Sphere
Sphere wireframe 10deg 6r.svg
유형매끄러운 표면
대수면
오일러 샤르2
대칭군O(3)
표면적4파운드2
용량3분3 4

구체(고대 그리스어)[1]2차원 원의 3차원 유사체인 기하학적 물체이다.구면이란 [2]3차원 공간의 주어진 점으로부터 모두 같은 거리 r에 있는 점들의 집합입니다.주어진 점은 구체중심이고 r은 구체의 반지름입니다.구에 대해 알려진 최초의 언급은 고대 그리스 수학자들의 작품에서 나타난다.

구는 수학의 많은 분야에서 기본적인 대상이다.구체와 거의 구형의 모양은 자연과 산업에서도 나타난다.비눗방울과 같은 기포는 평형상태에서 구형을 이룬다.지구는 종종 지리학에서 와 비슷하며, 천구는 천문학에서 중요한 개념이다.압력용기, 대부분의 커브드 미러 및 렌즈제조 품목은 구를 기반으로 합니다.구체는 어느 방향으로든 부드럽게 회전하기 때문에 스포츠나 장난감에서 사용되는 은 볼 베어링과 마찬가지로 구면입니다.

기본 용어

구체의 두 직교 반지름

앞서 설명한 바와 같이 r은 구체의 반지름입니다. 중심에서 구체의 점까지 이어지는 선은 [3]반지름이라고도 합니다.

반지름이 중심을 통해 구의 반대쪽으로 확장되면 지름이 생성됩니다.반지름과 마찬가지로 직경의 길이도 직경이라고 하며 d로 표시됩니다.직경은 구의 두 점 사이에 그릴 수 있는 가장 긴 선 세그먼트입니다. 길이는 반지름의 두 인 d=2r입니다.직경으로 연결된 구상의 두 점은 서로 [3]대척점입니다.

단위구는 단위반경(r=1)을 가진 구이다.편의상, 구체는 좌표계의 원점에 중심을 두는 경우가 많으며, 이 기사의 구체는 중심이 언급되지 않는 한 원점에 중심을 둔다.

구상의 원은 구와 같은 중심과 반지름을 가지며, 그것을 두 개의 균등한 반구로 나눕니다.

비록 지구가 완벽한 구형은 아니지만, 지리학에서 빌린 용어들은 구에 적용하기에 편리하다.구의 특정 점이 (임의로) 북극으로 지정되면, 그 대척점은 남극이라고 불립니다.각각의 원과 등거리에 있는 대원은 적도이다.극을 통과하는 큰 원을 경도선 또는 자오선이라고 합니다.두 극을 연결하는 선은 회전축이라고 할 수 있다.적도에 평행한 구상의 작은 원은 위도의 선이다.천체와는 무관한 기하학에서 지구중심 용어는 [3]오해의 소지가 없는 한 설명만을 위해 사용되어야 하며, 와 같이 기록되어야 한다.

수학자들은 구체를 3차원 유클리드 공간에 내장된 2차원 닫힌 표면으로 간주한다.그들은 을 구분하는데, 이것은 구에 포함된 부피를 포함하는 경계를 가진 3차원 다양체이다.열린 공은 구 자체를 제외하는 반면 닫힌 공은 구를 포함한다. 닫힌 공은 열린 공과 구의 결합이고 구는 열린 공(닫힌 공 또는 열린 공)의 경계이다.공과 구의 구분이 항상 유지된 것은 아니며, 특히 오래된 수학적 참고 문헌은 구를 고체라고 말한다.평면 내의 "circle"과 "disk"의 차이는 비슷합니다.

작은 구들은 때때로 화성의 구공에서 구공이라고 불린다.

방정식

해석 기하학에서 중심(x0, y0, z0)반지름이 r인 구는 다음과 같이 모든 점(x, y, z)궤적입니다.

2차 다항식으로 표현될 수 있기 때문에, 구는 대수면[3]일종4차 표면이다.

a, b, c, d, e를 a ≤ 0의 실수라고 가정하고, 다음과 같이 합니다.

그럼 방정식은

< \ 이면 해로서 실점이 없으며 상상의 구체의 방정식이라고 불린다. 0 { 경우 (, , z ) ( , ,z 0 ) 0 ( \ ( 0 , 0 , 0 )의 한 해는 으로, (\displaystyle \)의 경우f ( ) 0 (\ f)= 중심이 0 (\이고 반지름이0 (\[2]인 구의 방정식입니다.

의 방정식에서 a가 0이면 f(x, y, z) = 0은 평면의 방정식이다.따라서, 평면은 중심이 [4]무한대의 점인 무한 반경의 구라고 생각할 수 있다.

파라메트릭

반지름이 r이고 중심이( 0, , 0) { (_ 0 , y _ 0 , y _ {{0},

[5]

여기서 사용되는 기호는 구면 좌표에서 사용되는 기호와 동일합니다.r은 상수이며, "는 0 ~" 0 ~2"입니다.

특성.

동봉된 볼륨

구체 및 외접 실린더

3차원에서, 구 내부의 부피(즉, 의 부피, 그러나 고전적으로 구체의 부피라고 칭함)는 다음과 같다.

여기서 r은 반지름이고 d는 구체의 지름입니다.아르키메데스는 구 내부의 부피가 구와 [6]구체의 외접 원통 사이의 부피의 두 배라는 것을 보여줌으로써 이 공식을 처음 도출했다.이는 원뿔의 단면적에 구체의 단면적을 더한 면적이 외접 원통의 단면적과 동일하다는 점에 주목하고 Cavalieri의 [7]원리를 적용함으로써 증명될 수 있다. 공식은 또한 적분 미적분, 즉 디스크 통합을 사용하여 x = -r에서 x = r까지 x 축을 따라 나란히 쌓고 중심을 맞춘다.

미적분 사용 구 체적 증명

임의의 x에서 증분 부피(δV)는 x에서의 디스크 단면적과 두께(δx)의 곱과 같습니다.

총 볼륨은 모든 증분 볼륨의 합계입니다.

δx[8]0에 가까워지면 이 방정식은 다음과 같이 됩니다.

주어진 x에서 직각 삼각형은 x, y, r을 원점에 연결한다. 따라서 피타고라스 정리를 적용하면 다음과 같은 결과가 나온다.

이 대체품을 사용하면

그 결과를 얻기 위해 평가될 수 있다.

대체 공식은 체적 요소와 함께 구형 좌표를 사용하여 찾을 수 있습니다.

그렇게

V = δ/63 d(여기서 d는 구의 지름이며 입방체 변의 길이이기도 함) 및 δ/6 ≤ 0.5236이므로 입방체 내 내면의 부피는 입방체 부피의 52.4%로 근사할 수 있다.예를 들어, 직경이 1m인 구는 모서리 길이가 1m인 입방체의 52.4% 즉 약 0.524m이다3.

표면적

반지름 r 구면의 표면적은 다음과 같습니다.

아르키메데스는 처음에[9] 외접 원통의 측면으로 돌출된 부분이 면적을 [10]보존한다는 사실에서 이 공식을 도출했다.이 공식을 얻기 위한 또 다른 접근법은 반지름 r의 구 안에 있는 전체 부피가 내부에 동심원적으로 쌓인 무한한 수의 구면 껍데기의 표면적의 합으로 생각될 수 있기 때문에 그것이 r에 대한 부피 공식의 도함수와 같다는 사실에서 비롯됩니다.e: 반지름 0에서 반지름 r까지의 다른 것.극소두께에서는 임의의 셸의 내측 표면적과 외측 표면적의 차이가 극소이며, 반지름 r에서의 요소 부피는 단순히 반지름 r에서의 표면적과 극소두께의 곱이다.

표면적의 증명, 미적분 사용

주어진 반지름 [note 1]r에서 증분 부피(θV)는 반지름 r(A(r))에서의 표면적과 셸 두께(θr)의 곱과 같다.

총 볼륨은 모든 셸 볼륨의 합계입니다.

δr이 0에 가까워지면[8] 이 방정식은 다음과 같이 됩니다.

대체 V:

이 방정식의 양쪽을 r에 대해 미분하면 A는 r의 함수로서 산출된다.

이것은 일반적으로 다음과 같이 축약됩니다.

여기서 r은 이제 구의 고정 반지름으로 간주됩니다.

또는 구상의 영역 요소dA = r2 sin δ dθ로 구면 좌표에서 주어진다.데카르트 좌표에서 면적 요소는[citation needed]

따라서 통합으로 총 면적을 얻을 수 있습니다.

구는 지정된 볼륨을 감싸는 모든 표면 중 가장 작은 표면적을 가지며, 모든 닫힌 표면 중 지정된 표면적을 가진 [11]가장 큰 볼륨을 포함합니다.따라서 구체는 자연에서 나타난다: 예를 들어, 표면 장력이 국소적으로 표면적을 최소화 하기 때문에 거품과 작은 물방울은 대략 구면이다.

공의 질량에 상대적인 표면적은 비 표면적이라 불리며 위에 언급된 방정식으로부터 다음과 같이 표현될 수 있다.

여기서 θ밀도(질량 대 부피의 비율)이다.

기타 기하학적 특성

구체는 직경 중 하나를 중심으로 을 회전시킴으로써 형성된 표면으로 구성될 수 있습니다. 이것은 본질적으로 유클리드의 원소에 주어진 구체의 전통적인 정의입니다.원은 타원의 특별한 유형이기 때문에, 구는 회전하는 타원체의 특별한 유형이다.원을 장축을 중심으로 회전하는 타원으로 대체하면 형상이 프롤레이트 구형이 되고, 단축을 중심으로 회전하는 타원형 [12]구형이 됩니다.

구는 동일 평면이 아닌 4개의 점에 의해 고유하게 결정됩니다.보다 일반적으로 구는 점을 통과하거나 평면에 접하는 등의 [13]4가지 조건에 의해 고유하게 결정된다.이 속성은 세 개의 비선형이 평면에서 고유한 원을 결정하는 속성과 유사합니다.

그 결과, 원과 그 원의 평면상에 없는 점에 의해서, 구체는 일의로 결정된다(즉, 통과한다).

구의 방정식의 공통해를 조사함으로써, 두 개의 구가 원 안에서 교차하는 것을 볼 수 있고, 그 원을 포함하는 평면을 교차하는 [14]구체의 급진면이라고 한다.라디칼 평면은 실제 평면이지만, 원은 상상이거나(구에는 공통의 실제 점이 없음) 단일 점(구들은 그 점에서 [15]접선)으로 구성될 수 있습니다.

실제 교차점에서 두 구 사이의 각도는 해당 지점의 구에 대한 접면에 의해 결정되는 이면각입니다.두 개의 구가 [16]교차하는 원의 모든 점에서 동일한 각도로 교차합니다.중심 간 거리의 제곱이 반지름의 [4]제곱합과 동일한 경우에만 직교합니다.

구연필

만약 f(x, y, z) = 0이고 g(x, y, z) = 0이라면,

파라미터 s t의 임의의 값에 대한 구의 방정식이기도 합니다.이 방정식을 만족시키는 모든 구의 집합을 원래 두 개의 구에 의해 결정되는 구의 연필이라고 합니다.이 정의에서는 구는 평면(무한 반지름, 중심)이 될 수 있으며, 두 개의 원래 구가 모두 평면일 경우 연필의 모든 구가 평면이며, 그렇지 않을 경우 [4]연필에는 평면(라디칼 평면)이 하나만 있습니다.

구의 11가지 특성

구에 대한 법선 벡터, 법선 평면 및 그 법선 단면.교차 곡선의 곡률은 단면 곡률입니다.구체의 경우 지정된 점을 통과하는 각 정규 섹션은 동일한 반지름(구체의 반지름)의 원이 됩니다.이것은 구의 모든 점이 탯줄이 된다는 것을 의미합니다.

그들의 책 기하학[17]상상에서, 데이비드 힐버트와 스테판 콘-보센은 구의 11가지 특성을 설명하고 이러한 특성이 구를 독특하게 결정하는지에 대해 논의합니다.평면에 대해 몇 가지 특성이 유지되며, 이는 무한 반경의 구라고 생각할 수 있습니다.속성은 다음과 같습니다.

  1. 구의 점은 모두 고정된 점으로부터 동일한 거리에 있습니다.또, 2개의 고정점으로부터의 점간 거리의 비율은 일정하다.
    첫 번째 부분은 구의 일반적인 정의이며, 독특하게 구를 결정합니다.두 번째 부분은 쉽게 추론할 수 있고, 에 대한 페르가의 아폴로니우스비슷한 결과를 따른다.이 두 번째 부분은 또한 평면을 지탱합니다.
  2. 구의 윤곽선과 평면 단면은 원입니다.
    이 속성은 구를 고유하게 정의합니다.
  3. 구의 폭과 둘레가 일정합니다.
    표면의 폭은 평행 접선 평면 쌍 사이의 거리입니다.다른 수많은 닫힌 볼록면은 마이스너 본체와 같이 일정한 폭을 가진다.표면의 둘레는 평면에 대한 직교 투영 경계의 둘레입니다.이들 속성은 각각 다른 속성을 내포하고 있습니다.
  4. 구의 모든 점은 탯줄이다.
    표면상의 어느 점에서도 정상 방향은 표면과 직각이 됩니다.구면에서는 구체의 중심에서 방사되는 선이기 때문입니다.지표면과 법선을 포함하는 평면의 교차점은 법선 단면이라고 하는 곡선을 형성하며, 이 곡선의 곡률이 법선 곡률입니다.대부분의 표면에 있는 대부분의 점의 경우 단면마다 곡선이 다릅니다. 이러한 곡선의 최대값과 최소값을 주곡선이라고 합니다.닫힌 표면에는 탯줄 점이라고 불리는 최소 4개의 점이 있습니다.탯줄에서는 모든 단면 곡선이 동일하며, 특히 주요 곡선이 동일하다.탯줄 포인트는 표면이 구에 의해 근접하는 점이라고 생각할 수 있습니다.
    구의 경우 모든 정규 섹션의 곡률이 같으므로 모든 점은 탯줄입니다.이 특성을 가진 표면은 구와 평면뿐입니다.
  5. 구면에는 중심 표면이 없습니다.
    주어진 정규 단면에 대해 단면 곡률과 동일하고 표면에 접하며 정규선에 있는 중심선이 있는 곡률 원이 존재합니다.예를 들어, 최대 및 최소 단면 곡선에 대응하는 두 개의 중심을 초점이라고 하며, 이러한 모든 중심들의 집합이 초점 표면을 형성한다.
    대부분의 표면에서 초점 표면은 각각 표면이며 탯줄 지점에서 만나는 두 개의 시트를 형성합니다.몇 가지 특수한 경우가 있습니다.
    * 채널 표면의 경우 한 시트는 곡선을 이루고 다른 시트는 표면입니다.
    * 원추형, 원통형, 토리형, 사이클라이드는 모두 곡선을 형성합니다.
    * 구의 경우 모든 접촉 원의 중심이 구의 중심에 있고 초점 표면이 단일 점을 형성합니다.이 속성은 구에 고유합니다.
  6. 구의 모든 측지선학은 닫힌 곡선입니다.
    측지학은 두 점 사이의 거리가 가장 짧은 지표면의 곡선입니다.평면에서 직선의 개념을 일반화한 것입니다.구면에서는 측지선은 대원형이다.다른 많은 서페이스가 이 속성을 공유합니다.
  7. 소정의 부피를 가진 모든 고체 중 표면적이 가장 작은 것이 구이고, 소정의 표면적을 가진 모든 고체 중 가장 큰 부피를 가진 것이 구이다.
    그것은 등산 부등식에서 비롯된다.이러한 특성은 구를 고유하게 정의하며 비누 거품에서 볼 수 있습니다. 비누 거품은 고정된 볼륨을 감싸고 표면 장력은 해당 볼륨에 대한 표면적을 최소화합니다.따라서 자유롭게 떠다니는 비누 거품은 구에 가깝습니다(중력과 같은 외부 힘은 거품의 모양을 약간 왜곡시킵니다).그것은 또한 중력이 큰 천체의 표면적을 최소화하는 행성과 별에서도 볼 수 있다.
  8. 구는 주어진 표면적을 가진 모든 볼록한 고체 중에서 총 평균 곡률이 가장 작습니다.
    평균 곡률은 두 개의 주요 곡선의 평균이며, 두 개의 주요 곡선이 구의 모든 점에서 일정하기 때문에 일정합니다.
  9. 구의 평균 곡률은 일정합니다.
    구는 일정한 양의 평균 곡률을 가진 경계 또는 특이점이 없는 유일한 매립 표면입니다.최소 표면과 같은 다른 침지 표면은 평균 곡률이 일정하다.
  10. 구는 일정한 양의 가우스 곡률을 가집니다.
    가우스 곡률은 두 가지 주요 곡선의 산물이다.이는 길이와 각도를 측정하여 결정될 수 있는 고유 특성이며, 표면이 공간에 어떻게 내장되어 있는지와는 무관합니다.따라서 표면을 구부려도 가우스 곡률이 변하지 않으며, 구체의 작은 슬릿을 잘라 구부리면 일정한 양의 가우스 곡률을 가진 다른 표면을 얻을 수 있다.다른 모든 표면에는 경계가 있고, 구체는 일정한 양의 가우스 곡률을 가진 경계가 없는 유일한 표면입니다.의사권은 일정한 음의 가우스 곡률을 가진 표면의 예입니다.
  11. 구는 3개의 파라미터 패밀리의 강성운동에 의해 그 자체로 변환됩니다.
    원점에서 단위 구를 축을 중심으로 회전하면 구가 그 자체로 매핑됩니다.원점을 통과하는 선에 대한 회전은 3좌표 축을 중심으로 한 회전의 조합으로 표현될 수 있습니다(오일러 각도 참조).따라서 각 회전이 구를 스스로 변환하도록 세 가지 모수 회전 패밀리가 존재합니다. 이 패밀리가 회전 그룹 SO(3)입니다.평면은 3-모수 변환 제품군(x축 및 y축을 따른 변환 및 원점 주위의 회전)이 있는 유일한 다른 표면입니다.원형 실린더는 2-파라미터 계열의 강성 운동을 가진 유일한 표면이며 회전 표면과 헬리코이드 표면은 1-파라미터 계열의 유일한 표면입니다.

수학 영역별 처리

구면 기하학

구상의 대원

유클리드 평면 기하학의 기본 요소는 과 선이다.구면에서 점은 일반적인 의미로 정의됩니다."직선"의 유사점은 거대한 원인 측지선이다; 대원의 결정적인 특징은 모든 점을 포함하는 평면도 구의 중심을 통과한다는 것이다.호 길이로 측정하면 구에 있는 두 점 사이의 가장 짧은 경로가 점을 포함하는 대원의 더 짧은 세그먼트임을 알 수 있습니다.

고전 기하학의 많은 이론들이 구면 기하학에도 해당되지만, 구면이 평행 공식을 포함한 고전 기하학의 공식을 일부 충족하지 못하기 때문에 모두 해당하지는 않습니다.구면 삼각법에서는 대원 사이의 각도가 정의됩니다.구면 삼각법은 많은 점에서 일반적인 삼각법과 다르다.예를 들어 구면 삼각형의 내각 합계는 항상 180도를 초과합니다.또한, 유사한 구면 삼각형 두 는 일치한다.

구의 중심을 지나는 직선상의 점(즉 직경) 쌍은 대척점이라고 불리며, 구면에서는 [note 2]둘레 길이의 정확히 절반입니다.구면상의 다른 (즉, 대척점이 아닌) 구별되는 점 쌍

  • 독특한 거대한 원 위에 놓여있고,
  • 하나의 작은 호(즉, 짧은 호)와 하나의 큰 호(즉 긴 호)로 분할한다.
  • 단호 길이가 [note 3]구면에서 둘 사이의 최단 거리여야 한다.

구면 기하학은 쌍곡 기하학과 함께 비유클리드 기하학을 구성하는 타원 기하학의 한 형태이다.

미분 지오메트리

구는 각 지점에서 1/r2 [9]같은 일정한 가우스 곡률을 갖는 매끄러운 표면입니다.가우스의 '이론'에 따르면, 이 곡률은 3차원 공간에 구체가 내장되어 있는 것과는 독립적입니다.또한 가우스에서 이어 영역과 각도를 모두 유지하면서 평면에 구를 매핑할 수 없습니다.따라서 지도 투영에는 어떤 형태의 왜곡이 발생합니다.

반지름 r의 구면에는 면적 d sin d d d d \ , d, 있으며, 이는 r이 [9]일정하게 유지구면 좌표부피 요소에서 찾을 수 있다.

0을 중심으로 하는 반지름의 구는 다음과 같은 미분 형식의 적분 표면입니다.

이 방정식은 한 점에서 위치 벡터와 접선 평면이 항상 서로 직교한다는 것을 나타냅니다.또한 외향 법선 벡터는 1/r 스케일 위치 벡터와 동일하다.

리만 기하학에서 채우기 면적 추측은 반구가 리만 원의 최적(최소 면적) 등각 채우기임을 나타냅니다.

토폴로지

위상학에서, n-sphere는 (n + 1)-ball의 경계와 동질적인 공간으로 정의된다. 따라서, 그것은 유클리드 n-sphere와 동질적이지만, 아마도 메트릭이 부족할 것이다.

  • 0-sphere는 이산 위상이 있는 점 쌍입니다.
  • 1-sphere는 원형(동형사상까지)이므로, 예를 들어 모든 매듭은 1-sphere입니다.
  • 2-구체는 (동형 사상까지) 일반적인 구면입니다. 따라서, 모든 구체는 2-구면입니다.

n-sphere는 S로 표시됩니다n.그것은 경계가 없는 콤팩트 위상 다양체의 한 예이다.구는 매끄럽지 않아도 된다. 매끄럽다면 유클리드 구(이색 구)와 미분형일 필요는 없다.

구는 연속 함수 x 아래의 1점 집합의 역상이며, 따라서 닫혀 있다n; S는 또한 유계이기 때문에 하이네-보렐 정리에 의해 콤팩트하다.

놀랍게도, 일반적인 구체를 3차원 공간에서 뒤집는 것은 가능하지만 구면 외향이라고 불리는 과정에서 어떠한 주름도 만들지 않고 가능합니다.

구의 대척지수는 실제 투영면이라고 불리는 표면이며, 적도의 대척지점이 확인된 북반구라고도 생각할 수 있습니다.

구면상의 곡선

구면 단면: 원 1개
구와 원통의 동축 교점: 2개의 원

서클

구면상의 원은 평면의 원과 마찬가지로 구면상의 고정된 점으로부터 일정한 거리를 두고 모든 점으로 구성됩니다.구와 평면의 교차점은 원, 점 또는 [18]비어 있습니다.대원은 구의 중심을 지나는 평면과 구의 교차점이다. 다른 원은 작은 원이라고 불린다.

더 복잡한 표면은 원 안에서 구와 교차할 수도 있다: 구와 구의 중심(동축)을 포함하는 회전면의 교차점은 비어 있지 않은 경우 원 및/또는 점으로 구성된다.예를 들어, 오른쪽의 다이어그램은 두 개의 원으로 구성된 구와 원통의 교차점을 보여줍니다.원통 반지름이 구의 반지름이면 교점은 단일 원이 됩니다.실린더 반지름이 구 반지름보다 크면 교차로가 비어 있을 것입니다.

록소드롬

록소드롬

항법에서, 마름모꼴 선 또는 록소드롬은 경도의 모든 자오선을 같은 각도로 교차하는 호입니다.록소드롬은 메르카토르 투영법의 직선과 동일합니다.마름모꼴 선은 구형의 나선형이 아닙니다.몇 가지 간단한 경우를 제외하고, 마름모꼴의 공식은 복잡하다.

클레리아 곡선

c { c인 구형 나선형

클렐리아 곡선은 경도 \ 동일(\ 방정식을 만족하는 구면상의 곡선입니다.

= 0 \ displaystyle \ c \ ; \ , \c 0 }

특별한 경우: Viviani의 곡선( \ c ) 및 Seiffert의 나선과 같은 구형 나선( > \ c)이 있습니다.Clelia 곡선은 극궤도에 있는 위성의 경로와 비슷합니다.

구면 원뿔

구면상의 원뿔 단면의 유사점은 구면 원뿔이며, 다음과 같은 여러 가지 동등한 방법으로 정의할 수 있는 4차 곡선이다.

  • 정점이 구 중심인 2차 원뿔과 구체의 교차점으로 한다.
  • 축이 구 중심을 통과하는 타원 또는 쌍곡선 원통과의 구면 교차점
  • 쌍의 Foci에서 매우 큰 거리의 합 또는 차이가 상수인 점의 궤적으로서.

평면 원뿔 단면과 관련된 많은 이론들은 또한 구형 원뿔로 확장된다.

보다 일반적인 표면과 구의 교차

일반 교차로 구체 실린더

구체가 다른 표면과 교차하는 경우 더 복잡한 구면 곡선이 있을 수 있습니다.

구체 – 실린더

+ + \;x 방정식 y 2 + a 2, 0 a 、 y y - - 0 _ 0 }^} ={2 })^^2 ^2 }의 원통과의 교집합그것은 비선형 방정식의 해이다.

(암묵 곡선 및 다이어그램 참조)

일반화

타원체

타원체는 하나 이상의 방향으로 늘어나거나 압축된 구입니다.더 정확히는 아핀 변환 아래 있는 구의 이미지입니다.타원체는 타원이 원에 대해 가지는 것과 같은 구와 같은 관계를 가지고 있다.

치수

구는 임의의 수의 차원으로 일반화할 수 있습니다.자연수 n에 대해, 종종 S로 쓰인n "n-sphere"는 공간의 중심점으로부터 고정된 거리 r에 있는 (n + 1)차원 유클리드 공간의 점들의 집합이다. 여기서 r은 이전과 같이 양의 실수이다.특히:

  • S0: 0-sphere는 -r과 r의 2개의 개별 포인트로 구성됩니다.
  • S1: 1-sphere는 반지름 r의 입니다.
  • S2: 2구체는 일반구입니다.
  • S3: 3구체는 4차원 유클리드 공간의 구이다.

n > 2의 구를 초구라고 부르기도 합니다.

원점을 중심으로 하는 단위 반지름의 n-sphere는 S로 표시되며n 종종 "the" n-sphere라고 합니다.3차원 공간에 박혀 있는 2차원 표면이기 때문에 일반 구는 2차원이다.

미터법 공간

보다 일반적으로, 미터법 공간(E,d)에서 중심 x 및 반지름 r > 0의 구는 d(x,y) = r의 집합이다.

중앙이 정규 공간에서와 같이 E의 원점으로 간주되는 식별점일 경우 정의 및 표기법에는 언급되지 않습니다.단위 구체의 경우와 같이 반지름이 1로 간주되는 경우에도 마찬가지입니다.

공과는 달리 큰 구도 빈 세트일 수 있습니다.예를 들어, 유클리드 메트릭을 사용하는 Z에서n 반지름 r의 구는 r이 정수 n개제곱합으로 기록될 수 있는 경우에만2 비어 있지 않습니다.

팔면체택시카브 기하학에서 구이고, 입방체체비셰프 거리를 사용하는 기하학에서 구입니다.

역사

구체의 기하학은 그리스인에 의해 연구되었다.유클리드의 원소는 제11권에서 구를 정의하고, 제12권에서 구의 다양한 성질을 논하며, 제13권에서 구 안에 다섯 개의 정다면체를 새기는 방법을 보여준다.유클리드는 구체의 면적과 부피를 포함하지 않고, 구체의 부피가 구체의 직경의 세 번째 거듭제곱으로 변한다는 정리만 포함하고 있는데, 아마도 크니두스의 에우독소스 때문일 것이다.부피와 면적 공식은 아르키메데스의 '구체와 원통'에서 탈진 방법에 의해 처음 결정되었다.제노도루스는 주어진 표면적에 대해 구체가 최대 [3]부피의 고체라고 최초로 말했다.

아르키메데스는 구를 주어진 비율로 부피가 있는 부분들로 나누는 문제에 대해 썼지만, 그것을 해결하지는 못했다.포물선과 쌍곡선을 이용한 해법은 아미수스의 디오니소도로스(기원전 1세기)에 의해 제시되었으며, 유사한 문제 - 주어진 세그먼트와 같은 부피로, 그리고 다른 세그먼트에 표면으로 같은 세그먼트를 구성하는 것 -은 나중[3]알-퀴히에 의해 해결되었다.

갤러리

지역

「 」를 참조해 주세요.

주 및 참고 자료

메모들

  1. ^ r은 이 계산에서 변수로 간주됩니다.
  2. ^ 어느 방향을 선택하든 거리는 구체의 반지름 × θ이다.
  3. ^ 구면에서 구별되지 않는 두 점(즉, 점과 자체) 사이의 거리는 0입니다.

레퍼런스

  1. ^ 【α】α, 헨리 조지 리델, 로버트 스콧, 그리스 영어 어휘집 페르세우스.
  2. ^ a b 알버트 2016, 페이지 54
  3. ^ a b c d e f Chisholm, Hugh, ed. (1911). "Sphere" . Encyclopædia Britannica. Vol. 25 (11th ed.). Cambridge University Press. pp. 647–648.
  4. ^ a b c Woods 1961, 페이지 266
  5. ^ Kreysig(1972년, 페이지 342).
  6. ^ 스타인하우스 1969, 223페이지
  7. ^ "The volume of a sphere – Math Central". mathcentral.uregina.ca. Retrieved 10 June 2019.
  8. ^ a b E.J. Borowski; J.M. Borwein (1989). Collins Dictionary of Mathematics. pp. 141, 149. ISBN 978-0-00-434347-1.
  9. ^ a b c Weisstein, Eric W. "Sphere". MathWorld.
  10. ^ 스타인하우스 1969, 페이지 221
  11. ^ Osserman, Robert (1978). "The isoperimetric inequality". Bulletin of the American Mathematical Society. 84 (6): 1187. doi:10.1090/S0002-9904-1978-14553-4. Retrieved 14 December 2019.
  12. ^ 알버트 2016, 페이지 60
  13. ^ 알버트 2016, 페이지 55
  14. ^ 알버트 2016, 페이지 57
  15. ^ Woods 1961, 페이지 267
  16. ^ 알버트 2016, 페이지 58
  17. ^ Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (2nd ed.). Chelsea. ISBN 978-0-8284-1087-8.
  18. ^ Weisstein, Eric W. "Spheric section". MathWorld.
  19. ^ 세계에서 가장 새로운 과학자 테크놀로지 라운드 오브제가 탄생했습니다.

추가 정보

외부 링크