호모토피 이론

수학에서 호모토피 이론은 지도가 호모토피를 사이에 두고 오는 상황을 체계적으로 연구하는 학문이다. 그것은 대수적 위상에서의 주제로서 시작되었지만 오늘날에는 독립적인 학문으로서 연구되고 있다. 대수적 위상 외에도 대수 기하학(예¹: 호모토피 이론), 범주 이론(특히 상위 범주의 연구)과 같은 수학의 다른 영역에서도 이 이론이 사용되었다.

개념

공간 및 지도

호모토피 이론과 대수적 위상에서 "공간"이라는 단어는 위상학적 공간을 의미한다. 병리학을 피하기 위해 임의의 공간과 함께 일하는 경우는 드물다. 대신 공간이 콤팩트하게 생성되거나 하우스도르프, 또는 CW 콤플렉스와 같은 추가 제약을 충족시켜야 한다.

위와 같은 맥락에서, "지도"는 연속적인 함수로서, 약간의 추가적인 제약이 있을 수 있다.

종종, 사람들은 뾰족한 공간을 가지고 일한다. 즉, 기초점이라고 불리는 "구체점"을 가진 공간이다. 그 다음, 뾰족한 지도는 기준점을 보존하는 지도가 된다. 즉, 도메인의 기준점을 코도메인의 지점으로 보낸다. 반면, 자유 지도는 기본 포인트를 보존할 필요가 없는 것이다.

호모토피

단위 간격을 표시한다. I, $h_{t}:X\to Y$ $h_{t}:X\to Y$ : $h_{t}:X\to Y$ → $h_{t}:X\to Y$ $h_{t$ 에 의해 인덱싱된 맵 패밀리: $h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ $\to Y}$ 는 $h_{t}:X\to Y$ $h_{1}$ h $h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ : I $h_{0}$ $h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ $h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ → $h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ , $h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ ( $h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ , $h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ ) $h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ $h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ t $h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ ( x $h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ ) ${\displaystyle h_$ ${0}$ 에서 $h_{0}$ $h_{1}$ $h_{1}$ ${\$ 1}까지 호모토피라고 한다 $.$ $I\time X\to$ Y $,$ $(t,x)\mapsto h_{t}(x)}$ 는 지도(예: 연속 함수여야 함)이다 $h:I\times X\to Y,(t,x)\mapsto h_{t}(x)$ . X, Y가 뾰족한 공간일 때는 기준점을 보존하기 위해 $h_{t}$ $h_{t}$ ${\$ 가 필요하다 $h_{t}$ . 호모토피는 동등성 관계라고 보여질 수 있다. Given a pointed space X and an integer $n\geq 1$ , let $\pi _{n}(X)=[S^{n},X]_{*}$ be the homotopy classes of based maps $S^{n}\to X$ from a (pointed) n-sphere $S^{n}$ to X. 밝혀진 바와 같이 $\pi _{n}(X)$ ( $\pi _{n}(X)$ ) ${\displaystyle \pi _{$ $\pi _{1}(X)$ $}(X)}$ 은 그룹이며 $\pi _{n}(X)$ , 특히 $\pi _{1}(X)$ $\pi _{1}(X)$ ( X $\pi _{1}(X)$ ) $\pi _{1}(X)$ 은 $\pi _{1}(X)$ X의 기본 그룹으로 불린다.

만약 어떤 사람이 뾰족한 공간 대신에 공간을 가지고 일하기를 선호한다면, 근본적인 그룹형(그리고 더 높은 변종)의 개념이 있다. 정의에 따르면, 공간 X의 기본 그룹형(groupoid)은 객체가 X의 점이고 형태는 경로인 범주다.

공진동·진동

지도 $f:A\to X$ : $f:A\to X$ → X ${\displaystyle f:$ $A$ $\to X}$ 은(는) $h_{0}:X\to Z$ h $h_{0}:X\to Z$ : $h_{0}:X\to Z$ → Z $h_{0}:X\to Z$ {\ $displaystyle$ h_ ${0$ }, (2) $g_{t}:A\to Z$ $g_{t}:A\to Z$ : $g_{t}:A\to Z$ → Z $g_{t}:A\to Z$ {\ $displaystyle$ g_{ $t}$ 가 $h_{0}:X\to Z$ 주어지면 교정이라고 한다 $f:A\to X$ . $h_{t}:X\to Z$ $\to Z$ 호모토피 $h_{t}:X\to Z$ $h_{t}:X\to Z$ : X $h_{t}:X\to Z$ → $h_{t}:X\to Z$ $h_{t$ 가 있다. $h_{t}\circ f=g_{t}$ $h_{0}$ ${\$ 을 $h_{0}$ (를) 확장하는 X\ $to Z}$ $h_{t}\circ f=g_{t}$ h t = $h_{t}\circ f=g_{t}$ = g $h_{t}\circ f=g_{t}$ ${\$ 다소 느슨한 의미로는 추상 대수학에서 주입 모듈의 정의 도표를 아날로그로 보는 것이다. 가장 기본적인 예는 CW 쌍 $(X,A)$ , $(X,A)$ ) $(X,A)$ 이다 $(X,A)$ 많은 수가 CW 콤플렉스와만 함께 일하기 때문에, 공동진동의 개념이 암묵적인 경우가 많다.

세레의 의미에서의 진동은 교정의 이중 개념이다. 즉, $p:X\to B$ p $p:X\to B$ : $p:X\to B$ → B $[\displaystyle p:X\to B}$ 가 $p:X\to B$ (1) 지도 $Z\to X$ → $[\displaystyle Z\to X}$ 및 $Z\to X$ (2) 호모토피 $g_{t}:Z\to B$ : $g_{t}:Z\to B$ → B ${\displaysty g_{t}:$ $Z\to B$ 호모토피 $h_{t}:Z\to X$ $h_{t}:Z\to X$ : $h_{t}:Z\to X$ → X ${\displaystyle h_{t}:$ h $h_{0}$ ${\$ 이 주어진 $h_{0}$ 것과 같은 $h_{t}:Z\to X$ $Z\to$ X $}$ 에 p $p\circ h_{t}=g_{t}$ $p\circ h_{t}=g_{t}$ = $p\circ h_{t}=g_{t}$ t = g $p\circ h_{t}=g_{t}$ ${\$ 기본적인 예는 커버 맵(사실, 진동은 커버 맵의 일반화)이다. $E$ $E$ 이 $E$ (가) 주요 G 번들, 즉 (위상학) 그룹의 자유 및 전이적(위상학) 그룹 액션이 있는 공간인 경우 투영 맵 $p:E\to X$ : E $p:E\to X$ → $p:E\to X$ ${\displaystyle p:$ $E\to X}$ 는 $p:E\to X$ 진동의 예다.

공간 및 호모토피 작업 분류

위상학 그룹 G가 주어진 경우, 주 G 번들("최대 동등성")의 분류 공간은 각 공간 X에 대해 $공간$ B G $BG$ 이다 $BG$ .

[X,BG]=

[X,BG]=

,

[X,BG]=

[X,BG]=

[X,BG]=

=

[X,BG]=

{X} /

,\,\,[f]\mapsto f^{*}EG

[

,\,\,[f]\mapsto f^{*}EG

,\,\,[f]\mapsto f^{*}EG

,\,\,[f]\mapsto f^{*}EG

,\,\,[f]\mapsto f^{*}EG

,\,\,[f]\mapsto f^{*}EG

G {\

displaystyle ,\,\,[f

]\

mapsto

f^{*

EG}}}}}

{\displaystystystyle.

어디에

왼쪽은 지도 $X\to BG$ → $X\to BG$ G ${\displaystyle$ X $\to BG}$ 의 호모토피 클래스 세트 입니다 $X\to BG$
~는 다발의 이형성을 말하며,
= $B$ $X\to BG$ {\ $displaystyle BG}($ 유니버설 번들이라 함)의 고유 번들 $EG$ $EG$ $EG$ 을(를) 지도 X $X\to BG$ → $X\to BG$ $X\to BG$ $X\to BG$ 을(를) 따라 당겨 주어진다 $X\to BG$

브라운의 대표성 정리는 공간을 분류하는 것의 존재를 보장한다.

스펙트럼 및 일반화된 코호몰로지

분류공간이 주체다발을 분류한다는 발상은 더욱 추진될 수 있다. 예를 들어, 코호몰로지 클래스를 분류하려고 할 수 있다. 아벨 그룹 A( $\mathbb {Z}$ : Z ${\$

[X,K(A,n)]=\operatorname {H}^{n}(X;A)

여기서 $K(A,n)$ ( $K(A,n)$ , $K(A,n)$ ) $K(A,n)$ 는 $K(A, n)$ Eilenberg-MacLane 공간이다. 위의 방정식은 일반화된 코호몰로지 이론의 개념으로 이어진다. 즉, 공간의 범주에서 일반적인 코호몰로지 이론을 일반화하는 공리를 만족하는 아벨리아 집단의 범주에 이르는 왜곡된 펑터. 밝혀진 바와 같이, 그러한 플럭터는 한 공간에 의해 표현될 수 없을 수도 있지만, 스펙트럼이라고 불리는 구조 지도가 있는 일련의 (점화된) 공간에 의해 항상 표현될 수 있다. 즉, 일반화된 코호몰로지 이론을 주는 것은 스펙트럼을 주는 것이다.

스펙트럼의 기본적인 예는 구 스펙트럼이다. ${\displaystyle S^{0}\to$

주요 이론들

세이퍼트-반 캄펜 정리
호모토피 분리 정리
프로이덴탈 서스펜션 정리(절제 정리의 골격)
랜드위버의 정확한 펑터 정리
돌드칸 통신
Eckmann-Hilton의 주장 - 이것은 예를 들어 더 높은 호모토피 집단이 아벨리안이라는 것을 보여준다.
범용계수정리

장애물 이론 및 특성 클래스

참고 항목: 특성 클래스, 포스트니코프 타워, 화이트헤드 비틀림

공간의 국산화 및 완성

구체적인 이론

몇 가지 구체적인 이론이 있다.

호모토피 가설

호모토피 이론의 기초에 있는 기본적인 질문들 중 하나는 공간의 성격이다. 호모토피 가설은 공간이 근본적으로 대수적인 것인가를 묻는다.

추상 호모토피 이론

개념

모델 카테고리

단순 호모토피 이론

단순 호모토피피

참고 항목

참조

5월, J. 대수학적 위상에서의 간결한 과정
George William Whitehead (1978). Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics. 61 (3rd ed.). New York-Berlin: Springer-Verlag. pp. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR 0516508. Retrieved September 6, 2011.
로널드 브라운, 토폴로지 및 그룹오이드(2006) 북서지 LLC ISBN 1-4196-2722-8.

추가 읽기

외부 링크

https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory

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