로그의 역사

로그의 역사는 17세기 유럽에서 공식화되었고 디지털 컴퓨터가 등장할 때까지 계산을 단순화하기 위해 널리 사용되었던 실제 숫자에 대한 곱셈과 덧셈 사이의 대응(현대어로는 집단의 이형성)에 관한 이야기다. Napierian 로그는 1614년에 처음 출판되었다. 헨리 브릭스(Henry Briggs)는 사용하기 쉬운 공통 로그(베이스 10)를 도입했다. 로그 표는 4세기에 걸쳐 여러 형태로 출판되었다. 로그라는 개념은 1970년대까지 이공계에서도 보편화되었던 슬라이드 규칙을 만드는 데도 사용되었다. 자연 로그가 생성되는 돌파구는 직사각형 하이퍼볼라에 대한 면적 표현을 찾아낸 결과였으며, 새로운 함수를 표준 수학에 동화시켜야 했다.

공통 로그

10의 공통일지는 1이고, 백의 공통일지는 2이고, 천의 공통일지는 3이므로, 공통일지의 개념은 소수점수 제도에 매우 가깝다. 공통의 통나무는 베이스 10을 가지고 있다고 하지만 베이스 1만개는 고대로 동아시아에서 여전히 흔하다. 아르키메데스는 그의 저서 모래 계산기에서 무수한 것들을 우주의 모래 알갱이를 세도록 고안된 숫자 체계의 기초로서 사용했다. 2000년에 언급된 바와 같이:^[1]

고대 아르키메데스는 숫자의 기하학적 진행을 이용하여 산술적 진행과 연관시킴으로써 곱셈을 더하는 방법을 제공했다.

1616년 헨리 브릭스(Henry Briggs)가 Napier의 로그에 대한 제안된 변경에 대해 논의하기 위해 에든버러에 있는 John Napier를 방문했다. 이듬해에도 비슷한 목적으로 다시 찾아갔다. 이러한 회의 동안에 브릭스에 의해 제안된 변경은 합의되었고, 1617년 에든버러에 두 번째 방문에서 돌아온 후, 그는 그의 첫 번째 로그 기록들을 발표했다.

1624년 브릭스(Briggs)는 산술적으로 산술적으로 3만 개의 자연수를 소수점 14자리(1-2만 개, 9만 1~10만 개)에 이르는 로그가 수록된 작품을 편액으로 발표했다. 이 탁자는 이후 아드리아안 블라크에 의해 10곳으로 늘렸으나, 알렉산더 존 톰슨에 의해 1952년에 20곳으로 늘어났다.

브릭스(Briggs)는 함수의 표를 계산하기 위해 유한 차이 방법을 사용한 최초의 사람 중 하나였다.^[2][3] 또한 그는 모든 도수의 100분의 1에 해당하는 로그와 탄젠트 표를 소수 14자리까지 완성하였는데, 자연산 씨네 표는 15자리, 탄젠트 표는 10자리까지 완성하였는데, 모두 1631년 고다에서 인쇄되어 1633년 《트리고노메트리아 브리타니카》라는 제목으로 간행되었다. 이러한 우려는 다음과 같다.rk는 아마도 그의 1617 로가리쓰모름 Chilias Prima("The First Sournal Logarithms")의 후계자였을 것이다. 이 로가리듬에 대한 간략한 설명과 14번째 소수점까지 계산된 처음 1000개의 정수의 긴 표를 제공했다.

자연 로그

1649년 생빈센트의 제자였던 알폰스 안토니오 데 사라사는 x = 1에서 x = t까지의 하이퍼볼라 아래 A(t) 영역이 만족한다는^[5] 점을 지적하여 하이퍼볼라의 4각형 로그와 연관시켰다.^[4]

$[\displaystyle A(tu)=A(t)+A(u)]}$

처음에 생빈센트의 쌍곡 로그에 대한 반응은 크리스티아안 후이겐스 ^[6](1651년)와 제임스 그레고리 (1667년)에서와 같이 4차 연구의 연속이었다.^[7] 이어서 로그 제작 산업이 니콜라스 메르카토르(1668년),^[8] 유클리드 스피델(1688년),^[9] 존 크레이그(1710년)^[10]의 작품 제목인 '로가리트모테키아'로 생겨났다.

조건부 수렴 반경이 있는 기하계열의 사용으로, 메르카토르계열이라 불리는 교번계열은 구간(0,2)에 걸쳐 로그함수를 표현한다. 시리즈는 (0,1)에서 음성이므로, 거기서 "하이볼라 밑의 영역"은 음성으로 간주되어야 하므로, 순수하게 양적인 영역 대신 서명된 조치가 쌍곡선 로그(dypervoll logarithm)를 결정한다.

역사학자 톰 화이트사이드는 분석함수로의 전환을 다음과 같이 설명했다.^[11]

17세기 말에 이르러 우리는 적절히 잘 조절된 계산 장치라는 것 이상으로, 하이퍼볼라 영역의 모형에서 로그 함수가 수학에 받아들여졌다고 말할 수 있다. 18세기에, 이 기하학적 기초가 완전히 분석적인 것을 위해 버려졌을 때, 확장이나 개혁은 필요 없었다 – "하이퍼볼라 영역"의 개념이 고통 없이 "자연 로그"로 변형되었다.

레오나드 오일러는 로그인을 로그의 기저라고 불리는 특정 수의 지수로 취급했다. 그는 숫자 2.71828과 그 역수는 하이퍼볼라 xy = 1에 점을 제공함으로써 1제곱 단위의 영역이 하이퍼볼라 오른쪽(1.1)의 하이퍼볼라 아래 및 하이퍼볼라의 점증상 위에 위치한다는 점에 주목했다. 그리고 나서 그는 이 숫자를 베이스로 하여 자연 로그라고 불렀다.

하워드 에베스가 지적한 바와 같이, "수학의 역사에서 나타나는 변칙 중 하나는 지수를 사용하기 전에 로그가 발견되었다는 사실이다."^[12] 칼 B. 보이어는 "오일러는 현재 너무나 익숙한 방식으로 로그인을 가장 먼저 지수로 취급한 사람 중 한 명이었다.^[13]

로그의 개척자

전임자

기원전 2000–1600년 바빌로니아인들은 추가, 뺄셈, 그리고 4분의 1 제곱표만을 사용하여 두 숫자를 곱하기 위한 4분의 1 제곱 곱셈 알고리즘을 발명했을지도 모른다.^[14][15] 따라서 그러한 테이블은 로그 테이블과 유사한 목적을 제공했는데, 이 테이블은 덧셈과 테이블 룩업을 사용하여 곱셈을 계산할 수도 있다. 그러나 추가 왕복표(또는 왕복선을 생성할 수 있을 만큼 간단한 알고리즘의 지식)가 없으면 분할에 쿼터제곱법을 사용할 수 없었다. 1817년부터 컴퓨터 사용으로 대체될 때까지 많은 수의 정확한 곱셈을 단순화하기 위해 쿼터 사각형의 큰 테이블을 사용했다.^{[citation needed]}

인도의 수학자 비라세나는 아르다케다라는 개념을 가지고 일했다: 2n형식의 숫자가 반으로 줄어들 수 있는 횟수. 2의 정확한 검정력은 2진수 로그와 동일하지만 다른 숫자의 경우 로그와 다르다. 그는 이 개념에 대한 제품 공식을 설명하고 베이스 3(트라카케다)과 베이스 4(카투르카다)에 대해서도 유사한 개념을 도입했다.^[16]

마이클 스티펠은 1544년 뉘른베르크에 산술집 정수를 발표했는데, 여기에는 이항 로그표의 초기 버전으로 여겨져 온 2의 정수와 힘 표가^[17] 수록되어 있다.^[18][19]

16세기에서 17세기 초에는 prosthapaeresis라고 불리는 알고리즘이 대략 곱셈과 나눗셈에 사용되었다. 이것은 삼각학적 정체성을 사용했다.

${\displaystyle \cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos \{1}{2}}[\cos(\cos(\cos)(\cos)(\cos -\cos )]}$

또는 승수를 추가 및 테이블 검색으로 변환하는 것과 유사함. 그러나 로그는 더 간단하고 작업이 덜 필요하다. 두 가지 기법이 연관되어 있다는 오일러의 공식을 이용해 알 수 있다.

뷔르기

스위스 수학자 요스트 뷔르기는 존 네이피어와는 별개로 항일가리듬^[20] 표라고 할 수 있는 경과표를 만들었는데, 그의 간행물(1614년)은 요하네스 케플러의 지시로 뷔르기가 출판되었을 무렵에 알려졌다. 우리는 Burrgi가 1588년 경에 계산을 단순화하는 어떤 방법을 가지고 있었다는 것을 알고 있지만, 아마도 1600년 경으로 거슬러 올라가는 그의 진행표를 사용하지 않고, 이 방법을 사용하는 것이 가장 가능성이 높다. 실제로 1584년부터 1586년까지 카셀에 있었던 위티치는 삼각값의 추가와 소급에 의해 승수와 구분을 대체할 수 있는 방법인 프로스트하패레시스에 대한 지식을 그에게 가져왔다. 이 절차는 몇 년 후에 로그가 작성될 것과 같은 결과를 얻는다.

네이피어

로그의 방법은 1614년 존 네이피어가 '미리피티 로가리쓰모름 캐논리스 설명서(Logarithms의 놀라운 규칙 설명)'라는 책에서 공개적으로 제기하였다.^[21][22]

로그 테이블을 광범위하게 사용하여 자신의 에피메리스를 컴파일하여 네이피어에게 바친 요하네스 케플러는 다음과 같이 말했다.^[23]

... 계산의 억양은 나피어의 체계가 나타나기 수 년 전에 저스토스 바이르기우스 [Joost Bürgius]를 바로 이 로그로 이끌었다. 그러나 ... 공공의 이익을 위해 아이를 키우는 대신에 그는 아이를 출산할 때 버렸다.

— Johannes Kepler^[24], Rudolphine Tables (1627)

Napier는 P점이 선 세그먼트 P0에서 Q까지 이동하는 것을 상상했다. P0에서 시작하여 일정한 초기 속도로 P는 Q까지의 거리와 비례하는 속도로 이동하므로 P가 Q에 도달하지 못하게 된다. Napier는 이 수치를 L0에서 시작하여 점 P의 초기 속도에 해당하는 일정한 속도로 무한 선 세그먼트를 따라 이동하는 점 L과 비교하였다. 네이피어는 L0에서 L까지의 거리를 P에서 Q까지의 거리의 로그로 정의했다.

Napier는 반복적인 소산법으로 1에서 100까지의 L에 대해 계산(1 - 10⁻⁷)^L했다. L=100의 결과는 약 0.99999 = 1 - 10이다⁻⁵. 그런 다음 네이피어는 1에서 50까지 L에 대해 이 숫자의 곱을 10(1⁷ - 10⁻⁵)^L으로 계산했고, 0.9998 ((1 - 10⁻⁵)²⁰과 0.9 ≈ 0.995로²⁰ 비슷하게 계산했다.^[26] 20년을 차지했던 이러한 계산은 그가 5백만에서 1천만까지의 숫자 N에 대해 방정식을 푸는 숫자 L을 줄 수 있게 했다.

${\displaystyle N=10^{7}(1-10^{-7})^{L}}$

네이피어는 처음에는 L을 '인공적 숫자'라고 불렀으나, 나중에는 비율을 나타내는 숫자를 뜻하는 '로그'라는 단어를 도입했다. λόγος (logos)는 비율을 의미하고, ἀριθ μός (arithmos)는 숫자를 의미한다. 현대 표기법에서 자연 로그와의 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle L=\log _{(1-10^{-7})}\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)\approx 10^{7}\log _{1/e}\left({\frac {N}{10^{7}}}\right)=-10^{7}\log _{e}\left({\frac {N}{10^{7}}}\right),}$

여기서 매우 가까운 근사치는 다음과 같은 관측에 해당한다.

${\displaystyle (1-10^{-7})^{10^{7}}\약간 {\frac {1}{e}}.}$

그 발명은 빠르고 널리 찬사를 받았다. 보나벤투라 카발리에리(이탈리아), 에드먼드 윙가테(프랑스), 슈에 펑주오(중국), 요하네스 케플러의 칠리야스 로가리스모름(독일) 등의 작품이 이 개념을 더욱 확산시키는데 일조했다.^[28]

오일러

1730년경, 레온하르트 오일러는 지수함수와 자연 로그에 의해 정의되었다^[29][30][31].

${\displaystyle {\pregated}e^{x}&=\lim _{n\frac \inflat }\{n}\좌측(1+{\frac {n}{n}\n}\ln(x)&=\lim _{n\rightarrow \n(x^{1-1)-1)}-1)\end{정렬}}}$

오일러는 1748년 자신의 교과서 '무한도 분석의 도입'에서 역함수를 통한 로그에 대한 현재 표준 접근법을 발표했다. 6장 "지수와 로그에 대하여"에서 그는 일정한 기초 a로 시작하여 초월함수 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle z^{}}$ ${\displaystyle y=a^{z}$에 대해 논한다.${}$ 그러면$$ 역행하는 로그가 다음과 같다.

z = 로그_a y.

로그 표

공통 로그(base-10)를 포함하는 수학 테이블은 컴퓨터와 계산기가 등장하기 전의 계산에서 광범위하게 사용되었는데, 이는 로그가 곱셈과 나눗셈의 문제를 훨씬 쉬운 덧셈과 뺄셈 문제로 변환할 뿐만 아니라, 베이스-10에만 특유하고 유용한 것으로 증명되는 추가 속성에 대해서도 그러하다. 임의의 양의 숫자는 간격[1,10]과 10의 정수 검정력으로부터 숫자의 곱으로 표현할 수 있다. 이는 주어진 숫자의 소수 구분 기호를 왼쪽으로 이동하여 양수를 산출하고, 음수 지수를 10으로 산출하는 것으로 상상할 수 있다. 이러한 정규화된 숫자의 로그(일정 숫자로 근사하게 추정됨)만 리스트에 유사한 정밀도(숫자 유사 수)로 표로 작성하면 된다. 이 사마귀들은 모두 양성이며 [0,1] 구간에 둘러싸여 있다. 주어진 양의 숫자에 대한 공통 로그는 두 번째 인자의 공통 로그에 그것의 맨티사를 추가하여 얻는다. 이 로그는 주어진 숫자의 특징이라고 불린다. 10의 검정력의 공통 로그는 정확히 지수이기 때문에, 특징은 정수로서, 공통 로그는 십진수를 처리하는 데 유달리 유용하게 쓰인다. 1보다 작은 숫자의 경우 이 특성은 필요에 따라 결과 로그를 음수로 만든다.^[32] 특성 및 사마귀 사용에 대한 자세한 내용은 공통 로그를 참조하십시오.

초기 테이블

마이클 스티펠은 1544년 뉘른베르크에서 초기 버전의 로그 테이블로 여겨져 온 2의 정수와 힘의 표를^[33] 수록한 산술집 정수를 출판했다.^[18][19]

로그의 방법은 1614년 존 네이피어가 '미리피티 로가리쓰모름 캐논리스 설명서(Logarithms의 놀라운 규칙 설명)'라는 책에서 공개적으로 제기하였다.^[34] 이 책에는 57쪽 분량의 설명서와 90쪽 분량의 자연 로그 관련 표들이 실려 있었다. 영국의 수학자 헨리 브릭스(Henry Briggs)는 1615년 네이피어를 방문하여 현재 공통 또는 베이스 10 로그로 알려진 것을 형성하기 위해 네이피어의 로그 재확인을 제안했다. Napier는 수정된 표의 계산을 브릭스에게 위임했고, 이후 1617년에 Logarithmorum Chilias Prima ("The First Outil Logarithms")를 발표했는데, 이 책은 로그에 대한 간략한 설명과 14번째 소수점까지 계산된 첫 1000개의 정수에 대한 표를 주었다.

1624년 브릭스 산술가 로가리스미카는 소수점 이하 14자리(1~2만, 9만~10만)에 자연수 3만개의 로그가 수록된 작품으로 폴리오에 등장했다. 이 탁자는 이후 아드리아안 블라크에 의해 10곳으로 늘렸으나, 알렉산더 존 톰슨에 의해 1952년에 20곳으로 늘어났다.

브릭스(Briggs)는 함수의 표를 계산하기 위해 유한 차이 방법을 사용한 최초의 사람 중 하나였다.^[2][3]

이후 블락크의 표에는 603개의 오류가 있는 것으로 조사되었으나, "이 표는 원래 계산의 결과로서, 210만 개 이상의 인쇄된 수치가 오차가 발생하기 쉽다고 볼 때, 이것은 큰 숫자로 볼 수 없다."^[35] 많은 수정을 담은 블라크의 작품 판본이 1794년 라이프치히에서 쥬리 베가의 테사우루스 로가리스모룸 Complettus라는 제목으로 발행되었다.

프랑수아 칼레의 7위 테이블(파리스, 1795)은 10만에서 10만에서 10만8천까지의 숫자의 8위 로그에 표의 초기 부분에서 가장 컸던 보간법의 오류를 줄이기 위해, 이 추가는 일반적으로 7위 테이블에 포함되었다. Vlacq의 테이블의 유일한 중요한 확장자는 1871년 Edward Sang에 의해 만들어졌는데, 그 테이블에는 20만 이하 모든 숫자의 7위 로그가 들어 있었다.

브릭스(Briggs)와 블락크(Vlacq)도 삼각함수의 로그에 대한 원본 표를 발표했다. 브릭스(Briggs)는 모든 도수의 100분의 1에 해당하는 로그와 로그 탄젠트 표를 소수점 14자리까지 완성하였고, 자연 사인표는 15자리, 탄젠트와 세컨트는 10자리까지 완성하였는데, 모두 1631년 고다에서 인쇄되어 1633년에 트리고노메트리아 브리타니(Trigonometria Britanni)ca. 삼각함수의 표 로그는 흔히 그렇듯이 각도의 함수에 다른 숫자를 곱해야 하는 손 계산을 단순화한다.

위에서 언급한 표들 외에도 1790년대의 프랑스 공화정 정부의 후원을 받아 《Tables du Cadastre》라 불리는 위대한 수집품이 Guffard de Prony의 지휘 아래 독창적인 연산에 의해 건설되었다. 10만19곳에 이르는 모든 숫자와 10만20만24곳에 이르는 숫자의 로그가 수록된 이 작품은 파리 천문대의 '17개의 거대한 엽록체'에 원고로만 존재한다. 1792년에 시작되었고, "더 큰 정확성을 확보하기 위해 모든 계산이 중복적으로 수행되었고, 이후 두 원고가 2년이라는 짧은 공간에서 조심스럽게 결재되었다." ^[36] 입방 보간법은 어떤 숫자의 로그와 유사한 정확도를 찾는데 사용될 수 있다.

다양한 요구에 따라 작은 핸드북에서 다권 에디션에 이르는 로그 테이블이 작성되었다.^[37]

연도	작가	범위	소수점	참고
1617	헨리 브릭스, 로가리츠모룸 칠리아스 프리마	1–1000	14	이미지를 보다
1624	헨리 브릭스 산술차 로가리스미카	1–20,000, 90,000–100,000	14
1628	아드리안 블라크	20,000–90,000	10	603개의 오류만[38] 포함함
1792–94	가스파르트 드 프론 표 du Cadastre	10만 대 10만 대 20만 대	각각 19와 24	출판되지 않은 "대단한" 폴리오"[36]
1794	쥬리 베가 테사우루스 로가리트모름 콤프레투스 (라이프치히)			Vlacq의 저작 수정판
1795	프랑수아 칼레 (파리)	100,000–108,000	7
1871	에드워드 상	1–200,000	7

슬라이드 규칙

슬라이드 규칙은 존 네이피어가 로그의 개념을 발표한 직후인 1620–1630년경에 발명되었다. 옥스포드의 에드먼드 건터는 단일 로그 스케일을 가진 계산 장치를 개발했다; 추가 측정 도구를 사용하면 그것은 증식하고 나누기 위해 사용될 수 있다. 이 척도에 대한 첫 설명은 1624년 파리에서 영국의 수학자인 에드먼드 윙게이트(c.1593–1656)가 'L'usage de la reigle de raigle de rate in l'armetic & geometrie'라는 책에 실렸다. 그 책에는 한 면에는 로그, 다른 면에는 표로 된 이중 저울이 들어 있다. 1630년, 캠브리지의 윌리엄 윌레드는 원형 슬라이드 규칙을 발명했고, 1632년 두 개의 핸드헬드 건터 규칙을 결합하여 현대 슬라이드 규칙으로 인식되는 장치를 만들었다. 케임브리지에서 그의 동시대인 아이작 뉴턴처럼, 와이드레드는 그의 생각을 학생들에게 개인적으로 가르쳤다. 또한 뉴턴과 마찬가지로 한때 제자였던 리처드 들라메인과 윙게이트의 이전 주장과 함께 우선순위에 대한 독설적인 논란에 휘말리게 되었다. 와이브레드의 생각은 1632년과 1653년에 그의 제자 윌리엄 포스터의 출판물에 공개되었을 뿐이다.

1677년, 헨리 코게스홀은 수학적 조사를 넘어 슬라이드 규칙의 사용을 확장하면서, 코게스홀 슬라이드 규칙이라고 불리는 목재 측정을 위한 2피트 접이식 규칙을 만들었다.

1722년 워너스는 2와 3데시 음계를 도입했고 1755년 에버라드는 반전 음계를 포함했다. 이 음계를 모두 포함하는 슬라이드 규칙은 보통 "폴리 위상" 규칙으로 알려져 있다.

1815년, 피터 마크 로젯은 로그 슬라이드 규칙을 발명했는데, 로그 슬라이드 규칙에는 로그의 로그를 표시하는 척도가 포함되어 있었다. 이를 통해 사용자는 뿌리와 지수를 포함하는 계산을 직접 수행할 수 있었다. 이것은 특히 부분적인 힘에 유용했다.

1821년, 나다니엘 보우디치는 미국 실용 항해사에서 고정된 부분의 삼각함수와 항법 문제를 해결하는 데 사용된 슬라이더에 로그 사인 및 로그탄의 줄을 포함하는 "슬라이딩 규칙"을 기술했다.

1845년 글래스고의 폴 캐머런은 태양과 주요 별들의 올바른 상승과 하강을 포함한 항해 질문에 대답할 수 있는 Nautical Slide-Rule을 도입했다.^[39]

현대 양식

보다 현대적인 형태의 슬라이드 규칙은 1859년 프랑스 포병 중위 아메데 만하임에 의해 만들어졌는데, 그는 "국가의 명성을 가진 회사에 의해 만들어진 자신의 통치를 프랑스 포병대에 의해 채택된 것을 다행으로 여겼다"고 한다. 공학이 공인된 직업이 되어 유럽에서는 슬라이드 규칙을 널리 사용하게 되었지만 미국에서는 그렇지 않은 것이 이 무렵이었다. 그곳에서 에드윈 타허의 원통형 통치는 1881년 이후 유지되었다. 이중 법칙은 1891년 윌리엄 콕스에 의해 발명되었고, 뉴욕의 커펠과 에세르 사에 의해 만들어졌다.^[40][41]

참조

원본

• 헨리 브릭스 (1624) 산술가 로가리스미카
• 그레고아르 드 생빈센트 (1647) 오푸스 기하학적 콰드라투레 et Sectionum Circuli et Sectionum Coni.
• Christiaan Huygens (1651) Ouebres Conferets, Tome XI의 Orleata de Quadratura hyperboles, 줄임피스 et circuli, 인터넷 아카이브에서 링크.
• 제임스 그레고리 (1667) 베라 세큘리 외 하이퍼볼레 쿼드라투라, 파두아: 파타비이, 인터넷 아카이브(Internet Archive)를 통해
• 윌리엄 브룬커 (1667) 런던 왕립 협회의 하이퍼볼라, 철학적 거래, 1809년 판, v. i, 233–6을 요약한 '생물다양성 유산 도서관'의 링크.
• 니콜라스 메르카토르 (1668년) 런던 로가리스미테니아

이차 출처

• Frances Maseres (1791) Scriptores Logarithmici, 또는 로그의 성격과 구축에 관한 몇 가지 호기심 많은 트레이드 모음집, 구글 북스의 링크.
• 카를 보프(1907) "Die Kegelschnitte der Gregorius a St. 빈센트리오", Abhandlungenzum Geschichte deramaturische Wissenschaft, XX Heft.
• 플로리안 카조리(1913년) "지수와 로그 개념의 역사" 미국 수학 월간 20:5~14쪽, 35~47쪽, 75~84쪽, 107~117쪽, 148~151쪽, 173~182쪽, 205~210쪽, Jstor의 링크
• 조지 A. 깁슨(1922년) "제임스 그레고리의 수학 작품" 에든버러 수학 학회의 진행 41: 2 대 25 & (두 번째 시리즈) 1: 1 대 18.
• 크리스토프 J. 스크리바(1983) "그리고리의 수렴 2중 시퀀스: '원'의 '분석적' 사분법을 둘러싼 후이겐스와 그레고리의 논쟁을 새롭게 살펴본다"는 역사학 10장 274부터 85절.
• R.C. 피어스(1977) "단순 로그의 역사", 2년제 대학 수학 저널 8:22–6.
• K.M. Clark (2012) "우선순위, 병행발견, 선행성: Napier, Burgi 및 로그 관계의 초기 역사", Revue d'histoire de Mathique 18(2): 223–70.

외부 링크

Wikiquote는 다음과 관련된 인용구를 가지고 있다: 로그의 역사

• 라파엘 빌라랄-칼데론(2008) 채핑 로그: A Look at the History and Uses of Logs, The Montana Mathematical Manager 5(2,3): 237~44, Montana University of Montan타나주립대 링크
• 마틴 플래시맨 훔볼트 주립 대학교 로그의 역사