대수학의 기본 정리

대수학의 기본 정리로는 달렘베트의 정리^[1] 또는 달렘베트-가우스 정리라고도^[2] 하며, 복잡한 계수를 가진 모든 비정규적 단일변수 다항식은 적어도 하나의 복잡한 뿌리를 가지고 있다고 기술하고 있다.여기에는 실제 계수가 있는 다항식이 포함된다. 모든 실제 숫자는 가상 부분이 0인 복잡한 숫자이기 때문이다.

동등하게(정의에 따라), 정리는 복잡한 수의 장은 대수적으로 닫힌다고 기술한다.

또한 정리는 다음과 같이 명시된다: 복잡한 계수를 가진 모든 0이 아닌, 단변수, 도 n 다항식이 다항성, 정확히 n개의 복합 뿌리를 가지고 있다.두 문장의 등가성은 연속적인 다항식 구분을 통해 증명할 수 있다.

그 이름에도 불구하고, 어떤 증명이라도 반드시 실수의 분석적 완전성의 어떤 형태를 사용해야 하기 때문에, 그 정리에 대한 순수하게 대수학적 증거는 없다, 이것은 대수학적 개념이 아니다.^[3]게다가, 그것은 현대 대수학의 기본이 아니다; 그것의 이름은 대수학이 방정식 이론과 동의어였던 시기에 붙여졌다.

역사

피터 로스는 그의 저서 산티아카 철학(1608년 출판, Nürnberg에서 요한 란첸베르거가 출판한)^[4]에서 도 n의 다항 방정식(실제 계수를 갖는)이 n개의 해답을 가질 수 있다고 썼다.알버트 지라드는 그의 저서 L'Invention nouvel en l'Algébre(1629년 출판)에서 n의 다항식 n의 해법이 있다고 주장했지만, 그것들이 반드시 실수여야 한다고 진술하지는 않았다.게다가, 그는 자신의 주장이 "정식이 불완전하지 않는 한" 것을 의미한다고 덧붙였다. 즉, 그는 어떤 계수도 0과 같지 않다는 것을 의미했다.그러나 그가 자신의 뜻을 자세히 설명하면, 실제로 자신의 주장이 항상 진실이라고 믿는 것이 분명하다. 예를 들어, 그는 $방정식{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$4 = ${\displaystyle 4\mathrm{x}}$ -${\displaystyle }$3,$${\$displaystyle$ x$^{4}=4x-3,}$는 불완전하지만$$ ${\displaystyle \mathrm{4개}}$의 해결책(승수 계산: 1 (2$),{\displaystyle }$- + ${\displaystyle i\sqrt{\mathrm{}}}$ 2${\displaystyle }$,$${\$displaystyle -1+i{\sqrt2$}}를 가지고 있다는 것을 보여준다$.$$}},}$ 및$$${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle i\sqrt{\mathrm{}}}$ 2${\displaystyle }$. ${\displaystyle -1-i{\sqrt {2}.$$}$

아래에서 다시 언급하겠지만, 실제 계수가 있는 모든 비정규 다항식은 1이나 2인 실제 계수가 있는 다항식의 산물로 쓸 수 있다는 것은 대수학의 근본적인 정리로부터 따르게 된다.그러나 1702년 라이프니츠가 잘못 말한 형식 x⁴ + a의⁴ 다항식(실제적이고 0과 구별되는)은 그런 식으로 쓸 수 없다고 했다.이후 니콜라우스 베르누이는 다항식 x⁴ - 4x³ + 2x² + 4x + 4에 관해서도 같은 주장을 하였으나, 1742년^[5] 오일러로부터 이 다항식이 동일하다는 것을 알 수 있는 편지를 받았다.

${\displaystyle \left(x^{2}-(2+\ft )x+1+{\sqrt{7}+\sqrt \right)\왼쪽(x^{2}-(2-\ft)+1+{\sqrt{7}-\sqritut \right),}}$

$\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 4\sqrt{\mathrm{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{2\sqrt{\mathrm{}}}}$ 7${\displaystyle \sqrt{}}$. ${\displaystyle \alpha ={\sqrt{4+2{\sqrt{7}}}}}$또한$$ 오일러가 지적했다.

${\displaystyle x^{4}+a^{4}}}=\왼쪽(x^{2}+a{\sqrt{2}}\cdot x+a^{2}}\\오른쪽)\왼쪽(x^{2}-a{\sqrt{2}}\cdot x+a^{2}\오른쪽).}$

정리를 증명하기 위한 첫 시도는 1746년 달렘베르트에 의해 이루어졌지만 그의 증거는 불완전했다.다른 문제들 중에서도 암묵적으로 정리(현재는 푸이섹스의 정리라고 알려져 있다)를 가정했는데, 이는 1세기가 넘도록 그리고 대수학의 근본적인 정리를 사용하여 증명되지 않을 것이다.그 밖에 오일러(1749년), 드 폰세넥스(1759년), 라그랑주(1772년), 라플라스(1795년) 등의 시도가 있었다.이 마지막 네 번의 시도는 지라드의 주장을 암묵적으로 가정했다; 더 정확히 말하면 해결책의 존재가 가정되었고 증명되어야 할 것은 그들의 형태가 일부 실수의 a와 b에 대한 + bi라는 것 뿐이었다.현대적인 용어로 오일러, 데 폰세넥스, 라그랑주, 라플레이스는 다항식 p(z)의 분할장이 존재한다고 가정하고 있었다.

18세기 말, 뿌리의 존재를 상정하지 않은 두 가지 새로운 증거가 발표되었지만, 그 두 가지 모두 완결되지 않았다.그 중 하나는 제임스 우드(James Wood)와 주로 대수학 때문에 1798년에 출판되었고 완전히 무시되었다.우드의 증명에는 대수적 차이가 있었다.^[6]다른 하나는 1799년 가우스에 의해 출판되었고 주로 기하학적이었지만, 스마일(1981년)에서 논의된 바와 같이 1920년 알렉산더 오스트로우스키에 의해서만 채워지는 위상학적 차이를 가지고 있었다.^[7]

최초의 엄격한 증거는 아마추어 수학자 아르간드가 1806년(그리고 1813년 재조사)에 의해 발표되었다.^[8] 또한, 처음으로 실제 계수만이 아니라 복잡한 계수를 가진 다항식들에 대해 대수학의 근본적인 정리가 명시되었다.가우스는 1816년에 두 개의 다른 증명서를 만들었고 1849년에 또 다른 그의 원본 증명서를 불완전하게 만들었다.

정리의 증거를 담은 최초의 교과서는 카우치의 쿠르스 다안날리 드 레콜 로얄 폴리테크니크(1821년)이다.아간드가 인정받지 못하지만 아간드의 증거가 들어 있었다.

지금까지 언급된 어떤 증거도 건설적이지 않다.19세기 중반에 처음으로 대수학의 근본적인 정리에 대한 건설적인 증거를 찾는 문제를 제기한 사람은 위어스트라스였다.그는 1891년에 현대적인 용어로 호모토피 지속 원리와 듀란트-케너 방법의 조합에 해당하는 그의 해결책을 제시했다.이런 종류의 또 다른 증거는 1940년 헬무스 크네세르에 의해 입수되었고 1981년 그의 아들 마틴 크네세르에 의해 단순화되었다.

카운트 가능한 선택을 사용하지 않으면 (카우치 실수와 카운트 가능한 선택 없이 건설적으로 동등하지 않은) 데데킨드 실수에 기초한 복잡한 숫자에 대한 대수학의 근본적인 정리를 건설적으로 증명할 수 없다.^[9]그러나, 프레드 리치만은 효과가 있는 정리의 개혁된 버전을 증명했다.^[10]

교정쇄

아래의 모든 증거는 일부 수학적인 분석 또는 적어도 실제 또는 복잡한 기능의 연속성에 대한 위상학적 개념을 포함한다.일부에서는 다른 기능이나 심지어 분석 기능을 사용한다.이 사실은 대수학의 기본정리가 근본도 아니고 대수학의 정리도 아니라는 말을 하게 되었다.^[11]

정리의 일부 증명들은 실제 계수를 가진 비정규적인 다항식이 어떤 복잡한 뿌리를 가지고 있다는 것을 증명할 뿐이다.이는 복잡한 계수를 가진 비정규 다항식 p(z)를 주어진 다항식 p(z)을 감안할 때 일반적인 경우에서 정리를 확립하기에 충분하다.

${\displaystyle q(z)=p(z){\overline {p({\overline{z}}}}}$

실제 계수만 가지고 있고, z가 q(z)의 0이면 z 또는 그 결합은 p(z)의 루트다.

많은 수의 비알제브라적 정리증명은 지배계수가 1인 n차 다항함수 p(z)가 z가 충분히 클 때ⁿ z처럼 작용한다는 사실("성장 보조정리"라고도 함)을 사용한다.보다 정확한 진술은 다음과 같은 일부 양의 실수 R이 있다는 것이다.

${\displaystyle {\tfrac {1}{1}:{2}}: z^{n} < p(z) >{\tfrac {3}{2}}: z^{n}}}}}$

when z > R.

복잡한 분석적 증거

z ≥ r마다 p(z) > p(0)가 되도록 반경 r의 닫힌 디스크 D를 원점에서 찾는다.따라서 D가 콤팩트하기 때문에 존재해야 하는 D의 최소 p(z)는 D 내부의 어느 지점 z에서₀ 달성되지만, 그 경계의 어느 지점에서도 달성되지 않는다.최대 계량원리(/p(z)에 적용)는 p(z₀) = 0을 의미한다. 즉, z는₀ p(z)의 0이다.

이 증명의 변동은 최대 계량 원리의 사용을 요구하지 않는다(사실, 사소한 변화에도 같은 주장은 홀로모르픽 함수에 대한 최대 계량 원리의 증거를 제공한다).만약 모순에 의해 a := p(z₀) 0 0이라고 가정한다면, z - z의₀ 힘으로 p(z)를 확장하는 것을 우리는 쓸 수 있다.

${\displaystyle p(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}(z-z_{0}})^{n}}}}$

여기서 c는_j 단순히 다항 z → p(z + z₀)의 계수일 뿐, 우리는 k를 0이 아닌 상수 항에 이은 첫 번째 계수의 지수로 한다.그러나 이제 우리는 z에₀ 충분히 가까운 z에 대해 이 동작이 점증적으로 더 ${\displaystyle \mathrm{단순}}$한 다항식 $q{\displaystyle (z}$ ${\displaystyle )}$= a${\displaystyle }$+ ${\displaystyle c_{}{}_{}}$- z ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}^{}}$) ${\displaystyle k^{}}$ ${\$

(확인하기 쉽듯이) 그 기능을 한다는 의미에서.

${\displaystyle \왼쪽 {\frac {p(z)-q(z)}{{0}^{k+1}}\오른쪽 }$

z₀ 근처에는 어떤 양의 상수 M에 의해 제한된다.Therefore, if we define ${\displaystyle \theta _{0}=(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k}$ and let ${\displaystyle z=z_{0}+re^{i\theta _{0}}}$, then for any sufficiently small positive number r (so that the bound M mentioned above holds), using the triangle불평등이라고 우리는 본다.

${\displaystyle {\begin{aligned} p(z) &\leq q(z) +r^{k+1}\left {\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right \\[4pt]&\leq \left a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right +Mr^{k+1}\\[4pt]&= a - c_{k} r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}}$

r이 0에 충분히 가까울 때, p(z)에 대한 상한이 z의₀ 정의와 모순되게 a보다 엄격히 작다(기하학적으로, 우리는 그 방향에서 z에₀ 접근하면 p(z₀)보다 작은 절대값 p(z)를 얻을 수 있는 명시적인 방향을 발견했다₀.)

D 바깥쪽 p(z) > p(0)이므로 전체 복합 평면의 p(z)의 최소값이₀ z에서 달성된다는 것을 관찰하는 이 사고방식에 따라 또 다른 분석적 증거를 얻을 수 있다.p(z₀) > 0이면, 1/p는 각각의 복잡한 숫자 z에 대해 1/p(z) ≤ 1/p(z₀) 1/p(z) z 1/p(z)를 ≤. 경계된 전체 함수가 일정해야 한다는 Louville의 정리를 적용하면, 이는 1/p가 일정하고 따라서 p가 일정하다는 것을 의미할 것이다.이것은 모순을 주므로 p(z₀) = 0이다.

그러나 또 다른 분석적 증거는 그 주장 원리를 사용한다.R은 p(z)의 모든 루트가 R보다 작은 절대값을 가질 수 있을 만큼 충분히 큰 양의 실수가 되도록 하자; 도 n의 모든 비정규 다항 함수는 최대 0을 가지기 때문에 그러한 숫자가 존재해야 한다.각 r > R에 대해 숫자를 고려한다.

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}}\p(z)}}$

여기서 c(r)는 시계 반대 방향의 반경을 가진 0에 중심을 둔 원이다. 그러면 이 숫자는 r반경을 가진 0에 중심을 둔 열린 공에서 p(z)의 0의 N 숫자라고 주장 원리는 말하고, r > R 이후는 p(z)의 총 0의 수입니다.반면 c(r)를 따라 n/z의 적분을 2 2i로 나눈 것은 n과 같다.그러나 두 숫자의 차이는

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.}$

통합되는 합리적인 표현식의 분자는 최대 n - 1의 정도를 가지며 분모의 정도는 n + 1이다.따라서 위의 숫자는 0을 r → + 0으로 하는 경향이 있다.그러나 그 숫자도 N - n과 같으므로 N = n이다.

여전히 또 다른 복잡한 분석적 증거는 선형대수학과 카우치 정리를 결합함으로써 제시될 수 있다.도 n > 0의 모든 복합 다항식이 0을 갖는다는 것을 입증하기 위해서는 크기 n > 0의 모든 복합 사각 행렬이 (복잡한) 고유값을 갖는 것으로 충분하다.^[12]후자의 진술의 증거는 모순에 의한 것이다.

A를 크기 n > 0의 복잡한 제곱 행렬로 하고, 내가_n 같은 크기의 단위 행렬이 되게 하라.A에 고유값이 없다고 가정하십시오.분해능 고려

${\displaystyle R(z)=(zI_{n}-A)^{-1}}$

행렬의 벡터 공간에서 값을 갖는 복잡한 평면의 용적함수다.A의 고유값은 정확히 R(z)의 극이다.가정으로 A에는 고유값이 없기 때문에, 함수 R(z)은 전체 함수이며, Cauchy 정리는 다음과 같은 것을 내포하고 있다.

${\displaystyle \int _{c(r)}R(z)\,dz=0.}$

반면 R(z)는 기하 급수적으로 다음과 같이 확장된다.

${\displaystyle R(z)=z^{n}-z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}^{-1}^{k=0}\sum _{k=0}^{\frac{1}{z^}}A^{k}\cdot }}}}}}$

이 공식은 반경 ${\displaystyle \mathrm{radius}}$ A${\displaystyle }${ ${\displaystyle$\ $A\}$의 폐쇄 디스크 밖에서 유효하다($$A의 연산자 규범).> .${\displaystyle r>\ A\ .}$ 그러면

${\displaystyle \int _{c(r)}R(z)dz=\sum _{k=0}^{k=0}}\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}}}}}}}A^{k}=2\pi I_{n}}$

(합계 k = 0만 0이 아닌 적분을 갖는 경우).이것은 모순이고, 따라서 A는 고유값을 가진다.

마지막으로, 루제의 정리는 아마도 정리의 가장 짧은 증거를 제시한다.

위상학적 증명

전체 복잡한 평면의 최소 p(z)가 z에서₀ 달성된다고 가정하자; 그러한 숫자가 반드시 존재해야 한다는 리우빌의 정리를 사용하는 증거에서 나타났다.p(z)를 z - z₀: 자연수 k가 있고 c natural 0과 같은 복잡한 숫자_knk c, c, c가_{k + 1} 있다.

${\displaystyle p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}^{k+1}+{k+1}+{n}(z-z_{0}})^{n}}}}}}}}}}$

p(z₀)가 0이 아닌 경우, a가 -p(z₀)/c의_k k근이고^th t가 양이고 충분히 작으면 p(z₀ + ta) < p(z₀) , p(z₀)는 D에 대한 p의 최소치이므로 불가능한 것을 따른다.

모순에 의한 또 다른 위상학적 증거의 경우, 다항식 p(z)에 뿌리가 없으며, 따라서 결코 0과 같지 않다고 가정한다.다항식을 복잡한 평면에서 복잡한 평면으로 가는 지도로 생각해 보라.그것은 어떤 원 z = R을 닫힌 루프, 즉 곡선 P(R)에 매핑한다.우리는 R이 매우 클 때 그리고 R = 0일 때 극단의 구불구불한 P(R)의 수가 어떻게 되는지 고려할 것이다. R이 충분히 큰 숫자일 때, p(z)의 선행ⁿ 용어 z가 다른 모든 조합된 용어들을 지배한다. 즉,

${\displaystyle \left z^{n}\right >\left a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}\right .}$

When z traverses the circle ${\displaystyle Re^{i\theta }}$ once counter-clockwise ${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi ),}$ then ${\displaystyle z^{n}=R^{n}e^{in\theta }}$ winds n times counter-clockwise ${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi n$$)}$은(는) 원점(0,0), P(R)도 마찬가지로$$ 주위에 있다.다른 극단에서, z = 0으로, 곡선 P(0)는 단지 단일 점 p(0)일 뿐, p(z)는 결코 0이 아니기 때문에 0이 아니어야 한다.따라서 p(0)는 복합 평면에서 0을 나타내는 원점(0,0)과 구별되어야 한다.원점(0,0) 주위의 구불구불한 P(0)는 따라서 0이다.이제 R을 계속 변화시키면 루프가 계속 변형될 것이다.어떤 R에서는 구불구불한 숫자가 바뀌어야 한다.그러나 그것은 일부 R에 대한 원점(0,0)이 곡선 P(R)에 포함될 경우에만 발생할 수 있다.그러나 그 원 z = R의 일부 z에 대해서는 p(z) = 0이 있는데, 이는 원래 가정과 모순된다.따라서 p(z)는 최소 1개의 0을 가진다.

대수적 교정쇄

대수학의 기본정리의 이러한 증명들은 대수학은 아니지만 소량의 분석만을 필요로 하는 실수에 관한 다음의 두 가지 사실을 이용해야 한다(더 정확히 말하면, 두 경우 모두 중간값 정리).

• 모든 다항식(홀수 정도 및 실제 계수를 갖는 다항식)
• 모든 부정수 실수는 제곱근을 가지고 있다.

두 번째 사실은 2차 공식과 함께 실제 2차 다항식의 정리를 내포하고 있다.즉, 근본정리의 대수적 증명들은 실제로 R이 어떤 실폐장(實 extension場)이라면 그 확장자 C = R( algebra-1)은 대수적으로 닫힌다는 것을 보여준다.

인덕션별

위에서 언급했듯이, "실제 계수를 가진 모든 비정규 다항식 p(z)는 복합적인 루트를 가지고 있다"는 문구를 확인하는 것으로 충분하다.이 문장은 2가^k p(z)의 n을 나누는 가장 큰 비 음의 정수 k를 유도하여 증명할 수 있다.a를 p(z)의ⁿ z 계수로 하고 F를 C에 대한 p(z)의 분할 영역으로 한다. 다시 말하면, 필드 F는 C를 포함하고 F에는 z₁, z₂, ..., z가_n 있다.

${\displaystyle p(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots(z-z_{n}).}$

k = 0이면 n이 홀수이고, 따라서 p(z)는 진짜 루트를 갖는다.자, n = 2m^k(m 홀수와 k > 0)이며 다항식의 정도가 m m 홀수와 2m³의^{k − 1} 형태를 가질 때 정리가 이미 증명되었다고 가정하자.실제 숫자 t의 경우 다음을 정의하십시오.

${\displaystyle q_{t}(z)=\prod _{1\leq i<j\leq n}\왼쪽(z-z_{j}-z_{i}-tz_{j}z_{j}}\오른쪽).}$

그 다음 q_t(z)의 계수는 실제 계수가 있는 z의_i 대칭 다항식이다.따라서, 그것들은 기초 대칭 다항식에서 실제 계수를 갖는₁ 다항식₂, 즉 -a,ⁿ a, ..., (-1)a로_n 표현할 수 있다.그래서 q_t(z)는 실제로 실제 계수를 가지고 있다.더욱이 q_t(z)의 정도는 n(n - 1)/2 = 2m^k−1(n - 1)이고 m(n - 1)은 홀수다.따라서 유도 가설을 이용하여 q는_t 적어도 하나의 복잡한 근원을 가지고 있다. 다시 말해서_i, z + z_j + tz는_ij {1, ..., n}의 두 개의 구별되는 요소 i와 j에 대해 복잡하다. 쌍(i, j)보다 실수가 많기 때문에_i z + z_j + tz_ij 및 z_i + z_j + sz와_ij 같은 구별되는 실수 t와 s를 찾을 수 있다(동일한 i와 j의 경우).따라서_i z + z와_j zz 모두_ij 복잡한 숫자다.모든 복잡한 숫자에 복잡한 제곱근(squant square root)이 있어서, 2차 공식에 의해 2차 다항식(di)의 모든 복합적인 다항식(displatic root)이 복합적인 뿌리를 가지고 있음을 쉽게 확인할 수 있다.따라서_i z와 z는_j 2차² 다항식_i z_j - (z + z)z + zz의_ij 뿌리이기 때문에 복잡한 숫자다.

Joseph Shipman은 2007년에 이상도 다항식이 뿌리를 가지고 있다는 가정이 필요 이상으로 강하다는 것을 보여주었다; 원시도의 다항식이 뿌리를 가지고 있는 모든 분야는 대수적으로 폐쇄된다(그래서 "이상한"은 "이상한 prime"로 대체될 수 있고 이것은 모든 특성의 분야에 대한 것이다).^[13]대수적으로 폐쇄된 장의 공리화를 위해서는 하나의 프라임을 제외할 경우 백리샘플이 있기 때문에 이것이 가장 좋은 방법이다.그러나 이러한 백열은 제곱근을 갖는 -1에 의존한다.만일 -1에 제곱근이 없고, 모든 다항식 n ∈ I이 뿌리를 가지고 있는 필드를 취한다면, 모든 다항식 f(x)는 (x² + 1)^kf(x)가 루트를 가지고 있기 때문에, 여기서 k는 deg(f) + 2k ∈ I를 선택한다.모헨 알리바디는 2013년 쉬프만의 결과를 일반화하여^{[dubious – discuss]} (어떤 특징이든) 임의의 장이 대수적으로 닫힐 수 있는 충분한 조건이 프라임 학위의 모든 다항식에 대한 뿌리가 있다는 독립적인 증거를 제공했다.^[14]

From Galois 이론

근본적인 정리에 대한 또 다른 대수학적 증거는 갈루아 이론을 사용하여 제시될 수 있다.그것은 C가 적절한 유한장 확장이 없음을 보여주기에 충분하다.^[15]K/C를 유한한 연장이 되게 하라.K over R의 정상 폐쇄는 여전히 C (또는 R)에 대해 유한한 정도를 가지므로, 우리는 일반성을 상실하지 않고 K가 R의 정상 확장이라고 가정할 수 있다(특성 0의 모든 대수적 확장은 분리가 가능하기 때문에 Galois 확장이다).G를 이 연장의 갈루아 그룹이 되게 하고, H를 G의 시로우 2 하위집단이 되게 하여 H의 순서는 2의 힘이 되고, G의 H 지수는 홀수이 되도록 한다.By the fundamental theorem of Galois theory, there exists a subextension L of K/R such that Gal(K/L) = H. As [L:R] = [G:H] is odd, and there are no nonlinear irreducible real polynomials of odd degree, we must have L = R, thus [K:R] and [K:C] are powers of 2.[K:C] > 1이라는 모순의 방법으로 가정하면, 2그룹 Gal(K/C)이 지수 2의 하위그룹을 포함하고 있기 때문에, 2도 C의 하위연장 M이 존재한다고 결론짓는다.그러나 C는 위에서 언급한 바와 같이 모든 2차 복합 다항식은 복잡한 근원을 가지고 있기 때문에 학위 2의 연장이 없다.이것은 [K:C] = 1이며, 따라서 K = C로 증명서를 완성하는 것을 보여준다.

기하학적 교정쇄

J. M. 알미라와 A. 때문에 대수의 근본적인 정리를 접근하는 다른 방법이 여전히 존재한다.로메로: 리만 기하학적 논쟁에 의해.여기서의 주된 생각은 0이 없는 비정규적인 다항식 p(z)의 존재가 구 S에² 대한 평평한 리만 계수의 존재를 내포하고 있음을 증명하는 것이다.구체는 평평하지 않기 때문에 이것은 모순으로 이어진다.

리만 표면(M, g)은 우리가 K로_g 지칭하는 가우스 곡률이 똑같이 무효라면 평탄하다고 한다.자, Gauss-Bonnet 정리, 구체 S에² 적용하면 다음과 같이 주장한다.

${\displaystyle \int _{\mathbf {S}^{2}}K_{g}=4\pi ,}$

그 구가 평평하지 않다는 것을 증명한다.

이제 n > 0을 가정해 보자.

${\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}\neq 0}$

각 콤플렉스 숫자 z에 대해.정의를 내리자

${\displaystyle p^{*}}(z)=z^{n}p\leftp\tfrac {1}{z}}}=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}.}$

확실히, C의 모든 z에 대해 p*(z) ≠ 0.다항식 f(z) = p(z)p*(z)를 고려하십시오.그런 다음 C의 각 z에 대해 f(z) ≠ 0.더 나아가

${\displaystyle f({\tfrac{1}{w}=p\left\tfrac{1}{1}{w}\p^{{w}\p^{-2n}p^{{w}p(w)={-2n}f(w)(w)={-2n}f(w)f.}$

우리는 이 기능 방정식을 사용하여 다음과 같은 g가 주어졌다는 것을 증명할 수 있다.

${\displaystyle g={\frac {1}{f(w) ^{\frac {2}{n}\, dw ^{2}}:$

w in C, 그리고

${\displaystyle g={\frac {1}{\좌측 f\좌측 f\frac\tfrac {1}{1}{w}\우측 ^{1}{n}}}}\우측 ^{2}}: 왼쪽 ^{\좌측 d\좌측 d}{w}\우측 ^{1}$

w ∈ S²\{0}에 대해서는 구 S²(확장된 복합 평면 C ∪ {∞}과(와) 동일) 위에 잘 정의된 리만 메트릭이다.

자, 간단한 계산에 의하면

${\displaystyle \forall w\in \mathbf {C} :\qquad {\frac {1}{ f(w) ^{\frac {1}{n}}}}K_{g}={\frac {1}{n}}\Delta \log f(w) ={\frac {1}{n}}\Delta {\text{Re}}(\log f(w))=0,}$

분석함수의 실제 부분이 조화롭기 때문에.이것은_g K = 0임을 증명한다.

코롤러리

대수학의 근본적인 정리는 복합수의 장이 대수적으로 닫힌다는 진술로 볼 수 있기 때문에, 대수적으로 닫힌 장에 관한 어떤 정리가 복합수의 분야에 적용되는 것을 따른다.여기에 정리의 몇 가지 결과가 더 있는데, 정리의 결과는 실수의 분야 또는 실수의 분야와 복잡한 수의 분야 사이의 관계에 관한 것이다.

• 복합수 분야는 실수 영역의 대수적 폐쇄다.
• 복합 계수가 있는 하나의 변수 z의 모든 다항식은 복합 계수가 있는 z + a 형식의 복합 상수와 다항식의 산물이다.
• 실제 계수가 있는 한 변수 x의 모든 다항식은 x + a 형식의 상수 다항식 및 x² + a 형식의 다항식, a 및 b real과 a² - 4b < 0(다항식 x² + ax + ax + b의 다항식 산물로 고유하게 작성할 수 있다).(아벨-루피니 정리에서는, 다항식 계수와 기초 산술 연산, n번째 뿌리 추출에 있어서 실수의 a와 b가 반드시 표현 가능한 것은 아니다.)이는 비현실적인 복합적 뿌리의 수가 항상 균등하며, 그 다수와 함께 계산해도 여전히 남아 있다는 것을 의미한다.
• 한 변수 x에 실제적인 계수가 모든 유리 함수, 다항식 함수의 합으로 형태 a()− b)n(어디서 n은 자연수, a와 b진짜 숫자)의 합리적인 기능과 형태(도끼+b)(미국+cx+d)n의 합리적인 기능(어디서 n은 자연수, a, b, c, d실제 숫자로 쓰여질 수 있다.such² 그 c - 4d < 0.이것의 중요한 점은 하나의 변수와 실제 계수의 모든 이성적 함수가 기초적인 원시적 함수를 가지고 있다는 것이다.
• 실제 영역의 모든 대수적 확장은 실제 영역 또는 복잡한 영역으로 이형적이다.

다항식의 0에 대한 경계

대수학의 근본적인 정리가 일반적인 존재 결과를 명시하고 있는 반면, 주어진 다항식의 0의 위치에 관한 정보를 갖는 것은 이론적 관점이나 실제적 관점 모두에서 어느 정도 관심이 있다.이 방향으로의 더 간단한 결과는 계수에서 바운드로, 단수 다항식 z ${\displaystyle n^{}}$+ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle z^{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$-${\displaystyle {}_{}}$ +${\displaystyle }$1 + 1 ${\displaystyle {}_{}}$ + ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ z + ${\displaystyle {}_{}}$ +${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaysty$ z$^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+{n-1$}z$^{a_{1}z+a_{0}}$이 불평등$$ ζR_∞, ≤,

${\displaystyle R_{\infit }:=1+\max\{a_{0},\ldots, a_{n-1} \}}$

언급된 바와 같이, 이것은 아직 존재의 결과가 아니라 선행 조건이라 불리는 것의 예시라는 것을 알 수 있다. 해결책이 있다면, 그들은 원점과 반경 R의_∞ 중심에 있는 닫힌 원반 안에 놓여 있다고 말한다.그러나, 일단 대수학의 근본적인 정리와 결합하면, 그것은 디스크가 사실 적어도 하나의 해결책을 포함하고 있다고 말한다.더 일반적으로, 튀어 직접적으로 계수의 n-vector의 어떤 p-norm:=(0,1,…, 오빠 − 1), ζ Rp,2-vector(1,‖ p‖)의 Rp은 정확히 q-norm,{\displaystyle(1,\ a\_{p}),}q는 conj≤은{한:=(a_{0}일 경우 ,a_{1},\ldots ,a_{n-1})\displaystyle,}의 관점에서 주어질 수 있다.up의 $게이트{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 지수 p${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{1p}}{}}$ + ${\displaystyle \mathrm{1q}}$=${\displaystyle }$1,$${\$displaystyle {\tfrac${1$}{p}+{\tfrac {1}{q}=1,}$의 모든 1 ≤ p ∞ p에 대해$$.따라서, 어떤 용액의 계량도 또한 다음과 같이 제한된다.

${\displaystyle R_{1}:=\max \left\{1,\sum _{0\leq k<n} a_{k} \right\}}}$

${\displaystyle R_{p}=\left[1+\left(\sum _{0\leq k<n} ^{p}\right)^{\frac {q}}^{p}}{p}}{p}}}^{\frac {1},}}}$

1 < p < ∞, 특히.

${\displaystyle R_{2}:={\sqrt {\sum _{0\leq k\leq n} a_{k} ^2}}:$

(1을 의미하는 a를_n 정의하는 경우, 1은 실제로 다항식의 n번째 계수이므로 타당하다.)일반 다항식의 경우 n,

${\displaystyle P(z):=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}}}$

물론 모든 계수를 ≠ 0으로_n 나눈 단위의 경우로 축소된다.또한 0이 루트가 아닌 경우, 즉 ≠ 0의₀ 경우, ζ의 뿌리에서 아래로부터의 경계는 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\zeta }{}}${\$displaystyle${\$tfrac{1}{\zeta}}}$ 위의 경계로 즉시 따른다$.$

${\displaystyle a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}.}$

Finally, the distance ${\displaystyle \zeta -\zeta _{0} }$ from the roots ζ to any point ${\displaystyle \zeta _{0}}$ can be estimated from below and above, seeing ${\displaystyle \zeta -\zeta _{0}}$ as zeros of the polynomial ${\displaystyle P(z+\zeta _{0})}$, whose계수는 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ $.$ {\$displaystyle z=\zeta _{0}$에서 P(z)의 테일러 확장이다.$}$

nom 다항식의 근원이 되게 하라.

${\displaystyle z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0};}$

불평등 ζ_p ≤ R을 증명하기 위해서 우리는 물론 > > 1. 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle -\zeta ^{n}=a_{n-1}\zeta ^{n-1}+\cdots +a_{1}\zeta +a_{0}}$

홀더 부등식을 이용해서

$\displaystyle \jeta ^{n}\leq \ a\ _{p}\{p}\왼쪽(\zeta ^{n-1},\ldots,\zeta ,1\right)\right\{q}.}$

자, p = 1이면 이것은

${\displaystyle \jeta ^{n}\leq \ a\ _{1}\max \left\{n-1},\ldots, \zeta ,1\\right\=\\\\\\ _{1} \n-1},}$

이리하여

$\displaystyle \zeta \leq \max\{1,\ a\ _{1}\.}$

사례 1 < p ≤ ∞ ∞ ∞, 기하급수적인 진행을 위한 합계 공식을 참작하여, 우리는 다음과 같이 하고 있다.

${\displaystyle \zeta ^{n}\leq \ a\ _{p}\left( \zeta ^{q(n-1)}+\cdots + \zeta ^{q}+1\right)^{\frac {1}{q}}=\ a\ _{p}\left({\frac { \zeta ^{qn}-1}{ \zeta ^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \ a\ _{p}\left({\frac { \zeta ^{qn}}{ \zeta ^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}},}$

이리하여

${\displaystyle \jeta ^{nq}\leq \a\ _{p}^{q}{\frac {\zeta ^{qn}}{\zeta ^{q}-1}}}$

그리고 단순화,

$\displaystyle \zeta ^{q}\leq 1+\ a\ _{p}^{q}.}$

그러므로

${\displaystyle \leq \left\\ \left(1,\ a\ _{p}\right)\right\ _{q}=R_{p}}}}}}$

홀드(hold)는 모두 1 ≤ p ≤ ∞이다.

참고 항목

• 위어스트라스 인자화 정리, 다른 전체 기능에 대한 정리 일반화
• 에일렌베르크-니벤 정리, 쿼터니온계수와 변수를 가진 다항식들에 대한 정리 일반화

참조

인용구

역사적 출처

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외부 링크

라틴 위키소스는 이 기사와 관련된 원문을 가지고 있다. 가우스의 첫 번째 증거

• 대수학, 수학 백과사전에서의 기본 정리
• 대수학의 기본 정리 — 증거 모음
• 대수학의 기본정리부터 천체물리학까지: "화합"의 길
• 가우스의 구글북스 첫 증거(라틴어)
• 가우스의 구글북스 첫 증거(라틴어)
• Mizar 시스템 증명: http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74