밀레니엄상 문제

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밀레니엄상 문제
버치·스위너튼-다이어 추측 호지 추측 나비에-스토크의 존재와 부드러움 P 대 NP 문제 푸앵카레 추측(솔루션) 리만 가설 양-밀스 존재와 질량 격차
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밀레니엄상 문제점은 2000년 클레이수학연구소가 선정한 유명한 수학문제 7가지다.클레이 연구소는 문제의 정확한 해결을 위해 미화 100만 달러의 상금을 약속했다.

현재까지 해결된 유일한 밀레니엄상 문제는 푸앵카레 추측이다.클레이 연구소는 2010년에 러시아 수학자 그리고리 페렐만에게 상금을 수여했다.그러나 리차드 S에게도 제안되지 않았다는 이유로 이 상을 거절했다. 해밀턴, Perelman이 만든 작품.

나머지 6개의 미해결 문제는 버치와 스윈너튼-다이어 추측, 호지 추측, 나비에다.–존재와 부드러움, P 대 NP 문제, 리만 가설, 양-밀스의 존재와 질량 차이를 강조한다.

개요

클레이 연구소는 1900년 수학자 데이비드 힐버트가 조직한 23개의 문제들에 의해 영감을 받았고, 이 문제들은 금전적 가치가 없음에도 불구하고 20세기 수학의 발전을 이끄는 데 큰 영향을 미쳤다.^[1]선택된 7개의 문제들은 대수 기하학, 산술 기하학, 기하학 위상, 수학 물리학, 숫자 이론, 부분 미분 방정식, 이론 컴퓨터 과학과 같은 많은 수학 분야에 걸쳐 있다.힐버트의 문제와 달리 클레이 연구소가 선정한 문제들은 이미 전문 수학자들 사이에서 명성이 높았고, 그 해결을 위해 많은 사람들이 적극적으로 노력했다.^[2]

1990년대 푸앵카레 추측 작업을 시작했던 그리고리 페렐만은 2002년과 2003년 자신의 증거를 공개했다.그가 2010년 클레이 연구소의 상금을 거부한 것은 언론에서 광범위하게 다루어졌다.아마추어 수학자들과 전문 수학자들 모두의 많은 불만족스러운 증거들에도 불구하고, 나머지 6개의 밀레니엄상 문제들은 여전히 풀리지 않고 있다.

클레이 연구소의 과학 자문 위원회의 일원으로서 앤드류 와일즈는 100만 달러의 상금의 선택이 일반 청중들 사이에서 "수학적 노력의 흥분"^[3]뿐만 아니라 선택된 문제들이 대중화되기를 희망했다.또 다른 이사회 멤버인 필즈의 메달리스트인 알랭 콘스는 미해결 문제를 둘러싼 홍보가 수학이 "컴퓨터에 의해 거부될 것"이라는 대중들 사이의 "잘못된 생각"과 싸우는 데 도움이 되기를 희망했다.^[4]

일부 수학자들은 더 비판적이었다.아나톨리 베르쉬크는 그들의 상금을 '현대의 대중문화의 가장 흉악한 표현'을 대표하는 '쇼비즈니스'로 특징 지었고, 수학에 대한 대중의 감상에 투자하는 더 의미 있는 방법이 있다고 생각했다.^[5]그는 페렐만과 그의 작품에 대한 피상적인 미디어 대우와 그의 작품들은 수상 가치 자체에 불균형적인 관심을 두는 것은 놀랄 일이 아니라고 보았다.이와는 대조적으로 베르쉬크는 클레이 연구소가 직접 연구회의와 젊은 연구자들에게 자금을 지원한 것에 대해 찬사를 보냈다.베르쉬크의 발언은 후에 필즈 메달리스트인 신퉁 야우에 의해 반영되었는데, 그는 기초적인 수학 문제를 "적합"하고 "이 문제에 이름을 붙이기" 위한 조치를 취한다는 생각에 추가적으로 비판적이었다.^[6]

해결된 문제

푸앵카레 추측

기하학적 위상 분야에서 2차원 구체는 유일하게 닫히고 단순하게 연결된 2차원 표면이라는 점이 특징이다.1904년 앙리 푸앵카레는 3차원 형상에 대해 유사한 진술이 사실인지에 대한 의문을 제기했다.이것을 푸앵카레 추측이라고 알려지게 되었는데, 그 정확한 공식은 다음과 같다.

닫히고 단순하게 연결된 3차원 위상학적 다지관은 3-sphere에 대해 동형이어야 한다.

추측이란 대개 이런 형태로 나타나지만, 부드러운 다지관과 차이점이라는 맥락에서 그것을 제기하는 것은 (1950년대에 발견된 것과) 동등하다.

이러한 추측의 증거는 보다 강력한 기하학적 추측과 함께 2002년과 2003년에 그리고리 페렐만에 의해 제시되었다.Perelman의 해결책은 Richard Hamilton이 지난 20년 동안 개발한 기하학적 추측의 해결 프로그램을 완성했다.해밀턴과 페렐만의 작업은 리만 기하학 분야에서 정의된 부분 미분 방정식의 복잡한 시스템인 해밀턴의 리치 흐름을 중심으로 전개되었다.

리치 흐름 이론에 대한 그의 공헌으로, Perelman은 2006년에 필즈 메달을 받았다.그러나 그는 상을 받기를 거부했다.^[7]페렐만은 푸앵카레 추측에 대한 증거로 2010년 3월 18일 밀레니엄상을 수상했으나 상장과 관련 상금을 거절했다.^[8]인테르팍스 통신은 페렐만이 푸앵카레 추측을 해결하는데 기여한 공로가 해밀턴보다 크지 않다고 보고 이번 상이 불공평하다고 믿는다고 말했다고 전했다.^[9]

미해결 문제

버치·스위너튼-다이어 추측

Birch와 Swinnerton-Dyer 추측은 특정 유형의 방정식을 다룬다: 타원곡선을 정의하는 방정식들.그러한 방정식들이 합리적인 해결책의 유한한 수인지 무한한 수인지를 구별할 수 있는 간단한 방법이 있다는 추측이다.힐버트의 10번째 문제는 보다 일반적인 유형의 방정식을 다루었고, 그 경우 주어진 방정식이 어떤 해법도 가지고 있는지 여부를 결정할 방법이 없다는 것이 증명되었다.

그 문제에 대한 공식 성명은 앤드류 와일즈가 발표했다.^[10]

호지 추측

호지 추정은 투영 대수적 다양성의 경우 호지 주기는 대수적 주기의 합리적인 선형 조합이라는 것이다.

${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}$

우리는 이것을 X 학위 2k의 호지계급이라고 부른다.

호지 추측의 현대적 진술은 다음과 같다.

X를 비노래성 복합 투영 다지관이 되게 하라.그리고 X의 모든 Hodge 클래스는 X의 복잡한 하위 분리에 대한 코호몰로지 클래스의 합리적인 계수를 가진 선형 결합이다.

그 문제에 대한 공식적인 성명은 피에르 들랭에 의해 발표되었다.^[11]

나비에-스토크의 존재와 부드러움

${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Variation}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convection}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{관성(볼륨당)}}}\오버브레이스 {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} _{\text{Diffusion}}=\언더브레이스 {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{\text}내부}}\\{\text{smallmatrix}\end{smallmatrix}} ^{\text{스트레스의 전달}+\brace{\mathbf{g} _{\begin{smallmatrix}{\text}}}}}외부}\{\text{source}\end{smallmatrix}}.}$

더 나비에–스톡스 방정식은 유체의 운동을 기술하며, 유체 역학의 기둥 중 하나이다.그러나, 과학과 공학에서 그것의 중요성에도 불구하고, 그들의 해결책에 대한 이론적 이해는 불완전하다.방정식의 3차원 시스템에 대해서, 그리고 몇몇 초기 조건들을 고려했을 때, 수학자들은 언제나 부드러운 해법이 존재한다는 것을 아직 증명하지 못했다.이것을 Navier라고 부른다.–존재와 부드러움 문제를 야기한다.

불압축 유체의 경우에 한정된 문제는 어떤 조건을 만족하는 매끄럽고 세계적으로 정의되는 해결책이 존재한다는 것을 증명하거나, 그것들이 항상 존재하지 않고 방정식이 분해된다는 것을 증명하는 것이다.그 문제에 대한 공식적인 성명은 찰스 페퍼먼에 의해 발표되었다.^[12]

P 대 NP

문제는 알고리즘이 주어진 솔루션을 신속하게 검증할 수 있는 모든 문제(즉, 다항식 시간)에 대해 알고리즘도 그 솔루션을 빠르게 찾을 수 있는지 여부다.전자는 NP라고 하는 문제의 등급을, 후자는 P라고 하는 문제를 기술하고 있기 때문에, 이 질문은 NP의 모든 문제가 P에도 있는가를 묻는 것과 같다.이것은 일반적으로 수학 및 이론 컴퓨터 과학에서 가장 중요한 개방형 질문 중 하나로 간주된다. 수학은 수학의 다른 문제와^{[citation needed]} 생물학, 철학^[13], 암호학에 광범위한 영향을 미치기 때문이다(P 대 NP 문제 증명 결과 참조).P에 있는 것으로 알려져 있지 않은 NP 문제의 일반적인 예는 부울 만족도 문제다.

대부분의 수학자들과 컴퓨터 과학자들은 P ≠ NP를 기대하지만, 그것은 증명되지 않은 채로 남아있다.^[14]

그 문제에 대한 공식적인 성명은 스티븐 쿡에 의해 발표되었다.^[15]

리만 가설

${\displaystyle \zeta(s)=\sum \n=1}^{{n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}+{2^{1}}+{\frac {1}{1}{3^}}+\cdots }}}}}}}$

리만 제타 함수 ζ(s)는 인수 s가 1 이외의 복잡한 숫자일 수 있고 값도 복잡할 수 있는 함수다.그것의 해석적 연속성은 음의 짝수 정수에 0을 가진다. 즉, s가 -2, -4, -6 중 하나일 때 ζ = 0, ....이것들은 그것의 사소한 0이라고 불린다.그러나, 음의 짝수 정수만이 제타 함수가 0인 값은 아니다.다른 것들은 비종교적 0이라고 불린다.리만 가설은 이러한 비종교 0의 위치와 관련되며, 다음과 같이 명시한다.

리만 제타 함수의 모든 비경쟁 0의 실제 부분은 1/2이다.

리만 가설은 리만 제타 함수의 분석적 지속에 대한 모든 비경쟁적 0이 /의 실제 부분을 가지고 있다는 것이다.₂ 이것에 대한 증명이나 분산은 수 이론, 특히 소수 분포에 있어 광범위한 영향을 미칠 것이다.이것은 힐버트의 여덟 번째 문제였고, 한 세기 후에도 여전히 중요한 열린 문제로 여겨지고 있다.

이 문제는 1860년 베른하르트 리만이 처음 제기한 이후 줄곧 잘 알려져 있다.클레이 연구소의 문제 해설은 엔리코 봄비에리가 맡았다.^[16]

양-밀스 존재와 질량 격차

양자장 이론에서 질량 격차는 진공과 다음으로 가장 낮은 에너지 상태 사이의 에너지 차이다.진공의 에너지는 정의상 0이며, 모든 에너지 상태를 평면파의 입자로 생각할 수 있다고 가정하면 질량 간격은 가장 가벼운 입자의 질량이다.

주어진 실제 필드 $\varphi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \pi (x)}$에 대해, 우리는 2점 함수에 속성이 있다면 이론이 질량격차를 갖는다고 말할 수 있다$.$

${\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\langle \sim \sum _{n}}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}$

> ${\displaystyle \Delta _{0}}0}$이(가) 해밀턴 스펙트럼에서 가장 낮은 에너지 값이며 따라서 질량 간격이다.다른 분야로 일반화하기 쉬운 이 양은 격자 계산에서 일반적으로 측정되는 양이다.

양자양-밀스 이론은 기초 입자 물리학의 현실과 잠재적 현실에 사상의 대다수의 이론적 응용을 위한 현재의 기초다.^[17]이 이론은 크로모 전자장 자체가 전하를 운반하는 전자기학의 맥스웰 이론을 일반화한 것이다.고전적인 장 이론으로서 그것은 빛의 속도로 이동하는 해결책을 가지고 있어서 그것의 양자 버전은 질량이 없는 입자(글루온)를 묘사해야 한다.그러나, 색감축이라는 가정된 현상은 거대한 입자를 형성하면서, 결합 상태의 글루온만 허용한다.이것이 매스 갭이다.구속의 또 다른 측면은 점증적 자유인데, 이는 양자 양밀 이론이 낮은 에너지 척도에 제한 없이 존재한다고 생각할 수 있게 한다.문제는 양자양-밀스 이론의 존재와 질량 격차를 엄격하게 확립하는 것이다.

어떠한 컴팩트한 단순한 게이지 그룹 G에 대한은 양자 Yang–Mills 이론 R4{\displaystyle \mathbb{R}^{4}에}과 질량 간극 Δ 을 있습니다;0을 증명해 보세요존재에 이르는 Streater 및에 인용된 강한 적어도;와이트먼(1964년)[18]오스터발더,&슈레이더는(1973년)[19]과 오스터발더 &, Schrade 자명한 속성을 포함한다.r (수치)^[20]

그 문제에 대한 공식 성명은 아서 재프와 에드워드 위튼이 했다.^[21]

참고 항목

• 베알의 추측
• 힐베르트의 문제
• 수학상 목록
• 수학의 미해결 문제 목록
• 스마일 문제
• 폴 울프스켈 (페르마트의 마지막 정리 해법으로 상금을 받았다)

참조

• 이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 밀레니엄 문제(Millennium Permissions on PlanetMath)의 자료가 통합되어 있다.

추가 읽기

• Carlson, James; Jaffe, Arthur; Wiles, Andrew, eds. (2006). The Millennium Prize Problems. Providence, RI: American Mathematical Society and Clay Mathematics Institute. ISBN 978-0-8218-3679-8.
• Devlin, Keith J. (2003) [2002]. The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time. New York: Basic Books. ISBN 0-465-01729-0.

외부 링크

• 밀레니엄상 문제