칼만 필터

통계 및 제어 이론의 경우, 선형 2차 추정(Linear 2차 추정, LQE)이라고도 불리는 칼만 필터링은 통계 잡음 및 기타 부정확성을 포함하여 시간 경과에 따라 관찰된 일련의 측정치를 사용하고 단일 측정치만을 기반으로 한 측정치보다 더 정확한 경향이 있는 알려지지 않은 변수의 추정치를 산출하는 알고리즘입니다.각 기간에 대한 변수에 대한 공동 확률 분포를 추정합니다.필터의 이름은 그 이론의 주요 개발자 중 한 명이었던 루돌프 칼만(Rudolf E. Kalmann)의 이름을 따서 지어졌습니다.

이 디지털 필터를 스트라토노비치-칼만-이라고 부르기도 합니다.부시 필터는 소련의 수학자 루슬란 스트라토노비치에 의해 다소 일찍 개발된 보다 일반적인 비선형 필터의 특별한 경우이기 때문입니다.^[1][2][3][4]실제로 칼만이 모스크바에서 열린 회의에서 스트라토노비치와 만난 1961년 여름 이전에 발표된 스트라토노비치의 논문에 특수한 경우 선형 필터의 방정식 중 일부가 등장했습니다.^[5]

칼만 필터링은^[6] 다양한 기술적 응용을 가지고 있습니다.일반적인 용도는 차량, 특히 항공기, 우주선 및 선박의 동적 위치에 대한 안내, 항법 및 제어를 위한 것입니다.^[7]또한 칼만 필터링은 신호 처리 및 계량경제학과 같은 주제에 사용되는 시계열 분석에 많이 적용되는 개념입니다.칼만 필터링은 또한 로봇 모션 계획 및^[8][9] 제어의 주요 주제 중 하나이며 궤적 최적화에 사용될 수 있습니다.^[10]칼만 필터링은 중추신경계의 움직임 제어를 모델링하는 데도 효과가 있습니다.모터 명령을 발행하고 감각 피드백을 수신하는 사이의 시간 지연으로 인해 칼만 필터를^[11] 사용하면 모터 시스템의 현재 상태를 추정하고 업데이트된 명령을 발행할 수 있는 현실적인 모델을 제공합니다.^[12]

알고리즘은 2상 프로세스로 작동합니다.예측 단계의 경우 칼만 필터는 불확실성과 함께 현재 상태 변수의 추정치를 생성합니다.다음 측정 결과(무작위 잡음을 포함하여 일부 오류로 인해 반드시 손상됨)가 관찰되면, 이러한 추정치는 가중 평균을 사용하여 업데이트되며, 보다 확실한 추정치에 더 많은 가중치가 부여됩니다.알고리즘은 재귀적입니다.현재 입력 측정값과 이전에 계산한 상태 및 불확도 행렬만을 사용하여 실시간으로 작동할 수 있으며, 추가 과거 정보가 필요하지 않습니다.

칼만 필터링의 최적성은 오차가 정규(가우스) 분포를 갖는다고 가정합니다.루돌프 칼만(Rudolf E. Kalmán)은 다음과 같이 표현했습니다.물리적 랜덤 현상은 일차 랜덤 소스가 동적 시스템을 자극하기 때문으로 간주될 수 있습니다.1차 소스는 평균이 0인 독립적인 가우스 랜덤 프로세스로 가정되며, 동적 시스템은 선형입니다."^[13]가우시안성과 관계없이 공정 및 측정 공분산이 알려진 경우 칼만 필터는 최소 평균 제곱 오차 의미에서 가장 가능한 선형 추정기입니다.^[14] 모든 노이즈 프로세스가 가우스라고 가정하지 않는 한 칼만 필터를 엄격하게 적용할 수 없다는 것은 일반적인 오해(문헌에 영구적으로 기록됨)입니다.^[15]

비선형 시스템에서 작동하는 확장 칼만 필터와 무향 칼만 필터와 같은 방법의 확장과 일반화도 개발되었습니다.기본은 잠재 변수의 상태 공간이 연속적이고 모든 잠재 변수와 관측 변수가 가우스 분포를 갖도록 숨겨진 마르코프 모델입니다.칼만 필터링은 분산 또는 합의 ^[16]칼만 필터링을 개발하기 위해 다중 센서 융합 및 분산 센서 네트워크에서 성공적으로 사용되었습니다.^[17]

역사

필터링 방법은 헝가리의 에미제 루돌프 칼만(Rudolf E. Kalmann)의 이름을 따서 명명되었지만 토르발드 니콜라이 틸레(Thorvald Nicolai Tiele^[18][19])와 피터 스웰링(Peter Swerling)은 비슷한 알고리즘을 개발했습니다.리처드 S.존스 홉킨스 응용 물리학 연구소의 부시는 이 이론에 기여하여 때때로 칼만이라고 알려지게 했습니다.버시 필터링.칼만은 위너 필터링 문제에 상태 변수를 적용하여 칼만 필터를 도출하는 데 영감을 받았습니다.^[20]스탠리 F. Schmidt는 일반적으로 칼만 필터의 첫 번째 구현을 개발한 것으로 인정받고 있습니다.그는 필터를 두 개의 별개의 부분으로 나눌 수 있다는 것을 깨달았습니다. 하나는 센서 출력 사이의 시간 동안의 부분이고 다른 하나는 측정을 통합하기 위한 부분입니다.^[21]칼만이 NASA 에임스 연구 센터를 방문했을 때, 슈미트는 아폴로 계획에 대한 궤도 추정의 비선형 문제에 칼만의 아이디어가 적용되는 것을 보고 아폴로 항법 컴퓨터에 통합되었습니다.^{[22]: 16}

이러한 칼만 필터링은 Swerling(1958), Kalman(1960) 및 Kalman and Bucy(1961)에 의해 기술 논문에서 부분적으로 기술되고 발전되었습니다.

아폴로 컴퓨터는 2k의 마그네틱 코어 램과 36k 와이어 로프를 사용했습니다 [...].CPU는 IC[...]로 제작되었습니다.클럭 속도가 100kHz [...] 미만이었습니다.MIT 엔지니어들이 이렇게 좋은 소프트웨어(칼만 필터의 첫 번째 응용 프로그램 중 하나)를 이렇게 작은 컴퓨터에 포장할 수 있었다는 사실은 정말 놀라운 일입니다.

— Interview with Jack Crenshaw, by Matthew Reed, TRS-80.org (2009) [1]

칼만 필터는 미 해군 핵탄도미사일 잠수함의 항행 시스템과 미 해군의 토마호크 미사일, 미 공군의 공중 발사 순항 미사일과 같은 순항 미사일의 유도 및 항행 시스템에 중요한 역할을 해왔습니다.재사용 가능한 발사체의 유도 및 항법 시스템과 국제 우주 정거장에 도킹하는 우주선의 자세 제어 및 항법 시스템에도 사용됩니다.^[23]

계산개요

Kalman 필터링은 시스템의 동적 모델(예: 물리적 운동 법칙), 해당 시스템에 대한 알려진 제어 입력 및 다중 순차 측정(예: 센서로부터)을 사용하여 한 측정치만 사용하여 얻은 추정치보다 더 나은 시스템의 다양한 양(상태)의 추정치를 형성합니다.이와 같이 일반적인 센서 융합 및 데이터 융합 알고리즘입니다.

노이즈가 많은 센서 데이터, 시스템의 진화를 설명하는 방정식의 근사치, 설명되지 않은 외부 요인 등은 모두 시스템의 상태를 얼마나 잘 파악할 수 있는지를 제한합니다.칼만 필터는 노이즈가 많은 센서 데이터로 인한 불확실성과 어느 정도는 무작위 외부 요인을 효과적으로 처리합니다.칼만 필터는 시스템의 예측 상태와 가중 평균을 사용하여 새 측정의 평균으로 시스템의 상태를 추정합니다.가중치의 목적은 추정된 불확실성이 더 우수한 값(즉, 작은 값)이 더 "신뢰"된다는 것입니다.가중치는 시스템 상태 예측의 추정된 불확실성에 대한 측정값인 공분산으로부터 계산됩니다.가중 평균의 결과는 예측된 상태와 측정된 상태 사이에 있는 새로운 상태 추정치이며 둘 중 하나보다 추정된 불확실성이 더 우수합니다.이 과정은 모든 단계에서 반복되며, 새 추정치와 공분산은 다음 반복에서 사용되는 예측을 알려줍니다.즉, 칼만 필터는 재귀적으로 작동하며 새 상태를 계산하기 위해 시스템 상태의 전체 이력이 아닌 마지막 "최상의 추측"만 필요합니다.

측정값의 확실성 등급 및 현재 상태 추정치는 중요한 고려 사항입니다.필터의 응답은 칼만 필터의 이득(gain)으로 논의되는 것이 일반적입니다.칼만 이득은 측정치와 현재 상태 추정치에 부여되는 가중치이며, 특정 성능을 달성하기 위해 "조정"될 수 있습니다.이득이 높은 경우 필터는 가장 최근의 측정값에 더 많은 비중을 두므로 이를 더욱 잘 준수합니다.이득이 적을 경우 필터는 모형 예측을 더욱 세밀하게 준수합니다.극단적으로 1에 가까운 높은 이득은 추정된 궤적을 더 비약적으로 증가시키는 반면 0에 가까운 낮은 이득은 노이즈를 부드럽게 만들지만 응답성을 저하시킵니다.

필터에 대한 실제 계산을 수행할 때(아래에 설명된 대로), 단일 계산 집합에 포함된 다중 차원 때문에 상태 추정치와 공분산이 행렬로 코딩됩니다.이를 통해 전이 모형 또는 공분산에서 서로 다른 상태 변수(위치, 속도 및 가속도 등) 간의 선형 관계를 나타낼 수 있습니다.

예시적용

예를 들어, 트럭의 정확한 위치를 결정하는 문제를 고려해 봅니다.트럭에는 몇 미터 이내의 위치를 추정할 수 있는 GPS 장치가 장착될 수 있습니다.GPS 추정치는 소음이 클 가능성이 높습니다. 실제 위치에서 몇 미터 이내에 있지만 빠르게 '뛰어' 읽힙니다.또한, 트럭은 물리 법칙을 따를 것으로 예상되므로, 차륜의 회전수와 핸들의 각도를 추적하여 시간에 따른 속도를 적분하여 트럭의 위치를 추정할 수도 있습니다.이것은 데드 리코닝(dead recounting.일반적으로 사망 계산은 트럭의 위치를 매우 매끄럽게 추정할 수 있지만, 작은 오차가 누적됨에 따라 시간이 지남에 따라 표류하게 됩니다.

예를 들어 칼만 필터는 예측과 업데이트라는 두 가지 다른 단계에서 작동하는 것으로 간주할 수 있습니다.예측 단계에서 트럭의 이전 위치는 물리적 운동 법칙(동적 또는 "상태 전이" 모델)에 따라 변경됩니다.새로운 위치 추정치가 계산될 뿐만 아니라 새로운 공분산도 계산됩니다.아마도 공분산은 트럭의 속도에 비례하는데 고속에서는 사망 계산 위치 추정치의 정확성에 대해 더 불확실하지만 저속에서는 위치 추정치에 대해 매우 확실하기 때문입니다.다음으로 업데이트 단계에서는 GPS 유닛에서 트럭의 위치를 측정합니다.이 측정과 함께 불확실성도 어느 정도 발생하며 이전 단계의 예측과 비교한 공분산은 새 측정치가 업데이트된 예측에 얼마나 영향을 미칠지 결정합니다.이상적으로, 사망 계산 추정치가 실제 위치에서 멀어지는 경향이 있으므로, GPS 측정은 위치 추정치를 실제 위치로 다시 당겨야 하지만 소음이 발생하고 빠르게 점프할 정도로 방해하지 않아야 합니다.

기술 설명 및 문맥

칼만 필터는 일련의 잡음 측정으로부터 선형 동적 시스템의 내부 상태를 추정하는 효율적인 재귀 필터입니다.레이더 및 컴퓨터 비전에서 구조 거시 경제 모델 추정에 이르기까지 광범위한 공학 및 계량 경제학적 응용 분야에 사용되며 제어 이론 및 제어 시스템 공학에서 중요한 주제입니다.^[24][25]칼만 필터는 선형 2차 조절기(LQR)와 함께 선형 2차-가우스 제어 문제(LQG)를 해결합니다.칼만 필터, 선형-2차 조절기, 선형-2차-가우스 조절기는 거의 틀림없이 제어 이론의 가장 기본적인 문제에 대한 해결책입니다.

대부분의 응용 프로그램에서 내부 상태는 측정되는 몇 개의 "관측 가능한" 파라미터보다 훨씬 큽니다(자유도가 더 높습니다).그러나 일련의 측정치를 조합하여 Kalman 필터는 전체 내부 상태를 추정할 수 있습니다.

뎀스터-샤퍼 이론의 경우, 각 상태 방정식 또는 관측은 선형 믿음 함수의 특별한 경우로 간주되며 칼만 필터링은 조인 트리 또는 마르코프 트리에 선형 믿음 함수를 결합하는 특별한 경우입니다.추가적인 방법으로는 베이즈(Bayes) 또는 상태 방정식에 대한 증거 업데이트를 사용하는 믿음 필터링이 있습니다.

칼만 필터는 칼만의 원래 공식부터 지금까지 매우 다양하게 존재합니다. - "단순한" 칼만 필터라고 불리는 칼만 필터입니다.뷰시 필터, 슈미트의 "확장" 필터, 정보 필터, 그리고 비어만, 손턴 등에 의해 개발된 다양한 "제곱근" 필터.아마도 가장 일반적으로 사용되는 간단한 칼만 필터 유형은 위상 고정 루프일 것이며, 현재 라디오, 특히 주파수 변조(FM) 라디오, 텔레비전 세트, 위성 통신 수신기, 우주 공간 통신 시스템 및 거의 모든 전자 통신 장비에 널리 사용됩니다.

기본 동적 시스템 모델

이 섹션은 확장이 필요합니다.더해서 도움을 줄 수 있습니다 (2011년 8월)

칼만 필터링은 시간 영역에서 이산화된 선형 동적 시스템을 기반으로 합니다.가우시안 노이즈를 포함할 수 있는 오류로 인해 교란되는 선형 연산자를 기반으로 구축된 마르코프 체인을 모델로 합니다.대상 시스템의 상태는 실제 숫자의 벡터로 표현되는 관심의 지상 진실(아직 숨겨진) 시스템 구성을 나타냅니다.각 이산 시간 증가 시 선형 연산자가 상태에 적용되어 새 상태가 생성되고 노이즈가 일부 섞여 있으며 시스템의 컨트롤에서 정보가 알려진 경우 선택적으로 일부 정보가 포함됩니다.그러면 더 많은 노이즈가 섞인 다른 선형 연산자가 참("숨겨진") 상태에서 측정 가능한 출력(즉, 관측치)을 생성합니다.칼만 필터는 히든 마코프 모델과 유사한 것으로 간주될 수 있으며, 히든 상태 변수는 히든 마코프 모델과 이산 상태 공간이 아닌 연속 공간에서 값을 갖는다는 차이점이 있습니다.칼만 필터의 방정식과 숨겨진 마르코프 모델의 방정식 사이에는 강한 유사성이 있습니다.Rowis and Gahramani(1999)^[26]와 Hamilton(1994), Chapter 13에서 이와 다른 모델에 대한 검토가 제공됩니다.^[27]

Kalman 필터를 사용하여 일련의 잡음 관측치만 주어진 프로세스의 내부 상태를 추정하려면 다음 프레임워크에 따라 프로세스를 모델링해야 합니다.이는 각 시간 단계 k에 대해 다음과 같은 행렬을 지정함을 의미합니다.

• F_k, 상태 전이 모델.
• H_k, 관측 모델.
• Q_k, 공정 소음의 공분산.
• R_k, 관측 소음의 공분산.
• 그리고 때때로 B_k, 아래에 설명된 것과 같은 제어 입력 모델; 만약 B가_k 포함되어 있다면, 또한 있습니다.
• u_k, 제어 입력 모델에 대한 제어 입력을 나타내는 제어 벡터.

칼만 필터 모델은 다음과 같이 시간 k에서의 실제 상태가 (k - 1)에서의 상태로부터 진화한다고 가정합니다.

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1} +\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k} +\mathbf {w} _{k}}$

어디에

• F는_k 이전 상태 x에_k−1 적용되는 상태 전이 모델입니다.
• B는_k 제어 벡터 u에_k 적용되는 제어 입력 모델입니다;
• w는_k 공분산이 있는$$0 평균 다변량 정규 $분포$인 N ${\$에서 도출된 것으로 가정되는 프로세스 노이즈입니다. Q_k: ${\displaystyle {}_{}}$~ ${\displaystyle N}$(${\displaystyle 0\mathrm{},}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$0,\mathbf {Q} _{k}\right)}.$

시간에 따라 참 상태 x에_k 대한 관찰(또는 측정) z가_k 다음과 같이 이루어집니다.

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k} +\mathbf {v} _{k}}$

어디에

• H는_k 관측 모델로, 실제 상태 공간을 관측 공간에 매핑하고,
• v는_k 관측 잡음이며, 공분산_k R에서 0 평균 가우스 백색 잡음으로 가정됩니다: v ${\displaystyle {}_{}}$~ ${\displaystyle N\mathcal{}}$ ${\displaystyle (0\mathrm{},}$ R ${\displaystyle {}_{}}$)${\$ _${k}\sim {\mathcal {N}}\left$$0,\mathbf {R} _{k}\right)}.$

초기 상태 및 각 단계 {x₀, w₁, ..., w, v_k1, ...,v_k}의 노이즈 벡터는 모두 상호 독립적인 것으로 가정됩니다.

많은 실시간 동적 시스템이 이 모델에 정확히 부합하지 않습니다.실제로 모델링되지 않은 역학은 알려지지 않은 확률적 신호를 입력으로 사용하여 작동해야 할 때에도 필터 성능을 심각하게 저하시킬 수 있습니다.그 이유는 모델링되지 않은 역학의 효과가 입력에 따라 달라지므로 추정 알고리즘이 불안정해질 수 있기 때문입니다.반면에, 독립적인 백색 잡음 신호는 알고리즘을 발산시키지 않을 것입니다.측정 잡음과 모델링되지 않은 역학을 구분하는 문제는 어려운 문제이며, 강건한 제어를 이용한 제어 이론의 문제로 다루어지고 있습니다.^[28][29]

세부 사항

칼만 필터는 재귀적 추정치입니다.즉, 현재 상태에 대한 추정치를 계산하기 위해 이전 시간 단계의 추정 상태와 현재 측정값만 필요합니다.배치 추정 기법과는 달리 관측치 및/또는 추정치의 이력이 필요하지 않습니다.다음의 표기 $x$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ∣ m ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x}}}_{n\mid m}$은 시간 m ≤ n까지의 관측치가 주어진 시간 n에서 $x$ ${\displaystyle \mathbf {x}}$의 추정치를 나타냅니다.

필터의 상태는 두 가지 변수로 표시됩니다.

• ${\displaystyle {\mathbf{}\mathbf{x}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mid }_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k\mid k$ 시간 k까지의 관측값이 주어졌을 때 시간 k에서의 사후 추정 평균;
• ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mid }_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k$ 사후 추정 공분산 행렬(상태 추정 정확도의 측도)입니다.

칼만 필터의 알고리즘 구조는 알파 베타 필터의 알고리즘 구조와 유사합니다.칼만 필터는 하나의 방정식으로 작성될 수 있지만, 대부분의 경우 "예측"과 "업데이트"라는 두 개의 다른 단계로 개념화됩니다.예측 단계는 이전 시간 단계의 상태 추정치를 사용하여 현재 시간 단계의 상태 추정치를 만듭니다.이 예측 상태 추정치는 현재 시간 단계의 상태 추정치이지만 현재 시간 단계의 관측 정보를 포함하지 않기 때문에 선행 상태 추정치라고도 합니다.업데이트 단계에서는 혁신(사전 적합 잔차), 즉 현재 선험적 예측과 현재 관측 정보의 차이를 최적 칼만 이득에 곱하고 이전 상태 추정치와 결합하여 상태 추정치를 미세화합니다.현재 관측치를 기반으로 한 이 개선된 추정치를 사후 상태 추정치라고 합니다.

일반적으로 두 단계가 번갈아 가며 예측이 다음 예약된 관찰까지 상태를 진전시키고 관찰을 통합한 업데이트가 적용됩니다.그러나 이것은 필요하지 않습니다. 어떤 이유로 관측치를 사용할 수 없는 경우 업데이트를 건너뛰고 여러 예측 절차를 수행할 수 있습니다.마찬가지로 여러 개의 독립 관측치를 동시에 사용할 수 있는 경우 여러 개의 업데이트 절차를 수행할 수 있습니다(일반적으로 다른 관측치_k 행렬 H).^[30][31]

예측

예측(선험적) 상태 추정치	${\displaystyle {\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}\mid k-1} +\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}}$
예측 추정 공분산(priori)) 추정 공분산	${\displaystyle {\hat {\mathbf {P}}}_{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}}$

갱신하다

혁신 또는 측정 사전 장착 잔차	${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y}}}_{k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1}}$
혁신(또는 사전 적합 잔차) 공분산	${\displaystyle \mathbf {S} _{k}=\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {P}}}_{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}}$
최적 칼만 이득	${\displaystyle \mathbf {K} _{k}={\hat {\mathbf {P}}}_{k\mid k-1}\mathbf {H}_{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S}_{k}^{-1}}$
업데이트된(a posteri) 상태 추정치	${\displaystyle \mathbf {x} _{k\mid k}={\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1}+\mathbf {K}_{k}{\tilde {\mathbf {y}}}_{k}}$
업데이트된(a posteri) 추정 공분산	${\displaystyle \mathbf {P} _{kk}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right){\hat {\mathbf {P}}}_{kk-1}$
측정 후 적합 잔차	${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y}}}_{k\mid k}=\mathbf {z}_{k}-\mathbf {H}_{k}\mathbf {x}_{k\mid k}}$

위의 업데이트된 (a posteri) 추정 공분산에 대한 공식은 잔여 오차를 최소화하는 최적 K 이득에_k 유효하며, 이 경우 응용 프로그램에서 가장 널리 사용됩니다.공식의 증명은 유도 부분에서 찾을 수 있으며, 여기서 임의의 K에_k 대해 유효한 공식도 표시됩니다.

업데이트된 상태 추정치($$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ∣ k ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k$를 보다 직관적으로 표현할 수 있는 방법은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbf {x} _{k\mid k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k} {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\mathbf {z} _{k}}$

이 표현식은 [0,1] $사이$의 t ${\displaystyle t}$에 대한 선형 보간 $x$ = (${\displaystyle 1}$- t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle a}$)${\displaystyle }$+ t${\displaystyle }$( ${\displaystyle b}$ )${\displaystyle$x = (1 - t) ($a)$+ t $(b)}$을(를) 상기시킵니다.우리의 경우:

• ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$은(는) 칼만 게인(${\displaystyle {}_{}}$ ${\$으로,$$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}($센서의 높은 오차)에서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}($낮은 오차)의 값을 취하는 행렬입니다.
• ${\displaystyle a}$는 모형에서 추정된 값입니다.
• ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$는 측정값입니다.

이 표현은 알파 베타 필터 업데이트 단계와도 유사합니다.

불변량

모형이 정확하고 $x$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ∣ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\hat {\mathbf {x}}}_{0\mid$ 0$}$ 및 ${\displaystyle {}_{}}$ 0 ∣ 0 ${\displaystyle \mathbf$ {P}${\displaystyle {\mathrm{\_}}_{}}${0\mid 0$}$의 값이 초기 상태 값의 분포를 정확하게 반영하면 다음 불변량이 보존됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x}}_{k\mid k}]&=\operatorname {E} [\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x}}}=0\\\operatorname {E} [{\tilde {\mathbf {y}}}_{k}]&=0\end{aligned}}$

여기서 $E$ ⁡ [${\displaystyle }$ξ${\displaystyle }$] ${\displaystyle \operatorname {E} [\xi ]}$은(는) ξ ${\displaystyle \xi}$의 기대 값입니다$.$ 즉, 모든 추정치의 평균 오차가 0입니다.

또한:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x}}\right)\\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x}}\right)\\mathbf {S} _{k}&=\operatorname {cov} \left ({\tilde {\mathbf {y}}_{k}\right}\end{aligned}}$

공분산 행렬은 추정치의 공분산을 정확하게 반영합니다.

소음 공분산 Q와_k R의_k 추정

Kalman Filter의 실제 구현은 잡음_k 공분산 행렬 Q와 R을_k 잘 추정하기 어렵기 때문에 종종 어렵습니다.데이터로부터 이러한 공분산을 추정하기 위한 광범위한 연구가 수행되었습니다.이를 수행하는 한 가지 실용적인 방법은 일상적인 운영 데이터의 시간 지연된 자동 공분산을 사용하여 공분산을 추정하는 ALS(autocobariance least square) 기법입니다.^[32][33]ALS 기법을 사용하여 노이즈 공분산 행렬을 계산하는 데 사용되는 GNU Octave 및 Matlab 코드는 GNU General Public License를 사용하여 온라인에서 사용할 수 있습니다.^[34]베이지안 알고리즘인 FKF(Field Kalman Filter)^[35]는 상태, 매개변수 및 노이즈 공분산을 동시에 추정할 수 있도록 제안되었습니다.FKF 알고리즘은 재귀적 공식, 양호한 관측 수렴 및 상대적으로 낮은 복잡도를 가지고 있으므로 FKF 알고리즘이 자동 공분산 최소 제곱법의 가치 있는 대안이 될 수 있음을 시사합니다.

최적성 및 성능

이론에 따르면 칼만 필터는 a) 모델이 실제 시스템과 완벽하게 일치하고 b) 진입 소음이 "흰색"(상관 없음)이며 c) 소음의 공분산을 정확히 알고 있는 경우 최적의 상태 추정을 제공합니다.상관 노이즈는 칼만 필터를 사용하여 처리할 수도 있습니다.^[36]위 절에서 언급한 ALS를 포함하여 지난 수십 년 동안 소음 공분산 추정을 위한 몇 가지 방법이 제안되었습니다.공분산을 추정한 후 필터의 성능, 즉 상태 추정 품질을 향상시킬 수 있는지 여부를 평가하는 데 유용합니다.칼만 필터가 최적으로 작동하는 경우, 혁신 시퀀스(출력 예측 오류)는 백색 잡음이므로 혁신의 백색 특성은 필터 성능을 측정합니다.이를 위해 여러 가지 방법을 사용할 수 있습니다.^[37]잡음 항이 비가우스 방식으로 분포되어 있는 경우, 확률 부등식 또는 대표본 이론을 사용하는 필터 추정의 성능을 평가하는 방법이 문헌에 공지되어 있습니다.^[38][39]

예제 응용프로그램, 기술

마찰력이 없고 곧은 레일 위에 있는 트럭을 생각해 보세요.처음에는 트럭이 0 위치에 정지해 있지만, 무작위로 제어되지 않는 힘에 의해 이쪽저쪽으로 완충됩니다.δT 초마다 트럭의 위치를 측정하지만, 이러한 측정은 부정확하며, 트럭의 위치와 속도에 대한 모델을 유지하고자 합니다.여기서 칼만 필터를 생성하는 모델을 어떻게 도출하는지 보여줍니다.

${\displaystyle F\mathbf{},}$ ${\displaystyle H\mathbf{},}$ ${\displaystyle R\mathbf{},}$ Q ${\$이(가) 일정하므로 해당 시간 인덱스가 삭제됩니다.

트럭의 위치와 속도는 선형 상태 공간에 의해 설명됩니다.

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}={\begin{bmatrix}x\{\dot {x}}\end{bmatrix}}$

여기서 $x$ ˙ ${\displaystyle {\dot {x}}$는 속도, 즉 시간에 대한 위치 도함수입니다.

우리는 (k - 1)과 k 시간 단계 사이에 조절되지 않는 힘이 평균 0과 표준 편차 σ로 정규 분포된 a의 일정한 가속도를 유발한다고 가정합니다.뉴턴의 운동 법칙으로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내립니다.

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1} +\mathbf {G} a_{k}}$

(알 수 있는 제어 입력이 없으므로 ${\displaystyle Bu}$ ${\displaystyle \mathbf {B} u}$ 항이$$ 없습니다.대신, a는_k 알 수 없는 입력의 효과이고 $G{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$는 그 효과를 상태 벡터에 적용합니다$$.

${\displaystyle {\begin{align}\mathbf {F} &={\begin{bmatrix}1&\Delta t\0&1\end{bmatrix}}\[4pt]\mathbf {G} &={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}{\Delta t}^{2}\[6pt]\델타 t\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

하도록

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1} +\mathbf {w} _{k}$

어디에

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {w} _{k}&\sim N(0,\mathbf {Q})\\mathbf {Q} &=\mathbf {G} \mathbf {G}^{\textsf {T}\sigma _{a}^{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{4}}^{\felta t}^{4}&{\frac {1}{2}}{\felta t}^{3}\[6pt]{\frac {1}{2}}{\felta t}^{3}&{\delta t}^{2}\end{bmatrix}}\sigma_{a}^{2}}.\end{aligned}}$

Q $행렬$ ${\displaystyle \mathbf {Q}이($가) 전체 순위가 $아닙니다$. δ${\displaystyle T}$가 ≠ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \Deltat\neq$ 0$}$인 경우에는 1순위입니다.따라서 분포 $N{\displaystyle (0,}$ ${\displaystyle Q\mathbf{})}$ ${\displaystyle N(0,\mathbf {Q})}$은(는) 절대적으로 연속적이지 않으며 확률 밀도 함수가 없습니다.이를 표현하는 또 다른 방법은 명시적인 퇴화 분포를 피하는 것입니다.

${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim \mathbf {G} \cdot N\left(0,\sigma _{a}^{2}\right).}$

각 시간 단계에서 트럭의 실제 위치에 대한 노이즈 측정이 이루어집니다.측정 노이즈 v도 평균 0과 표준 편차가 σ인 정규 분포를 나타낸다고 가정합니다.

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {Hx} _{k} +\mathbf {v} _{k}}$

어디에

${\displaystyle \mathbf {H} = {\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}$

그리고.

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathrm {E} \left[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\textsf {T}\right] = {\begin{bmatrix}\sigma _{z}^{2}\end{bmatrix}}$

트럭의 초기 시동 상태를 완벽한 정밀도로 알고 있기 때문에 초기화를 합니다.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x}}}_{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0\0\0\end{bmatrix}}$

필터에 정확한 위치와 속도를 알 수 있다는 것을 알려주기 위해 영 공분산 행렬을 제공합니다.

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0&0\0&0\end{bmatrix}}$

초기 위치와 속도를 완벽하게 알 수 없는 경우 공분산 행렬은 대각선에서 적절한 분산을 사용하여 초기화해야 합니다.

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&0\0&0&0&0sigma _{\dot {x}}^{2}\end{bmatrix}}$

그러면 필터는 모델에 이미 있는 정보보다 첫 번째 측정치의 정보를 선호하게 됩니다.

점근형

단순화를 위해, 제어 $입력$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \mathbf {u} _{$k} =\$mathbf {0}}$을(를) 가정합니다$.$ 그런 다음 칼만 필터를 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k}=\mathbf {F}_{k}{\hat {\mathbf {x}}}_{k-1}+\mathbf {K}_{k}-\mathbf {H}_{k}\mathbf {F}_{k}{\hat {\mathbf {x}}_{k-1\mid k-1}}.$

0이 아닌 제어 입력을 포함하면 유사한 방정식이 성립합니다.게인 행렬 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 측정 $z{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$와 무관하게 진화합니다$.$ 위에서 칼만 게인을 업데이트하기 위해 필요한 4개의 방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {F} _{k}\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k},\\mathbf {S} _{k}&=\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k}^{\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\mid k-1}_{k}},\mathbf {R} _{k}_{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1},\\\mathbf {P} _{k k}&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\right)\mathbf {P} _{k k-1}\end{aligned}}$

게인 행렬은 측정값이 아닌 모형에만 의존하기 때문에 오프라인에서 계산할 수도 있습니다.게인 행렬 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} _{k}}$를 점근 행렬 $K$ ∞ ${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty}}$에 수렴하면 왈란드와 디마키스에서 설정된 조건에 적용됩니다.시뮬레이션은 수렴 단계의 수를 설정합니다.위에서 설명한 이동 트럭 예제의 경우 δ ${\displaystyle t}$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \Delta t$=$1}$ .$$및 a ${\displaystyle {}_{}^{}}$ = σ ${\displaystyle z_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ = σ x ${\displaystyle {}_{}^{}}$ = σ ${\displaystyle x_{}^{}}$ ˙ ${\displaystyle 2_{}^{}}$ = 1 ${\displaystyle \$sigma _${a}^{2$}=\sigma _${z}^{2$}=\sigma _${x}^{2$}=\sigma $_{\dot {x}}^{2$}=$1.$ 시뮬레이션은 ${\displaystyle \mathrm{10번}}$의 ${\displaystyle 10}$번의 반복에서 수렴을 보여줍니다$.$

점근 이득을 사용하고 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 및 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 k ${\displaystyle k}$와 독립적이라고 가정하면$$칼만 필터는 선형 시간 불변 필터가 됩니다.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x}}}_{k}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x}}}_{k-1}+\mathbf {K}_{\infty}[\mathbf {z}_{k}-\mathbf {H} \mathbf {F} {\hat {\mathbf {x}}_{k-1}}.$

점근 이득 $K$ ∞ ${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty}},$ 만약 존재한다면$,$ 점근 상태 공분산 $P$ ∞ ${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty$에 대한 다음의 이산 리카티 방정식을 먼저 풀어서 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbf {P} _{\infty } =\mathbf {F} \left(\mathbf {P} _{\infty } -\mathbf {P} _{\infty }\mathbf {H} ^{\mathbf {T}}\left(\mathbf {H} \mathbf {P} ^{\infty }\mathbf {H} ^{\mathbf {T} +\mathbf {R} \right) ^{-1}\mathbf {H} ^{\infty }\right)\mathbf {F} ^{\mathbf {T}} +\mathbf {Q} ^{\mathbf {F}$

점근 이득은 이전과 같이 계산됩니다.

${\displaystyle \mathbf {K} _{\infty} =\mathbf {P} _{\infty}\mathbf {H} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} _{\infty}\mathbf {H} ^{\textsf {T}\right)^{-1}}$

또한, 제어 이론에서 더 일반적으로 사용되는 점근적 칼만 필터의 형태는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x}}}_{k+1}=\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x}}}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K} _{\infty}_{\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x}}},}$

어디에

${\displaystyle {\overline {\mathbf {K}}}_{\infty}=\mathbf {F} \mathbf {P} _{\infty}\mathbf {H} ^{\mathbf {T}}\left(\mathbf {R} +\mathbf {H} \mathbf {P} ^{\infty}\mathbf {H} ^{\ textsf {T}\right)^{-1}}.$

이것은 형태의 추정치로 이어집니다.

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\mathbf {x}}}_{k+1}=(\mathbf {F} -{\overline {\mathbf {K}}}_{\infty}\mathbf {H}){\hat {\mathbf {x}}}_{k}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{k}+\mathbf {\overline {K}} _{\infty}}\mathbf {z} _{k}}$

파생어

이 섹션은 검증을 위해 추가적인 인용이 필요합니다. 이 섹션의 신뢰할 수 있는 자료에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선하는 데 도움을 주시기 바랍니다. 출처가 밝혀지지 않은 자료에 이의를 제기하여 제거할 수 있습니다.(2010년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

칼만 필터는 이전 데이터에 대해 작동하는 일반화된 최소 제곱법으로 도출할 수 있습니다.^[41]

사후 추정 공분산 행렬 도출

위와 같이 오차 공분산 P에_{k k} 대한 불변성부터 시작합니다.

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k}\right)}$

$x$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ∣ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k}$의 정의에 대입합니다.

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\mathbf {x} -\left({\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}{\tilde {\mathbf {y}}}_{k}\right]$

대체 y ~${\displaystyle {\stackrel{}{}k}_{}}$ ${\$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x}}_{\hat {\mathbf {x}}_{k\mid k-1}+\mathbf {K}_{k}\left(\mathbf {z}_{k}-\mathbf {H}_{k}{\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1}\right]\right)}$

${\displaystyle {}_{}}$ ${\$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left(\mathbf {x}}_{\hat {\mathbf {x}}_{k\mid k-1}+\mathbf {K}_{k}\left(\mathbf {H}_{k}+\mathbf {x}_{k}-\mathbf {H}_{k}{\hat {\mid k-1}\right)\right]\right)}$

그리고 우리가 얻는 에러 벡터들을 수집함으로써.

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left[(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left[\mathbf {x} _{k}}_{\hat {\mathbf {x}}\right)_{k\mid k-1}\mathbf {K}_{k}\right]}$

측정오차 v는_k 다른 항들과 상관관계가 없으므로 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\operatorname {cov} \left[\left[(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\right)\left[\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x}}_{k\mid k-1}\right]\right]+\operatorname {cov} \left[\mathbf {K} _{k}\mathbf {v} _{k}\right]}$

벡터 공분산의 성질에 의해 이것은

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\right)\operatorname {cov} \left(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1}\right)\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\right)^{\textsf {T}}}+\mathbf {K} _{k}\operatorname {cov} \left(\mathbf {v} _{k}\right)\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}$

P에_{k k−1} 대한 우리의 불변성과 R의_k 정의를 사용하면 다음과 같은 것이 됩니다.

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\right)^{\mathbf {K}_{\mathbf {K}_{k}}^{\mathbf {K}^{\textsf {T}}$

이 공식(공분산 업데이트 방정식의 조셉 형태라고도 함)은 K의_k 모든 값에 대해 유효합니다.K가_k 최적의 칼만 이득이라면 이는 아래와 같이 더욱 단순화될 수 있음이 밝혀졌습니다.

칼만 이득 유도

칼만 필터는 최소 평균 제곱 오차 추정치입니다.사후 상태 추정의 오차는

${\displaystyle \mathbf {x} _{k} - {\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k}$

우리는 이 벡터 크기의 $제곱$인 E ⁡ [${\displaystyle }$‖ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ -${\displaystyle {{}_{}{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\stackrel{}{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {k_{}}^{}}$ ‖ ${\displaystyle {}^{}}$] ${\displaystyle \operatorname {E} \left$이는 사후 추정 공분산 행렬 ${\displaystyle {Pk}_{}}$ ${\$ k$}}$의 궤적을 최소화하는 것과 같습니다$.$ 위의 식에서 항을 확장하고 수집하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}_{k}}+\mathbf {K} _{k}_left(\mathbf {H} _{k}^{\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {R} _{k}\right)\mathbf {K}_{k}^{\textsf {T}}\[6pt]&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\mid k-1}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}\mathbf {K}^{\mathbf {T}} _{k}+\mathbf {S} _{k}^{\mathbf {T}}\end{align}}}$

이득 행렬에 대한 행렬 도함수가 0일 때 추적이 최소화됩니다.그래디언트 행렬 규칙과 관련된 행렬의 대칭을 사용하면 다음을 알 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {\partial \;\operatorname {tr}(\mathbf {P} _{k\mid k})}{\mathbf {K} _{k}}=-2\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)^{\mathbf {T}}+2\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}=0}$

이를_k K에 대해 풀면 칼만 이득이 됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}&=\left(\mathbf {H} _{k}\mid k-1}\right)^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}\\rightarrow \mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\end{aligned}}$

최적 칼만 이득으로 알려진 이 이득은 MMSE 추정치를 사용할 때 산출되는 이득입니다.

사후 오차 공분산 공식의 단순화

칼만 이득이 위에서 도출된 최적 값과 같을 때 사후 오차 공분산을 계산하는 데 사용되는 공식을 단순화할 수 있습니다.오른쪽에 있는 칼만 게인 공식의 양변에 SK를_kk^T 곱하면 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbf {K} _{k}\mathbf {S} _{k}\mathbf {K}^{\textsf {T}}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\ textsf {T}}\mathbf {K}^{\ textsf {T}}$

a posteri error covariance에 대한 확장된 공식을 다시 언급하면,

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k} =\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k} _{k\mid k-1} -\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {K} _{k}^{\textsf {T}}}_{k}+\mathbf {S} _{k}^{\mathbf {K}}}$

지난 두 조건이 취소되고, 다음 조건이 제시되는 걸 알아냈습니다.

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k}\mid k-1}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} \mathbf {H} _{k} \mathbf {P} _{k\mid k-1}$

이 공식은 계산적으로 더 저렴하기 때문에 실제로 거의 항상 사용되지만 최적의 이득에 대해서만 정확합니다.산술 정밀도가 비정상적으로 낮아서 수치 안정성에 문제가 발생하거나 최적이 아닌 칼만 이득을 의도적으로 사용하는 경우 이 단순화를 적용할 수 없습니다. 위에서 도출된 것과 같은 사후 오차 공분산 공식(Joseph form)을 사용해야 합니다.

민감도 분석

이 섹션은 검증을 위해 추가적인 인용이 필요합니다. 이 섹션의 신뢰할 수 있는 자료에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선하는 데 도움을 주시기 바랍니다. 출처가 밝혀지지 않은 자료에 이의를 제기하여 제거할 수 있습니다.(2010년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

칼만 필터링 방정식은 상태 ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ∣ k ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k}$와 오류 공분산 ${\displaystyle {}_{}}$ ∣ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle$ \$mathbf$ {P$}_{k\mid$ k$}}$를 재귀적으로 추정합니다.추정치와 그 품질은 시스템 파라미터와 추정기에 입력으로 공급되는 노이즈 통계에 따라 달라집니다.이 절에서는 필터에 대한 통계적 입력의 불확실성의 영향을 분석합니다.^[42]신뢰할 수 있는 통계치가 없거나 노이즈 공분산 행렬$Qk{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ {\$displaystyle \mathbf {Q} _{k}$ 및$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 참값이 없는 경우$$식

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\right)^{\mathbf {K}_{\mathbf {K}_{k}}^{\mathbf {K}^{\textsf {T}}$

는 더 이상 실제 오차 공분산을 제공하지 않습니다.즉, ${\displaystyle {}_{}}$ ∣ ${\displaystyle k_{}}$ ≠ ${\displaystyle E_{}}$[ (${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}{}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ∣ k${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$( x ${\displaystyle k^{}}$ -${\displaystyle {{}_{}{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\stackrel{}{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {k_{}}^{}}$ ∣ ${\displaystyle {k_{}}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$] ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid$ k$}\neq E\left[\left](\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k}\right)\left](\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid$ k$}\right)^{\textsf {T}\right]}.$ 대부분의 실시간 응용 프로그램에서$,$Kalman 필터 설계에 사용되는 공분산 행렬은 실제(참) 노이즈 공분산 행렬과 다릅니다.^{[citation needed]}이 민감도 분석은 필터에 입력으로 공급되는 시스템$$ 행렬 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ _${k}$가 $올바르지$ 않을 때의 추정 오차 공분산의 동작을 설명합니다.따라서 민감도 분석은 추정기에 대한 지정된 통계적 및 모수 입력을 잘못하는 추정기의 강건성(또는 민감도)을 설명합니다.

이 논의는 통계적 불확실성의 경우에 대한 오차 민감도 분석으로 제한됩니다.여기서 실제 노이즈 공분산은 각각 $Q{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$$$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$},$ $R{\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$로 표시되는 반면, 추정기에 사용되는 설계 값은 $각각{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$$$ ${\displaystyle {}_{}}$ k ${\$ ${\displaystyle {}_{}}$ k ${\$입니다.실제 오차 공분산은 ${\displaystyle {\mathrm{Pk}}_{}^{}}$ ∣$$ a {\$displaystyle \mathbf {P$} _{k\mid k}^{$a}$로 표시되며, 칼만 필터로 계산된 ${\displaystyle {\mathrm{Pk}}_{}}$ ∣ k ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid$ k$}$를 리카티 변수라고 합니다.$Q$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$가 ${\$$displaystyle$$$\$mathbf {Q$$} _{k}\equiv \mathbf {Q} _{k}^{a}$를 ≡하고 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$가 ${\displaystyle \mathbf {R}$ _${k}\equiv$\$mathbf$${R} _{k}^{a}}$를 ∣하면$,$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$는 $P$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$가 k를$$∣함을$$${\displaystyle {}_{}^{}}$합니다. P ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ∣ k$$${\displaystyle a}$=$$${\displaystyle E}$ [${\displaystyle {}_{}}$($x$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$- ${\displaystyle x_{}}$ ^ ${\displaystyle k_{}}$∣$k$ ) ] (${\displaystyle }$x ${\displaystyle k^{}}$$^$k )${\displaystyle {{}_k}^{}}$ -${\displaystyle {{}_{}{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\stackrel{}{}}_{}{}_{}{k}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mid }_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$) T${\displaystyle {}^{}}$] ${\$$displaystyle$$\mathbf {P} _{k\mid k}^$${\displaystyle =}$$E\left[\left$[\mathbf ${x} _{k}-{\hat$ {\mathbf ${x}}_{k\mid k}\right)\left$(\$mathbf {x}}_{k\mid k}\$$right$$)^{\$mathf ${T}}^{\right$ x ^ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$${\displaystyle {{}_{}}^{}}$k $∣$ k {\$displaystyle {\widehat {\mathbf {x}}}$_{$k\mid$ k}}, $그리고$ E${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle {{}_{}}^{}}$] = ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ a ${\$right$}$를 사용하여 대체합니다.$laystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w}$ _${k}^{\texts$$f$${T}}\right]$ $=\mathbf {Q} _{k}^{a}$ 및 E${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {]}_{}^{}}$ $=$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ a ${\displaystyle E\left[\mathbf {v}_{k}\mathbf {v} _{k}^{\right$] $=$\$mathbf {R} _{k}^{a},$${\displaystyle {}_{}^{}}$ $∣$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$에 대한 재귀 방정식은 다음과 같습니다. ${\displaystyle \mathbf {P}$ _${k\mid$ k$}^{a}$ :

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}=\mathbf {F} _{k}\mid k-1}^{a}\mathbf {F} _{k}^{\textsf {T}}+\mathbf {Q} _{k}^{a}}$

그리고.

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}\left(\mathbf {I} -\mathbf {K}_{k}\right)^{\mathbf {K}_{k}}^{\mathbf {K} _{k}^{a}_{k}^{\mathbf {K}^{\textsf {T}}$

${\displaystyle {}_{}}$ ∣ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid$ k$}}$를 계산하는 동안$$필터는 $설계상$ E [${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ T ]${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E\left[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w}$ _${k}^{\$texts$f$${T}\right$] =\$mathbf {Q} _{k}$ 및 E [${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$K T ]${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E$textsf ${T}\right$] =\$mathbf {R}$ _${k}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$ 값 $Q$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$displaystyle \mathbf {$$P}$ _${k\mid$ k$}^{a}$ 및 ${\displaystyle {}_{}}$∣ ${\displaystyle k_{}}${\$displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$에 대한 재귀식은 $Q$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}$ 및 $R$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle$$\mathbf {R$$}$ $_$${k}^{a$$}$가 있는 경우를 제외하고는 동일합니다$.$각각$$ $ystyle \mathbf {R} _{k}.$칼만 필터 시스템의 강건성을 분석하는 연구가 진행되어 왔습니다.^[43]

제곱근형태

칼만 필터의 문제점 중 하나는 수치적 안정성입니다.공정 잡음 공분산 Q가_k 작으면 반올림 오차로 인해 상태 공분산 행렬 P의 작은 양의 고유 값이 음수로 계산되는 경우가 많습니다.이것은 P의 수치 표현을 무한대로 만드는 반면, 실제 형태는 양의 유한대로 만듭니다.

양의 정칙 행렬은 삼각 행렬 제곱근 P = S·S를 갖는 속성을 갖습니다.이는 촐레스키 인수분해 알고리즘을 사용하여 효율적으로 계산할 수 있지만, 더 중요한 것은 공분산이 이 형태로 유지된다면 절대 음의 대각선을 갖거나 비대칭이 될 수 없다는 것입니다.행렬 제곱근이 필요로 하는 많은 제곱근 연산을 피하면서도 바람직한 수치 특성을 보존하는 동등한 형식은 U-D 분해 형식이며, 여기서 U는^T 단위 삼각 행렬(단위 대각선), D는 대각선 행렬입니다.

이 둘 사이에서 U-D 인수분해는 같은 양의 저장량과 다소 적은 계산을 사용하며 가장 일반적으로 사용되는 제곱근 형태입니다. (상대 효율성에 대한 초기 문헌은 제곱근이 분할보다 훨씬 시간이 많이 걸린다고 가정했기 때문에 다소 오해의 소지가 있습니다.^{[44]: 69} 21세기 컴퓨터에서는 조금 더 비쌀 뿐입니다.)

G. J. Bierman과 C. L. Thorton은 제곱근 형태의 칼만 예측 및 업데이트 단계를 위한 효율적인 알고리즘을 개발했습니다.^[44][45]

혁신 공분산 행렬 S의_k L·D·L^T 분해는 수치적으로 효율적이고 견고한 또 다른 유형의 제곱근 필터의 기초가 됩니다.^[46]알고리즘은 LAPACK(Linear Algebra Package)에 구현된 LU 분해로 시작합니다.이러한 결과는 Golub and Van Loan(알고리즘 4.1.2)이 대칭적인 비단수 행렬에 대해 제공하는 방법으로 L·D·L^T 구조에 추가로 반영됩니다.^[47]첫 번째 대각선 분할이 비특이적이고 조건이 잘 갖추어지도록 임의의 단일 공분산 행렬이 피벗됩니다.피벗 알고리즘은 y의_k 보조 관측치와 관련된 관측치 상태 변수 H_k·x에_{k k-1} 직접 해당하는 혁신 공분산 행렬의 모든 부분을 유지해야 합니다.l·d·l^t 제곱근 필터는 관측 벡터의 직교화가 필요합니다.^[45][46]이는 Higham의 방법 2를 사용하여 보조 변수에 대한 공분산 행렬의 역제곱근으로 수행할 수 있습니다(2002, 페이지 263).^[48]

평행형태

칼만 필터는 중앙처리장치(CPU)의 순차적 데이터 처리에는 효율적이지만 그래픽처리장치(GPU)와 같은 병렬 아키텍처에서는 원래 형태로는 비효율적입니다.그러나 Särkkä(2021)의 공식을 사용하여 필터 업데이트 루틴을 연관 연산자의 관점에서 표현하는 것은 가능합니다.^[49]그런 다음 GPU에서 효율적으로 구현할 수 있는 접두사 합 알고리즘을 사용하여 필터 솔루션을 검색할 수 있습니다. 이렇게 하면 계산 복잡도가 $O{\displaystyle (N)}$ ${\displaystyle O(N)}$에서 O${\displaystyle (\mathrm{로그}}$⁡${\displaystyle O(\log(N))}$로 줄어듭니다$.$

재귀적 베이지안 추정과의 관계

칼만 필터는 가장 간단한 동적 베이지안 네트워크 중 하나로 제시될 수 있습니다.Kalman 필터는 들어오는 측정값과 수학적 공정 모형을 사용하여 시간에 따라 재귀적으로 상태의 참값 추정치를 계산합니다.마찬가지로, 재귀 베이지안 추정은 들어오는 측정치와 수학적 프로세스 모델을 사용하여 시간에 따라 알 수 없는 확률 밀도 함수(PDF)의 추정치를 재귀적으로 계산합니다.^[51]

재귀적 베이지안 추정에서, 실제 상태는 관찰되지 않은 마르코프 과정으로 가정되며, 측정값은 숨겨진 마르코프 모델(HMM)의 관찰된 상태입니다.

마코프 가정으로 인해, 실제 상태는 직전 상태가 주어졌을 때 모든 이전 상태와 조건부로 독립적입니다.

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots,\mathbf {x} _{k-1})= p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})}$

마찬가지로 k번째 타임스텝에서의 측정은 현재 상태에만 의존하며 현재 상태가 주어진 다른 모든 상태와는 조건부로 독립적입니다.

${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{0},\dots,\mathbf {x} _{k}=p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})}$

이러한 가정을 사용하여 숨겨진 마르코프 모델의 모든 상태에 대한 확률 분포를 간단히 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{0},\dots,\mathbf {x} _{k},\mathbf {z} _{1},\dots,\mathbf {z} _{k}\right)=p\left(\mathbf {x} _{0}\right)\prod_{i=1}^{k}p\left(\mathbf {z} _{i}\mid \mathbf {x} _{i}\right)p\left(\mathbf {x} _{i}\mid \mathbf {x} _{i-1}\right)}$

그러나 칼만 필터를 사용하여 상태 x를 추정하는 경우 관심 있는 확률 분포는 현재 시간 단계까지의 측정값에 따라 조정된 현재 상태와 관련된 것입니다.이는 이전 상태를 주변화하고 측정 집합의 확률로 나누면 달성됩니다.

따라서 칼만 필터의 예측 및 업데이트 단계가 확률적으로 작성됩니다.예측 상태와 관련된 확률 분포는 (k - 1)번째 시간 단계에서 k번째로 전환하는 것과 관련된 확률 분포와 이전 상태와 관련된 확률 분포의 곱의 합(적분)으로 가능한 모든 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$입니다$.$

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k-1}}$

시간 t까지 설정된 측정값은

${\displaystyle \mathbf {Z} _{t}=\left\{\mathbf {z} _{1},\dots,\mathbf {z} _{t}\right\}}$

업데이트 확률 분포는 측정 가능성과 예측 상태의 곱에 비례합니다.

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k}\right)={\frac {p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}{p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)}}}$

분모를

${\displaystyle p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)=\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\,d\mathbf {x} _{k}$

는 정규화 항입니다.

나머지 확률밀도함수는

${\displaystyle {\begin{aligned}p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1},\mathbf {Q} _{k}\right)\p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k} _{k},\mathbf {R} _{k}\right)\p\left(\mathbf {x} _{k-1}\mid \mathbf {Z} _{k-1}\right)\p\left(\mathbf {x} _{k-1})\right)t)&={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x}}}_{k-1},\mathbf {P}_{k-1}\right)\end{aligned}}$

이전 시간 단계의 PDF는 추정된 상태 및 공분산으로 가정됩니다.이는 최적 추정기로서 칼만 필터가 측정치를 가장 잘 활용하므로, 측정치 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 칼만 필터 추정치인 경우 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대한 PDF입니다.

한계우도

위에서 설명한 재귀적 베이지안 해석과 관련하여, 칼만 필터는 생성 모델, 즉 무작위 관찰의 스트림 z = (z, z, z, ...)를 생성하는 프로세스로 볼 수 있습니다.구체적으로, 그 과정은

1. 가우스 사전 $분포$ p${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ 0 )${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle N}$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ∣ $,$ P ${\displaystyle {}_{}}$ ∣ ${\displaystyle 0_{}{}_{}}$) ${\displaystyle p$$(\$$mathbf {x} _{0}\right$) = {\$mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x}}}_{0\mid$ 0$},\mathbf {P}_{0\mid$ 0$}\right)}$의 숨겨진 상태 $x$ ${\displaystyle {}_{}}$을$$표본으로 추출합니다.
2. ${\displaystyle {}_{}}$ 모델 $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∣ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle N}$( ${\displaystyle H}$ 0 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\$$displaystyle$p \$mathbf {z} _{0}$ {\$displaystyle p\left(\mathbf {z} _{0}\mid \mathbf {x} _{0}\right$) = {\$mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{0}\mathbf {x} _{0},\mathbf {R$ $_{0}\right)}$의 표본입니다.
3. $k$ = ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 3}$…${\displaystyle$k = $1, 2, 3,\ldots }$ ,$$도
   1. ${\displaystyle {}_{}}$ 모형 p${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∣ x ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle N}$( ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)에서$$다음 $숨겨진$ 상태 x k {\$displaystyle \mathbf {x} _{k}\mid \mathbf$ {$x} _{k}\right$)${\displaystyle }$= {\$mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{$k}\$mathbf {x}$ _{k-1} + \$mathbf {x} _{$k} _{$k}$ + \$mathbf {u}$ _${k$} _{k$},$ \$mathbf {Q}$ _${k}\right}$
   2. 관측 모델 $p{\displaystyle (z}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∣ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle N(H}$ k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)에서 ${\displaystyle {}_{}}$$$모델$$z k {\$displaystyle \mathbf {z} _{k$$}$의 표본을 추출합니다. {\displaystyle $p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right$) = {\$mathcal {N}}\left(\mathbf {H}$_{$k}$ \$mathbf {x} _{k},$ \$mathbf {R}$ _${k$} \$right}$

이 프로세스는 이산 상태 및 관측치가 가우스 분포에서 샘플링된 연속형 변수로 대체된다는 점을 제외하고는 숨겨진 마르코프 모델과 동일한 구조를 갖습니다.

일부 응용 프로그램에서는 지정된 매개 변수 집합(이전 분포, 전이 및 관측 모델, 제어 입력)을 가진 칼만 필터가 특정 관측 신호를 생성할 확률을 계산하는 것이 유용합니다.이 확률은 숨겨진 상태 변수의 값을 적분("marginalization out")하므로 관측된 신호만 사용하여 계산할 수 있으므로 주변 가능성으로 알려져 있습니다.한계 가능성은 다양한 모수 선택을 평가하거나 베이지안 모형 비교를 사용하여 칼만 필터를 다른 모형과 비교하는 데 유용할 수 있습니다.

재귀적 필터링 계산의 부작용으로 한계 가능성을 계산하는 것은 간단합니다.연쇄법칙에 의해, 가능성은 이전의 관측치들이 주어진 각 관측치들의 확률의 곱으로 인수될 수 있습니다.

${\displaystyle p}$( ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle )\underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \prod }$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$ = 0 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$( ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∣ z ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \dots ,}$z ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle$ p$(\mathbf {$

칼만 필터는 마르코프 과정을 설명하기 때문에 이전 관측치의 모든 관련 정보는 현재 상태 추정치 $x$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ∣ k${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ P ${\displaystyle {}_{}}$ ∣ ${\displaystyle k_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$에 포함됩니다${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1},\mathbf {P}_{k\mid k-1}. 따라서$ 한계 가능성은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {z})&=\prod _{k=0}^{T}\int p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots,\mathbf {z} _{0}\right)d\mathbf {x} _{k}\&= {k=0}^{T}\int {\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}\mathbf {R} _{k}\right){\mathcal {N}}\left(\mathbf {x} _{k};{\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}\right)d\mathbf {x} _{k}\&=_{k=0}^{{k^0}T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} {{k} {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1},\mathbf {R} _{k}+\mathbf {H} _{k}\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}\right)\mathbf {H}\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}\left(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k} {\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}\right),\end{aligned}}$

즉, 현재 필터링 분포 $H$ k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ∣ k${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}{\hat$ {\mathbf {$x}}}_{k$\mid $k-1$ _${k}}.$이는 단순 재귀적 업데이트로 쉽게 계산될 수 있지만, 숫자 언더플로우를 방지하기 위해 실제 구현에서는 일반적으로 로그 한계 우도 ℓ = ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ⁡ p ( ${\displaystyle \ell$ =\$log p(\mathbf {z})}$을(를) 계산하는 것이 좋습니다.규칙 ℓ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ )${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \ell ^{(-1$)} = $0}$을(를) 채택하면 재귀적 업데이트 규칙을 통해 이 작업을 수행할 수 있습니다$.$

${\displaystyle \ell ^{(k)} =\ell ^{(k-1)}-{\frac {1}{2}}\left ({\tilde {\mathbf {y}}}_{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} {{k}^{-1}{\tilde {\mathbf {y}}}_{{k}+\log \left \mathbf {S} _{k}\right +d_{y}\log 2\pi \right\right),}$

여기서 ${\displaystyle {dy}_{}}$ ${\$는 측정 벡터의 차원입니다.^[52]

(필터 매개변수가 주어진) 관측치의 그러한 (로그) 가능성이 사용되는 중요한 응용 프로그램은 다중 대상 추적입니다.예를 들어, 관찰 스트림이 입력인 객체 추적 시나리오를 생각해 보십시오. 그러나 장면에 있는 객체의 수(또는 객체의 수는 알려져 있지만 하나보다 큰)는 알 수 없습니다.이러한 시나리오의 경우, 어떤 개체에 의해 어떤 관측치/측정치가 생성되었는지 이전에 알 수 없습니다.다중 가설 추적기(MHT)는 일반적으로 다양한 트랙 연관 가설을 형성하며, 여기서 각 가설은 가설 객체와 연관된 특정 매개 변수 집합을 가진 칼만 필터(선형 가우스 경우)로 간주될 수 있습니다.따라서 가장 가능성이 높은 가설을 찾을 수 있도록 고려 중인 여러 가설에 대한 관측치의 가능성을 계산하는 것이 중요합니다.

정보 필터

이 섹션은 검증을 위해 추가적인 인용이 필요합니다. 이 섹션의 신뢰할 수 있는 자료에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선하는 데 도움을 주시기 바랍니다. 출처가 없는 자료에 이의를 제기하여 삭제할 수 있습니다. (2016년 4월) (본 템플릿 메시지 삭제 방법 및 시기 알아보기)

관측 벡터 y의 차원이 상태 공간 벡터 x의 차원보다 큰 경우, 정보 필터는 예측 단계에서 작은 행렬을 반전시키는 대가로 칼만 이득 계산에서 큰 행렬의 반전을 피할 수 있으므로 계산 시간을 절약할 수 있습니다.정보 필터 또는 역공분산 필터에서 추정된 공분산과 추정된 상태는 각각 정보 행렬과 정보 벡터로 대체됩니다.다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}\{\hat {\mathbf {y}}_{k\mid k}&=\mathbf {P} _{k\mid k}^{-1}{\hat {\mathbf {x}}_{k\mid k}\end{aligned}}$

이와 유사하게 예측된 공분산과 상태는 다음과 같이 정의되는 동등한 정보 형태를 갖습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}\{\hat {\mathbf {y}}}_{k\mid k-1}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{-1}{\hat {\mathbf {x}}_{k\mid k-1}\end{aligned}}$

측정 공분산 및 측정 벡터와 마찬가지로 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {H} _{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {R} _{k}^{-1}\mathbf {z} _{k}\end{aligned}}$

이제 정보 업데이트는 사소한 금액이 됩니다.^[53]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\mathbf {I} _{k}\hat {\mathbf {y}}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y}}_{k\mid k-1}+\mathbf {i} _{k}\end{aligned}}$

정보 필터의 가장 큰 장점은 정보 행렬과 벡터를 합하는 것만으로 각 시간 단계에서 N개의 측정값을 필터링할 수 있다는 것입니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{k\mid k}&=\mathbf {Y} _{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {I} _{k,j}\{\hat {\mathbf {y}}}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {y}}}_{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {i} _{k,j}\end{aligned}}}$

정보 필터를 예측하기 위해 정보 행렬과 벡터를 상태 공간 등가로 다시 변환하거나 정보 공간 예측을 사용할 수 있습니다.^[53]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{k}&=\left[\mathbf {F} _{k}^{-1}\right]^{\mathf {T}}\mathbf {Y} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{-1}\\mathbf {C} _{k}&=\mathbf {M} _{k}\left[\mathbf {M} _{k}+\mathbf {Q} _{k}^{-1}\right]^{-1}\\mathbf {L} _{k}&\mathbf {I} _{k}\mathbf {Y} _{k}&=\mathbf {L} _{k}+\mathbf {M}hbf {C} _{k}\mathbf {Q} _{k}^{-1}\mathbf {C} _{k}^{\textsf {T}}\{\hat {\mathbf {y}}}_{k\mid k-1}&=\mathbf {L} _{k}\left[\mathbf {F}_{k}^{-1}\right]^{\hat {\mathbf {y}}_{k-1\mid k-1}\end{align}}$

고정 지연 평활기

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최적의 고정 지연 평활기는 z ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {z} _{1}$에서 ${\displaystyle {}_{}}$ k ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$까지의 측정값을 사용하여 주어진 고정 $지연$ N ${\displaystyle N}$에 대해 $x$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle N_{}}$ ∣ k ${\displaystyle$ {$hat {\mathbf {x}}}$ _${k}$의 최적 추정치를 제공합니다$.$ 이는 증강 상태를 통해 이전 이론을 사용하여 도출할 수 있습니다.필터의 주요 방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {x}}}_{t\mid t}\{\hat {\mathbf {x}}}_{t-1\mid t}\\\vdots \\{\hat {\mathbf {x}}_{t-N+1\mid t}\\\\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}\\0\end{bmatrix}\0\\dots \0\n\end{bmatrix}{\hat {\mathbf {x}}}_{t\mid t-1}+{\begin{bmatrix}0&\mathbf {I}&0&dots \0&dots \0&dots \0&dots \\mathbf {I}I} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {x}}}_{t-1\mid t-1}}\{\hat {\mathbf {x}}_{t-2\mid t-1}\\\vdots \{\hat {\mathbf {x}}}_{t-N+1\mid t-1}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\mathbf {K}^{(0)}\\mathbf {K}^{(1)}\\dots \\mathbf {K}^{(N-1)}\\end{bmatrix}}\mathbf {y}_{t\mid t-1}}$

여기서:

• ${\displaystyle {\stackrel{\mathbf{x}}{\mathbf{}}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {\mid }_{}}$ t -${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x}}}_{t\mid t-1}$는 표준 칼만 필터를 통해 추정됩니다.
• ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mid }_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{t}}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ $=$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}H}$ ${\displaystyle {\mathbf{x}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ∣ t${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{t\mi$}=\$mathbf {z} _{t}-\mathbf {H} {\hat {\mathbf {x}}_{t\mid t-1}$는 표준 칼만 필터의 추정치를 고려하여 생성된 혁신입니다.
• $i$ = ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,N}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$i = $1,\ldots, N-1}$인 $다양$한 x${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^${\displaystyle t_{}}$ - ${\displaystyle i_{}}$ ∣ t ${\displaystyle {\$mathbf {$x}}, __{t-i\midt}$는 새로운 변수입니다. 즉, 표준 칼만 필터에는 나타나지 않습니다.
• 이득은 다음과 같은 체계를 통해 계산됩니다.

  ${\displaystyle \mathbf {K} ^{(i+1)}=\mathbf {P} ^{(i)}\mathbf {H} ^{\ textsf {T}}\left[\mathbf {H} \mathbf {H} ^{\ textsf {T}+\mathbf {R} \right]^{-1}}$

그리고.

${\displaystyle \mathbf {P} ^{(i)}=\mathbf {P} \left[\left[(\mathbf {F} -\mathbf {K} \mathbf {H} \right)^{\textsf {T}\right]^{i}$

여기서 $P$ ${\displaystyle \mathbf {P}}$ 및 K ${\displaystyle \mathbf {K}}$은(는) 예측 오차 공분산 및 표준 칼만 필터(즉, ${\displaystyle {}_{}}$ ∣ ${\displaystyle t_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{t\mid t-1})$의 이득입니다.

추정 오차 공분산이 다음과 같이 정의되는 경우

${\displaystyle \mathbf {P} _{i}:=E\left[\left(\mathbf {x} _{t-i}-{\hat {\mathbf {x}}}_{t-i\midt}\right)^{*}\left(\mathbf {x} _{t-i}-{\hat {\mathbf {x}}}_{t-i\midt}\right)\mid z_{1}\ldots z_{t}\right},}$

$그러면{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 추정에 대한 개선은 다음과 같이 제공됩니다$$.

${\displaystyle \mathbf {P} -\mathbf {P} _{i}=\sum _{j=0}^{i}\left[\mathbf {P} ^{(j)}\mathbf {H} ^{\textsf {T}\left(\mathbf {H} \mathbf {H} ^{\textsf {T} +\mathbf {R} \right)\mathbf {H} \left(\mathbf {P} ^{(i)}\right)^{\textsf {T}\right]$

고정 간격 평활기

최적의 고정 간격 평활기는 고정 간격 $z$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$${\mathbf {x}}_{k\midn}}($< ${\displaystyle k<n$에서 $z$ ${\displaystyle$\$mathbf {$$z}_{1}}$까지의 측정값을 사용하여 $x$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ∣ n ${\displaystyle$ {\$mathbf$ {$z$_{n$})$의 최적 추정치를 제공합니다.이것은 "칼만 스무딩"이라고도 불립니다.일반적으로 사용되는 스무딩 알고리즘은 여러 가지가 있습니다.

라우흐퉁스트라이벨

RTS(Rauch-Tung-Striebel) 평활기는 고정 간격 평활화를 위한 효율적인 2 패스 알고리즘입니다.^[55]

순방향 패스는 일반 칼만 필터 알고리즘과 동일합니다.이 필터링된 a-priori 및 a-postriori 상태 $추정치$ x${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ ${\displaystyle k_{}}$∣${\displaystyle k_{}}$ - ${\displaystyle 1_{}}${\$displaystyle${\$hat${\$mathbf$${x}}}$$_{k$$\mid k-1$ $x{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ ${\displaystyle k_{}}$ ∣ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {\$mathbf ${x}}_{k\mid$ k}, 공분산 $P$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∣ ${\displaystyle k_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {P}_{k\mid k-1$${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mid }_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$은(는) 역방향 패스에 사용할 수 있도록 저장됩니다.

역방향 패스에서 평활 상태 ${\displaystyle {\mathrm{추정치}}_{}}$ $x$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ∣ n ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x}}}_{k\midn}}$와 공분산 $Pk$ ∣ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {P}_{k\midn}$를 계산합니다$.$ 마지막 시간 단계에서 시작하여 다음과 같은 재귀 방정식을 사용하여 시간을 역방향으로 진행합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid n}&={\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k}+\mathbf {C}_{k}\left ({\hat {\mathbf {x}}_{k+1\mid k}\right)\\mathbf {P}_{k\mid n}&=\mathbf {P}_{k\mid k}+\left(\mathbf {P}_{k+1\mid k}\left)\mathbf {P}_{k+1\mid k}\right)\mathbf {C}_{k}^{\mathbf}{\mid k}\right){T}}\end{aligned}}$

어디에

${\displaystyle \mathbf {C} _{k}=\mathbf {P} _{k\mid k}\mathbf {F} _{k+1}^{\textsf {T}}\mathbf {P} _{k+1\mid k}^{-1}}$

${\displaystyle {\mathbf{}\mathbf{x}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mid }_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k\mid$ k$}$는 타임스텝 $k$ ${\displaystyle$${\displaystyle {\mathbf{k\}의\; a-pos}}_{}}$teriori 상태 추정치이고 x ${\displaystyle {\mathbf{k}}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ∣ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k+1\mid k}$는 타임스텝 $k{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k+1}$의 a-우선 상태 추정치입니다$.$공분산에도 동일한 표기법이 적용됩니다.

수정 브라이슨-프레이저 평활기

RTS 알고리즘의 대안은 Bierman이 개발한 수정된 Bryson-Frazier(MBF) 고정 간격 평활기입니다.^[45]또한 칼만 필터 순방향 패스에서 저장된 데이터를 처리하는 역방향 패스를 사용합니다.역방향 통과 방정식에는 매끄러운 상태 및 공분산을 계산하기 위해 각 관측 시간에 사용되는 데이터의 재귀적 계산이 포함됩니다.

재귀 방정식은

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\Lambda}}_{k}&=\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\mathbf {H} _{k}+{\hat {\mathbf {C}}}_{k}^{\textsf {T}}{\hat {\Lambda}}}_{k}}{\hat {\mathbf {C}}}_{\hat {\Lambda}}}_{k-1}&=\mathbf {F}_{k}^{\textsf {T}}}_{k}\mathbf {F}_{k}}\{\hat {\Lambda}}}_{n}&=0\mathbf {\tilde {\}}_{k}&=-\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{k}^{-1}\mathbf {y} _{k}+{\hat {\mathbf {C}}}_{k}^{\textsf {T}}{\hat {\lambda }}_{k}\{\hat {\lambda }}_{k-1}&=\mathbf {F}_{k}^{\lambda f {T}_{\tilde {\texts}_{k}\{\hat {n}&=0\end{aligned}}}$

여기서 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{k}}$는 잔차 공분산이고 $C{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle I}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle${\$hat {\mathbf {C}}_{k$} = \$mathbf {I}$- \$mathbf {K} _{k}$ \$mathbf {H} _{k}$ 입니다$.$매끄러운 상태와 공분산은 방정식에서 대체함으로써 찾을 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k}-\mathbf {P} _{k\mid k} {\hat {\Lambda}}_{k}\mathbf {P} _{k\mid k}&=\mathbf {x} _{k\mid k}-\mathbf {P} {k\mid k} {\hat {\lambda }_{k}\end{aligned}}$

아니면

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{k\mid n}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}-\mathbf {P} _{k\mid k-1} {\lambda}}_{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {x} _{k\mid k-1}&&\mathbf {x} _{k\mid k-1}_{k\mid k-1}_{\tilde {\lambda }}_{k}_{k\mid k-1}_{k}}_{k}_{k}_mid k-1}.\end{aligned}}$

MBF의 중요한 장점은 공분산 행렬의 역을 찾을 필요가 없다는 것입니다.

최소 분산 평활기

최소-분산 평활기는 모델이 선형이고 매개변수 및 노이즈 통계가 정확하게 알려진 경우 가능한 최상의 오차 성능을 얻을 수 있습니다.^[56]이 평활기는 최적의 비원인 위너 필터의 시변 상태 공간 일반화입니다.

매끄러운 계산은 두 번의 패스로 이루어집니다.전방 계산은 한 단계 앞서가는 예측 변수를 포함하며 다음과 같이 제공됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x}}}_{k+1\mid k}&=(\mathbf {F} _{k}-\mathbf {K} _{k}}{\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}_{k}\alpha _{k}&=-mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {H} _{k}{\mid k-1}}}_{k\mid k-1}}+\mathbf {S} _{k}^{-{\frac {1}{2}}}}\mathbf {z} _{k}\end{align}}$

위의 시스템은 역 위너-홉프 인자(inverse Wiener-Hopf 계수.후진 재귀는 위 전진 시스템의 인접입니다.역방향 통과 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$의 결과는 시간이 ${\displaystyle {반전}_{}}$된 α$$k {\$displaystyle \alpha _{k$}}에서 정방향 방정식을 작동시키고$$ 결과를 시간이 반대로 돌리면 계산할 수 있습니다$$.출력 추정의 경우 매끄러운 추정치는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y}}}_{k\mid N}=\mathbf {z}_{k}-\mathbf {R}_{k}\beta_{k}}$

최소 분산 평활기의 인과적 부분을 사용하면 산출됩니다.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y}}}_{k\mid k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {R} _{k}\mathbf {S} _{k}^{-\frac {1}{2}}\alpha _{k}}$

최소 분산 칼만 필터와 동일합니다.위 솔루션들은 출력 추정 오차의 분산을 최소화합니다.Rauch-Tung-Striebel 평활화 유도는 기본 분포가 가우스라고 가정하고 최소 분산 솔루션은 가정하지 않습니다.상태 추정 및 입력 추정을 위한 최적 평활기를 유사하게 구성할 수 있습니다.

상기 평활기의 연속 시간 버전이 에 설명되어 있습니다.^[57][58]

최소 분산 필터 및 평활기 내에서 알려지지 않은 상태 공간 매개 변수의 대략적인 최대 가능성 추정치를 계산하기 위해 기대-최대화 알고리즘이 사용될 수 있습니다.종종 불확실성은 문제 가정 내에 남아 있습니다.불확실성을 수용하는 평활기는 리카티 방정식에 양의 정의 항을 추가하여 설계할 수 있습니다.^[59]

모형이 비선형인 경우 단계적 선형화는 최소 분산 필터 내에 있을 수 있고 더 부드러운 재귀(확장 칼만 필터링)가 있을 수 있습니다.

주파수 가중 칼만 필터

1930년대에 Fletcher와 Munson은 서로 다른 주파수의 소리 인식에 대한 선구적인 연구를 수행했습니다.그들의 작업은 산업 소음 및 청력 손실 조사 내에서 측정된 소리 수준에 가중치를 부여하는 표준 방식으로 이어졌습니다.주파수 가중치는 이후 필터 및 컨트롤러 설계 내에서 관심 대역 내 성능을 관리하기 위해 사용되었습니다.

일반적으로, 주파수 성형 함수는 지정된 주파수 대역의 오차 스펙트럼 밀도의 평균 전력을 가중시키는 데 사용됩니다.$y{\displaystyle \mathbf{}}$ -${\displaystyle y\stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$- ${\hat {\mathbf {y}}}}$이(가) 기존 칼만 필터에 표시된 출력 추정 오류를 나타냅니다$$.또한 $W{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) 인과 주파수 가중치 전달 함수를 나타내도록$$ 합니다.$W{\displaystyle \mathbf{}}$(${\displaystyle y\stackrel{}{\mathbf{}}}$ -${\displaystyle }$y${\displaystyle \stackrel{}{}^)}$ ${\$ -${\hat {\mathbf {y}}}\right)}$의 분산을 최소화하는 최적해는 $단순히$ W - ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}${\$displaystyle \mathbf {W}$^{-$1}{\hat${\$mathbf${y$}}}$를 구성함으로써 발생합니다$.$

$W{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 설계는 여전히$$ 열려 있는 문제입니다.한 가지 진행 방법은 추정 오류를 생성하고 W {\$displaystyle \mathbf {W}}$을$($를) 해당 시스템의 역과 동일하게$$ 설정하는 시스템을 식별하는 것입니다$.$^[60]이 절차를 반복하여 필터 순서 증가 비용으로 평균 제곱 오차를 개선할 수 있습니다.스무더에도 동일한 기술을 적용할 수 있습니다.

비선형 필터

기본 칼만 필터는 선형 가정으로 제한됩니다.그러나 시스템이 복잡할수록 비선형적일 수 있습니다.비선형성은 공정 모형, 관측치 모형 또는 둘 다와 연관될 수 있습니다.

비선형 시스템을 위한 칼만 필터의 가장 일반적인 변형은 확장 칼만 필터와 무향 칼만 필터입니다.사용할 필터의 적합성은 공정 및 관측 모형의 비선형성 지수에 따라 달라집니다.^[61]

확장 칼만 필터

확장 칼만 필터(EKF)에서 상태 전이 및 관측 모델은 상태의 선형 함수가 아니라 비선형 함수가 될 수 있습니다.이 기능들은 차별화할 수 있는 유형입니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{k}&=f(\mathbf {x} _{k-1},\mathbf {u} _{k} +\mathbf {w} _{k} +\mathbf {z} _{k} &=h(\mathbf {x} _{k}) +\mathbf {v} _{k}\end{aligned}}$

함수 f는 이전 추정치로부터 예측 상태를 계산하는 데 사용할 수 있고, 함수 h는 예측 상태로부터 예측 측정치를 계산하는 데 사용할 수 있습니다.그러나 f와 h는 공분산에 직접 적용할 수 없습니다.대신 편미분 행렬(자코비안)이 계산됩니다.

각 단계에서 자코비안은 현재 예측 상태로 평가됩니다.이러한 행렬은 칼만 필터 방정식에 사용할 수 있습니다.이 프로세스는 기본적으로 현재 추정치를 중심으로 비선형 함수를 선형화합니다.

무향 칼만 필터

상태 전이 및 관찰 모델, 즉 예측 및 업데이트 함수 ${\displaystyle f}$ 및 $h${\displaystyle h}가$$비선형성이 높을 경우 확장 칼만 필터는 특히 성능이 저하될 수 있습니다.^[62][63] 이는 공분산이 기본 비선형 모델의 선형화를 통해 전파되기 때문입니다.무향 칼만 필터(UKF)는 무향 변환(UT)으로 알려진 결정론적 샘플링 기법을 사용하여 평균 주위의 최소 샘플 포인트 세트(시그마 포인트)를 선택합니다.그런 다음 시그마 점은 비선형 함수를 통해 전파되며, 여기서 새로운 평균 및 공분산 추정치가 형성됩니다.결과 필터는 UT의 변환된 통계를 계산하는 방법과 어떤 시그마 포인트 집합이 사용되는지에 따라 달라집니다.새로운 UKF를 일관된 방식으로 건설하는 것은 항상 가능하다는 것을 언급해야 합니다.^[64]특정 시스템의 경우 결과 UKF가 실제 평균과 공분산을 보다 정확하게 추정합니다.^[65]이는 몬테카를로 샘플링 또는 사후 통계의 테일러 급수 확장으로 확인할 수 있습니다.또한 이 기술은 자코비안을 명시적으로 계산해야 하는 요구 사항을 제거합니다. 이는 복잡한 함수의 경우 그 자체로 어려운 작업이 될 수 있습니다(즉, 해석적으로 수행되는 경우 복잡한 도함수를 필요로 하거나 수치적으로 수행되는 경우 계산 비용이 많이 듭니다), 불가능하지 않은 경우(이러한 함수가 미분 가능하지 않은 경우).

시그마 점

랜덤 벡터 $x$ =${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \mathbf {x}$ = ($x_{1},\$dots$,x_{L}}}$의 경우$,$ 시그마 점은 임의의 벡터 집합입니다.

${\displaystyle \{\mathbf {s} _{0},\dots,\mathbf {s} _{N}\} = {\bigl \{}{\begin{pmatrix}s_{0,1}&s_{0,2}\end{pmatrix}},\dots,{\begin{pmatrix}s_{N,1}&s_{N,2}&\end{pmatrix}{\bigr \}$

에 귀속된.

• 1차 가중치 $W{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$을 충족하는$$ ${\$

1. ${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}W_{j}^{a}=1}$
2. ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $i$ = ${\displaystyle 1,\dots ,}$ L ${\displaystyle$i=$1,\$dots$,L}$ :$$$E{\displaystyle }$[ ${\displaystyle {xi}_{}}$ ]${\displaystyle {}_{}}$= ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{j}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ W ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle {as}_{}}$ j${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle E[x_{i$}]=\$sum _{j$=$0}^{N}W_{j}^{a}s_{j,i}}$

• 다음을 수행하는$$ 2차 가중치 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$

1. ${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}W_{j}^{c}=1}$
2. 모든 쌍$({\displaystyle i,}$ ${\displaystyle l)}$ ∈ ${\displaystyle \{1,}$ ${\displaystyle \dots ,L{}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ :${\displaystyle {}^{}}$E${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ l ]${\displaystyle {}_{}}$= ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{j}}}$ = 0 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ W ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}}$, 는 ${\displaystyle {j,}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle(i,l)\in \{1,\$dots$,L\}^{2}:$$E[x_{i}x_{l}]=\sum _{j=0}^{N}W_{j}^{c}s_{j,i}s_{j,l}}.$

UKF 알고리즘에서 $x$ k${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ∣ k${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k-1\mid k-1}$에 대한 시그마 점과 가중치의 간단한 선택은

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {s} _{0}&={\hat {\mathbf {x}}}_{k-1\mid k-1}\\-1&<W_{0}^{a}=W_{0}^{c}<1\\mathbf {s} _{j}&={\hat {\mathbf {x}}}_{k-1\mid k-1}+{\sqrt {\frac {L}{1-W_{0}}}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots,L\\\mathbf {s} _{L+j}&={\hat {\mathbf {x}}}_{k-1\mid k-1}-{\sqrt {\frac {L}{1-W_{0}}}}\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots,L\W_{j}^{a}&=W_{j}^{c}={\frac {1-W_{0}}{2L}},\quad j=1,\dots,2L\end{aligned}}$

여기서 $x$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ∣ ${\displaystyle k_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x}}}_{k-1\mid k-1}}$는 ${\displaystyle {}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ∣ k${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {x}_{k-1\mid k-1}$의 평균 추정치입니다$.$벡터 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{j}}$는 $A$ ${\displaystyle \mathbf {A}}$의 j번째 열로, 여기서 ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$은 k${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ∣ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1$} =\$mathbf {AA}^{\$ textsf ${T}}$입니다$.$ 일반적으로 $P{\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ∣${\displaystyle k_{}}$ - ${\displaystyle 1_{}}${\$displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}}$의 촐레스키 분해를 $통해${\$displaystyle \mathbf {A}}$를 얻습니다$.$필터 방정식은 ${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$ ∣ k${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$$displaystyle \mathbf {A}}$의 중간 계산 없이 $A$ ${\$$displaystyle \mathbf {P} _{k-1\mid k-1}}$를 직접 평가하는 방식으로 표현될 수 있습니다$.$이를 제곱근 무향 칼만 필터라고 합니다.^[66]

평균값 ${\displaystyle {W0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 가중치는 임의로 선택할 수 있습니다.

(위의 내용을 일반화하는) 또 다른 인기 있는 매개변수화는

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {s} _{0}&={\hat {\mathbf {x}}}_{k-1\mid k-1}\\\W_{0}^{a}&={\frac {\alpha^{2}\kappa -L}{\alpha^{2}\kappa}}\\\W_{0}^{c}&=W_{0}^{a}+1-\alpha^{2}+\beta \\mathbf {s} _{j}&={\hat {\mathbf {x}}}_{k-1\mid k-1}+\alpha {\sqrt {\kappa}},\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots,L\\\mathbf {s} _{L+j}&={{\hat {\mathbf {x}}}_{k-1\mid k-1}-\alpha {\sqrt {\kappa}}},\mathbf {A} _{j},\quad j=1,\dots,L\W_{j}^{a}&=W_{j}^{c}={\frac {1}{2\alpha^{2}\kappa}},\quad j=1,\dots,2L입니다.\end{aligned}}$

${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha$ 및 $\kappa$ ${\displaystyle \kappa}$는 시그마 점의 퍼짐을 제어합니다.${\displaystyle \beta }$ ${\displaysty$eta }은$($는$)$ x ${\displaystyle$ x}의 분포와 관련이 있습니다.

적절한 값은 당면한 문제에 따라 다르지만 일반적인 권장 $사항$은${\displaystyle {\mathrm{\alpha }}^{}}$ = ${\displaystyle {10}^{}}$- 3 {\$displaystyle$ \$alpha$= $10^{-$3$\}\},$ κ =$$1 {\$displaystyle$ \$kappa$= $1$}, ${\displaystyle \mathrm{\beta }}$ = 2 {\$displaystyle$\ beta = 2$}$입니다$.$ $그러나$ α ${\displaystyle \alpha }($예:${\displaystyle \alpha }$ $=$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \al$ = 1$\})$은 분포의 퍼짐과 발생 가능한 비선형성을 더 잘 포착하기 위해 유용할 수 있습니다.$x$ ${\displaystyle x}$의 실제 분포가 가우스이면 $β$ = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ \beta =$2$}이$($가) 최적입니다.

예측

EKF와 마찬가지로 UKF 예측은 UKF 업데이트와 독립적으로 사용하거나 선형(또는 실제로 EKF) 업데이트와 결합하거나 그 반대로 사용할 수 있습니다.

평균과 공분산의 추정치를 고려할 때, $x$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ∣ k${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\hat {\mathbf {x}}_{k-1\mid k-1},$ $P$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ∣ ${\displaystyle k_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\mathbf {P}_{k-1\mid k-1},$위 절에서 설명한 바와 같이 $N$ = ${\displaystyle \mathrm{2L}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$N = $2L$ +$1}$ 시그마 포인트를 얻습니다.시그마 포인트는 전이 함수 f를 통해 전파됩니다.

${\displaystyle {\mathbf{}\mathbf{x}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle =}$ f (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{j}}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle j}$ = ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle \mathrm{2L}}$ ${\displaystyle \mathbf {x$}=$f\left(\mathbf {s} _{j}\r$dots$,2L}$입니다$.$

전파된 시그마 점은 예측된 평균과 공분산을 생성하기 위해 가중치가 부여됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{a}\mathbf {x} _{j}\\mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}\left(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1}\right)\left(\mathbf {x}_{j}-{\hat {\mathbf {x}}_{k\mid k-1}\right)^{\textsf {T}_{k}\end{aligned}}}$

여기서 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 원래 시그마 포인트의 1차 가중치이고 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 2차$$ 가중치입니다.행렬 $Q{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 전이 잡음의 공분산이며 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$입니다$.$

갱신하다

주어진 예측 추정치 $x$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ∣ ${\displaystyle {\mathrm{k}}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1},$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∣ k${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1},$$N$ = ${\displaystyle \mathrm{2L}}$+ 1 ${\displaystyle$N = $2L$+ $1}$ 시그마 포인트 $s$ ${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2L}}_{}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} _{0},\$dots$,\mathbf {s} _{2$$해당$ 1차 가중치 ${\displaystyle {}_{}^{}}$$,$ …${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$L}^{a},$ 2차$$ 가중치 $W0{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$,${\displaystyle {}_{}^{}\dots ,}$ ${\displaystyle {W2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ c ${\$$L}^{c}}$이(가) 계산됩니다.^[69]이러한 시그마 포인트는 측정 함수 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$을(를) 통해 변환됩니다$.$

${\displaystyle {\mathbf{}\mathbf{z}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle =}$ h (${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathbf{}}_{}),}$ ${\displaystyle j}$ = ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle \mathrm{2L}}$ ${\displaystyle \mathbf {z$ $_{j$}=$h(\mathbf {s} _{j})$입니다.

그런 다음 변환된 점의 경험적 평균과 공분산이 계산됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {z}}}}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{a}\mathbf {z} _{j}\[6pt]{\hat {\mathbf {S}}}_{k}&=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}(\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z}}),\mathbf {z} _{j}-{\hat {\mathbf {z}})^{\textsf {T}}+\mathbf {R_{k}} \end{aligned}}$

여기서 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 관측 잡음의 공분산 행렬 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$입니다. 또한$$교차 공분산 행렬도 필요합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {C_{xz}} &=\sum _{j=0}^{2L}W_{j}^{c}(\mathbf {x} _{j}-{\hat {\mathbf {x}}}_{k-1})(\mathbf {z}_{j}-{\hat {\mathbf {z}})^{\textsf {T}}).\end{aligned}}$

칼만 게인은

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}=\mathbf {C_{xz}} {\hat {\mathbf {S}}}_{k}^{-1}.\end{aligned}}$

업데이트된 평균 및 공분산 추정치는

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k}&={\hat {\mathbf {x}}}_{k-1}+\mathbf {K}_{k}-{\hat {\mathbf {z}})\\mathbf {P}_{k\mid k}&=\mathbf {P}_{k\mid k-1}-\mathbf {K}_{k}{\mathbf {S}}}_{k}\mathbf {K}^{\k}^{\textsf {T}}.\end{aligned}}$

판별 칼만 필터

$관측$ 모델 p (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∣ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle$ p $(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}}}$가 고도의 비선형 및/또는 비가우시안일 때, 베이즈의 규칙을 적용하고 추정하는 것이 유리할 수 있습니다.

${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}}\mid \mathbf {z} _{k}}{p(\mathbf {x} _{k}}}}$

여기서 $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∣ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$≈ $N$( g${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {}_{}),}$ Q (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle$ p$(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k})\대략${\$mathcal {N}}(g(\mathbf {z} _{k}),$${\displaystyle Q}$$$${\displaystyle g$이는 표준 칼만 필터의 생성 사양을 주어진 잠재 상태에 대한 차별적 모델로 대체합니다.

정지 상태 모델 하에서

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {x} _{1})&={\mathcal {N}}(0,\mathbf {T}),\p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})&={\mathcal {N}(\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1},\mathbf {C}),\end{aligned}}$

여기서 $T$ = ${\displaystyle FT}$ ${\displaystyle F}$ ⊺${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {T}$ =\$mathbf {F} \mathbf {T} ^{\intercalation$} $+\mathbf {C}$ 만약

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{1:k})\대략 {\mathcal {N}}({\hat {\mathbf {x}}}_{k k-1},\mathbf {P} _{k k-1}),}$

그런 다음 새로운 $관측{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \mathbf {z} _{k}}$가 주어지면 다음과^[70] 같습니다$.$

${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k+1}\mid \mathbf {z} _{1:k+1})\대략 {\mathcal {N}}({\hat {\mathbf {x}}}_{k+1 k},\mathbf {P} _{k+1 k})}$

어디에

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} _{k+1}&=\mathbf {F} \mathbf {P} _{k-1}\mathbf {F} ^{\intercalation},\\mathbf {P} _{k+1k}&=(\mathbf {M} _{k+1}^{-1}+Q(\mathbf {z} _{k}^{-1}-\mathbf {T}^{-1}^{-1},\\{\hat {\mathbf {x}}}_{k+1 k}&=\mathbf {P} _{k+1 k}(\mathbf {M} _{k+1}^{-1}\mathbf {F} {\hat {\mathbf {x}}_{k-1}+\mathbf {P}_{k+1 k}^{-1}g(\mathbf {z}_{k}).\end{aligned}}$

이 근사치를 사용하려면 $Q$${\displaystyle ({\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{T}}^{}}$ -${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\$ Q$(\mathbf {z} _{k})^{-1}-\mathbf {T}^{-1}$가 필요합니다. 그렇지 않은 경우,

${\displaystyle \mathbf {P} _{k+1 k}=(\mathbf {M} _{k+1}^{-1}+Q(\mathbf {z} _{k}^{-1})^{-1}}}$

대신 사용됩니다.이러한 접근 방식은 관측치의 차원이 잠재 상태의^[71] 차원보다 훨씬 클 때 특히 유용하며 관측 모델의 비정상성에 특히 강한 빌드 필터를 사용할 수 있습니다.^[72]

어댑티브 칼만 필터

적응형 칼만 필터는 프로세스 모델 $F{\displaystyle \mathbf{}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {F}(t)}$에서 모델링되지 않은 프로세스 역학에 적응할 수 있도록 합니다$.$ 이는 등속(축소된 순서) 칼만 필터가 추적에 사용될 때 기동 대상의 맥락에서 발생합니다.^[73]

칼만-부시 필터

칼만-부시 필터링(Richard Snowden Bucy의 이름을 딴)은 칼만 필터링의 연속 시간 버전입니다.^[74][75]

상태 공간 모델을 기반으로 합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\mathbf {x}(t)&=\mathbf {F}(t)\mathbf {x}(t)+\mathbf {u}(t)+\mathbf {w}(t)\\mathbf {z}(t)&=\mathbf {H}(t)\mathbf {x}(t)+\mathbf {v}(t)\end{aligned}}$

여기서 $Q{\displaystyle \mathbf{}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {Q}(t)}$ 및$$ $R{\displaystyle \mathbf{}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {R}(t)}$는$$각각 w(${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle \mathbf {w}(t)$ 및$$ $v{\displaystyle \mathbf{}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v}(t$)의 강도$($또는 정확하게는 Power Spectral Density - PSD - 행렬)를 나타냅니다$$.

필터는 상태 추정을 위한 것과 공분산을 위한 것으로 두 개의 미분 방정식으로 구성됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\hat {\mathbf {x}}}(t){\hat {\mathbf {x}}}}(t){\hat {\mathbf {B}(t)}\mathbf {u}(t)+\mathbf {K}(t)\left(\mathbf {z}(t){\mathbf {x}}}(t){\hat {\mathbf {x}}}(t)\mathbf {P}(t)&=\mathbf {F}(t)+\mathbf {P}(t)^{\mathbf {T}}(t)+\mathbf {Q}(t))-\mathbf {K}(t)\mathbf {R}(t)\mathbf {K}^{\textsf {T}(t)\end{aligned}}$

칼만 이득이 주어진 곳에서

${\displaystyle \mathbf {K}(t)=\mathbf {P}(t)\mathbf {H}^{\textsf {T}(t)\mathbf {R}^{-1}(t)}$

$K{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {K}(t)}$에 대한 이 식에서 관측 잡음 $R{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {R}(t)}$는 예측 오차(또는 혁신) $y$의 공분산을 동시에 나타냅니다 ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ (t${\displaystyle )}$= ${\displaystyle z(t}$)${\displaystyle }$-${\displaystyle H(t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ^}$ (${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle {\mathbf {y}}}(t$) =\$mathbf {z}(t)-\mathbf {H}(t){$$\hat {\mathbf {x}}}(t$ 이러한 공분산은 연속 시간의 경우에만 동일합니다.^[76]

이산 시간 칼만 필터링의 예측 단계와 업데이트 단계의 구분은 연속 시간에 존재하지 않습니다.

공분산에 대한 두 번째 미분 방정식은 Riccati 방정식의 한 예입니다.칼만에 대한 비선형 일반화–부시 필터는 연속 시간 연장 칼만 필터를 포함합니다.

하이브리드 칼만 필터

대부분의 물리적 시스템은 연속 시간 모델로 표현되지만 이산 시간 측정은 디지털 프로세서를 통한 상태 추정을 위해 자주 수행됩니다.따라서 시스템 모델과 측정 모델은

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x}}}(t)&=\mathbf {F}(t)\mathbf {x}(t)+\mathbf {u}(t)+\mathbf {w}(t)&\mathbf {w}(t)&\sim N\left(\mathbf {0},\mathbf {Q}(t)\right)\\\mathbf {z} _{k}&=\mathbf {H} _{k} _{k} +\mathbf {v} _{k} _{k},&\mathbf {v} _{k}&\sim N(\mathbf {0},\mathbf {R} _{k}\end{aligned}}$

어디에

${\displaystyle {\mathbf{}\mathbf{x}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $=$ x${\displaystyle }$(${\displaystyle {tk}_{}})$ ${\displaystyle \mathbf {x$}=\$mathbf {x} (t_{k})}.$

초기화

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x}}}_{0\mid 0}=E\left[\mathbf {x}(t_{0})\right],\mathbf {P}_{0\mid 0}=\operatorname {Var} \left[\mathbf {x} \left(t_{0}\right)]}$

예측

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x}}}(t)&=\mathbf {F}(t){\hat {\mathbf {x}}}(t)+\mathbf {B}(t){\text{, }}{\hat {\mathbf {x}}}}\left(t_{k-1}\right)={\hat {\mathbf {x}}}_{k-1\mid k-1}\\\오른쪽 화살표 {\hat {\mathbf {x}}}_{k\mid k-1}&={\hat {\mathbf {x}}}\left(t_{k}\right)\{\dot {\mathbf {P}}(t)&=\mathbf {F}(t)\mathbf {P}(t)+\mathbf {F}(t)^{\ textsf {T}}+\mathbf {Q}(t){\text{,}}}\mathbf {P} \left(t_{k-1}\right)=\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\\rightarrow \mathbf {P} _{k\mid k-1}&=\mathbf {P} \left(t_{k}\right)\end{aligned}}$

예측 방정식은 측정치의 업데이트 없이 연속 시간 칼만 필터의 것으로부터 유도됩니다. 즉, ${\displaystyle \mathrm{K}(t)}$ = 0 ${\displaystyle \mathbf {K}(t$) = $0$ 예측 상태와 공분산은 이전 단계에서 추정치와 초기 값이 동일한 미분 방정식 세트를 풀어서 각각 계산됩니다.

선형 시간 불변 시스템의 경우, 연속 시간 역학은 행렬 지수를 사용하여 이산 시간 시스템으로 정확히 이산화될 수 있습니다.

갱신하다

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{k}&=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\textsf {T}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{\mathbf {T}}}\mathbf {R} _{k}\right)^{-1}\{\hat {\mathbf {x}}&={{k\mid k-1}}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}\left(\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\mathbf {x}}}_{k\mid k-1}\right)\\mathbf {P} _{k\mid k}&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\right)\mathbf {P} _{k\mid k-1}\end{aligned}}$

업데이트 방정식은 이산 시간 칼만 필터와 동일합니다.

희소 신호의 복구를 위한 변형들

전통적인 칼만 필터는 잡음 관측에서 나오는 희소 신호, 아마도 동적 신호의 복구에도 사용되었습니다.최근 연구는^[77][78][79] 고유하게 낮은 차원 시스템에서 희소 상태를 순차적으로 추정하기 위해 제한된 등각 특성 및 관련 확률적 복구 인수와 같은 압축 감지/샘플링 이론의 개념을 활용합니다.

가우시안 프로세스와의 관계

선형 가우시안 상태 공간 모델은 가우시안 프로세스로 이어지므로 칼만 필터는 가우시안 프로세스 회귀를 위한 순차 해결사로 볼 수 있습니다.^[80]

적용들

참고 항목

참고문헌

추가열람

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외부 링크

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• 선형여과문제의 새로운 접근방법, R. E. Kalman, 1960
• 파이썬의 칼만 및 베이지안 필터.오픈소스 칼만 필터링 교재.
• 칼만 필터 작동 방식, 사진에서.Kalman 필터를 그림과 색상으로 비춥니다.
• 칼만-부시 필터(Kalman-Bucy Filter)는 칼만에서 파생된 필터(Kalman-Bucy Filter)입니다.부시 필터
• 유튜브에서 칼만 필터 MIT 동영상 강의
• 자바스크립트로 된 칼만 필터.node.js 및 웹 브라우저에 대한 오픈 소스 칼만 필터 라이브러리.
• Kalman Filter 소개, SIGGRAPH 2001 코스, Greg Welch and Gary Bishop
• 많은 링크가 있는 Kalman Filter 웹페이지
• Kalman Filter, 수식을 포함한 Kalman Filter의 단계별 튜토리얼을 간단하게 설명하였습니다.
• "Kalman filters used in Weather models" (PDF). SIAM News. 36 (8). October 2003. Archived from the original (PDF) on 2011-05-17. Retrieved 2007-01-27.
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• Gerald J. Bierman's Estimation Subroutine Library: 1977년 Academy Press에서 처음 출판한 연구 모노그래프 "불연속 추정을 위한 요인화 방법"의 코드에 해당합니다.도버에서 재출간했습니다.
• Gerald J. Bierman의 추정 서브루틴 라이브러리의 일부를 구현하는 Matlab Toolbox: 칼만 필터를 구성하는 관련 시간 및 측정 업데이트와 함께 UD/UDU' 및 LD/LDL' 인수분해.
• Kalman Filtering의 Matlab Toolbox가 동시 현지화 및 매핑에 적용됨:1D, 2D 및 3D로 이동하는 차량
• 커널 힐버트 공간을 재현하는 칼만 필터 포괄적인 소개.
• Wayback Machine에서 Kalman Filter Archived 2014-02-09를 사용하여 Cox-Ingersoll-Ross 이자율 모형을 추정하는 Matlab 코드: 1999년 Review of Quantitative Finance and Accounting에서 발표한 "Kalman filter에 의한 지수-아핀 기간 구조 모형 추정 및 테스트" 논문에 해당합니다.
• 칼만 필터 온라인 데모.이중 실험을 이용한 칼만 필터(및 기타 데이터 동화 방법) 시연
• Botella, Guillermo; Martín h., José Antonio; Santos, Matilde; Meyer-Baese, Uwe (2011). "FPGA-Based Multimodal Embedded Sensor System Integrating Low- and Mid-Level Vision". Sensors. 11 (12): 1251–1259. Bibcode:2011Senso..11.8164B. doi:10.3390/s110808164. PMC 3231703. PMID 22164069.
• Kalman Filters with MATLABA 필터링 및 추정에 대한 예제 및 방법 튜토리얼
• 1시간 10분 1분 1분 한 문장 필터링(추정) 설명 호 유치호
• Simo Särkkä (2013)."베이지안 필터링 및 스무딩".케임브리지 대학 출판부.저자 웹페이지 https://users.aalto.fi/ ~sarkka/에서 전문을 볼 수 있습니다.