.[12][13]

화가 피에로 델라 프란체스카 (1415–1492)는 이탈리아 르네상스 사상의 새로운 변화를 예시했다.는 드 프로스펙티바 핑겐디(그림의 원근법), 트라타토 다바코(아바쿠스), 드 퀸케 코모니버스 레귤러버스(오정고형) 등 고체 기하원근법에 관한 책을 저술한 수학자·지오미터 전문가였다.[14][15][16]'화가들의 삶'의 역사학자 바사리는 피에로를 "당시의 가장 위대한, 또는 아마도 그 어느 때보다도 위대한 측량계"[17]라고 부른다.피에로의 원근법에 대한 관심은 페루지아의 폴리페치,[18] 산아고스티노 제단편, 그리스도플라게이션을 포함한 그의 그림에서 볼 수 있다.기하학에 대한 그의 연구는 그의 드 디비나 비율루카 파키올리와 레오나르도 다빈치를 포함한 후기 수학자들과 예술가들에게 영향을 주었다.피에로는 고전 수학과 아르키메데스의 작품을 공부했다.[19]그는 "아바쿠스 학교"에서 상업적 산수를 배웠다. 그의 글은 아마도 레오나르도 피사노(피보나치)의 1202년 리베르 아바시([20]Liber Abaci)를 포함한 주바쿠스 학교 교과서처럼 포맷되어 있다.선형적 관점이 예술계에 막 소개되고 있었다.알베르티는 1435년 데 픽투라에서 "광선은 눈으로 눈을 꼭지점으로 하는 일종의 피라미드를 형성하면서 관찰된 장면의 포인트에서 눈으로 직선으로 이동한다"고 설명했다.선형 원근법으로 그려진 그림은 그 피라미드의 단면이다.[21]

피에로는 드 프로스펙티바 핑엔디에서 관점과 함께 인물의 양상이 변화하는 방식에 대한 그의 경험적 관찰을 수학적 증거로 변환한다.그의 논문은 유클리드라는 맥락에서 시작된다: 그는 그 점을 "눈이 이해할 수 있는 가장 작은 것"[a][7]으로 정의한다.그는 연역적 논리를 사용하여 독자를 3차원 신체의 원근표현으로 이끈다.[22]

예술가 데이비드 호크니는 그의 저서 비밀 지식에서 다음과 같이 주장했다. 1420년대부터 예술가들이 카메라 루치다를 사용하기 시작한 '올드마스터잃어버린 기술'을 재발견해 정밀함과 리얼리즘에 급격한 변화를 가져왔고, 잉그레스, 반 에이크, 카라바조 등 주요 예술가들이 이런 관행을 이어갔다는 것이다.[23]비평가들은 호크니가 옳았는지에 대해 동의하지 않는다.[24][25]마찬가지로, 건축가 필립 스테드먼은 베르메르가 뚜렷하게 관찰된 그림을 만드는 것을 돕기 위해 다른 장치인 카메라 옵스큐라를 사용했다고 논쟁의[26] 여지가 있는 주장을 했다.[27]

1509년, 루카 파치올리(c. 1447–1517)는 인간의 얼굴을 포함한 수학적, 예술적 비율에 관한 데 디비나 프로비전출판하였다.레오나르도 다빈치(1452–1519)는 1490년대에 파키올리 밑에서 공부하면서 일반 고형물의 목판화를 그렸다.레오나르도의 그림은 아마도 해골 고형물의 첫 삽화일 것이다.[28]롬비큐보옥타헤드론과 같은 이것들은 서로 겹쳐져서 원근법을 보여주기 위해 처음으로 그려졌다.작품은 피에로 델라 프란체스카, 멜로초포를레, 마르코 팔메자노의 작품에서 원근법을 논한다.[29]다빈치는 파키올리의 섬마를 연구했고, 거기서 비율표를 베꼈다.[30]모나리자최후의 만찬에서 다빈치의 작품은 선형 원근과 소멸점을 결합하여 뚜렷한 깊이를 제공하였다.[31]라파엘의 <아테네 학교>처럼 12:6:4:3의 엄격한 비율로 건설되는데, 피타고라스의 신성한 이상적인 비율의 타블렛을 가진 피타고라스를 포함하고 있다.[32][33]비트루비우스 맨에서 레오나르도는 로마 건축가 비트루비우스의 사상을 표현하여 남성상을 두 번 혁신적으로 보여주고, 그를 원과 사각형으로 모두 중앙에 배치하였다.[34]

15세기 초에 곡선적 원근법은 이미지 왜곡에 관심이 있는 예술가들에 의해 그림으로 유입되었다. 에이크의 1434년 아르놀피니 초상화에는 현장 사람들의 반사가 있는 볼록거울이 그려져 있으며,[35] 볼록거울 속파르미지아니노자화상은 중앙에 크게 일그러지지 않은 얼굴을 보여주며, 강렬한 곡선의 배경과 예술가의 손이 가장자리를 감싸고 있다.[36]

입체적인 공간은 원근법 이외의 수단으로 기술도면처럼 예술에서도 설득력 있게 표현할 수 있다.무협적인 관점(프랑스 군사 예술가들이 18세기 요새를 묘사하기 위해 사용)을 포함한 비스듬한 투영법은 1세기 또는 2세기부터 18세기까지 중국 예술가에 의해 지속적이고 보편적으로 사용되었다.중국인들은 이 기술을 고대 로마에서 얻은 인도로부터 습득했다.도리이 키요나가(1752–1815)의 우키요에 그림 등 일본 미술에서 사선 투영법을 볼 수 있다.[37]

황금비율

황금비(1.618과 대등하게 같음)는 유클리드에게 알려져 있었다.[38]황금비율은 현대에는 이집트, 그리스 등지의 옛사람들이 신뢰할 만한 증거도 없이 미술과 건축에 사용했다고 끈질기게 주장되어[39][40][41][42] 왔다.[43]이 주장은 고대 그리스인들에게 비율이 아니라 "어느 방향으로든 과잉을 피한다"는 의미의 "황금 평균"과의 혼동에서 비롯될 수 있다.[43]19세기 이후 피라미드학자들은 피라미드 설계의 황금 비율에 대한 의심스러운 수학적인 근거에 대해 논쟁을 벌여왔다.[b]아테네에 있는 기원전 5세기 사원인 파르테논 신전은 건물 전면과 평면도에 황금 비율을 사용한다고 주장되어 왔지만,[46][47][48] 이러한 주장 역시 측정에 의해 반증된다.[43]튀니지 카이루앙의 모스크는 비슷하게 디자인에 황금 비율을 사용한다고 주장되어 왔지만,[49] 그 비율은 모스크의 원래 부분에는 나타나지 않는다.[50]건축사 프레데릭 마코디 룬드는 1919년 샤르트르 대성당(12세기), 라온의 노트르담(1157–1205), 파리 노트르담파리(1160)가 황금비율에 따라 설계돼 있다고 주장해 조정기 선을 그었다.[51]다른 학자들은 1509년 파키올리의 작품까지 황금비율은 예술가와 건축가들에게 알려지지 않았다고 주장한다.[52]예를 들어, 라온의 노트르담 전면의 높이와 너비는 1.618이 아닌 8/5 또는 1.6의 비율을 가지고 있다.그러한 피보나치 비율은 금빛 비율과 구별하기가 금방 어려워진다.[53]파키올리 이후, 황금 비율은 레오나르도의 모나리자를 포함한 예술 작품에서 더욱 뚜렷하게 구별된다.[54]

다른 유일한 형태수인 또 다른 비율은 1928년 네덜란드 건축가 한스 반 데 라안(원래 프랑스어로 rer nombre radiant라고 이름 붙여진 이름)에 의해 플라스틱 번호[c] 명명되었다.[55][56]그것의 가치는 입방정식의 해법이다.

= + x

대략 1.325인 불합리한 수건축가 Richard Padovan에 따르면, 이것은 특징적인 비율을 가지고 있다.3/4 1/7로, 하나의 물리적 크기를 다른 것과 연관시키는 데 있어서 인간의 인식의 한계를 지배한다.반데르 라안은 1967년 세인트루이스를 설계할 때 이 비율을 사용했다. 네덜란드의 베네딕투스베르크 수도원 교회.[56]

평면 대칭

강력한 존재감:[57] 이중 메달이 달린 카펫.중앙 아나톨리아(Konya – Karapınar), 16/17세기의 전환점.알라딘 모스크

평면 대칭은 수천 년 동안 카펫, 선반, 직물, 틸링과 같은 예술작품에 이용되어 왔다.[58][59][60][61]

더미 카펫이든 평면 카펫이든 많은 전통적인 융단은 중앙 들판과 프레임 경계로 나뉘어져 있다; 비록 수세미 카펫에서 이것들은 종종 작은 디테일, 패턴의 변화, 그리고 위버에 의해 도입된 색의 변화에 의해 약간 깨지는 경우가 많지만, 둘 다 대칭을 가질 수 있다.[58]아나톨리아에서 온 킬로미트에서 사용된 모티브는 대개 그 자체가 대칭이다.일반적인 레이아웃도 대개 존재하는데 줄무늬, 줄무늬, 줄무늬 등이 줄무늬와 번갈아 가며 배치되어 있고 대략 육각형 무늬로 이루어진 포장이 되어 있다.밭은 보통 pmm와 같은 벽지집단이 있는 벽지로, 경계는 frieze집단 pm11, pmm2 또는 pma2의 프리제(frieze)로 둘 수 있다.터키와 중앙아시아의 킬로임들은 서로 다른 프리제 그룹에 3개 이상의 국경을 가지고 있는 경우가 많다.Weavers는 수학에 대한 명확한 지식이 없이 확실히 대칭의 의도를 가지고 있었다.[58]수학자·건축 이론가 니코스 살링가로스는 17세기 최고의 코냐 2중주 카펫과 같은 '위대한 카펫'[57]의 '강력한 존재감'([57]에스테틱 효과)이 건축가 크리스토퍼 알렉산더의 이론과 관련된 수학 기법에 의해 만들어졌다고 제안한다.이러한 기법에는 반대되는 요소들을 커플링하는 것, 반대되는 색상 값들, 보완적 모양을 사용하든 날카로운 각도의 방향성을 균형 있게 하든 기하학적으로 영역을 구분하는 것, ( 매듭 레벨에서 위로) 작은 규모의 복잡성과 큰 대칭성 모두를 제공하는 것, 서로 다른 계층의 요소들을 반복하는 것 등이 포함된다.척도(각 레벨에서 다음 레벨까지 약 2.7의 비율로).살링가로스는 "모든 성공적인 카펫은 위의 10가지 규칙 중 최소한 9가지 규칙을 만족한다"고 주장하면서, 이러한 규칙에서 메트릭스를 만드는 것이 가능할지도 모른다고 제안한다.[57]

정교한 격자는 인도의 잘리 작품에서 발견되는데, 무덤과 궁전을 장식하기 위해 대리석으로 조각되어 있다.[59]중국 격자는 항상 대칭성을 가지고 17개의 벽지 그룹 중 14개에 존재한다. 그들은 종종 거울, 이중 거울 또는 회전 대칭을 가지고 있다.몇몇은 중앙의 메달을 가지고 있고, 몇몇은 프리제 그룹에 테두리를 가지고 있다.[62]대니얼 S에 의해 많은 중국 선반들이 수학적으로 분석되었다.염료; 그는 쓰촨을 그 기계의 중심지로 지목했다.[63]

대칭은 퀼팅,[60] 뜨개질,[64] 십자수, 크로셰,[65] 자수[66][67], 직조섬유 예술에서 두드러지는데,[68] 여기서 대칭은 순전히 장식적일 수도 있고 지위의 표시일 수도 있다.[69]회전 대칭과 같은 원형 구조물에서 발견된다; 이것들은 이스파한의 1619 셰이크 롯폴라 모스크에서처럼 안팎으로 대칭적인 무늬로 정교하게 장식되기도 한다.[70]보빈을 사용하거나 타투로 만든 식탁보, 테이블매트와 같은 자수·레이스 작품들은 수학적으로 탐구되고 있는 다양한 반사·회전 대칭을 가질 수 있다.[71]

이슬람 예술은 많은 예술 형태, 특히 기리 기울기에서 대칭을 이용한다.이것들은 5개의 기와모양, 즉 정각형, 길쭉한 육각형, 나비 넥타이, 마름모스, 정각형 오각형을 사용하여 형성된다.이 타일의 모든 면은 길이가 같고, 모든 각도는 36°(π/5 라디안)의 배수로 5배, 10배의 대칭을 제공한다.타일은 띠공예선(기리히)으로 장식되어 있으며, 일반적으로 타일 경계보다 더 잘 보인다.2007년에 물리학자인 Peter Lu와 Paul Steinhardt는 Girih가 Quasicrystaline Penrose 기울기를 닮았다고 주장했다.[72]정교한 기하학적 zelige 타일 구조는 모로코 건축에서 독특한 요소다.[61]무카르나스 금고는 3차원이지만 기하학적 셀 도면으로 2차원으로 설계됐다.[73]

폴리헤드라

1954년 살바도르 달리십자가상(Corpus Hypercubus, 1954년)은 이 그림에서 예시된 바와 같이 하이퍼큐브수학적 그물 위에 그리스도를 독특하게 묘사하고 있다.네 개의 못은 하이퍼스페이스에 떠 있는 네 개의 정육면체로 표현된다.[74][75][76]

플라토닉 고형물과 다른 다면체는 서양 미술에서 되풀이되는 주제다.그들은, 예를 들어 대리석 모자이크는 그 작은stellated 12면체, 파올로 우첼로, 산 마르코 대성당 베니스에서 마루에서 기인. 정규 다면체의 레오나르도 다빈치의 도표 파치올리의 1509년 책 고요한 비례의 삽화로 그려에[12]을 특징으로 하는;[12]자코포 d한잔에 rhombicuboctahedron로에서 발견된다eBarba1495년에 그려진 리의 파키올리 초상화,[12] 알브레히트 뒤러의 판화 멜렌콜리아 1세의 잘린 다면체(및 여러 가지 다른 수학적 사물들), 그리고 살바도르 달리의 그림에서 그리스도와 그의 제자들이 거대한 도데카헤드론 안에 그려진 최후의 만찬에서.[12][77]

알브레히트 뒤러 (1471년–1528년)는 다면문학에 중요한 공헌을 한 독일의 르네상스 인쇄공으로서 1525년 저서 언더웨이성 데르 메성 (측정에 관한 교육)에서 선형 원근법, 건축의 기하학, 플라토닉 고형물, 일반 다각형의 주제를 가르치는 것을 의미했다.뒤러는 이탈리아 여행 중 루카 파치올리피에로 델라 프란체스카의 작품에 영향을 받았을 것으로 보인다.[78]언더웨이성 데르 메성의 원근법 예시는 낙후되어 부정확성을 포함하고 있는 반면, 다면체에 대해서는 상세한 논의가 이루어지고 있다.뒤러는 또한 다면 그물인 다면 그물을 인쇄하기 위해 평평하게 펴놓은 다면 그물에 대한 아이디어를 텍스트로 처음 소개한 사람이다.[79]뒤러는 1528년 비어 뷔처 멩슐리처 비율(인간 비율에 관한 4권)이라는 또 다른 영향력 있는 을 출간했다.[80]

뒤러의 잘 알려진 판화 멜렌콜리아 1세잘린 삼각형 사다리꼴마법의 사각형 옆에 앉아 좌절하는 사상가를 그린다.[1]이 두 가지 물건, 그리고 전체적으로 판화는 피터 클라우스 슈스터의 2권짜리 책과 [83]뒤르르의 에르윈 파노프스키의 모노그래프에서 영향력 있는 토론을 포함한 [1][81][82]거의 다른 어떤 판화의 내용보다도 현대적인 해석의 대상이 되어 왔다.[1][84]

살바도르 달리가 1954년에 그린 그림 코퍼스 하이퍼쿠부스는 그리스도의 십자가를 큐브에 펼쳐진 3차원 그물로 독특하게 묘사하고 있는데, 테서락트라고도 한다: 이 8개의 큐브에 큐브에 큐브를 펼쳐놓은 것은 큐브의 측면을 6개의 사각형의 십자 모양으로 펼쳐놓은 것과 유사하며, 여기서 푸우(fou)로 신성한 관점을 표현하고 있다.r차원 일반 [74][75]다면체이 그림은 테사락트 앞에 있는 그리스도의 모습을 보여준다. 그는 보통 십자가에 못을 박고 고정되어 있지만 그림에는 못이 없다.그 대신 그의 몸 앞에 작은 정육면체 네 개가 있는데, 8개의 정육면체 중 가장 앞쪽 모퉁이에 있다.수학자 토마스 밴초프는 달리가 3차원 세계를 넘어서려 했다고, 시인·미술평론가 켈리 그로비에는 "그 그림은 그리스도의 구원의 영성과 기하·물리적 힘의 물질성 사이의 연결고리를 끊은 것 같다"고 말한다.많은 사람들이 과학과 종교를 분리한다고 느끼는 분열을 메워주는 것 같다."[76]

프랙탈 치수

자바 수라카르타 출신의 바티크들은 이 파랑클리틱 칼 패턴처럼 프랙탈 치수가 1.2에서 1.5 사이인 것이다.

인도네시아의 전통 왁스 저항 바틱 디자인은 왁스 저항의 부정확함, 왁스 균열로 인한 무작위 변화 등 추상적이고 다소 혼돈적인 요소와 표현적 모티브(예: 꽃과 식물 요소)를 결합한 것이다.바틱 디자인은 프랙탈 치수가 1과 2 사이에 있으며, 지역 스타일에 따라 다르다.For example, the batik of Cirebon has a fractal dimension of 1.1; the batiks of Yogyakarta and Surakarta (Solo) in Central Java have a fractal dimension of 1.2 to 1.5; and the batiks of Lasem on the north coast of Java and of Tasikmalaya in West Java have a fractal dimension between 1.5 and 1.7.[85]

현대 화가 잭슨 폴록드립 페인팅 작품들은 프랙탈적 차원에서도 유사하게 구별된다.그의 1948년 작품 14번은 해안선과 같은 치수가 1.45인 반면, 그의 후기 작품들은 연속적으로 더 높은 프랙탈 치수와 그에 따른 더 정교한 무늬를 가지고 있었다.그의 마지막 작품 중 하나인 블루 폴스는 창작하는데 6개월이 걸렸고 프랙탈 치수는 1.72이다.[86]

복잡한 관계

천문학자 갈릴레오 갈릴레이는 그의 일사병에 "[우주는] 수학의 언어로 쓰여져 있으며, 그 문자는 삼각형, 원, 기타 기하학적 형상"[87]이라고 썼다.자연을 연구하려고 노력하고 추구하는 예술가들은 갈릴레오의 관점에서 먼저 수학을 완전히 이해해야 한다.반대로 수학자들은 기하학과 합리성의 렌즈를 통해 예술을 해석하고 분석하려고 노력해왔다.수학자 Felipe Cucker는 수학, 특히 기하학이 유일한 것은 아니지만 "규칙 중심의 예술 창작"을 위한 규칙의 원천이라고 제안한다.[88]결과적인 복잡한 관계의[89] 많은 가닥 중 일부는 아래에 설명되어 있다.

수학자 G. H. 하디수학적인 아름다움에 대한 일련의 기준을 정의했다.

예술로서의 수학

수학자 제리 P. 킹은 수학을 예술로 묘사하면서 "수학의 열쇠는 아름다움과 우아함이지 둔함과 기술성이 아니다"라고 말하고, 아름다움이 수학 연구의 동기부여력이라고 말한다.[90]킹은 수학자 G. H. 하디의 1940년 에세이 A 수학자의 사과를 인용한다.그 속에서 하디는 왜 그가 고전시대의 두 가지 이론, 즉 유클리드(유클리드)의 증명에는 소수들이 무한히 많고, 2의 제곱근은 비합리적이라는 증거에 대해 논한다.킹은 이것을 하디의 수학적인 우아함의 기준인 "심각함, 깊이, 일반성, 의외성, 필연성, 경제성"과 비교하여 마지막으로 평가하고, 그 증거를 "비극적으로 만족스러운"[91] 것으로 묘사한다.헝가리의 수학자 폴 에르드스는 수학이 아름다움을 가지고 있다는 것에 동의했지만 설명할 수 없는 이유들을 고려했다: "왜 숫자는 아름다운가?그것은 마치 베토벤의 9번 교향곡이 아름다운 이유를 묻는 것과 같다.이유를 모르겠으면 누군가가 말해줄 수 없다.숫자들이 아름답다는 것을 알고 있소."[92]

수학적 예술 도구

수학은 음악, ,[93] 그림, 건축, 조각과 같은 많은 예술에서 발견될 수 있다.이것들 각각은 수학과 깊은 관련이 있다.[94]시각 예술에 대한 연결고리 중에서 수학은 예술가들에게 도구를 제공할 수 있는데, 를 들어 브룩 테일러와 요한 램버트가 기술한 선형 원근법의 규칙이나, 알브레히트 뒤러와 가스파드 몽에까지 거슬러 올라가 현재 고체의 소프트웨어 모델링에 적용되고 있는 서술 기하학의 방법 등이 그것이다.[95]중세 루카 파키올리와 르네상스 시대의 레오나르도 다빈치와 알브레히트 뒤러의 예술가들은 그들의 예술 작품을 추구하기 위해 수학적인 사상을 활용하고 발전시켰다.[94][96]13세기 지오토와 같은 이탈리아 화가들과 함께 고대 그리스 건축에서 태아적인 사용에도 불구하고 원근법의 사용은 시작되었는데, 소멸 지점과 같은 규칙은 약 1413년에 브루넬레스치에 의해 처음으로 공식화되었고, 그의 이론은 레오나르도와 뒤러에 영향을 미쳤다.[6]아이작 뉴턴광학 스펙트럼에 관한 연구는 괴테색채 이론에 영향을 주었고, 필립 오토 런지, J. M. W. 터너,[97] 프리 라파엘 사람, 와실리 칸딘스키 같은 예술가들에게 영향을 주었다.[98][99]예술가들은 또한 장면의 대칭을 분석하는 것을 선택할 수도 있다.[100]도구는 미술을 탐구하고 있는 수학자나 M. C. Escher(H. S. M. Coxeter에서 영감을 받은)와 건축가 프랭크 게리와 같은 수학자들이 적용할 수 있는데, 이들은 컴퓨터 보조 설계가 자신을 완전히 새로운 방식으로 표현할 수 있게 해준다고 더 끈질기게 주장했다.[101]

Mikael Hvidfeldt Christensen의 문어.소프트웨어 Structure Synth와 함께 제작된 알고리즘 아트

예술가인 리처드 라이트는 구성될 수 있는 수학적인 물체는 "현상을 시뮬레이션하는 과정" 또는 "컴퓨터 예술"의 작품으로 볼 수 있다고 주장한다.그는 프랙탈이 수학자들에게 그렇게 인식되기 전에 한 세기 동안 알려졌음을 관찰하면서 수학 사상의 본질을 고찰한다.라이트는 "예술, 객관성과 주관성 사이의 긴장감, 은유적 의미와 대표체제의 성격과 같은 문화적 유물을 받아들이기 위해 사용된 어떤 방법에도 수학적 대상을 적용하는 것이 적절하다"고 결론짓는다.그는 만델브로트 집합의 이미지, 셀룰러 자동 알고리즘에 의해 생성된 이미지, 컴퓨터로 렌더링된 이미지를 예로 들며, 튜링 테스트를 참조하여 알고리즘 제품이 예술이 될 수 있는지 여부를 논한다.[102]사쇼 칼라지예프스키의 수학과 예술: 시각 수학에 대한 소개는 기울기, 프랙탈, 쌍곡 기하학과 같은 적절한 시각 수학 주제를 살펴보며 비슷한 접근법을 취한다.[103]

컴퓨터 미술의 첫 작품 중 일부데스몬드 폴 헨리의 "Drawing Machine 1"에 의해 창조되었고 1962년에 전시되었다.[104][105]그 기계는 복잡하고 추상적이며 비대칭적이고 곡선적이면서도 반복적인 선 도면을 만들 수 있었다.[104][106]좀 더 최근에는 하미드 나데리 예가네가 연속적으로 변화하여 곡선과 각진 선들의 가족을 그리기 위해 공식을 사용하여 물고기와 새와 같은 실제 세계의 물체를 연상시키는 모양을 만들어냈다.[107][108][109]Mikael Hvidfeldt Christensen과 같은 예술가들은 Structure Synth와 같은 소프트웨어 시스템에 대본을 쓰면서 생성적 또는 알고리즘적 예술 작품을 창조한다: 예술가는 선택한 데이터 세트에 원하는 수학 연산 조합을 적용하도록 시스템을 효과적으로 지시한다.[110][111]

수학에서 예술로

프로토-쿠비즘: 파블로 피카소의 1907년 작품인 '아비뇽'4차원 투영법을 사용하여 얼굴 전체와 옆모습 모두를 보여준다.[112]

수학자 겸 이론 물리학자 앙리 푸앵카레의 <과학과 가설>은 파블로 피카소와 장 메칭거입체파에게 널리 읽혀졌다.[113][114]비유클리드 기하학에 관한 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)의 연구에 완전히 익숙해진 푸앵카레(Poincaré)는 유클리드 기하학이 절대적인 객관적 진리라기 보다는 가능한 많은 기하학적 구성 중 하나에 불과하다는 것을 알고 있었다.번째 차원의 존재 가능성 때문에 예술가들은 고전적인 르네상스 관점에 의문을 품게 되었다: 비유클리드 기하학이 타당한 대안이 되었다.[115][116][117]그림이 색과 형태로 수학적으로 표현될 수 있다는 개념은 추상 미술로 이어진 예술 운동인 큐비즘에 기여했다.[118]메칭거는 1910년에 다음과 같이 썼다: "[피카소]는 자유로운 이동적 관점을 제시하는데, 그 기발한 수학자 모리스 프린셋이 전체 기하학을 추론했다."[119]후에 메칭거는 회고록에서 다음과 같이 썼다.

모리스 프린셋은 자주 우리와 합류했다...그가 수학을 개념화한 것은 예술가로서, 그가 n차원 연속체를 불러 일으킨 것은 미학자로서였다.그는 슐레겔과 다른 사람들이 열어놓은 우주에 대한 새로운 시각에 예술가들이 관심을 갖도록 하는 것을 좋아했다.그는 그것을 성공시켰다.[120]

수학적 형태의 가르침이나 연구 모델을 만들고자 하는 충동은 자연스럽게 대칭과 놀랍거나 즐거운 모양을 가진 물체를 만들어낸다.이들 중 일부는 다다이스트 레이,[121] 마르셀 뒤샹[122], 막스 에른스트 같은 예술가들과,[123][124] 만 레이를 따르는 스기모토 히로시 같은 예술가들에게 영감을 주었다.[125]

다다이즘으로서의 엔네퍼 표면:맨 레이의 1934년 Objetmatique

Man Ray는 파리의 앙리 푸앵카레 연구소에서 Objet 수학(수학적 객체)을 포함한 일부 수학 모델을 촬영했다.그는 이것이 사이비-sphere에서 파생된 일정한 음의 곡률Enneper 표면을 나타낸다는 점에 주목했다.이 수학적 토대는 그에게 중요한 것이었는데, 그것은 그 물체가 "추상적"이라는 것을 부정할 수 있게 해 주었고, 그 대신 뒤샹이 예술 작품으로 만든 소변기만큼이나 진짜라고 주장할 수학적 토대는 그에게 중요하다.맨 레이는 이 물체의 [Enneper surface] 공식에 대해 "나한 것은 아니지만, 형태 자체는 자연에서와 같이 다양하고 진실한 것이었다"고 인정했다.그는 1934년에 그린 안토니우스와 클레오파트라 같은 셰익스피어의 희곡에 나오는 인물로서 수학 모델의 사진을 사용했다.[126]포브스라이프에 기고한 미술기자 조너선 키츠는 맨 레이가 '키키 몽파르나스'의 사진과 같은 관능적인 빛으로 타원형 파라볼로이드와 원뿔형 포인트를 촬영했으며, "욕망의 위상을 밝히기 위해 수학의 시원한 계산을 의도적으로 용도 변경한다"[127]고 주장한다.헨리 무어, 바바라 헵워스, 나움 가보와 같은 20세기 조각가들은 수학 모델에서 영감을 얻었다.[128]무어는 1938년 자신의 '현악의 어머니와 아이'에 대해 다음과 같이 썼다. "분명히 내 현악기 인물의 근원은 과학 박물관이었다.나는 그곳에서 본 수학 모델에 매료되었다.이 모델들에 대한 과학적인 연구가 아니라 새장처럼 줄을 꿰뚫어 보는 능력과 다른 안에 있는 한 형태를 보는 능력이 나를 흥분시켰다."[129]

1926년 또는 1929년 테오 반 도스버그의 우주 비행기의 개발에서 여섯 가지 순간

예술가인 테오도스부르크피에트 몬드리안은 드 스티글 운동을 창시했는데, 그들은 "모든 사람이 이해할 수 있고 어떤 규율에도 적응할 수 있는 기본적인 기하학적 형태로 구성된 시각적 어휘를 확립하고 싶었다.[130][131]그들의 많은 예술품들은 눈에 띄게 네모난 정사각형과 삼각형들로 구성되어 있으며, 때로는 원이 있는 경우도 있다.드 스티글 예술가들은 회화, 가구, 인테리어, 건축 분야에서 일했다.[130]드 스티글이 해체된 후 반 도스부르크는 1929년~1930년 산술적 구성을 정사각형 배경의 대각선 상에 네 개의 검은 네모난 네모난 것을 "통제할 수 있는 구조, 우연한 요소나 개개의 변덕이 없는 확실한 표면"이라고 묘사하면서 아방가르드 예술 콩크리트 운동을 창시했다....이 아닌 보편성이 결여된.내적 리듬에 맞는 모든 이 있기 때문에 공허하다"고 말했다.미술 평론가 글래디스 파브르는 그림에 두 가지 진행, 즉 성장하는 검은 정사각형과 교대 배경이 작용하고 있다고 관찰한다.[132]

테셀레이션, 폴리헤드라, 공간의 형성과 자기 참조의 수학은 그래픽 아티스트 M. C. 에셔(1898년~1972)에게 목판화를 위한 평생의 재료를 제공했다.[133][134]알함브라 스케치에서 에셔는 다각형이나 삼각형, 사각형, 육각형 등 규칙적인 모양으로 예술이 창조될 수 있다는 것을 보여주었다.에셔는 평면을 타일링할 때 불규칙한 다각형을 사용했으며 추가 패턴을 얻기 위해 반사, 활공 반사, 번역을 자주 사용했다.그의 많은 작품들은 투시 투영과 3차원 사이에 모순을 설정하는 기하학적 물체를 사용하여 만들어진 불가능한 구조물을 포함하고 있지만, 인간의 시력에 있어서는 즐겁다.에셔의 상승과 하강은 의학자인 리오넬 펜로즈와 그의 아들인 수학자 로저 펜로즈가 만든 "불가능한 계단"에 바탕을 두고 있다.[135][136][137]

에셔의 많은 테셀레이션 그림들 중 일부는 수학자 H. S. M. Coxeter와의 쌍곡 기하학에 대한 대화에서 영감을 얻었다.[138]에셔는 특히 작품에 여러 번 등장하는 5가지 특정 다면체에 관심이 많았다.플라토닉 고형물 - 삼면체, 정육면체, 팔면체, 도면체, 고형체 - 특히 질서와 혼돈, 사면체에서 두드러진다.[139]이 잘려진 형상은 종종 다면체의 시야각과 순응을 더욱 왜곡하고 다면적인 원근 예술작품을 제공하는 또 다른 형상 안에 위치한다.[140]

테셀레이션과 다면체 같은 수학적 구조의 시각적 복잡성은 다양한 수학적 예술작품에 영감을 주었다.스튜어트 코빈은 희귀하고 아름다운 숲에서 다면 퍼즐을 만든다; 조지 W. 하트다면체 이론에 대해 연구하고 그것들로부터 영감을 받은 사물들을 조각한다; 매그너스 웨닝거복잡한 다면체의 "특히 아름다운" 모델을 만든다.[141]

무두각증에 대한 왜곡된 시각은 16세기 이후 예술에서 탐구되어 왔는데, 이때 한스 홀베인 1세가 1533년에 그린 <대사>에 심하게 일그러진 두개골을 편입하였다.그 이후 에셔를 포함한 많은 예술가들은 무정형적인 속임수를 사용해 왔다.[142]

위상의 수학은 현대에 여러 예술가들에게 영감을 주었다.조각가 존 로빈슨(1935~2007)은 다듬어진 청동으로 매듭 이론을 전시하며 고르디안 매듭우정의 띠 같은 작품을 만들었다.[7]로빈슨의 다른 작품들은 토폴로지의 토폴로지를 탐험한다.제네시스는 3개의 원으로 이루어진 보로미아 고리(Borromean ringes)를 기반으로 하고 있는데, 그 중 2개의 원은 없지만, 전체 구조가 깨지지 않고 분해될 수는 없다.[143]조각가 헬라만 퍼거슨은 복잡한 표면과 다른 위상학적 물체를 만든다.[144]그의 작품은 수학적 사물을 시각적으로 표현한 것이다.팔중도는 168개의 원소로 이루어진 유한집단인 투사적 특수 선형집단 PSL(2,7)을 기반으로 한다.[145][146]조각가 Bathsheba Grassman은 비슷하게 그녀의 작품을 수학적 구조에 기초한다.[147][148]화가 넬슨 사이어스상투계략에서부터 4색 정리, π의 불합리성에 이르기까지 그의 예술에 수학적 개념과 이론들을 통합하고 있다.[149]

문과 탐구 프로젝트는 뫼비우스 띠, 플렉서곤, 종이접기, 파노라마 사진 등을 통해 수학과 예술의 연관성을 조사한다.[150]

로렌츠 다지관쌍곡면을 포함한 수학적 물체는 크로셰를 포함한 섬유 아트를 사용하여 제작되었다.[d][152]미국의 위버인 아다 디츠는 1949년 한문자 대수적 표현을 Handwoven 직물에서 썼는데, 다변량 다항식의 확장에 기초한 직조 패턴을 정의했다.[153]수학자인 다이나 타이미아는 2001년에 크로셰를 함으로써 쌍곡면의 특징을 보여주었다.[154]이로 인해 마가렛과 크리스틴 베르테임이 쌍곡선 비행기를 기반으로 한 누디브란치와 같은 많은 해양 동물로 구성된 산호초를 크로셰하게 되었다.[155]수학자 J. C. P. 밀러규칙 90 세포 자동화를 사용하여 삼각형의 나무와 추상적인 패턴을 모두 묘사하는 태피스트리를 설계했다.[156]"수학가"[157]인 팻 애쉬포스와 스티브 플러머는 그들의 멘거 스펀지는 뜨개질하기에 너무 귀찮고 대신 플라스틱 캔버스로 만들어졌지만, 그들의 가르침에 헥사플렉사곤과 같은 수학적 물체의 뜨개질 버전을 사용한다.[158][159]그들의 "수학" 프로젝트는 영국의 수학과 기술 교과과정에 편제를 도입했다.[160][161]

삽화수학

지오토스테파네스치 트립티치(Stefaneschi Triptych, 1320)의 정면에는 재귀가 묘사되어 있다.
스테파네스치 추기경이 삼중창을 들고 있는 모습

모델링은 수학적 개념을 설명하는 유일한 방법과는 거리가 멀다.1320년 지오토의 스테파네스치 트리프티치는 미장원숭이형태로 재귀하는 모습을 보여주고 있으며, 트리피치의 중앙 패널에는 트리피치를 제물로 받들고 있는 스테파네스치 추기경의 무릎 꿇은 모습이 왼쪽 아래에 있다.[164]그의 1917년 대 형이상학적 내부와 같은 조르지오 치리코형이상학적 그림은 그의 그림 안에 있는 그림을 묘사함으로써 예술에서의 표현 수준의 문제를 탐구한다.[165]

예술은 초현실주의자인 르네 마그리트(René Magritte)의 일부 그림에서처럼 논리적 모순을 예시할 수 있는데, 이것은 수준간의 혼란에 대한 반증적 농담으로 읽힐 수 있다.라 컨디션 휴메인(1933년)에서 마그리트는 그림의 "진짜" 커튼에 의해 액자가 된 창문을 통해 경치를 매끄럽게 받쳐주는 이젤을 묘사하고 있다.비슷하게, 에셔의 인쇄 갤러리(1956)는 그림을 재귀적으로 담고 있는 갤러리를 포함하는 왜곡된 도시를 묘사하는 인쇄물이다.[166]마그리트는 구와 큐보이드를 이용해 현실을 다른 방식으로 왜곡하면서 1931년 '정신산술'에서 여러 집들과 나란히 그림을 그렸다. 마치 아이들이 만든 블록처럼, 집 크기처럼 말이다.[167]가디언은 '에이지 토이타운 이미지'가 모더니즘의 '코스메틱한 전통 양식'을 예언하면서도 자연 속에서 패턴을 추구하는 인간의 성향과 놀아난다고 관측했다.[168]

더글러스 호프스태터가 1980년 저서 괴델, 에셔, 바흐에서[169] 논의한 M. C. 에셔의 1956년 석판 인쇄 갤러리에 구현된 명백한 역설의 도표

살바도르 달리의 마지막 그림인 <제비의 꼬리>(1983)는 르네 톰대재앙 이론에서 영감을 얻은 시리즈의 일부였다.[170]스페인의 화가 겸 조각가 파블로 팔라주엘로(1916~2007)는 형식 조사에 주력했다.그는 삶의 기하학과 모든 자연의 기하학이라고 묘사하는 스타일을 개발했다.간단한 기하학적 모양과 세밀한 패터닝과 색칠로 구성되는 팔라주엘로는 각 1세, 오토네스 등의 작품에서 기하학적 변형으로 자신을 표현했다.[7]

예술가인 Adrian Gray는 석재 균형을 연습하고, 마찰과 무게중심을 이용하여 놀랍고 불가능해 보이는 구성을 만든다.[171]

M. C. 에셔에 의한 리토그래프 인쇄 갤러리, 1956

그러나 예술가들이 반드시 기하학을 문자 그대로 받아들이는 것은 아니다.더글러스 호프스태터는 1980년 인간사상에 대한 반성에서 괴델, 에셔, 바흐 등 (다른 것들 중) 예술의 수학에서 다음과 같이 쓰고 있다: "에셔 드로잉과 비유클리드 기하학의 차이점은 후자에서는 정의되지 않은 용어에 대해 이해할 수 있는 해석을 찾을 수 있다는 것이고, 따라서 이해 가능한 총체적인 시스템을 얻을 수 있다는 것이다.반면에 전자에게는, 최종 결과가 아무리 오랫동안 사진을 응시해도, 세상에 대한 자신의 개념과 화해할 수 없다."호프스태터는 M. C. 에셔의 역설적인 석판화 인쇄 갤러리에 대해 논하고 있다. 이 그림은 해변 마을의 그림이 들어 있는 듯한 미술관이 들어 있는 해변 마을을 묘사하고 있으며, 그 이미지에는 "이상한 고리 또는 뒤얽힌 계층 구조"가 있다.예술가인 호프스태터 자신은 보이지 않는다; 그의 현실과 석판화와의 관계는 역설적이지 않다.[169]이 이미지의 중심 공백은 수학자 바트 드 스미트와 헨드릭 렌스트라의 관심을 끌기도 했는데, 그는 이 이미지가 스스로 회전하고 축소된 드로스테 효과 카피를 포함할 수 있다고 제안한다; 이것은 호프스타터가 언급한 것 이상의 재귀에 대한 추가 삽화가 될 것이다.[172][173]

미술사 분석

예를 들어 X선 형광 분광법을 사용하여 예술작품의 이미지에 대한 알고리즘 분석은 예술에 대한 정보를 드러낼 수 있다.그러한 기술은 나중에 예술가에 의해 가려진 페인트 층에서 이미지를 발견할 수 있다; 미술 역사가들이 금이 가거나 색이 바래기 전에 작품을 시각화하도록 돕는다; 원본과 사본을 구별하거나, 명인의 붓놀림 스타일을 그의 견습생과 구별하는 것을 돕는다.[174][175]

잭슨 폴록드립 페인팅 스타일은[176] 확실한 프랙탈적 차원을 가지고 있다;[177] 폴록의 통제된 혼란에 영향을 미쳤을지도 모르는 예술가들 중에서 막스 에른스트는 캔버스 위에 구멍이 난 물감 양동이를 휘둘러 리사쥬스 인물을 직접 그렸다.[178][179]

컴퓨터 과학자인 닐 도그슨브리짓 라일리의 스트라이프 그림이 수학적으로 특징지어질 수 있는지를 조사하여, 분리 거리가 "일부 특성화"를 제공할 수 있고 세계적인 엔트로피가 일부 그림에 작용하지만, 라일리의 패턴이 불규칙하여 자기 상관은 실패했다고 결론지었다.지역 엔트로피가 가장 잘 작동했고, 미술 평론가 로버트 쿠디엘카가 제시한 설명과 잘 연관되었다.[180]

미국 수학자 조지 비르코프의 1933년 미학적 척도는 예술작품의 미적 품질에 대한 정량적 척도를 제안한다.그림의 의미와 같은 작품의 함축성을 측정하려는 것이 아니라 다각형의 인물의 '순서의 요소'에 한정되어 있다.비르코프는 먼저 대칭의 수직축이 있는지 여부, 광학적 평형성이 있는지 여부, 회전 대칭이 몇 개 있는지, 벽지와 얼마나 유사한지, 정점 두 개가 너무 가깝게 붙어 있는 것과 같은 불만족스러운 특징이 있는지 등 다섯 가지 요소를 결합한다.이 미터법 O는 -3에서 7사이의 값을 취한다.두 번째 메트릭인 C는 그림의 요소를 계산하는데, 폴리곤의 경우, 폴리곤의 경우 측면 중 적어도 하나를 포함하는 서로 다른 직선의 수입니다.그리고 나서 비르호프는 물체의 아름다움에 대한 그의 미적 척도를 O/C로 정의한다.이것은 대상을 바라보는 즐거움과 그것을 받아들이는 데 필요한 노력 사이의 균형으로 해석할 수 있다.비르코프의 제안은 미를 공식화하려고 한 것뿐만 아니라, 여러 가지로 비판을 받아왔지만, 그는 결코 그렇게 했다고 주장한 적이 없다.[181]

수학 연구에 대한 자극

로 관점을 바꿨을 때 건축과 그림에 브루넬레스키의 이론 연구의 브룩 테일러와 요한 람베르트의 관점 drawing,[182]의 수학적 기초에 대한 작업 및 G의 사영 기하학을 수학적으로 궁극적으로 초래한 주기 시작했다 예술은 길고 때때로, 수학의 발전을 자극하였다irard 데스아게스장빅터 폰셀레.[183]

일본의 종이접기 예술인 종이접기토모코 후세(Tomoko Fuzé)가 모듈을 이용해 정사각형 등 조화로운 종이조각을 이용해 다면체나 틸링으로 만들어 수학적으로 재작업해 왔다.[184]종이접기는 1893년 T에 의해 사용되었다.Sundara Rao는 기하학적 증거를 보여주기 위해 종이 접기 기하학 연습을 했다.[185]종이접기의 수학마에카와 정리,[186] 가와사키 정리,[187] 후지타-하토리 공리 등에서 탐구해 왔다.[188]

착시 투 오프 아트

프레이저 나선 환상, 1908년에 그것을 발견한 제임스 프레이저 경의 이름을 따서 명명되었다.

프레이저 나선형 같은 착시현상은 인간의 시각적 지각의 한계를 두드러지게 보여주며 미술사학자 에른스트 곰브리치가 말하는 '바플링 트릭'을 만들어낸다.나선형을 이루는 것처럼 보이는 흑백 로프는 사실 동심원이다.20세기 중반의 Op 아트 또는 광학 예술 스타일의 회화 및 그래픽은 그러한 효과를 이용하여 브리짓 라일리, 스피로스 호레미스,[190] 빅터 바사렐리 등의 예술가의 작품에서 볼 수 있는 움직임과 번쩍이거나 진동하는 패턴의 인상을 만들어냈다.[191]

신성 기하학

고대 그리스에서 온 한 가닥의 예술은 신을 세계의 지오미터로 보고, 따라서 세계의 기하학은 신성한 것으로 본다.기하학적 계획에 따라 하나님께서 우주를 창조하셨다는 믿음은 고대 기원을 가지고 있다.플루타르크는 "플라토는 신이 기하학적으로 변화한다고 말했다"(Convivialium disputum, libe 8,2)고 쓰면서 그 믿음을 플라톤 탓으로 돌렸다.이 이미지는 이후 서구 사상에 영향을 끼쳤다.플라토닉 개념은 음악의 조화에 대한 피타고라스적 개념에서 파생되었는데, 음은 리어의 줄 길이에 해당하는 완벽한 비율로 간격을 두고 있었다. 실제로 피타고라스는 모든 것이 숫자에 의해 배열된다고 주장했다.같은 방식으로 플라토닉 사상에서는 규칙적인 고형물이나 플라토닉 고형물이 자연과 예술에서 발견되는 비율을 지시한다.[192][193]그 13규격 집 Vindobonensis에 대한 조명 하나님의 콤파스는 시에 구약 성서에서 나타낼 수 있다. 한쌍:"언제 하늘을 언제 수립 그는 속의 깊은 얼굴을 나침반 맞출 때 거기에 참가했어요:"(Solomon8:27), 1596년에, .[194]으로 우주를 찾음은 수학적 천문학자 요하네스 케플러는 modelled.꿈이기 때 문데 내행성의 궤도의 상대적 크기를 결정하는 내포된 플라토닉 고형물의 집합으로서 구절.[194]윌리엄 블레이크고대의 시대(우리젠, 블레이크의 이성과 법칙의 구현)와 물리학자인 아이작 뉴턴을 나침반으로 벌거벗고 구부리고 그리고 나침반으로 그리는 그의 그림은 나침반의 상징성을 사용하여 전통적인 이성과 물질주의를 편협한 것으로 비판한다.[195][196]살바도르 달리의 1954년 십자가상(Corpus Hypercubus)은 십자가를 하이퍼큐브처럼 묘사해, 일반적인 3차원이 아닌 4차원으로 신성한 관점을 표현하고 있다.[75]달리의 마지막 만찬 성찬(1955)에서는 그리스도와 그의 제자들이 거대한 도데카헤드론 안에 그려져 있다.[197]

참고 항목

메모들

  1. ^ 피에로의 이탈리아어로: "Una cosa canta tanto picholina quanto e mouble ad ad ad o chio compendere".
  2. ^ 기준 길이의 절반에 대한 경사 높이의 비율은 1.619로 황금 비율에서 1% 미만이므로 케플러 삼각형(면각 51°49')[43][44]의 사용을 암시한다.피라미드는 Rhind Mathematical Papyrus에서 알려진 3-4-5 삼각형(면각 53°8') 또는 베이스 대 하이포텐유비(면각 51°50')[45]로 만들어졌을 가능성이 더 높다.
  3. ^ '플라스틱'은 선택된 3차원 형태를 취할 수 있는 능력을 명명했다.
  4. ^ 힌케 오싱가의 크로셰 로렌츠 다지관의 영상과 동영상은 링크된 웹사이트에서 볼 수 있듯이 국제 텔레비전 뉴스에 도달했다.[151]
  5. ^ 모리스 프린셋파블로 피카소에게 한 권의 복사본을 주었는데, 파블로 피카소의 스케치북은 레스 드모아젤레스 다비뇽의 영향을 잘 보여준다.[113][163]

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