일반 토폴로지

수학에서, 일반 위상(General topology)은 토폴로지에 사용되는 기본 집합 이론 정의와 구조를 다루는 토폴로지의 한 분야이다.미분 위상, 기하 위상, 대수 위상 등 대부분의 다른 위상 분기의 기초가 됩니다.일반 토폴로지의 또 다른 이름은 포인트 세트토폴로지입니다

포인트 세트토폴로지의 기본 개념은 연속성, 콤팩트성 및 연결성입니다.

• 연속 함수는 직관적으로 가까운 지점을 근처 지점으로 이동합니다.
• 콤팩트 세트는 임의로 작은 사이즈의 세트로 커버할 수 있는 세트입니다.
• 연결된 세트는 멀리 떨어져 있는 두 부분으로 나눌 수 없는 세트입니다.

'근접', '임의적으로 작음', '멀리 떨어져 있음'이라는 용어는 모두 오픈 세트의 개념을 사용하여 정밀하게 만들 수 있습니다.'열린 집합'의 정의를 변경하면 연속 함수, 콤팩트 집합 및 연결된 집합이 변경됩니다.'오픈 세트'에 대한 각 정의 선택은 토폴로지라고 불립니다.토폴로지가 있는 세트를 토폴로지 공간이라고 합니다.

메트릭 공간은 음이 아닌 실제 거리를 집합의 점 쌍으로 정의할 수 있는 위상 공간의 중요한 클래스입니다.메트릭을 사용하면 많은 증명이 간소화되며, 가장 일반적인 토폴로지 공간의 대부분은 메트릭 공간입니다.

역사

일반적인 토폴로지는 다음과 같은 여러 영역에서 발전했습니다.

• 실선의 서브셋에 대한 상세 연구(한때 점 세트의 토폴로지로 알려졌으며, 이 용도는 이제 사용되지 않음)
• 다양체 개념의 도입
• 함수 분석 초기에 미터법 공간, 특히 규범화된 선형 공간에 대한 연구

일반위상은 1940년경 현재의 형태를 띠게 되었다.이것은 거의 모든 것을 연속성의 직관적으로 포착할 수 있습니다. 기술적으로 적절한 형태로, 수학의 모든 영역에 적용할 수 있습니다.

세트의 토폴로지

X를 집합으로 하고 θ를 X의 부분 집합족으로 한다.다음에 해당하는 경우,^[1][2]는 X 상의 토폴로지라고 불립니다.

1. 빈 집합과 X는 모두 τ의 요소입니다.
2. is의 원소 결합은 τ의 원소이다.
3. is의 많은 원소의 교집합은 τ의 원소이다.

「」가 X상의 토폴로지인 경우, 쌍(X, 「)은 토폴로지 공간이라고 불립니다.X 표기는_τ 특정 토폴로지 τ를 가진 집합 X를 나타내기 위해 사용할 수 있습니다.

are의 멤버는 X에서는 오픈세트라고 불립니다X의 서브셋은 그 보수가 θ(즉, 그 보수가 열린 상태)이면 닫힘이라고 한다.X의 하위 집합은 열림, 닫힘, 둘 다(닫힘 집합)이거나 둘 다일 수 있습니다.빈 집합과 X 자체는 항상 닫혀 있고 열려 있습니다.

토폴로지의 기초

위상 T를 가지는 위상 공간 X의 기저(또는 기저) B는, T내의 모든 열린 집합이 ^[3][4]B의 요소의 결합으로서 쓸 수 있도록, T내의 열린 집합의 집합이다.베이스가 토폴로지를 생성한다고 합니다.토폴로지의 많은 속성이 토폴로지를 생성하는 베이스에 대한 스테이트먼트로 축소될 수 있고, 많은 토폴로지가 토폴로지를 생성하는 베이스로 가장 쉽게 정의되기 때문에 유용합니다.

부분공간 및 지수

토폴로지 공간의 모든 서브셋에는 오픈 세트가 서브셋과 더 큰 공간의 오픈 세트의 교차점인 서브스페이스 토폴로지가 주어질 수 있다.인덱스된 위상 공간 패밀리에 대해 제품 위상을 제공할 수 있습니다. 제품 위상은 투영 매핑 아래에 있는 요소의 열린 집합의 역이미지에 의해 생성됩니다.예를 들어 유한 제품에서 제품 토폴로지의 기초는 개방형 집합의 모든 제품으로 구성됩니다.무한 확장 제품의 경우 기본 개방형 집합에서 투사체의 대부분을 제외한 모든 부분이 전체 공간이어야 한다는 추가 요구사항이 있습니다.

몫 공간은 다음과 같이 정의된다. X가 위상 공간이고 Y가 집합이고 f : X→ Y가 투영 함수일 경우 Y 위의 몫 위상은 f 아래에 열린 역상을 가진 Y의 부분 집합 집합이다.즉, 몫 토폴로지는 f가 연속적인 Y상의 가장 미세한 토폴로지입니다.몫위상의 일반적인 예는 위상공간 X에 등가관계가 정의되어 있는 경우입니다.지도 f는 동등성 클래스 집합에 대한 자연 투영입니다.

위상 공간의 예

특정 세트에는 다양한 토폴로지가 있을 수 있습니다.세트에 다른 토폴로지가 지정되면 다른 토폴로지 공간으로 간주됩니다.

개별 토폴로지 및 사소한 토폴로지

모든 세트에 개별 토폴로지를 지정할 수 있습니다.이 토폴로지에서는 모든 서브셋이 열려 있습니다.이 토폴로지의 컨버전스시퀀스 또는 네트는 최종적으로 일정하게 되는 시퀀스 또는 네트뿐입니다.또한 빈 세트와 전체 공간만 열려 있는 일반 토폴로지(일명 비크리트토폴로지)를 임의의 세트에 지정할 수 있습니다.이 토폴로지의 모든 시퀀스 및 네트워크는 공간의 모든 포인트로 수렴됩니다.이 예에서는 일반적인 토폴로지 공간에서는 시퀀스의 한계가 고유할 필요가 없음을 보여 줍니다.그러나 대부분의 경우 토폴로지 공간은 한계점이 고유한 하우스도르프 공간이어야 합니다.

공유한 및 공계수 토폴로지

임의의 집합에는 열린 집합이 빈 집합이고 보수가 유한한 집합인 cofinite topology를 지정할 수 있습니다.이것은 무한대 집합에서 가장 작은₁ T 토폴로지입니다.

모든 세트에 코카운트 가능한 토폴로지를 지정할 수 있습니다.코카운트 가능한 토폴로지는 빈 세트 또는 그 보완 세트가 카운트 가능한 경우 오픈으로 정의됩니다.집합이 셀 수 없는 경우 이 토폴로지는 많은 상황에서 반례가 됩니다.

실수와 복소수 토폴로지

실수의 집합인 R에 토폴로지를 정의하는 방법은 여러 가지가 있습니다.R의 표준 토폴로지는 오픈인터벌에 의해 생성됩니다.모든 열린 간격의 집합은 토폴로지의 기본 또는 기초를 형성합니다. 즉, 열린 모든 집합은 기본에 있는 일부 집합 집합의 결합임을 의미합니다.특히, 이는 집합의 모든 점에 대해 0이 아닌 반지름이 열린 간격이 있는 경우 집합이 열린다는 것을 의미합니다.보다 일반적으로, 유클리드 공간ⁿ R에는 위상이 주어질 수 있다.R의 일반적인ⁿ 토폴로지에서 기본 오픈 세트는 오픈 볼이다.마찬가지로 복소수 집합인 C와ⁿ C는 기본 오픈 집합이 오픈 볼인 표준 토폴로지를 가집니다.

실제 회선에는 하한 토폴로지도 지정할 수 있습니다.여기서 기본 오픈 세트는 하프 오픈 간격 [a, b]이다.R에 대한 이 위상은 위에서 정의한 유클리드 위상보다 엄밀하게 더 미세하다. 유클리드 위상에서는 위에서 수렴할 경우에만 위상의 한 점으로 시퀀스가 수렴한다.이 예에서는 세트에 정의된 다수의 개별 토폴로지가 있을 수 있음을 보여 줍니다.

메트릭 토폴로지

모든 메트릭 공간에는 메트릭토폴로지를 지정할 수 있습니다.기본 오픈세트는 메트릭에 의해 정의된 오픈볼입니다.이것은 표준 벡터 공간의 표준 토폴로지입니다.유한 차원 벡터 공간에서 이 위상은 모든 규범에 대해 동일합니다.

기타 예

• 주어진 유한 집합에는 수많은 토폴로지가 존재합니다.이러한 공간을 유한 위상 공간이라고 합니다.유한 공간은 때때로 일반적인 위상 공간에 대한 추측에 대한 예나 반례를 제공하기 위해 사용됩니다.
• 모든 다양체는 국소적으로 유클리드이기 때문에 자연 위상을 가지고 있다.마찬가지로 모든 심플렉스 및 심플 복합체는 R에서 자연스러운ⁿ 토폴로지를 상속합니다.
• 자리스키 토폴로지는 링 또는 대수적 다양성의 스펙트럼에서 대수적으로 정의됩니다.R 또는ⁿ C에서ⁿ Zariski 토폴로지의 닫힌 집합은 다항식 시스템의 솔루션 집합이다.
• 선형 그래프에는 정점과 모서리가 있는 그래프의 많은 기하학적 측면을 일반화하는 자연 토폴로지가 있습니다.
• 함수 해석의 많은 선형 연산자 집합에는 특정 함수 시퀀스가 0 함수로 수렴되는 시점을 지정함으로써 정의된 위상이 부여됩니다.
• 로컬 필드에는 네이티브토폴로지가 있으며, 이 토폴로지는 해당 필드 상의 벡터공간으로 확장할 수 있습니다.
• 시에르핀스키 공간은 가장 단순한 비이산 위상 공간이다.그것은 계산 이론과 의미론과 중요한 관계가 있다.
• δ가 서수인 경우, 세트 δ = [0, δ]에는 구간 (a, b), [0, b] 및 (a, δ)에 의해 생성된 순서 토폴로지가 부여될 수 있다.여기서 a와 b는 δ의 요소이다.

연속 기능

연속성은 근린으로 표현된다: f는 f(x)의 근린 V에 대해 f(U) v V가 되는 x 근린 U가 존재하는 경우에만 x로 연속된다. 직관적으로 연속성은 V가 아무리 작아져도 항상 fx 안에 맵이 있는 x를 포함하는 U(이미지)가 있는 경우)가 있다.이는 Y에서 열린(닫힌) 세트의 사전 이미지가 X에서 열린(닫힌) 상태와 동일합니다.메트릭 공간에서 이 정의는 분석에 자주 사용되는 "–" 정의와 동일합니다.

극단적인 예: 집합 X에 이산 토폴로지가 지정되면 모든 기능이

${\displaystyle f\colon X\오른쪽 화살표 T}$

위상 공간 T는 연속적입니다.한편 X가 무분별한 토폴로지를 갖추고 공간 T가 적어도 T일₀ 경우 연속함수는 상수함수뿐이다.반대로 범위가 불분명한 함수는 모두 연속적입니다.

대체 정의

위상 구조에 대한 여러 동등한 정의가 존재하며, 따라서 연속 함수를 정의하는 여러 가지 동등한 방법이 있다.

근린 정의

사전 이미지에 기반한 정의는 직접 사용하기 어려운 경우가 많습니다.다음 기준은 근린에 관해 연속성을 나타낸다.f는 f(x)의 근린 V에 대해 f(U) v V가 아무리 작아도 V 내부에 x를 포함하는 U가 항상 존재하는 경우 x x X의 어느 지점에서 연속성을 나타낸다.

X와 Y가 메트릭 공간인 경우 모든 근방이 아닌 x와 f(x)를 중심으로 한 오픈볼 근방 시스템을 고려하는 것과 같습니다.이것에 의해, 메트릭스페이스의 컨텍스트에서, 상기의 「-」의 연속성의 정의가 반환됩니다.그러나 일반적인 위상 공간에서는 근접성이나 거리에 대한 개념이 없다.

단, 대상공간이 하우스도르프일 경우 f는 if에서 연속되는 것은 x가 a에 가까워질 때 f의 한계가 f(a)인 경우에만 해당된다는 점에 유의하십시오.격리된 지점에서는 모든 기능이 연속적입니다.

시퀀스 및 그물

몇 가지 컨텍스트에서 공간의 토폴로지는 한계점에 관해 편리하게 지정된다.많은 경우, 이것은 포인트가 시퀀스의 한계인 경우 지정함으로써 실현되지만, 어떤 의미에서 너무 큰 공간에서는 포인트가 ^[5]네트라고 불리는 다이렉트 세트에 의해 색인화된 보다 일반적인 포인트 세트의 한계인 경우에도 지정됩니다.함수는 시퀀스의 한계를 시퀀스의 한계로 설정하는 경우에만 연속적입니다.전자의 경우 한계 보존으로도 충분하다. 후자의 경우, 함수는 시퀀스의 모든 한계를 보존할 수 있지만 여전히 연속적이지 못하며, 그물 보존은 필요하고 충분한 조건이다.

구체적으로는 함수 f:X → Y는 X 내의 배열(x_n)이 한계 x로 수렴할 때마다 해당 배열(f(x_n))이 f(x)^[6]로 수렴하면 순차적으로 연속된다.따라서 순차적으로 연속되는 함수는 "순차 한계를 유지합니다."모든 연속 함수는 순차적으로 연속됩니다.X가 첫 번째 셀 수 있는 공간이고 셀 수 있는 선택지가 유지되는 경우, 그 반대도 유지됩니다.순차 한계를 유지하는 함수는 연속적입니다.특히 X가 메트릭 공간인 경우 순차적 연속성과 연속성은 동일합니다.첫 번째 셀 수 없는 공간의 경우 연속성이 연속성보다 훨씬 약할 수 있습니다.(두 속성이 동일한 공간을 순차 공간이라고 합니다.)이것은 일반적인 위상 공간에서의 시퀀스 대신 그물에 대한 고려에 동기를 부여한다.연속 함수는 그물의 한계를 유지하며, 실제로 이 속성은 연속 함수의 특성을 가지고 있습니다.

폐쇄 연산자 정의

토폴로지 공간의 오픈 서브셋을 지정하는 대신 토폴로지는 임의의 서브셋A µ X에 클로저를 할당하는 클로저 연산자(cl을 나타내는 것) 또는 내부 연산자(int를 나타내는 것)에 의해 결정될 수도 있습니다.이러한 용어로 함수는

$\displaystyle f\colon (X,\mathrm {cl})\to (X',\mathrm {cl}',$

위의 의미에서 위상 공간 간은 모든 부분 집합 A/X에 대해 연속적이다.

$\displaystyle f(\mathrm {cl}(A)\subseteq \mathrm {cl} '(f(A)).}$

즉, 임의의 부분 집합 A의 닫힘에 있는 X의 요소 x가 주어지면 f(x)는 f(A)의 닫힘에 속한다.이는 X'의 모든 부분 집합 A'에 대해

$(\displaystyle f^{-1}(\mathrm {cl} '(A)')\supseteq \mathrm {cl}(f^{-1}(A)').}$

게다가.

${\displaystyle f\colon (X,\mathrm {int})\to (X',\mathrm {int}',$

연속되는 것은 만약, 그리고 만약의 경우뿐입니다.

$\displaystyle f^{-1}(\mathrm {int} '(A)'\subseteq \mathrm {int}(f^{-1}(A))}$

X의 임의의 서브셋A에 대해서요

특성.

f: X → Y 및 g: Y → Z가 연속형이라면, 조성 g µ f: X → Z도 연속형이다.f: X → Y가 연속형이고

• X는 콤팩트, f(X)는 콤팩트.
• X가 접속되어 f(X)가 접속되어 있다.
• X는 패스 접속, f(X)는 패스 접속입니다.
• X는 린델뢰프, f(X)는 린델뢰프입니다.
• X는 분리가능하고 f(X)는 분리가능합니다.

고정 집합 X 상에서 생각할 수 있는 토폴로지는 부분적으로 순서가 매겨진다.토폴로지 θ는₁, θ에₁ 관해서도 열려 있는 모든 오픈 서브셋이₂ 다른 토폴로지 θ₂(주₁₂: 「」)보다 거칠다고 한다.그리고 아이덴티티 맵은

id_X: (X₂, )) → (X₁, ))

는₁, 「토폴로지의 비교」를₂ 참조해 주세요.보다 일반적으로는 연속함수

${\displaystyle(X,\tau_{X})\rightarrow(Y,\tau_{Y})}$

는 토폴로지 '가_Y 보다 거친 토폴로지로 대체되거나 보다_X 미세한 토폴로지로 대체된 경우에도 연속성을 유지합니다.

동형사상

연속 지도의 개념과 대칭적인 것은 열린 지도이며, 열린 세트의 이미지가 열려 있습니다.사실 열린 지도 f가 역함수를 가지면 그 역함수는 연속이고 연속 지도 g가 역함수를 가지면 그 역함수는 열린 것이다.2개의 위상 공간 사이에 bijectionive 함수 f가 주어졌을 때, 역함수⁻¹ f는 연속적일 필요가 없다.연속 역함수를 갖는 비사적 연속함수는 동형사상이라고 불린다.

연속분사가 그 영역으로서 콤팩트한 공간을 가지며 그 공역(codomain)이 하우스도르프라면, 그것은 동형사상이다.

연속 함수를 통한 위상 정의

주어진 함수

${\displaystyle f\colon X\right 화살표 S,}$

여기서 X는 토폴로지 공간이고 S는 (특정 토폴로지가 없는) 집합이다.S의 최종 토폴로지는 S의 오픈세트를 X에서 f(A)가 오픈되어 있는S의⁻¹ 서브셋A로 함으로써 정의된다.S에 기존 토폴로지가 있는 경우 기존 토폴로지가 S의 최종 토폴로지보다 거친 경우에만 이 토폴로지에 대해 f가 연속적입니다.따라서 최종 토폴로지는 f를 연속적으로 만드는S의 가장 미세한 토폴로지로 특징지을 수 있습니다.f가 주관적일 경우, 이 위상은 f에 의해 정의된 등가 관계 하에서 몫 위상과 규범적으로 동일시된다.

마지막으로 집합 S에서 위상공간으로의 함수 f에 대해 S상의 초기 토폴로지는 X에서 f(A)가 열린 부분 집합 S의 개방 부분 집합 A를 가진다.S에 기존 토폴로지가 있는 경우 기존 토폴로지가 S의 초기 토폴로지보다 미세한 경우에만 이 토폴로지에 대해 f가 연속됩니다.따라서 초기 토폴로지는 f를 연속적으로 만드는S 상에서 가장 거친 토폴로지로 특징지을 수 있습니다.f가 주입형일 경우 이 토폴로지는 X의 서브셋으로 간주되는S의 서브스페이스토폴로지와 규범적으로 식별됩니다.

집합 S의 위상은 모든 위상 공간 X에 대한 모든 연속 $함수{\displaystyle }$ S ${\displaystyle \to }$(\$displaystyle$ S$\right 화살표$ X$)$의 클래스에 의해 고유하게 결정된다.마지막으로 X ${\displaystyle \to S}$ .$${$displaystyle$ X$\right$ 화살표 S} $지도$에도 동일한 아이디어를 적용할 수 있습니다$.$

콤팩트 세트

형식적으로 위상 공간 X는 각각의 열린 커버가 유한한 서브커버를 가지면 콤팩트라고 불린다.그 이외의 경우는 비콤팩트라고 불립니다.명시적으로, 이것은 모든 임의 수집에 대해

${\displaystyle\{\alpha}_{\alpha\in A}}$

X의 열린 부분집합에 대해서

${\displaystyle X=\bigcup_{\alpha}U_{\alpha}}$

A의 유한 부분집합 J는 다음과 같이 존재한다.

${\displaystyle X=\bigcup_{i\in J}U_{i}}$

프랑스 부르바키 학파에 의해 전형적으로 영향을 받은 대수기하학과 같은 수학 분야에서는 일반적인 개념에 준콤팩트라는 용어를 사용하며 하우스도르프와 준콤팩트인 위상 공간 모두에 콤팩트라는 용어를 사용한다.콤팩트 세트는 콤팩트, 복수 콤팩트라고 불리기도 한다.

길이가 유한한 R의 모든 닫힌 간격은 콤팩트하다.자세한 것은 이쪽:R에서ⁿ 집합은 닫혀 있고 경계가 있는 경우에만 콤팩트합니다.(하이네-보렐 정리 참조).

콤팩트한 공간의 모든 연속 이미지는 콤팩트합니다.

하우스도르프 공간의 콤팩트 서브셋이 닫힌다.

콤팩트 공간에서 하우스도르프 공간으로 이어지는 모든 사출은 필연적으로 동형사상입니다.

콤팩트 메트릭 공간 내의 모든 점의 시퀀스는 수렴 시퀀스를 가집니다.

모든 콤팩트한 유한 차원 다양체는 어떤 유클리드 공간ⁿ R에 포함될 수 있다.

연결된 세트

위상공간 X는 2개의 비빈 개방집합이 결합되어 있으면 절단된다고 한다.그렇지 않으면 X가 접속되어 있다고 합니다.토폴로지 공간의 서브셋은 서브스페이스 토폴로지 아래에 접속되어 있는 경우 접속되어 있다고 한다.일부 작성자는 연결된 공간으로 빈 집합(고유한 토폴로지 포함)을 제외하지만 이 문서에서는 이 방법을 따르지 않습니다.

위상 공간 X의 경우 다음 조건이 동일합니다.

1. X가 접속되어 있다.
2. X는 비어 있지 않은 두 개의 분리된 닫힌 집합으로 나눌 수 없습니다.
3. X의 서브셋 중 오픈 및 클로즈드(오픈 세트)가 있는 것은 X와 빈 세트뿐입니다.
4. X의 서브셋 중 빈 경계는 X와 빈 세트뿐입니다.
5. X는 비어 있지 않은 두 개의 분리된 집합의 결합으로 쓸 수 없습니다.
6. 이산 위상이 부여된 2점 공간인 X에서 {0,1}까지의 연속 함수만 상수입니다.

R의 모든 간격은 연결되어 있습니다.

연결된 공간의 연속 영상이 연결됩니다.

접속 컴포넌트

비어 있지 않은 위상 공간의 최대 연결 부분 집합(포함순으로 정렬됨)을 공간의 연결 구성 요소라고 합니다.위상 공간 X의 구성요소는 X의 파티션을 형성합니다. 즉, 분리된 공간이고 비어 있지 않으며, 이들의 합이 전체 공간입니다.모든 구성요소는 원래 공간의 닫힌 부분 집합입니다.따라서, 그 수가 유한한 경우, 각 구성요소는 개방된 하위 집합이기도 합니다.단, 그 수가 무한대인 경우에는 그렇지 않을 수 있습니다.예를 들어 유리수 집합의 연결된 컴포넌트는 오픈되지 않은 원포인트 집합입니다.

위상 공간 X에서 ${\displaystyle {\delta }_{}}$x {\$displaystyle \Gamma$ _${x}$를 x의 연결 성분으로 하고, ${\displaystyle {\delta }_{}^{}}$ x$$δ {$displaystyle \Gamma$ _${x}'$를 x(x의 준성분이라고 함)를 포함하는 모든 열린 집합의 교집합으로 합니다.다음으로 X가 콤팩트한 하우스도르프 또는 로컬로 접속되어 있는 경우 동등성이 유지되는 $δ$ x${\displaystyle {}_{}}$δ x$$\ $Gamma$_ { x$$} \ $subset$\$Gamma$'$_${ $x$$$} 。

분리된 공간

모든 컴포넌트가 원포인트 세트인 공간을 완전 절단이라고 합니다.이 속성과 관련하여 공간 X는 X의 두 개의 서로 다른 요소 x와 y에 대해 X가 U와 V의 결합이 되도록 x와 V의 분리된 열린 근방 U가 존재하는 경우 완전히 분리되었다고 한다.완전히 분리된 공간은 완전히 연결이 끊긴 상태이지만, 그 반대는 유지되지 않습니다.예를 들어, 유리수 Q의 복사본을 두 개 가져와서 0을 제외한 모든 점에서 식별합니다.결과적으로 생성되는 공간(지분율 토폴로지 포함)은 완전히 절단됩니다.그러나 0의 두 복사본을 고려하면 공간이 완전히 분리되어 있지 않다는 것을 알 수 있다.사실 하우스도르프도 아니고, 하우스도르프보다 완전히 떨어져 있는 상태가 엄격히 강하다.

경로 연결 세트

위상공간 X의 점 x에서 점 y까지의 경로는 단위구간 [0,1]에서 x까지의 연속함수 f이며, x의 경로성분은 등가관계 하에서의 X의 등가등급이며, X의 경로성분은 x에서 y까지의 경로가 있을 경우 y와 동등하게 된다.스페이스 X는 패스 컴포넌트가1개까지 있는 경우 패스 접속(또는 패스 접속 또는0-접속)이라고 불립니다.즉, X 내의 임의의 2개의 포인트를 결합하는 패스가 있는 경우입니다.역시 많은 작가들이 빈칸을 제외한다.

경로로 연결된 모든 공간이 연결됩니다.경로가 연결되지 않은 연결된 공간의 예로는 확장된 긴 선 L* 및 위상학자의 사인 곡선이 있습니다.

다만, 실제 회선R 의 서브셋은, 패스에 접속되어 있는 경우에만 접속됩니다.이 서브셋은 R 의 간격입니다.또한 R 또는ⁿ C의ⁿ 오픈서브셋은 패스에 접속되어 있는 경우에만 접속됩니다.또한 연결성과 경로 연결성은 유한 위상 공간에서 동일합니다.

공간의 산물

X가 주어지면

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}$

는 토폴로지 공간_i X의 데카르트 곱으로, i ${\displaystyle \in }$ {\$displaystyle i\$in I$\}$ 및 표준_i 투영 p : X_i → X에 $의해{\displaystyle }$ 색인화되어 있으며, X의 제품 토폴로지는 모든_i 투영 p가 연속되는 가장 거친 토폴로지(즉, 가장 적은 수의 열린 집합을 갖는 토폴로지)로 정의됩니다.제품 토폴로지는 Tychonoff 토폴로지로 불리기도 합니다.

제품 토폴로지의 오픈세트는 in${\displaystyle \underset{ii}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$i \ $displaystyle$\$prod$_ {$i$ \ $in$ I } $U$_ {$i$} 형식의 유니언(유한 또는 무한)으로, 각_i U는 X와_i U x_i X로_i 몇 번만 개방됩니다.특히 유한곱(특히 위상공간 2개의 곱에 대하여)에 대해서는_i X의 기본원소의 곱이 곱${\displaystyle \underset{i}{}}$ i$$ I X$$ \ $style$ \ $prod$_ {$i$ \ $in$ I } $X$_ {$i$}의 기초가 된다.

X의 제품 토폴로지는 p(U) 형식의_i⁻¹ 집합에 의해 생성된 토폴로지입니다.여기서 i는 I에 있고 U는 X의 오픈_i 서브셋입니다.즉, {p_i⁻¹(U)} 집합은 X에서 토폴로지의 하위 기반을 형성합니다.X의 서브셋은 형태 p_i⁻¹(U)의 최종적인 다수의 집합의 교차점의 결합(아마도 무한)인 경우에만 개방된다.p(U)는_i⁻¹ 때때로 개방 실린더라고 불리며, 이들의 교점은 실린더 집합이다.

일반적으로 각 X의_i 토폴로지의 곱은 X의 박스 토폴로지의 기초를 형성합니다.일반적으로 박스 토폴로지는 제품 토폴로지보다 미세하지만 유한 제품에서는 일치합니다.

콤팩트함과 관련된 것은 콤팩트 공간의 (임의) 곱은 콤팩트하다는 티코노프의 정리이다.

분리 공리

분리 공리의 역사에 설명된 바와 같이, 이러한 이름들 중 많은 것들이 수학 문헌에서 대체적인 의미를 가지고 있다. 예를 들어, "정상"과 "T₄"의 의미는 때때로 서로 교환된다. 비슷하게 "정규"와 "T₃" 등.많은 개념들이 여러 개의 이름을 가지고 있지만, 가장 먼저 나열된 개념이 항상 가장 모호할 가능성이 낮습니다.

이들 공리의 대부분은 같은 의미를 가진 대체 정의를 가지고 있다.여기서 주어진 정의는 이전 절에서 정의된 분리에 대한 다양한 개념과 관련된 일관된 패턴으로 분류된다.다른 가능한 정의는 개별 문서에서 찾을 수 있습니다.

다음 모든 정의에서 X는 다시 위상 공간입니다.

• X는 T₀, 즉 위상적으로 구별 가능한 두 개의 점이 있는 경우 콜모고로프입니다.(분할 공리들 사이에서 T를 필요로₀ 하는 한 가지 버전과 그렇지 않은 한 가지 버전이 있는 것은 공통적인 주제입니다.)
• X에서 두 개의 서로 다른 점이 분리된 경우 X는₁ T 또는 접근 가능 또는 프레셰입니다.따라서 X는 T와₀ R 둘 다일₀ 경우에만 T가 됩니다₁(T 공간, Fréchet 위상, 위상 공간 X가 Fréchet이라고 가정하면₁ 함수 해석에서 Fréchet 공간이라는 개념이 완전히 다르기 때문에 이 문맥에서 Fréchet 공간이라고 말하지 마십시오).
• X에 있는 두 개의 다른 점이 이웃에 의해 분리된 경우 X는 하우스도르프₂ 또는 T 또는 분리된 것입니다.따라서 X는 Hausdorff가₁ 됩니다₀.Hausdorff 공간도 T여야₁ 합니다.
• X에서 두 개의 다른 점이 닫힌 인접으로 분리된_2½ 경우 X는 T, 즉 Uryson입니다.T공간은_2½ 하우스도르프여야 합니다.
• X가 규칙적인 경우₃, 즉 T일 경우₀, 그리고 X의 점 x와 닫힌 집합 F가 주어져 x가 F에 속하지 않는 경우, 그것들은 근린으로 구분됩니다(실제로 정규 공간에서는 그러한 x와 F도 닫힌 근린으로 구분됩니다).
• X는 Tychonoff 또는 T가_3½ 완전₃ T이거나 완전 규칙이며, 만약 T라면₀, 그리고 f가 F에 속하지 않도록 X의 임의의 점 x와 닫힌 집합 F가 주어진다면, 그것들은 연속 함수에 의해 분리된다.
• X는 정상, 즉₄ T는 Hausdorff이고 X의 두 개의 분리된 닫힌 서브셋이 이웃에 의해 분리된 경우이다(실제로 공간은 두 개의 분리된 닫힌 집합이 연속 함수에 의해 분리될 수 있는 경우에만 정상이다. 이것이 Uryson의 법칙이다).
• X는 완전히 정상입니다.T₅ 또는₁ T가 되어 있고, 2개의 분리된 세트가 인접으로 분리되어 있는 경우는 T 또는 T가₄ 됩니다.완전히 정상적인 공간도 정상이어야 합니다.
• X는 완전 정규, T이면₆₁ T 또는 완전 T이다₄. 만약 두 개의 분리된 닫힌 집합이 연속 함수에 의해 정밀하게 분리된다.완전히 정상적인 하우스도르프 공간도 완전히 정상적인 하우스도르프 공간이어야 합니다.

Tietze 확장 정리:정규공간에서는 닫힌 부분공간에 정의된 모든 연속실값함수를 공간 전체에 정의된 연속맵으로 확장할 수 있다.

카운터빌리티 공리

계수성 공리는 특정 속성을 가진 계수 가능한 집합이 존재해야 하는 특정 수학적 객체(일반적으로 범주 내)의 속성이지만, 그것이 없으면 그러한 집합이 존재하지 않을 수 있습니다.

토폴로지 공간에 대한 중요한 계수성 공리는 다음과 같습니다.

• 순차 공간: 집합의 한 점에 수렴하는 모든 시퀀스가 최종적으로 집합 내에 있는 경우 집합이 열립니다.
• 첫 번째 카운트 가능 공간: 모든 점에는 카운트 가능 인접 기반(로컬 베이스)이 있습니다.
• 두 번째 카운트 가능 공간: 토폴로지에 카운트 가능 베이스가 있습니다.
• 분리 가능한 공간: 셀 수 있는 밀도 높은 부분 공간이 있습니다.
• Lindelöf 공간: 모든 열린 커버에는 셀 수 있는 서브 커버가 있습니다.
• θ-space : 콤팩트한 공간에 의해 셀 수 있는 커버가 있습니다.

관계:

• 첫 번째 셀 수 있는 공간은 모두 순차적입니다.
• 모든 두 번째 계산 가능 공간은 첫 번째 계산 가능, 분리 가능 및 린델뢰프입니다.
• 모든 γ-콤팩트 공간은 린델뢰프이다.
• 메트릭 공간은 첫 번째로 셀 수 있습니다.
• 미터법 공간의 경우 세컨더리 계수성, 분리성 및 린델뢰프 특성은 모두 동일하다.

미터법 공간

메트릭^[7] 공간은 순서쌍$,$ d$)$입니다$($$M${$displaystyle$$$M$}$은 $세트$, d {$displaystyle$ d$}$는 M$${$displaystyle$ M$\}$의 메트릭, 즉 함수).

$\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$

$임의$의${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle \mu }$M(\$displaystyle$ x$,y,z\in$ M$)$에 대해 다음이 유지되도록 합니다.

1. ${\displaystyle d}$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ )${\$ ${\displaystyle 0}$ { $display style d(x,$y)\$geq$0}$$ (음수 이외),
2. ${\displaystyle d}$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$ d$(x$, y ) ${\displaystyle =}$ 0 , } $ifff$ $=$ y { $displaystyle$ x$$=$$ y , } (불명확한 표시),
3. ${\displaystyle d}$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =d}$ (${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle x}$) { $displaystyle$d ($x$ , y ) $= d$ ($y$ , x )$$} (표준) 및
4. ${\displaystyle d}$(${\displaystyle }$x ,${\displaystyle z}$ )${\displaystyle }$d${\displaystyle d}$ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ )${\displaystyle }$+${\displaystyle }$d (${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle z}$ $){$ $displaystyle$d ( $x$, $z$)\$leq$d ($x , y$ )+d$(y , z$ )}$$ (부등식)

$\displaystyle$d는$$ 거리 함수 또는 단순 거리라고도 합니다.$d{\displaystyle }$\$displaystyle$d는$$종종 생략되고 사용되는 메트릭이 컨텍스트에서 명확할 경우 메트릭 공간에$$M\$displaystyle$M이라고$$ $씁니다{\displaystyle }$.

모든 메트릭 공간은 파라콤팩트 및 하우스도르프이므로 정규적입니다.

미터법 이론에서는 토폴로지가 메트릭에서 나오기 위한 필요충분한 조건을 제공합니다.

베아르 범주 정리

Baire 범주 정리는 다음과 같다.X가 완전한 메트릭 공간 또는 로컬로 콤팩트한 하우스도르프 공간인 경우 셀 수 없을 정도로 많은 고밀도 집합의 모든 결합의 내부는 ^[8]비어 있습니다.

Baire 공간의 열린 부분 공간은 그 자체로 Baire 공간이다.

주요 연구 분야

연속체 이론

연속체(pl continua)는 비어 있지 않은 콤팩트 연결 메트릭 공간, 또는 더 적은 빈도로 콤팩트 연결 하우스도르프 공간이다.연속체 이론은 연속체 연구에 전념하는 위상학의 한 분야이다.이러한 물체는 토폴로지 및 분석의 거의 모든 영역에서 자주 발생하며, 그 특성은 많은 '기하학적' 특징을 산출할 수 있을 정도로 강합니다.

동적 시스템

위상역학은 연속적인 변화에 따른 공간 및 그 하위 공간의 시간 경과에 따른 거동에 관한 것입니다.물리학과 수학의 다른 분야에 응용되는 많은 예로는 유체 역학, 당구, 다지관 흐름 등이 있습니다.프랙탈 기하학의 프랙탈, 복잡한 역학에서 발생하는 줄리아 집합과 만델브로 집합, 그리고 미분 방정식의 유인체의 위상학적 특성은 종종 이러한 ^{[citation needed]}시스템을 이해하는 데 중요합니다.

의미 없는 토폴로지

의미 없는 토폴로지(포인트 프리 또는 포인트 프리 토폴로지라고도 함)는 포인트의 언급을 회피하는 토폴로지에 대한 접근법입니다.'포인트리스 위상'이라는 이름은 존 폰 ^[9]노이만에서 유래했다.무의미한 위상의 개념은 지역(세트)이 기본 점 집합에 대한 명시적 참조 없이 기본으로 취급되는 미레오토폴로지(merotopology)와 밀접하게 관련되어 있다.

차원 이론

차원 이론은 위상 공간의 차원 불변량을 다루는 일반 위상학의 한 분야이다.

위상 대수

위상장 K 위의 위상 대수 A는 연속 곱셈과 함께 위상 벡터 공간이다.

$\displaystyle \cdot:A\times A\긴 오른쪽 화살표 A}$

$\displaystyle (a,b)\longmap to a\cdot b}$

K에 대한 대수학이 되는 거죠단수 연상 위상 대수는 위상 고리이다.

이 용어는 David van Dantzig에 의해 만들어졌으며, 그의 박사 논문 제목(1931년)에 등장한다.

메트리저빌리티 이론

수학의 위상 및 관련 영역에서, 계량 가능 공간은 미터법과 동형인 위상 공간이다.즉, 토폴로지 공간${\displaystyle (X}$ ,$$ )({$displaystyle$ (X$,\tau$)})은 메트릭이 있는 경우 측정이 가능하다고 합니다.

$(\displaystyle d\colon X\times X\to [0,\infty])$

d에 의해 유도되는 위상이$\theta {\displaystyle }$(\$displaystyle\tau$가 되도록 한다. Metrization 정리는 위상공간이 계량 가능하기에 충분한 조건을 제공하는 정리이다.

집합 이론 토폴로지

집합 이론 토폴로지는 집합 이론과 일반 토폴로지를 결합한 주제입니다.Zermelo-Fraenkel 집합론(ZFC)과는 무관한 위상 질문에 초점을 맞춘다.유명한 문제는 일반적인 무어 공간 문제인데, 이것은 집중적인 연구의 주제였던 일반적인 위상에서의 질문이다.일반적인 무어 우주 문제에 대한 답은 결국 ZFC와 무관하다는 것이 입증되었다.

「 」를 참조해 주세요.

• 일반 토폴로지의 예시 목록
• 자세한 정의를 위한 일반 토폴로지 용어집
• 관련 문서의 일반적인 토폴로지 토픽 목록
• 위상 공간의 범주

레퍼런스

추가 정보

일반적인 토폴로지에 관한 표준 서적에는 다음과 같은 것이 있습니다.

• 부르바키,Topologie GénéraleGeneral Topology ISBN 0-387-19374-X.
• John L. Kelley(1955) General Topology, 인터넷 아카이브 링크(원래는 David Van Nostrand Company가 발행).
• 스티븐 윌러드,General Topology ISBN 0-486-43479-6.
• James Munkres,Topology ISBN 0-13-181629-2.
• 조지 F. Simmons, Introduction to Topology and Modern Analysis, ISBN 1-575-24238-9.
• Paul L. Shick,Topology: Point-Set and Geometric ISBN 0-470-09605-5.
• Ryszard Engelking, ISBN 3-88538-006-4.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
• O.Ya. Viro, O.A.이바노프, V.M. 칼라모프, N.Yu. Netsvetaev, ISBN 978-0-8218-4506-6.

arXiv 서브젝트 코드는 수학입니다.GN

외부 링크

• Wikimedia Commons의 일반 토폴로지 관련 미디어