대칭

Symmetry
대칭(왼쪽) 및 비대칭(오른쪽)
팔면체 대칭을 가진 구면 대칭군.노란색 영역은 기본 영역을 나타냅니다.
반사대칭, 회전대칭, 자기유사성을 가진 프랙탈 모양의 세 가지 대칭 형태입니다.이 모양은 유한 분할 규칙에 의해 얻어집니다.

일상 언어의 대칭(고대 그리스어: δμμμα symmetria "차원의 일치, 적절한 비율, 배열")[1]은 조화롭고 아름다운 비례와 [2][3][a]균형감을 말한다.수학에서, "대칭성"은 보다 정확한 정의를 가지고 있으며, 일반적으로 변환, 반사, 회전 또는 축척을 포함한 일부 변환에서 불변하는 물체를 가리키는 데 사용됩니다."대칭성"의 이 두 가지 의미는 때때로 구별될 수 있지만, 그것들은 복잡하게 연관되어 있기 때문에 이 글에서 함께 논의된다.

수학적인 대칭은 시간의 흐름과 관련하여 관찰될 수 있다; 공간 관계로서; 기하학적 변환을 통해서; 다른 종류의 기능적 변환을 통해서; 그리고 이론적인 모델, 언어, 그리고 [4][b]음악을 포함한 추상적인 물체의 한 측면으로서.

이 기사는 세 가지 관점에서 대칭을 설명한다: 기하학을 포함수학에서, 많은 사람들에게 가장 친숙한 대칭 유형, 과학자연에서, 그리고 건축, 예술, 예술에서.

대칭의 반대는 대칭의 부재 또는 위반을 나타내는 비대칭입니다.

수학에서

기하학에서

트리스켈리온은 3중 회전 대칭을 가지고 있다.

기하학적 모양이나 물체는 조직적으로 [5]배열된 두 개 이상의 동일한 조각으로 나눌 수 있는 경우 대칭입니다.이는 개체의 개별 조각을 이동하지만 전체 모양이 변경되지 않는 변환이 있는 경우 개체가 대칭임을 의미합니다.대칭의 유형은 조각의 구성 방법 또는 변환 유형에 따라 결정됩니다.

  • 물체를 서로 [6]거울 이미지인 두 조각으로 나누는 선(또는 3D 평면)이 물체를 통과하는 반사 대칭(선 또는 거울 대칭)을 가집니다.
  • 전체 [7]모양을 변경하지 않고 고정된 점(또는 선에 대한 3D)을 기준으로 개체를 회전시킬 수 있는 경우 개체는 회전 대칭을 가집니다.
  • 전체 모양을 변경하지 않고 [8](개체의 모든 점을 같은 거리만큼 이동) 변환할 수 있는 경우 개체는 변환 대칭을 가집니다.
  • 물체가 나사축으로 [9]알려진 선을 따라 3차원 공간에서 동시에 번역 및 회전할 수 있는 경우, 물체는 나선 대칭을 가집니다.
  • 물체는 확대 또는 [10]축소될 때 모양이 변하지 않으면 축척 대칭을 가집니다.프랙탈은 또한 프랙탈의 작은 부분이 큰 [11]부분과 모양이 비슷한 척도 대칭의 형태를 보입니다.
  • 다른 대칭으로는 활공반사대칭(번역 후 반사)과 회전반사대칭(회전 및 반사의[12] 조합)이 있다.

논리적으로

2차 관계 R = S × S는 S의 모든 요소 a, b에 대해 Rab이 참일 때마다 대칭이며, Rba[13]참이다.따라서, "동일 나이"라는 관계는 대칭적이다. 만약 폴이 마리아와 같은 나이라면, 메리는 폴과 같은 나이이기 때문이다.

명제 논리학에서 대칭 이항 논리 연결은 (↔)가 [14]대칭이 아닌 경우, (↔)와 if, only if를 포함한다.다른 대칭 논리 연결에는 nand(not-and, or ),), xor(not-biconditional, or or ⊽) nor(not-or, ⊽)가 포함된다.

수학의 다른 영역

이전 절의 기하학적 대칭에서 일반화하면, 수학적 물체는 주어진 수학적 연산에 대해 대칭이라고 할 수 있다. 만약 이 연산이 [15]물체의 특성을 보존한다면.개체의 지정된 속성을 보존하는 작업 집합이 그룹을 형성합니다.

일반적으로 수학의 모든 종류의 구조들은 그들만의 대칭성을 가지고 있을 것이다.미적분학의 짝수 홀수 함수, 추상대수대칭군, 선형대수의 대칭 행렬, 갈로아 이론갈로아이 그 예입니다.통계학에서 대칭은 대칭 확률 분포도([16]분포의 비대칭)로도 나타납니다.

과학과 자연에서

물리학에서

물리학의 대칭성은 예를 들어 임의의 좌표 [17]변환과 같은 모든 종류의 변환에서 평균 불변성, 즉 변화의 결여로 일반화되었습니다.사실상 모든 자연의 법칙이 대칭에서 비롯된다는 것이 명백해졌기 때문에 이 개념은 이론 물리학의 가장 강력한 도구 중 하나가 되었다.사실, 이 역할은 노벨상 수상자인 PW 앤더슨이 1972년에 널리 읽힌 그의 기사 More is Different에서 "물리학이 [18]대칭의 연구라고 말하는 것은 단지 사실을 약간 과장하는 것일 뿐"이라고 쓰도록 영감을 주었다.참고 뇌터의 정리( 크게 약식, 김치는 매일 지속적인 수학적 대칭에는 해당으로 양 에너지나 운동량과 같은 규칙이 있기;으로 현재에서 뇌터의 본래의 언어).;[19]과 또한, 위그너 분류, 이는 대칭 법칙의 물리학을 결정하는 적절하다.자연에서 [20]발견된 입자의 결합

물리학에서 중요한 대칭은 연속 대칭시공간 이산 대칭, 입자의 내부 대칭, 그리고 물리 이론의 초대칭이다.

생물학에서

많은 동물들이 거울과 거의 대칭이지만, 내부 장기는 종종 비대칭으로 배열되어 있다.
레오나르도 다빈치의 '비트로비안 인간' (1487년경)은 종종 인체, 나아가 자연 우주의 대칭을 표현하기 위해 사용된다.

생물학에서 대칭의 개념은 대부분 체형을 묘사하기 위해 명시적으로 사용된다.인간을 포함한 양쪽 동물은 을 좌우 반으로 [21]나누는 시상면에 대해 어느 정도 대칭이다.한 방향으로 움직이는 동물들은 반드시 위쪽과 아래쪽, 머리와 꼬리 끝, 따라서 왼쪽과 오른쪽을 가지고 있다.머리는 입과 감각 기관으로 특화되며, 몸은 움직임을 위해 좌우 대칭이 되며, 근육과 골격 요소의 대칭 쌍이 있지만, 내부 장기는 [22]종종 비대칭으로 남아 있다.

말미잘과 같은 식물과 세실(부착된) 동물은 종종 방사상 또는 회전 대칭을 가지고 있는데, 먹이나 위협이 어느 방향에서나 올 수 있기 때문에 이 대칭에 적합하다.불가사리, 성게, 그리고 [23]백합을 포함하는 그룹인 극피동물에서 5배의 대칭이 발견됩니다.

생물학에서 대칭의 개념은 물리학에서와 마찬가지로, 즉 그들의 상호작용을 포함한 연구 대상들의 특성을 설명하는 데에도 사용됩니다.생물 진화의 주목할 만한 특성은 새로운 부분과 역학의 [24][25]출현에 대응하는 대칭의 변화이다.

화학과

대칭은 본질적으로 자연에서 분자 사이의 모든 특정한 상호작용을 지탱하기 때문에 화학에 중요하다.현대 화학 합성에서 생성된 분자의 대칭을 제어하는 것은 최소한의 부작용으로 치료적 개입을 제공하는 과학자들의 능력에 기여한다.대칭에 대한 엄격한 이해는 양자 화학과 분광학결정학 응용 분야의 기본적인 관찰을 설명한다.이러한 물리과학 영역에 대한 대칭의 이론과 적용은 집단 [26]이론의 수학적 영역에 크게 영향을 미친다.

심리학과 신경과학에서

인간 관찰자의 경우, 어떤 대칭 유형은 다른 것들보다 더 두드러지는데, 특히 가장 두드러지는 것은 인간의 얼굴에 존재하는 것과 같은 수직 축을 가진 반사이다.에른스트 마흐는 그의 저서 "감각의 분석" (1897년)[27]에서 이러한 관찰을 했고, 이것은 대칭의 인식이 모든 규칙성에 대한 일반적인 반응은 아니라는 것을 암시한다.행동 및 신경생리학 연구 모두 인간과 다른 [28]동물에서 반사 대칭에 대한 특별한 민감성을 확인했다.게슈탈트 전통 내의 초기 연구는 양쪽 대칭이 지각 그룹화의 핵심 요소 중 하나라는 것을 시사했다.이것은 대칭의 법칙으로 알려져 있다.그룹화와 그림/그라운드 구성에서 대칭의 역할은 많은 연구에서 확인되었다.예를 들어 반사대칭이 단일 물체의 특성일 [29]경우 반사대칭 검출이 더 빠릅니다.인간의 인식과 정신물리학의 연구는 대칭의 검출이 빠르고 효율적이며 섭동에 강하다는 것을 보여주었다.예를 들어 대칭은 100~[30]150밀리초의 프레젠테이션으로 검출할 수 있습니다.

보다 최근의 신경 영상 연구는 대칭을 지각하는 동안 어떤 뇌 영역이 활성화되는지를 입증했다.사사키 [31]기능성 자기공명영상(fMRI)을 사용하여 대칭 또는 랜덤 점 패턴의 응답을 비교했습니다.후두피질 외측부에는 강한 활성이 있었지만 일차 시각피질에는 없었다.외주 영역에는 V3A, V4, V7 및 측후두복합체(LOC)가 포함되었다.전기생리학적 연구는 같은 [32]부위에서 비롯된 후기 사후 음성성을 발견했다.일반적으로 시각 시스템의 많은 부분이 시각적 대칭을 처리하는 데 관여하는 것으로 보이며, 이러한 영역은 [33]사물을 감지하고 인식하는 데 책임이 있는 사람들과 유사한 네트워크를 포함한다.

사회적 상호작용에 있어서

사람들은 다양한 맥락에서 사회적 상호작용의 대칭적인 성질을 관찰합니다. 종종 비대칭적인 균형을 포함한다.여기에는 상호주의, 공감, 동정, 사과, 대화, 존중, 정의, 복수에 대한 평가가 포함됩니다.반사균형은 일반원칙과 구체적[34]판단 사이의 신중한 상호 조정을 통해 달성될 수 있는 균형이다.대칭적인 상호작용은 "우리는 모두 같다"는 도덕적 메시지를 보내는 반면, 비대칭적인 상호작용은 "나는 특별하다; 너보다 낫다"라는 메시지를 보낼 수 있다.황금률에 의해 지배될 수 있는 것과 같은 또래 관계는 대칭에 기초하는 반면, 권력 관계는 [35]비대칭에 기초한다.대칭 관계는 대칭 게임에서 볼 수 있는 간단한 (게임 이론) 전략에 의해 어느 정도 유지될 수 있습니다.[36]

예술에 있어서

이란 이스파한로트폴라 모스크 천장은 8배의 대칭을 이루고 있다.

적어도 부분적으로는 대칭성과 [37]예술성을 다루는 것으로 알려진 저널과 뉴스레터의 목록이 존재합니다.

아키텍처의 경우

튀니지의 우크바 모스크라고도 불리는 카이루안 대 모스크에 있는 포티코의 대칭형 아케이드.
옆에서 보면 타지마할은 좌우 대칭을 이루고 있고, 위에서 보면 4배의 대칭을 이루고 있다.

대칭성은 고딕 양식성당이나 백악관과 같은 건물의 전체적인 외관부터 개별 평면도의 배치, 그리고 타일 모자이크 같은 개별 건물 요소의 디자인까지 모든 규모의 건축에 영향을 미칩니다.타지마할로트폴라 모스크와 같은 이슬람 건물들은 그들의 구조와 [38][39]장식 모두에서 대칭을 정교하게 사용합니다.알함브라와 같은 황무지 같은 건물들은 [40]회전뿐만 아니라 반사와 반사의 대칭을 이용하여 만들어진 복잡한 패턴으로 장식되어 있다.

서투른 건축가만이 "블록, 질량,[41] 구조의 대칭 배치"에 의존한다고 알려져 왔다. 모더니즘 건축국제 양식을 시작으로 "질량의 날개와 균형"[41]에 의존합니다.

도기 및 금속 용기

물레에 던져진 점토 항아리는 회전대칭이 된다.

토기 바퀴는 흙으로 만든 그릇을 만들기 위해 처음 사용된 이래로, 토기는 대칭과 강한 관계를 가지고 있습니다.물레방아로 만든 도자기는 단면적으로 완전한 회전대칭성을 얻으면서도 수직방향의 형상이 상당히 자유로워졌습니다.이 대칭적인 출발점에 고대 이후의 도공들은 시각적 목적을 달성하기 위해 회전 대칭을 수정하는 패턴을 추가했습니다.

주물 그릇은 바퀴로 만든 도자기의 회전대칭성이 결여되어 있었지만, 그 외에는 사용하시는 분들에게 즐거운 무늬로 표면을 장식할 수 있는 비슷한 기회를 제공하였습니다.예를 들어, 고대 중국인들은 기원전 17세기 초에 청동 주물에 대칭적인 무늬를 사용했다.청동 그릇은 양면 주요 모티브와 반복 번역 테두리 [42]디자인을 모두 보여주었습니다.

카펫과 양탄자에

직사각형 대칭의 페르시아 융단

카펫과 러그 패턴에서 대칭을 사용하는 오랜 전통은 다양한 문화에 걸쳐 있습니다.미국 나바호 인디언들은 대각선과 직사각형 모티브를 사용했다.많은 동양 양탄자는 패턴을 해석하는 복잡한 반사 중심과 테두리를 가지고 있다.직사각형 러그는 일반적으로 직사각형의 대칭, 즉 수평축과 수직축 모두에서 반사되는 모티브를 가지고 있습니다(클라인 4그룹 § [43][44]지오메트리 참조).

퀼트 안에

주방 만화경 퀼트 블록

퀼트는 정사각형 블록(대개 9, 16, 25개 블록)으로 만들어지며, 각각의 작은 조각은 대개 직물 삼각형으로 구성되어 있기 때문에,[45] 이 공예품은 대칭 적용에 쉽게 적합하다.

기타 예술 및 공예 분야

p4 대칭을 나타내는 켈트족 매듭 세공

대칭은 모든 종류의 객체 디자인에서 나타납니다.를 들어 구슬 세공, 가구, 모래 그림, 매듭 세공, 가면, 악기 등이 있습니다.대칭은 M.C. 에셔의 예술과 벽지, 이슬람 기하학적 장식같은 도자기 타일, 바틱, 이카트,[46] 카펫 제작과 같은 예술과 공예 형태에서의 테셀레이션의 많은 응용에 있어 중심적이다.

대칭은 [47]로고 디자인에도 사용됩니다.격자 위에 로고를 만들고 대칭이론을 사용함으로써 디자이너는 작품을 정리하고 대칭 또는 비대칭 디자인을 만들고 글자 사이의 간격을 결정하며 디자인에 필요한 네거티브 공간의 양을 결정하고 로고 부분을 강조하여 돋보이게 하는 방법을 결정할 수 있습니다.

음악에서

root of A minor triadthird of A minor triadfifth of A minor triadfifth of A minor triadroot of C major triadroot of C major triadthird of C major triadfifth of C major triadfifth of E minor triadfifth of E minor triadroot of E minor triadthird of E minor triadthird of G major triadfifth of G major triadroot of G major triadroot of G major triadfifth of D minor triadfifth of D minor triadroot of D minor triadthird of D minor triadthird of F major triadfifth of F major triadroot of F major triadroot of F major triad
흰색 피아노 건반의 장·단조 삼합주는 D와 대칭이다(비교 기사)(파일)

대칭성은 시각 예술에 국한되지 않는다.음악의 역사에서 그것의 역할은 음악의 창조와 인식의 많은 측면에 영향을 미친다.

음악 형식

대칭은 스티브 라이히, 벨라 바르토크, 그리고 제임스 테니에 의해 사용된 아치 (스웰) 형태 (ABCBA)와 같은 많은 작곡가들에 의해 형식적인 제약으로 사용되어 왔다.클래식 음악에서 바흐는 순열과 [48]불변의 대칭 개념을 사용했다.


피치 구조

대칭은 또한 음계와 화음형성에 있어 중요한 고려사항이며, 전통음악이나 음색음계비대칭적인 그룹으로 구성되어 있다.전체 음계, 증강 화음 또는 감소된 7번째 화음(감소된 7번째)과 같은 대칭 음계 또는 화음은 방향성 또는 전진 감각이 결여되어 있으며 또는 음의 중심에 대해 모호하며 보다 구체적이지 않은 디아토닉 기능을 가지고 있다.그러나 Alban Berg, Béla Bartok George Perle과 같은 작곡가들은 키 또는 비조음 [49]중심유사한 방식으로 대칭 및/또는 간격 주기의 축을 사용했습니다.George Perle은 "C–E, D–F,, [그리고] Eb–G는 같은 간격의 다른 인스턴스이며 다른 종류의 동일성입니다.…대칭축과 관련이 있습니다.C-E는 다음과 같이 대칭적으로 연관된 다이애드군에 속합니다."[49]

D D♯ E F F♯ G G★
D C♯ C B A♯ A G★

따라서 C~E는 구간 4 패밀리의 일부일 뿐만 아니라 합계 4 패밀리의 일부이기도 하다(C는 0).[49]

+ 2 3 4 5 6 7 8
2 1 0 11 10 9 8
4 4 4 4 4 4 4

인터벌 사이클은 대칭이기 때문에 비이온적입니다.단, C5의 7피치 세그먼트(제5피치 사이클, 제4피치 사이클과 Enharmonic한 5피치 사이클)는 다이어토닉 메이저 스케일을 생성합니다.구스타프 말러와 리하르트 바그너 같은 낭만주의 작곡가의 작품에서 주기적인 음조의 진행은 바르토크, 알렉산더 스크리아빈, 에드가르드 바레스, 비엔나 학파와 같은 모더니스트들의 무조 음악에서 주기적인 음조의 연속과 연결된다.동시에 이러한 진행은 강약의 [49][50]종료를 나타냅니다.

대칭적인 음높이 관계를 바탕으로 한 최초의 확장 작곡은 아마도 알반 버그의 4중주곡 Op.3(1910)[50]이었을 것이다.

동등성

역행 하에서는 변하지 않는 톤 행 또는 피치 클래스 세트는 수평 대칭이며, 역행 하에서는 수직으로 반전한다.비대칭 리듬을 참조하십시오.

미학에 있어서

대칭과 미학의 관계는 복잡하다.인간은 얼굴의 양쪽 대칭을 육체적으로 [51]매력적이라고 생각한다; 그것은 건강과 유전적 [52][53]적합성을 나타낸다.이와는 반대로 과도한 대칭이 지루하거나 재미없는 것으로 인식되는 경향이 있다.Rudolf Arnheim은 사람들이 어떤 대칭을 가지고 있고 그것들을 [54]흥미롭게 만들 만큼 충분히 복잡한 모양을 선호한다고 제안했다.

문학에서

대칭은 문학에서 다양한 형태로 발견될 수 있는데, 간단한 예는 짧은 텍스트가 앞뒤로 같은 내용을 읽는 회문이다.이야기는 베어울프[55]상승과 하강 패턴과 같은 대칭적인 구조를 가지고 있을 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ 예를 들어, 아리스토텔레스는 공식적으로 정의된 대칭의 기하학적 척도를 우주의 자연 질서와 완벽함에 기인하면서 구형의 형상을 천체의 탓으로 돌렸다.
  2. ^ 대칭 물체는 사람, 결정, 퀼트, 바닥 타일 또는 분자와 같은 물질일 수도 있고 수학 방정식이나 일련의 음색(음악)과 같은 추상적인 구조일 수도 있다.

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추가 정보

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