힐베르트의 문제

Hilbert's problems
데이비드 힐베르트

힐베르트의 문제는 독일 수학자 데이비드 힐베르트가 1900년에 발표한 수학 문제 23개입니다. 그것들은 그 당시에는 모두 풀리지 않았고, 몇몇은 20세기 수학에 매우 영향력이 있음이 증명되었습니다. 힐베르트는 8월 8일 소르본에서 열린 국제수학자대회 파리 회의에서 문제 10개(1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22)를 발표했습니다. 23개 문제의 전체 목록은 나중에 메리 프란시스 윈스턴 뉴슨이 1902년 미국 수학 학회 회보에 영어 번역으로 발표했습니다.[1] (독일어 원본으로 된) 이전의 출판물들은 Mathematik und Physik 대공에 등장했습니다.[2]

힐베르트의 문제 목록

다음은 힐베르트가 1902년 번역한 미국 수학회 회보에 실린 23개 문제의 머리말입니다.[1]

1. 연속체의 기수에 대한 칸토어의 문제.
2. 산술적 공리의 호환성.
3. 동일한 기저와 동일한 고도의 4면체 두 개의 부피의 동일성.
4. 두 점 사이의 최단거리로서의 직선의 문제.
5. 군을 정의하는 함수의 미분 가능성에 대한 가정 없이 연속적인 변환 군에 대한 Lie의 개념.
6. 물리학의 공리에 대한 수학적 처리.
7. 특정 숫자의 비합리성과 초월성.
8. 소수의 문제 ("리만 가설").
9. 어떤 숫자 분야에서든 가장 일반적인 상호성 법칙의 증명.
10. 디오판토스 방정식의 용해도 결정.
11. 임의의 대수적 수치 계수를 갖는 이차 형식
12. 아벨리안 장들에 관한 크로네커 정리를 유리수의 임의의 대수적 영역으로 확장
13. 단 2개의 논법의 함수에 의한 일반방정식의 해의 불가능성.
14. 특정 완전한 함수 체계의 유한성에 대한 증명.
15. 슈베르트의 열거적 미적분학의 엄격한 기초.
16. 대수적 곡선과 표면의 위상 문제.
17. 정사각형으로 명확한 형태를 표현합니다.
18. 합동 다면체로부터 공간을 구축하는 것입니다.
19. 변분 연산에서 규칙적인 문제들의 해는 항상 분석적인가요?
20. 경계값의 일반적인 문제(PDE의 경계값 문제).
21. 규정된 단색군을 갖는 선형 미분 방정식의 존재에 대한 증명.
22. 자동화 함수에 의한 분석 관계의 균일화.
23. 변분 연산의 방법에 대한 추가적인 발전.

문제의 본질과 영향

힐베르트의 문제들은 주제와 정확성에 있어서 매우 다양했습니다. 그 중 일부는 가장 먼저 해결해야 할 3번 문제나 아직 해결되지 않은 8번 문제(리만 가설)처럼 명확한 긍정 또는 부정적 답변이 가능할 정도로 정확하게 제시되었습니다. 지난 5일과 같은 다른 문제에 대해서는 전통적으로 전문가들이 하나의 해석에 합의하면서 수용된 해석에 대한 해법이 제시됐지만, 밀접하게 관련된 미해결 문제가 존재합니다. 힐베르트의 진술 중 일부는 특정한 문제를 특정할 만큼 정확하지는 않았지만, 현대적인 성질의 특정한 문제가 적용되는 것처럼 보일 만큼 충분히 시사적이었습니다. 예를 들어, 대부분의 현대 정수 이론가들은 아마도 9번째 문제가 정수장의 절대 갈루아 군의 표현에 대한 추측 랭글런즈 대응을 언급하는 것으로 볼 것입니다.[3] 11번째와 16번째와 같은 또 다른 문제들은 2차 형식과 실제 대수 곡선의 이론과 같은 수학적 하위 학문들에 관한 것입니다.

해결되지 않았을 뿐만 아니라 사실 현대적 기준으로는 해결되지 않을 수도 있는 두 가지 문제가 있습니다. 여섯 번째 문제는 물리학의 공리화에 관한 것으로, 20세기의 발전이 힐베르트 시대보다 더 멀고 덜 중요한 것처럼 보이는 목표입니다. 또한, 네 번째 문제는 기하학의 기초에 관한 것인데, 일반적으로 너무 모호해서 결정적인 답을 할 수 없다고 판단됩니다.

다른 21개의 문제들은 모두 상당한 관심을 받았고, 20세기 후반까지 이 문제들에 대한 연구는 여전히 가장 중요한 것으로 여겨졌습니다. 폴 코헨은 첫 번째 문제에 대한 그의 연구로 1966년 필즈상을 받았고, 1970년 유리 마티야세비치에 의해 열 번째 문제의 부정적인 해결책(줄리아 로빈슨, 힐러리 퍼트넘, 마틴 데이비스에 의해 완성)이 비슷한 찬사를 받았습니다. 이러한 문제의 측면은 오늘날에도 여전히 큰 관심사입니다.

이그나비무스

고틀롭 프레게와 버트런드 러셀에 이어 힐버트는 공식 체계의 방법, 즉 합의된 일련의 공리로부터 유한한 증명을 사용하여 수학을 논리적으로 정의하려고 했습니다.[4] 힐베르트의 프로그램의 주요 목표 중 하나는 산술의 공리의 일관성에 대한 유한한 증거였습니다: 그것이 그의 두 번째 문제입니다.[a]

그러나 괴델의 두 번째 불완전성 정리는 산술의 일관성에 대한 그러한 유한적 증명이 불가능하다는 정확한 의미를 제공합니다. 힐베르트는 쿠르트 괴델이 정리를 발표한 후 12년을 살았지만, 괴델의 연구에 대한 공식적인 반응을 작성하지 않은 것으로 보입니다.[b][c]

힐베르트의 열 번째 문제는 디오판토스 방정식의 해를 결정하는 알고리즘이 존재하는지를 묻는 것이 아니라, "방정식이 유리 정수에서 해를 낼 수 있는지 여부를 유한한 수의 연산에서 결정될 수 있는 프로세스를 고안하는 것"이라는 알고리즘의 구성을 요구합니다. 그런 알고리즘이 있을 수 없다는 것을 보여줌으로써 이 문제가 해결되었다는 것은 힐베르트의 수학 철학과 모순되는 것이었습니다.

힐버트는 모든 수학 문제에 해가 있어야 한다는 자신의 의견을 논의하면서 해가 원래 문제가 불가능하다는 증거가 될 수 있다는 가능성을 허용합니다.[d] 그는 해결책이 무엇인지 어떻게든 아는 것이 핵심이라고 말했고, 수학에는 어떤 '이고라비무스'(진실을 결코 알 수 없는 진술)도 없다는 것을 우리가 항상 알 수 있다고 믿었습니다.[e] 그가 열 번째 문제의 답을 무지아비무스의 사례로 여겼을지는 불확실해 보입니다. 존재하지 않는 것으로 판명된 것은 정수의 답이 아니라 (어떤 의미에서는) 답이 존재하는지 특정한 방법으로 식별할 수 있는 능력입니다.

반면, 첫 번째와 두 번째 문제의 상태는 훨씬 더 복잡합니다. 괴델의 결과(두 번째 문제의 경우) 또는 괴델과 코헨의 결과(첫 번째 문제의 경우)가 확정적인 부정적인 해결책을 제공하는지 여부에 대한 명확한 수학적 합의가 없습니다. 이러한 해결책은 문제의 특정 형식화에 적용되기 때문에 반드시 가능한 유일한 해결책은 아닙니다.[f]

24번째 문제

주 기사: 힐베르트의 스물네 번째 문제

힐버트는 원래 24개의 문제를 목록에 포함시켰지만, 그 중 하나를 공개된 목록에 포함시키는 것에 반대하기로 결정했습니다. "24번째 문제"(증명 이론에서, 단순함과 일반적인 방법에 대한 기준으로)는 2000년 독일 역사학자 뤼디거 틸레가 힐베르트의 원래 원고 노트에서 재발견되었습니다.[7]

시퀄스

1900년 이래로 수학자들과 수학 단체들은 문제 목록을 발표해 왔지만, 거의 예외 없이 이 문제들은 힐베르트의 문제들만큼 많은 영향을 미치거나 많은 일들을 만들어내지 못했습니다.

한 가지 예외는 안드레 바일이 1940년대 후반에 한 세 가지 추측(바일 추측)으로 구성됩니다. 대수기하학, 수론, 둘 사이의 연결고리 분야에서 바일 추측은 매우 중요했습니다.[8][9] 이것들 중 첫 번째는 버나드 드워크에 의해 증명되었고, 첫 번째 두 가지의 완전히 다른 증거는 ℓ-아딕 코호몰로지를 통해 알렉산더 그로텐디크에 의해 제시되었습니다. 바일 추측(리만 가설의 유사체) 중 마지막이자 가장 깊은 것은 피에르 델리뉴에 의해 증명되었습니다. 그로텐디크와 델리뉴는 모두 필즈상을 받았습니다. 그러나 바일 추측은 그 범위에서 하나의 힐베르트 문제에 더 가까웠고, 바일은 결코 모든 수학을 위한 프로그램으로 의도하지 않았습니다. 이것은 다소 아이러니한 것으로, 거의 모든 수학 분야와 대화를 나누고 많은 수학의 발전에 중요한 역할을 한 1940년대와 1950년대의 수학자는 거의 틀림없이 와일이기 때문입니다.

폴 에르트 ő스는 수천 개는 아니더라도 수백 개의 수학 문제를 제기했고, 그 중 많은 문제들이 심오했습니다. ERD ő는 종종 금전적 보상을 제공했습니다. 보상의 크기는 문제의 인지된 난이도에 따라 달라집니다.

힐베르트가 자신의 문제를 발표한 지 100주년이 되는 천년의 끝은 "힐베르트 문제의 새로운 집합"을 제안하는 자연스러운 계기를 제공했습니다. 몇몇 수학자들은 도전을 수락했는데, 특히 필드 메달리스트 스티브 스말은 블라디미르 아놀드가 18개의 문제 목록을 제안해 달라는 요청에 응했습니다.

적어도 주류 언론에서 힐버트의 문제에 대한 사실상의 21세기 유사체는 클레이 수학 연구소가 2000년 동안 선정한 7개의 밀레니엄 상 문제 목록입니다. 특히 힐베르트와 수학자들의 찬사가 주를 이루었던 힐베르트 문제와는 달리, 각 상금 문제에는 백만 달러의 현상금이 포함되어 있습니다. 힐베르트 문제와 마찬가지로 상 문제 중 하나(푸앵카레 추측)는 문제가 발표된 후 비교적 빨리 해결되었습니다.

리만 가설은 힐베르트 문제 목록, 스말의 문제 목록, 밀레니엄 상 문제 목록, 심지어 바일 추측까지 기하학적으로 가장하여 등장한 것으로 주목할 만합니다. 비록 오늘날의 주요 수학자들에 의해 공격을 받았지만, 많은 전문가들은 그것이 수세기 동안 풀리지 않은 문제 목록의 일부가 될 것이라고 믿고 있습니다. 힐베르트 자신은 "만약 내가 천 년 동안 잠을 잤다가 깨어나게 된다면, 나의 첫 번째 질문은 "리만의 가설이 증명되었는가?"[11]라고 말했습니다.

2008년 DARPA는 "이를 통해 DoD의 과학 기술적 능력을 강화함으로써" 주요 수학적 돌파구로 이어질 수 있기를 희망하는 23개 문제의 자체 목록을 발표했습니다.[12][13][14]

요약

깨끗하게 공식화된 힐베르트 문제 중 3번, 7번, 10번, 14번, 17번, 18번, 19번, 20번은 수학계의 합의에 의해 받아들여지는 해상도를 가지고 있습니다. 반면 1번, 2번, 5번, 6번, 9번, 11번, 12번, 15번, 21번, 22번 문제는 부분 수용성이 있는 해결책이 있지만 문제 해결 여부에 대해서는 다소 논란이 있습니다.

8(리만 가설), 13과 16은[g] 해결되지 않았고, 4와 23은 해결되었다고 설명하기에는 너무 모호합니다. 철수한 24명도 이 클래스에 포함됩니다. 6번은 수학보다는 물리학의 문제로 여겨집니다.

문제표

힐베르트의 23가지 문제는 다음과 같습니다. (해법과 참고문헌에 대한 자세한 내용은 첫 번째 열에 연결된 기사를 참조하십시오.)

문제 간단한 설명 상황 해해결
첫 번째 연속체 가설(즉, 정수와 실수 사이에 엄격하게 기수가 존재하는 집합은 없음) 선택 공리가 있든 없든 제르멜로-프랑켈 집합 이론 내에서 증명하거나 반증하는 것이 불가능한 것으로 입증되었습니다(단, 제르멜로-프랑켈 집합 이론이 일관적이라면 모순을 포함하지 않습니다). 이것이 문제의 해결책인지에 대해서는 의견이 일치하지 않습니다. 1940, 1963
두번째 산술의 공리가 일치함을 증명합니다. 힐베르트가 말한 괴델과 겐첸의 결과가 문제에 대한 해결책을 제공하는지에 대해서는 의견이 일치하지 않습니다. 1931년에 증명된 괴델의 두 번째 불완전성 정리는 그 일관성에 대한 증명이 산술 자체 내에서 수행될 수 없음을 보여줍니다. 겐첸은 1936년에 산술의 일관성이 순서형 ε의 근거가 충분하다는 것을 증명했습니다. 1931, 1936
세번째 부피가 같은 두 다면체가 주어졌을 때, 항상 첫 번째 다면체를 재조립하여 두 번째 다면체를 만들 수 있는 무한히 많은 다면체 조각으로 자르는 것이 가능한가요? 해결. 결과: 아니요, 덴 불변량을 사용하여 증명되었습니다. 1900
네번째 선이 지오데식인 모든 메트릭을 구성합니다. 너무 모호해서 해결할 수 없습니다.[h] —
5일 연속형 그룹은 자동으로 미분형 그룹입니까? Andrew Gleason에 의해 해결되었으며, 원진술자에 대한 한 가지 해석을 가정했습니다. 그러나 만약 그것이 힐버트-스미스 추측의 동치로 이해된다면, 그것은 여전히 해결되지 않습니다. 1953?
6일 물리학의 공리에 대한 수학적 처리:

(a) 통계물리학의 기초를 위한 극한 정리를 이용한 확률의 공리적 처리

(b) "원자론적 관점에서 연속 운동의 법칙으로 이어지는" 과정을 제한하는 엄격한 이론

원래 문장을 해석하는 방법에 따라 해결되지 않거나 부분적으로 해결됩니다.[15] (a)와 (b) 항목은 힐베르트가 나중에 설명한 두 가지 구체적인 문제였습니다.[1] 콜모고로프의 공리론(1933)은 현재 확률론의 기초에 대한 표준으로 받아들여지고 있습니다. "원자론적 관점에서 연속체 운동의 법칙으로 가는 길에 약간의 성공이 있지만,[16] 고전에서 양자 물리학으로의 전환은 두 개의 공리적 공식이 있어야 한다는 것을 의미하며, 그들 사이에 명확한 연결이 있습니다. 존 폰 노이만은 그의 저서 양자역학의 수학적 기초에서 양자역학을 엄격한 수학적 기초 위에 놓으려는 초기 시도를 했지만,[17] 이후의 발전이 일어나 양자물리학의 공리적 기초에 더욱 도전하게 되었습니다. 1933–2002?
일곱번째 대수학의 경우 초월론적인 것은 ≠ 0,1이고 비합리적인 대수학 b입니까? 해결. 결과: 네, 겔폰드-슈나이더 정리에 의해 설명됩니다. 1934
8일 리만 가설("리만 제타 함수의 임의의 자명하지 않은 0의 실수 부분은 1/2")과 다른 소수 문제들, 그 중 골드바흐 추측과 쌍둥이 소수 추측 미해결. —
9일 임의의 대수적 수 분야에서 호혜성 정리의 가장 일반적인 법칙을 구하여라. 부분적으로 해결되었습니다.[i] —
10일 정수 계수를 갖는 주어진 다항식 디오판토스 방정식이 정수 해를 갖는지를 결정하는 알고리즘을 구하여라. 해결. 결과: 불가능합니다. 마티야세비치의 정리는 그런 알고리즘이 없다는 것을 암시합니다. 1970
열한번째 대수적 수치 계수로 2차 형식을 푸는 것. 부분적으로 해결되었습니다.[18] —
12일 유리수의 아벨 확장에 관한 크로네커-위버 정리를 임의의 기저수 장으로 확장합니다. 부분적으로 해결되었습니다.[19] —
13일 두 개의 매개변수의 대수(변수: 연속) 함수를 사용하여 7차 방정식을 푸십시오. 미해결. 이 문제의 연속적인 변형은 1957년 블라디미르 아놀드에 의해 안드레이 콜모고로프(콜모고로프-아놀드 표현 정리 참조)의 연구에 기초하여 해결되었지만 대수적 변형은 해결되지 않았습니다.[j] —
14일 다항식 고리에 작용하는 대수군의 불변량 고리는 항상 유한하게 생성됩니까? 해결. 결과: 아니요, 반례는 나가타 마사요시가 만들었습니다. 1959
15일 슈베르트의 열거적 미적분학의 엄격한 기초. 부분적으로 해결되었습니다.[24] —
16일 실제 대수 곡선에서 비롯된 타원의 상대적 위치와 평면상 다항식 벡터장의 극한 사이클로 설명합니다. 미해결, 8도의 대수적 곡선에서도. —
17일 음수가 아닌 유리 함수를 제곱합의 몫으로 표현합니다. 해결. 결과: 네, 에밀 아르틴 때문에. 또한 필요한 제곱 항 수에 대한 상한이 설정되었습니다. 1927
18일 (a) n차원 유클리드 공간에는 본질적으로 다른 공간군들만 무한히 많이 존재합니까? 해결. 결과: 네 (루트비히 비버바흐 지음) 1910
(b) 입체적으로 정이십면체 타일만 인정하는 다면체가 있습니까? 해결. 결과: 네(칼 라인하르트). 1928
(c) 가장 밀도가 높은 구 패킹은 무엇입니까? 컴퓨터의 도움으로 해결된 것으로 널리 알려져 있습니다(Thomas Calister Hales). 결과: 면 중심 큐빅 밀착 패킹 및 육각 밀착 패킹과 같은 각각의 밀도가 약 74%인 밀착 패킹에 의해 달성되는 최고 밀도입니다.[k] 1998
19일 변분 연산에서 규칙적인 문제들의 해는 항상 분석적인가요? 해결. 결과: 예, Ennio de Giorgi와 John Forbes Nash가 각각 다른 방법을 사용하여 입증했습니다. 1957
20일 특정 경계 조건에 대한 모든 변형 문제는 해결책을 가지고 있습니까? 부분적으로 해결되었습니다. 20세기 전반에 걸친 중요한 연구 주제로 일부 경우에 대한 해결책을 도출했습니다.[citation needed] ?
21일 소정의 단색군을 갖는 푹시 선형 미분 방정식의 존재에 대한 증명 부분적으로 해결되었습니다. 결과: 문제의 더 정확한 공식에 따라 예/아니오/열림.[25][26][27][28][29] ?
22일 자동화 함수를 이용한 분석 관계의 균일화 부분적으로 해결되었습니다. 균일화 정리 ?
23일 변분법의 발전 너무 모호해서 해결할 수 없습니다. —

참고 항목

메모들

  1. ^ Hofstadter(2001, 페이지 107)[5]에 의해 수정된 Nagel과 Newman을 참조하십시오. 각주 37: "게다가, 수학 논리학의 대부분의 전문가들은 [Gentzen's] 증명의 타당성에 의문을 제기하지 않지만, 일관성의 절대적인 증명을 위한 Hilbert의 원래 규정의 의미에서 유한하지 않습니다." 다음 페이지도 참조하십시오. "그러나 이러한 증명들은 [젠젠젠의 등]은 그들이 관심을 가지고 있는 시스템 내부에 반영될 수 없으며, 유한하지 않기 때문에 힐베르트의 원래 프로그램의 선언된 목표를 달성하지 못합니다." 호프스태터(Hofstadter)는 원래의 (1958) 각주를 약간 다시 써서 "학생"이라는 단어를 "수학 논리학 전문가"로 바꿨습니다. 그리고 이 점은 109페이지에서[5] 다시 논의되며, Hofstadter에 의해 수정되지 않았습니다(108페이지).[5]
  2. ^ 리드는 "버네이스로부터 괴델의 일에 대해 들은 후, 그는 '뭔가 화가 났다'고 보고했습니다. 처음에는 화가 나고 좌절하기만 했지만, 그 후에는 건설적으로 문제를 해결하려고 노력하기 시작했습니다. 괴델의 작품이 궁극적으로 어떤 영향을 미칠지는 아직 명확하지 않았습니다."(198-199쪽).[6] 리드는 1931년 힐베르트가 두 편의 논문에서 "unendliche Induction"이라는 다른 형태의 귀납법을 제안했다고 언급했습니다(199쪽).[6]
  3. ^ 1960년대에 인터뷰와 편지를 통해 쓰여진 리드의 힐베르트 전기는 "(힐베르트와 어떤 서신도 주고받은 적이 없는) 고델은 힐베르트의 수학 기초에 대한 계획이 나의 부정적인 결과에도 불구하고 여전히 매우 흥미롭고 중요하다고 느낀다"고 보고합니다(217쪽). 현재 시제의 사용을 관찰하세요 – 그녀는 괴델과 베르네이 등이 "힐베르트의 논리학과 기초 연구에 대한 나의 질문에 대답"했다고 보고합니다(p. vii).[6]
  4. ^ 20세기 초의 '건국의 위기'에서 그 시작을 찾는 이 문제, 특히 '배제된 중간의 법칙'이 어떤 상황에서 증명에 활용될 수 있는지에 대한 논란. 브루어-힐베르트 논쟁에서 더 많은 것을 보세요.
  5. ^ "모든 수학 문제의 해결 가능성에 대한 이러한 확신은 근로자에게 강력한 인센티브가 됩니다. 우리는 영원한 부름을 우리 안에서 듣습니다. 문제가 있습니다. 그 해결책을 찾아보세요. 수학에는 무지나비무스가 없기 때문에 순수한 이성에 의해서 찾을 수 있습니다."(힐베르트, 1902, 445쪽)
  6. ^ Nagel, Newman, Hofstadter는 이 문제에 대해 논의합니다: "수학 원리와 같은 공식적인 체계에 대한 유한한 절대적인 증거를 구성할 가능성은 괴델의 결과에 의해 배제되지 않습니다. 그의 주장이 가능성을 제거하지는 못합니다... 그러나 오늘날 아무도 수학 원리(Principia Mathematica)에 반영될 수 없는 유한한 증거가 무엇인지 분명히 알지 못하는 것 같습니다(각주 39, 109페이지). 저자들은 그 전망이 "가능성이 거의 없다"고 결론지었습니다.[5]
  7. ^ 일부 저자들은 이 문제에 대해 여전히 활발한 연구가 진행 중이지만, 이 문제가 해결되었다고 설명하기에는 너무 모호하다고 생각합니다.
  8. ^ 그레이에 따르면 대부분의 문제가 해결되었다고 합니다. 어떤 것들은 완전히 정의되지는 않았지만, 그것들을 "해결된" 것으로 간주하기에 충분한 진전이 있었습니다. 그레이는 네 번째 문제가 너무 모호해서 해결되었는지 여부를 말할 수 없다고 목록을 작성했습니다.
  9. ^ 문제 9는 1927년 에밀 아르틴(Emil Artin)에 의해 계급장 이론의 발전 과정에서 유리수의 아벨 확장에 대해 해결되었습니다. 만약 그것을 비 아벨 계급장 이론을 의미하는 것으로 해석한다면, 비 아벨 사례는 해결되지 않은 채로 남아 있습니다.
  10. ^ 문제가 단일 값 분석 함수(Raudenbush)의 공간 내에서 부분적인 해결책을 가지고 있다는 것을 보여주는 것은 어렵지 않습니다. 일부 저자들은 힐베르트가 (다가치) 대수 함수의 공간 내에서 해결책을 찾고자 했기 때문에 대수 함수에 대한 자신의 연구를 계속하고 갈루아 이론의 가능한 확장에 대한 질문이 된다고 주장합니다(예를 들어, 아브얀카르[20] 비투슈킨,[21] 체보타레프 [22]등 참조). 힐베르트의 논문[23] 중 하나에서 이것이 그 문제에 대한 그의 원래 의도였던 것으로 보입니다. 힐베르트의 언어로는 "Existenz von algebischen Funktionen" (대수함수의 존재)가 있습니다. 따라서 문제는 여전히 해결되지 않았습니다.
  11. ^ 그레이는 또한 2000년 저서에서 18번째 문제를 "열린" 것으로 열거하고 있는데, 이는 구체 패킹 문제(케플러 추측이라고도 함)가 해결되지 않았기 때문이지만, 이에 대한 해결책이 현재 주장되고 있습니다.

참고문헌

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