모델 이론

수학 논리학에서 모델 이론은 형식 이론(수학적 구조에 대한 진술을 표현하는 형식 언어의 문장 모음)과 그 모델(이론의 진술이 ^[1]유지되는 구조) 사이의 관계에 대한 연구이다.조사된 측면은 이론의 모델의 수와 크기, 서로 다른 모델의 관계, 그리고 형식 언어와의 상호작용을 포함한다.특히, 모델 이론가들은 또한 이론의 모형에서 정의될 수 있는 집합과 그러한 정의 가능한 집합들 간의 관계를 조사한다.모델 이론은 1954년 ^[2]출판물에서 "모델 이론"이라는 용어를 처음 사용한 알프레드 타르스키로 거슬러 올라간다.1970년대 이후, 이 주제는 Saharon Shelah의 안정성 이론에 의해 결정적으로 형성되어 왔다.

증명 이론과 같은 수학 논리의 다른 영역과 비교했을 때, 모델 이론은 종종 형식적인 엄격함보다는 고전 수학에 더 가깝습니다.이것은 "증거 이론이 신성한 것에 관한 것이라면, 모델 이론은 불경한 것에 관한 것이다."^[3]라는 의견을 불러일으켰다.대수학 및 디오판틴 기하학에 대한 모델 이론의 적용은 종종 대수학 및 모델 이론 결과와 기술의 통합을 수반하기 때문에 고전 수학에 대한 이러한 근접성을 반영합니다.

모델 이론 분야에서 가장 저명한 학술 단체는 기호 논리 협회입니다.

개요

이 페이지는 무한 구조의 최종 1차 모델 이론에 초점을 맞춥니다.

모델 내에서 정의 가능한 집합의 분류가 아니라 이론의 모델 분류에 상대적으로 중점을 두었던 것은 주제 역사에 따라 변동했으며, 두 가지 방향은 각각 1973년과 1997년의 간결한 특성으로 요약되었다.

모델 이론 = 보편 대수 + 논리^[4]

여기서 유니버설 대수학은 수학적 구조와 논리 이론을 의미한다.

모델 이론 = 대수 기하학 - 필드.

여기서 논리식은 정의 가능하기 때문에 방정식이 ^[5]필드 전체에 걸쳐 변화하는 것을 설정합니다.

그럼에도 불구하고, 모델 클래스와 그것들에 정의 가능한 집합의 상호작용은 그것의 역사를 통해 모델 이론의 발전에 결정적이었다.예를 들어, 안정성은 원래 주어진 카디널리티의 모델 수에 따라 이론을 분류하기 위해 도입되었지만, 안정성 이론은 정의 가능한 집합의 기하학적 구조를 이해하는 데 매우 중요한 것으로 입증되었다.

1차 모델 이론의 기본 개념

1차 논리

1차 공식은 R(f(x,y),z${\displaystyle )}$ 또는 y ${\displaystyle =}$ x + 1과 같은 원자 공식으로 구성되어 있습니다. 부울 연결 $→$ {\$displaystyle$$\neg$$,\$$land$$,\lor,\rightarrow}$$$및$$$$ 수량자 ${\displaystyle \mathrm{접두사}}{\displaystyle \mathrm{}}$v$\display v.$style$.{\displaystyle \mathrm{}}$변수의 범위는 해당 수량화 범위 내에 있습니다.예를 들어 다음과 같이 정의된 ((또는 is(x)가 최대 x가 )의 언바운드 변수임을 나타내는 ((x)) 및 defined가 있습니다.

$(\displaystyle {lcl} \varphi &=forall v(x\times w=u\times v)\rightarrow (\display w(x\times w=u)\lor w(x\times w=v))\land x\neq 1:\neq &\pi=for for w(x\timesi)$

(여기서 등호기호는 이중의 의미를 갖는다는 점에 주의해 주십시오.이러한 공식을 수학적 의미로 변환하는 방법은 직관적으로 명확합니다.예를 들어 자연수의 $\theta 구조$_smr N$(\$에서 원소 n은 n이 소수일 경우에만 식 θ를 만족한다.식 similarly도 마찬가지로 환원 불가능을 정의한다.Tarski는 만족 관계${\(\displaystyle \models$에 대해 "Tarski's definition of truth"라고 불리기도 하는 엄격한 정의를 내렸기 때문에 쉽게 증명할 수 있습니다.

${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \models }$ ${\displaystyle （}$ ${\displaystyle n}$）$$ \ $displaystyle$ \$mathcal$ { N$}$\ $models$ \$varphi$ ( n ) \ $ifff$ n$$is$$ 。

${\displaystyle \mathcal{N}}$ $（$ ${\displaystyle n}$）${\displaystyle n}$n \ $displaystyle$ \$mathcal$ { N} \$models$ \$psi$( n ) \ $ifff$ n$$}는$$ 환원 불가입니다.

$일련$의 문장$T는$$$(1차) 이론이라고 불리며, 집합 내의 문장들을 공리로 받아들입니다.이론이란 $모델{\displaystyle \mathcal{}}$ M$t$T ( $적절한$ 시그니처의 $구조$ 즉 집합$T{\displaystyle }$ (\$displaystyle$$T$$)$의 모든 문장을 만족시키는 구조를 가지고 있다면 만족할 수 있다.완전한 이론은 모든 문장 또는 그 부정을 포함하는 이론이다.구조에 의해 충족되는 모든 문장의 완전한 이론은 또한 그 구조의 이론이라고 불린다.

어떤 이론이 일관성이 있는 경우에만, 즉 그 이론에 의해 모순이 증명되지 않는 경우에만 모형을 갖는다는 것은 괴델의 완전성 정리의 결과이다.그러므로 모델 이론가들은 종종 "만족스러운"의 동의어로 "일관적인"을 사용한다.

기본 모델 이론 개념

서명 또는 언어는 각 기호가 함수 기호 또는 관계 기호이며 지정된 고유성을 갖는 비논리 기호 집합입니다.구조체는 집합$M{\displaystyle }$({$displaystyle$M})과$$ 시그니처의 각 기호를 M$({displaystyle$M})$$의 관계 및 함수로서 해석한다(다른 구조체의 해석과 혼동하지 않는다).주문한 반지를 위한 공통의 서명 σ OOOr){0,1,+,×, −,<>}{\displaystyle \sigma_{또는}=\{0,1,+,\times ,-,<^}}, 0{0\displaystyle}과 1{1\displaystyle} 있0-ary 기능 기호(또한 끊임 없는 상징으로 알려진),+{+\displaystyle}과×{\displaystyle \times}은 2진 씨.nction개 기호$,{\displaystyle }$- {\$displaystyle -}$은 단항 함수 기호 $<\displaystyle <}$은(는) 이진 관계 기호입니다.Q2{\displaystyle \mathbb{Q}^{2}}Q{\displaystyle \mathbb{Q}에서도록 예를 들어+{+\displaystyle}함수}과<> 그렇다면, 언제 이 기호들 Q{\displaystyle \mathbb{Q}에 그들의 일상적인 의미에 해당하는}(;Q2{의{\displaystyle<>}하위 집합 해석된다.\disp$laystyle \mathbb {Q}$$^{2$}} )는 구조$({\displaystyle Q\mathbb{}}$ , ${\displaystyle o_{}}$ $o$) {$style$( \$mathbb {Q}$ , \$sigma$$$_${or$를 얻는다$$.$구조{\displaystyle \mathcal{}}$ N ${\$$displaystyle$${N$$}$은 각$$ 문장이$$T $스타일$일 경우 주어진 언어의 1차 문장 $세트$를 모델링한다고 한다$.$${\displaystyle }$N ${\${\mathcal ${N$$\}\}$에 대해 이전에 지정된 시그니처의 해석과 관련하여 {\$displaystyle${\$mathcal {N$$}}$을$($를) 참조하십시오.

$B$의 서브구조 $(\$$\mathcal {A})$는 그 도메인의 서브셋으로, 시그니처 its의 모든 기능 및 관계를 서브셋으로 제한함으로써 --structure로 간주됩니다.이것은 대수학에서 유사한 개념을 일반화한다. 예를 들어, 부분군은 곱셈과 역수를 가진 시그니처의 하위 구조이다.

서브구조는 1차 공식 and 및$A$의 요소₁ a, ...에_n 대해 초급이라고 합니다$.$

${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}(}$ （ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$） （ $displaystyle$\$mathcal${$A$} \ $models$\$varphi$( a$_$ { $1$, . { $n$} )B$$ $b$ b b b （ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$. . , ${\displaystyle a_{}}$$$_ { $n$} $）{$ style \$mathcal${$B$} \ $varphi$($a _$ { n$\}$ )

특히, is가 $문장$이고$,$ $A$가 B$(\$의 기본 하부구조인 경우, A는$$B$(\$$displaystyle\mathcal{A}\$mathcal${$A}\$models$$\varphi$$}$의 경우, B(\style$\displaystyle\mathcal$ {$B})$의 경우에만 A${\displaystyle (\backslash }$displaystyle\mathcal {B})이다.정확히 상부구조가 모형일 때 이론의 모형.따라서 $대수적{\displaystyle \mathbb{}}$ $수{\displaystyle \stackrel{}{\mathbb{}}}$ $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ { $displaystyle$ { $mathbb$${ Q$$}$$$} ¯ { $displaystyle$ \$$$mathbb${ C $}$of$$$$ the the ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure ructure$$ructure ructure ructure ructure C$(\$에서는 $충족$되지만 Q$(\$ {Q$\})$에서는 충족되지 $.$

$A(\$ {$A$$})$를 다른 $\theta -displaystyle{\displaystyle \mathcal{}}$B(\$displaystyle${B$})$에 삽입하는 것은$$A$(\$$displaystyle {A$의 이형성으로 표기할 수 있는 영역 간의 지도 f: A(\displaystyle {$A})$이다.e는 기본 하부구조와 동형사상으로 쓰여져 있으며, 이를 기본 매립이라고 한다.모든 임베딩은 주입 동형사상이지만, 그 반대는 시그니처에 그룹이나 필드 등 관계 기호가 없는 경우에만 유지됩니다.

필드 또는 벡터 공간은 그 구조의 일부를 단순히 무시함으로써 (가환) 그룹으로 간주할 수 있다.모델 이론에서 대응하는 개념은 구조를 원래의 시그니처의 서브셋으로 환원하는 개념입니다.반대 관계를 확장이라고 합니다. 예를 들어, 서명 {+,0}의 구조로 간주되는 유리수의 (가산) 그룹은 서명 {×,+,1,0}의 필드 또는 서명 {+,0,<}의 순서 그룹으로 확장할 수 있습니다.

마찬가지로, '이론'이 다른 부호 another을 확장한 부호일 경우, 그 문장 집합과 --공식을 교차시켜 완전한 '-이론을 by으로 제한할 수 있습니다.반대로 완전 -이론은 '이론으로 간주할 수 있으며, 이를 (복수의 방법으로) 완전 extend이론으로 확장할 수 있다.축소 및 확장이라는 용어가 이 관계에도 적용될 수 있습니다.

콤팩트성과 뢰벤하임-스콜렘 정리

콤팩트성 정리는 S의 모든 유한 부분 집합이 만족스럽다면 문장 S의 집합이 만족스럽다고 말한다.모든 증명은 증명에 사용된 한정된 수의 선행 요소만을 가질 수 있기 때문에 만족할 수 있는 대신 일관성이 있는 유사한 진술은 사소한 것이다.완전성 정리는 우리가 이것을 만족할 수 있게 해준다.그러나, 콤팩트성 정리에 대한 몇 가지 직접적(의미적) 증명도 있다.결론적으로 (즉, 그것의 대비적) 콤팩트성 정리는 모든 불만족 1차 이론이 유한 불만족 서브셋을 가지고 있다고 말한다.이 정리는 "콤팩트함에 의한"이라는 단어가 흔한 ^[6]모델 이론에서 가장 중요하다.

1차 모델 이론의 또 다른 초석은 뢰벤하임-스콜렘 정리이다.뢰벤하임-스콜렘 정리에 따르면 카운트 가능한 시그니처 내의 모든 무한구조는 카운트 가능한 기본 서브구조를 가진다.반대로 임의의 무한 기수에 대해서, 「」보다 작은 카디널리티를 가지는 카운트 가능한 시그니처내의 모든 무한 구조체를, 다른 카디널리티의 구조체에 기본적으로 짜넣을 수 있습니다(카운트 할 수 없는 시그니처에 대한 간단한 일반화가 있습니다).특히, 뢰벤하임-스콜렘 정리(Löwenheim-Skolem Orginary)는 무한 모델을 가진 계수 가능한 시그니처의 모든 이론이 계산 가능한 모델뿐만 아니라 임의로 큰 ^[7]모델도 가지고 있다는 것을 암시합니다.

린드스트롬의 정리에 의해 정밀한 어떤 의미에서, 1차 논리는 뢰벤하임-스콜렘 정리와 콤팩트성 정리가 ^[8]모두 유지하는 가장 표현적인 논리이다.

정의성

정의 가능한 세트

모델 이론에서 정의 가능한 집합은 중요한 연구 대상이다.예를 들어$,$ N ${\displaystyle \mathbb$ {N$}$의 공식은 다음과 같습니다.

$(\displaystyle \forall v(x\times w=u\times v)\rightarrow(\display w(x\times w=u)\lor w(x\times w=v))\land x\neq 1)\neq 0\land x\neq 1)$

소수의 서브셋을 정의하는 반면, 공식은

$\displaystyle \times y(2\times y=x)}$

는 짝수의 서브셋을 정의합니다.$마찬가지$로 n개의 자유변수를 갖는 공식은 $n의 서브셋$을 정의합니다$.$$예$를 들어 필드에서의 공식은

${\displaystyle y=x\times x}$

는 y ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2$({$$$y$=x^{2$가 $되도록{\displaystyle }$ 모든 $)$의 곡선을 정의합니다.

여기서 설명하는 두 정의 모두 매개 변수가 없는 정의입니다. 즉, 정의 수식은 고정 도메인 요소를 언급하지 않습니다.그러나 모형의 매개변수를 사용하여 정의를 고려할 수도 있습니다.예를 들어 R ${\displaystyle \mathbb${R$\}\}$의 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle y=x\times x+\pi}$

는 R$\$의 $파라미터{\displaystyle \mathbb{}}$ $"\displaystyle\pi"$를 사용하여 ^[9]곡선을 정의합니다.

수량화 제거

일반적으로 수량자가 없는 정의 가능한 집합은 설명하기가 쉽지만 중첩된 수량자를 포함하는 정의 가능한 집합은 훨씬 ^[10]더 복잡할 수 있습니다.

따라서 정량자 제거는 정의 가능한 집합을 분석하는 데 중요한 도구가 됩니다.만약 건물의 특징 이상의 모든 일차 공식 φ(x1,..., xn)quantifiers 없이 일차 공식 ψ(x1,..., xn)T의 나머지를, 즉 ∀ x1쭉 펼쳐져 ∀)n(ϕ(x1,…,)n)↔ψ(x1,…,)n)){\displaystyle\forall x_{1}\dots \forall x_{n}(\phi(x_{1},\dots ,x_{에 해당하는 이론 T 정량자가 영향을 제거하고 있다.n}$)\leftrightarrow \psi(x_{1},\dots,x_{n})}$는 T의 모든 모델에서 유지됩니다.^[11]구조 이론이 양자 소거를 가지고 있는 경우, 구조에서 정의할 수 있는 모든 집합은 원래 정의와 동일한 파라미터에 걸쳐 양자 없는 공식에 의해 정의될 수 있다.예를_ring 들어, 시그니처 = (×,+,-,0,1)의 대수적으로 닫힌 장의 이론은 양자화 ^[12]소거를 가진다.이것은 대수적으로 닫힌 필드에서 모든 공식은 다항식 사이의 방정식의 부울 조합과 동등하다는 것을 의미합니다.

이론에 수량자 소거가 없는 경우, 추가 기호를 서명에 추가하여 제거할 수 있습니다.특히 대수학에서 특정 이론에 대한 공리성과 정량자 제거 결과는 모델 ^[13]이론의 초기 획기적인 결과 중 하나였다.그러나 종종 수량화 제거 대신 다음과 같은 약한 특성으로 충분합니다.

이론 T는 그 자체가 T의 모델인 T의 모든 하위 구조가 기본 하위 구조일 때 모델-완전이라고 불린다.하부구조가 기본 하부구조인지 여부를 테스트하기 위한 유용한 기준이 있는데, Tarski-Vaught ^[14]테스트라고 불립니다.이 기준에서 이론 T는 그 시그니처에 대한 모든 1차 공식 θ₁(x_n, ..., x)가 존재하는 1차 공식과 동등한 모듈로 T인 경우에만 모델 완전하다는 것을 알 수 있다. 즉, 다음과 같은 형태의 공식이다.

${\displaystyle \mathrm{\S }{}_{}{v1\mathrm{}}_{}}$ ...${\displaystyle \mathrm{}}$∃ ${\displaystyle {}_{}}$ $m$ ${\displaystyle (}$ （${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{v\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle v_{}}$m$$） {$display style$ \ $display$ style $v _$ {$1$} \ $psi$ ( x _ { $1 }$ \ $spi$ ,$x _${ $n }$ , v _ { m$$} ) ,

여기서 is는 수량자가 없는 값입니다.모델 완전하지 않은 이론은 모델 완전성을 가질 수 있는데, 이것은 일반적으로 원래 이론의 확장이 아닌 관련된 모델 완전성 이론이다.더 일반적인 개념은 모범적인 ^[15]동반자의 개념이다.

최소성

모든 구조에서 ${\displaystyle {모든}_{}}$ 유한 서브셋$\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle {}_{}}$ $}$ { $displaystyle$\ {$a$_ {$1}$ , \ $dots$, a$_$ { $n$} }는$$ 파라미터로 정의할 수 있습니다.단순한 수식을 사용합니다.

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\vee \cdots x}$ ${\displaystyle =}$ a$$ \ $displaystyle$ x$=a_{1$} \$vee \ vee$ x$=a_{n$

이 공식을 부정할 수 있기 때문에, 모든 cofinite subset(영역의 최종적인 많은 요소를 포함)도 항상 정의할 수 있습니다.

이는 최소 구조의 개념으로 이어집니다.$구조{\displaystyle \mathcal{}}$M({$displaystyle {M})$은 M$({displaystyle$ {$M})$의 파라미터로 정의할$$ 수 있는 모든 $서브셋{\displaystyle A\mathcal{}}$({$displaystyle A\subseteq})$가 유한 또는 공한인 경우 최소라고 한다.이론 수준에서 대응하는 개념은 강력한 최소성이라고 불립니다.이론 T는 모든 모형 T가 최소일 때 강하게 최소라고 불린다.구조는 그 이론이 강하게 최소화된 경우 강하게 최소화된 구조라고 불립니다.마찬가지로 모든 기본 확장이 최소인 경우 구조는 매우 최소입니다.대수적으로 닫힌 필드의 이론에는 양자 소거가 있기 때문에, 대수적으로 닫힌 필드의 정의 가능한 모든 부분 집합은 하나의 변수에서 양자 없는 공식에 의해 정의될 수 있다.하나의 변수에서 양자 없는 공식은 하나의 변수에서 다항식의 부울 조합을 표현하고, 하나의 변수에서 중요하지 않은 다항식 방정식은 유한한 수의 해만을 가지기 때문에 대수적으로 닫힌 장의 이론은 매우 ^[16]미미하다.

한편, 실수의 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ R$(\$은 최소가 아닙니다.예를 들어 정의 가능한 세트를 고려합니다.

${\displaystyle \phi }$ ( x )${\displaystyle =\mathrm{}\exists }$ (${\displaystyle y}$ ( $y$ × y${\displaystyle =}$x ) { $displaystyle$ \$varphi$ ( x ) \ ; = \ ;\$displaystyle y$( y \$times$y$= x$) } ${\displaystyle 。}$

이것은 유한하지도 않고 공유한하지도 않은 음수가 아닌 실수의 서브셋을 정의합니다.실제로 $실수$의 행에 임의의 간격을 정의하기 위해 $"\displaystyle \varphi"$를 사용할 수 있습니다.이는 R$\$^[17]의 정의 가능한 모든 부분 집합을 나타내는 것으로 밝혀졌다. 이러한 최소화의 일반화는 질서 있는 구조의 모델 이론에서 매우 유용했다.순서관계의 기호를 포함한 시그니처의 $전체순서구조{\displaystyle \mathcal{}}$M(\$displaystyle$$\mathcal$$${$M$$})$은 M$(\$displaystyle\$subseteq\$$mathcal$$${$M})$의 파라미터로$$ 정의할 수 있는 모든 서브셋 A$(\$displaystyle A\subseteq\mathcal {M$})$가인터뷰트 포인트 및 인터뷰트의 $유한$한 결합점인 경우 o-minal이라고 불린다.ls.^[18]

정의 및 해석 가능한 구조

특히 중요한 것은 하위 구조이기도 한 정의 가능한 집합이다. 즉, 모든 상수를 포함하고 함수 적용 하에서 닫혀 있다.예를 들어, 특정 그룹의 정의 가능한 부분군을 연구할 수 있습니다.다만, 같은 시그니처의 서브 구조에 한정할 필요는 없습니다.n개의 자유변수를 갖는 공식은 ${\displaystyle M^{}}$ n$(\$의 부분 집합을 정의하므로 n-ary 관계도 정의할 수 있습니다.함수 그래프가 정의 가능한 관계인 경우 함수를 정의할 수 있으며${\displaystyle ,}$ a가${\displaystyle }$$M$의 $유일$한 요소인 경우 (x$)$ (x) ($x$) (\displaystyle$\mathcal{M})$$\varphi(x$$)$인$$경우 $displaystyle$ a$\in$${\displaystyle \backslash }$mathcal {M$$$})$를 정의할 수 있습니다.$)$은(는) 참입니다.예를 들어 기하학적 안정성 이론에서 중요한 일반적인 구조에서 정의 가능한 군과 분야를 연구할 수 있다.

한 걸음 더 나아가서 직전의 하부구조를 넘어설 수도 있습니다.수학적 구조가 주어졌을 때, 등가 관계를 통해 원래 구조의 일부에 대한 몫으로 구성될 수 있는 연관된 구조가 매우 자주 있습니다.중요한 예로는 그룹의 몫집단이 있다.전체 구조를 이해하기 위해서는 이 인용문들을 이해해야 한다고 말할 수 있다.동치 관계가 정의되면 앞의 문장에 정확한 의미를 부여할 수 있습니다.우리는 이 구조들이 해석될 수 있다고 말한다.중요한 사실은 해석된 구조의 언어에서 원래의 구조의 언어로 문장을 번역할 수 있다는 것이다.따라서 M(디스플레이 스타일)이$$이론이 결정 $불가능$한 다른 구조를 해석하면$$ M$(디스플레이$ 스타일$) 자체$가 ^[19]결정 불가능한 구조임을 알 수 있다.

종류들

기본 개념

${\displaystyle {}_{}}$의 $요소$에 대해 ${\displaystyle {구조\mathrm{}}_{}}$M${\displaystyle (\{}$$displaystyle {M})$의 ${\displaystyle n_{}}$$(\$$displaystyle a_{1},\dots,a_$${n$$})$ 및$$ M$(\$의 서브셋A(\displaystyle {M})의 모든 1차 공식${\displaystyle }세트{\displaystyle }$($x$1,$)$를 고려할 수 있습니다$.$파라미터가${\displaystyle {}_{}}$A에 있으며$$n$displaystyle a_{1},\dots,a_{n$에 $의해{\displaystyle {}_{}}$ 충족됩니다.이를 완전한${\displaystyle }$(${\displaystyle {n-}_{}}$) 유형이라고 합니다.$이{\displaystyle {}_{}}$ 타입은 A 위의 n$(\$})입니다.A에서 $일정$하게 M$(\displaystyle {$})의 자기동형이 존재하여 ${\displaystyle {b1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle \dots ,}$ $b$${\displaystyle ,}$ …, $,$ ${\displaystyle b_{},}$ …, b, b, b, b, b,$b_{n$$}$에 ${\displaystyle {각각\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \dots ,}$ $a$$,$ $displaystyle$ n$,$ $b_{1$$},$ b_${$n}를 $송신$하는 $경우{\displaystyle {}_{}}$, $a$ displaystyle n, $a_{$1}, display style n, b_{1}, b_{n}를 송신합니다.${\displaystyle b_{}}$n(\$displaystyle b_{1},\dots,b_{n})$는 A에 대해 동일한 완전한 유형을 실현합니다.

순서 관계 {<}만을 가지는 구조로 표시되는 실수 $행{\displaystyle \mathbb{}}$R(\$displaystyle \mathbb {R$은 이 섹션의 실행 예로서 기능합니다.${\displaystyle 각\mathbb{}}$ $요소{\displaystyle }$ a ${\$ a$\in\mathbb {R}}$는 빈 집합에 대해 동일한 1-type을 충족합니다.이는 두 개의 실수 a와 b는 모든 숫자를 b-a로 전환하는 자기동형 차수에 의해 연결되기 때문에 명확합니다.그 2-type이 빈 세트 숫자들은 1쌍, 2{\displaystyle a_{1},a_{2}}로 구현에 대한 완전한 그들의 명령을 지키거나. 1<>2{\displaystyle a_{1}<, a_{2}}, 1=2{\displaystyle a_{1}=a_{2}}또는 2<>1을{\displaystyle a_{2}<, a_{1}}. 하위 집합에 걸쳐 달려 있다. Z⊆ R$\displaystyle \mathbb {Z}$ \$subseteq \mathbb {R}$ 정수$$, 정수 이외의 실수 a의 1-타입은 가장 가까운 정수로 반올림된 값에 따라 달라집니다.

보다 일반적으로$$M$(\$$displaystyle\mathcal {M})$이 구조물이고 $M(\$displaystyle\$mathcal {M$의 서브셋인 $경우{\displaystyle \mathcal{}}$, A에 대한 (부분) n-type은 M$(\$$displaystyle\mathcal {N$})의$$ $기본$ $확장{\displaystyle \mathcal{}}$ N$(\$displaystyle\style\mathcal {N$})$에서 실현되는 일련의 공식이다.$mathcal {M$ p에 이러한 공식 또는 부정이 모두 포함되어 있으면 p는 완료입니다.A 위의 완전한 n가지 유형 집합은 ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ S${\displaystyle {}_{}^{}}$n ${\displaystyle M}$ (${\displaystyle }$A$$) {\$displaystyle S_{n}^{\mathcal$ {M$\}\}($$A)$로 표기됩니다.A가 빈 집합인 경우 유형 공간은 M${\displaystyle$ {$M$의 $이론{\displaystyle }$T {\$displaystyle$ T$$$}$에만 의존합니다.The notation ${\displaystyle S_{n}(T)}$ is commonly used for the set of types over the empty set consistent with ${\displaystyle T}$. If there is a single formula ${\displaystyle \varphi }$ such that the theory of ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ implies ${\displaystyle \varphi \rightarr$ow $\psi }$는 p의 모든 공식$\theta {\displaystyle }$ {\$displaystyle$ \$psi}$에 대해 분리라고 합니다.

$실수{\displaystyle \mathbb{}}$ R$(\$은 아르키메데아이므로 모든 정수보다 큰 실수는 없습니다.단, compactness 인수는 임의의 정수보다 큰 요소가 존재하는 실수행의 기본적인 확장이 있음을 나타냅니다.$따라서{\displaystyle \mathbb{}}$ {< x Z} { $displaystyle$\ {$n$\ $in$\ $mathbb${$Z$${\displaystyle \}}$ \ 공식 세트는 ${\displaystyle 실수선\mathbb{}}$ R ${\$ $displaystyle \$ $mathbb${$Z$$}$ \ $subseteq$\ $mathbb$${$R$\}$에 없는 1-타입입니다.

A에 대해 특정 유형을 실현하는$$ $Mn의$요소로서 정확하게 표현될 수 $Mn$의 서브셋({displaystyle ${M}}^{n})$을 A에 대해 유형 정의 가능(type-definable$$over A)이라고 한다.대수적인 예로 M ${\display style$ M$}$이 대수적으로 닫힌 필드라고 $가정$합니다.그 이론에는 수량사 소거가 있다.이를 통해 유형이 포함된 다항식 방정식에 의해 정확히 결정된다는 것을 알 수 있습니다.따라서 $서브필드{\displaystyle }$A의 $완전한n$$$\$displaystyle$ n$\type$ 집합은 다항식 $링{\displaystyle }$A [ x${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle x_{}}$ n$]{$ $displaystyle$A [ $x$_ {$1}$ , \$ldots$, $x$_ {$n$의 주요 이상 집합에 해당하며$$, 유형 정의 가능한 집합은 정확히 아핀 변종입니다.^[20]

구조 및 유형

모든 유형이 모든 구조에서 실현되는 것은 아니지만, 모든 구조물이 각각의 고립된 유형을 실현합니다.구조체 내에서 실현되는 빈 집합의 유일한 유형이 절연형일 경우, 그 구조는 원자라고 불립니다.

한편, 모든 파라미터 세트에 대해 모든 타입을 실현하는 구조는 없다$.$M(\$displaystyle\mathcal {M})$을 파라미터 세트로 하면 M$(\$ {$M})$에서 실현되는 모든 1-type over$$M(\$displaystyle\display$$\$mathcal {M})은$$ a ${\displaystyle =}$ x $a$의 공식으로 분리된다.$(\$ a$\in\mathcal {M$ 단$,$ M$(\displaystyle$ {$M})$의 $적절한{\displaystyle \mathcal{}}$ 기본 확장에는$$M(\$display\$style {$M$에 없는 요소가 포함되어 있기 때문에 모든 유형을 실현하는 구조의 개념을 포착할 수 있는 약한 개념이 도입되었습니다.. M$\$ $자체$보다 카디널리티가 작은 파라미터 $세트{\displaystyle }$ A$$M \ $subset$\ $mathcal$ { $M}$ 위에$$ 모든 타입을 실현하는 구조체는 포화상태라고 불립니다.

A의 자기고정성은 항상 A 위의 유형을 유지하지만, 일반적으로 A 위의 동일한 유형을 충족하는 1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n_{}}$\$displaystyle a_{1$}, n \$dots, a_{n$} 및$$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ \$displaystyle b_{1$},\$dots, b_{$n$$}의 $2개$의 시퀀스를 서로 매핑할 수 있는 것은 아닙니다.$이{\displaystyle \mathcal{}}$ 역치가$$M보다 작은 카디널리티의 모든 A에 대해 $유지$되는 구조$$M$(\$$displaystyle$$\$$mathcal {M})$을 균질이라고 합니다.

이후 공집합에 모든 n-types 1로 구현하는 진정한 수 라인은 명령을 거듭<>를 포함하는 언어;{\displaystyle<>}에서,…, R{\displaystyle \mathbb{R}에 오빠{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}}은 1,…, 오빠{년 사이의 순서 관계에 의해서 격리된다 원자다.displa$ystyle a_{1},\dots,a_{n$ 단, x가 정수보다 크다는 것을 나타내는 카운트 가능 $집합{\displaystyle \mathbb{}}$Z(\$displaystyle \mathbb {Z} })$에 대한 1-타입은 실현되지 않으므로 포화 상태는 아닙니다.반면$$유리수선${\displaystyle \mathbb{}}$Q(\displaystyle \$mathbb$ {Q$$$})$는 계수 가능하므로 포화 상태가 됩니다.^[21] 따라서 Q(\$displaystyle \mathbb {Q})$는 유한 부분 집합에서 유형만 구현하면 포화 상태가 됩니다.

스톤 스페이스

일부 $파라미터{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$에 대한 M $(\$의 정의 가능한 서브셋 집합은 부울 대수입니다.$Boolean$ 대수에 대한 스톤의 표현 정리에 따르면 자연 이중 위상 공간이 존재하며$,$ A에$대한{\displaystyle }$ 완전한$n개$의$$$유형$으로 정확히 구성됩니다$.$단일 $공식{\displaystyle }${\$displaystyle\varphi$에 대해 {${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \phi }$ p$}${ $displaystyle \{p \varphi$ \$in$ p$\}$ 형식의 세트에$$ 의해 생성되는 토폴로지입니다.이것은 ^[22]A 위의 n타입의 스톤 공간이라고 불립니다.이 토폴로지에서는 모델 이론에서 사용되는 용어의 일부를 설명합니다.콤팩트성 정리는 스톤 공간이 콤팩트한 위상 공간이며, p형이 스톤 위상의 고립점일 경우에만 p형이 분리된다고 말한다.

대수적으로 닫힌 필드의 유형은 다항식 링의 스펙트럼에 대응하지만, 유형 공간의 토폴로지는 구성 가능한 토폴로지입니다.유형 집합은 {${\displaystyle p}$ ${\displaystyle :f}$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0p}$ p$$$${ $display$ $style$$$\ {$p : f$ ( x ) ${\displaystyle =}$ $0\$${\displaystyle \mathrm{in}}$ p$\backslash \}{\displaystyle }$형식일${\displaystyle \mathrm{경우}}$ ${\displaystyle \mathrm{기본}\mathrm{오픈}}$입니다${\displaystyle .}$$p$이것은 Zariski ^[23]토폴로지보다 미세합니다.

모델 구성 중

유형 실현 및 누락

특정 유형을 실현하고 다른 유형을 실현하지 않는 모델을 구축하는 것은 모델 이론에서 중요한 작업이다.유형을 실현하지 않는 것을 생략이라고 하며, 일반적으로 (계수 가능) 생략 유형 정리에 의해 다음과 같이 가능합니다.

T$(\$를 가산 가능한 서명의 이론으로 하고,$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle\Phi)$를 가산 가능한 비분리형 집합으로 $합니다{\displaystyle \mathcal{}}$.

다음으로$Ⅱ의 모든$ 타입을 생략한$T$의 $모델{\displaystyle \mathcal{}}$ M$($$\$displaystyle$\backslash$^[24]$mathcal${T$$$$})

이것은 계산 가능한 서명에 있는 이론이 빈 집합에 대해 셀 수 있을 정도로 많은 유형만을 가지고 있다면, 이 이론은 원자 모델을 가지고 있다는 것을 암시합니다.

한편, 고정 파라미터 세트에 대한 모든 타입 세트가 실현되는 기본적인 확장이 항상 존재합니다.

M$(\$을 구조체로 하고,$$${\displaystyle display\mathcal{}}$$(\$displaystyle \$Phi)$을 특정 $파라미터{\displaystyle }$ 세트 A$(\displaystyle$ A$\subset {M})$의 완전한 유형 집합으로 $합니다{\displaystyle \mathcal{}}$.

다음으로 M$({$$displaystyle\mathcal{M})$의 기본$확장자$ N$({$displaystyle\$Phi})$이 있어 $real{\displaystyle \mathrm{}}$({$displaystyle\Phi$^[25]의 모든 유형을 구현합니다.

단, 파라미터 세트는 고정되어 있고 여기에 N$(\displaystyle\mathcal {N$의 카디널리티에 대한 언급이 없기 때문에 모든 이론이 포화 모델을 갖는 것은 아닙니다.사실, 모든 이론이 포화 모델을 가지고 있는지 여부는 집합론의 체르멜로-프랭켈 공리와 독립적이며, 일반화 연속체 가설이 ^[26]성립한다면 사실이다.

울트라프로덕트

울트라프로덕트는 특정 유형을 실현하는 모델을 구성하기 위한 일반적인 기술로 사용됩니다.거의 모든 엔트리에 일치하는 튜플을 식별함으로써 인덱스 세트 I 위의 구조물 집합의 직접곱에서 울트라프로덕트를 얻는다.같은 구조의 복사본의 초산물을 초산물이라고 합니다.모델 이론에서 울트라프로덕트를 사용하는 열쇠는 łł의 정리이다.

$(\$ {$M}$_$$${$i})를 $인덱스{\displaystyle }$ 세트 I 및 U(Ultrafilter on I)에 의해 색인화된 ${\(\displaystyle\sigma)$ 구조$$ 세트라고 $합니다{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$.다음으로$$ 모든$UDISPLAYLE$의 ${\displaystyle {Mi}_{}}$의$$$울트라프로덕트$에서는 $모든{\displaystyle }$$$UDISPLAYLE에 $의해{\displaystyle }$ 설정되는 임의의$$\$displaystyle \$$sigma$$$${\displaystyle (}$($[ i$) ${\displaystyle i_{}}$ _ ${$$i$ \ $in$:$I$$$} )가 True가 $됩니다$$$.$)(\displaystyle {M}_{i}\models \varphi(a_{i})$는 ^[27]U에 있습니다.

특히, 이론의 어떤 울트라프로덕트도 그 이론의 모델이기 때문에, 만약 두 모델이 동형 울트라파워를 가지고 있다면, 그것들은 기본적으로 동등하다.키슬러-셸라 정리는 다음과 같은 반전을 제공한다.

M${\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle {M}$ 및$$N {\$displaystyle {M}}$이(가) 초등 등가라면 I에 세트 I와 Ultrafilter U가 있어 M ${\displaystyle$ {$M$$}}$과 ${\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle {M}}$의 $U$가 형상이 ^[28]된다.

따라서, 초연산은 1차 이론을 전혀 언급하지 않는 기본적인 동등성에 대해 이야기할 수 있는 방법을 제공한다.콤팩트성 정리와 같은 모델 이론의 기본 정리는 초연산을 ^[29]이용한 대체 증거를 가지고 있으며,^[30] 만약 존재한다면 포화 소자 확장을 구성하는데 사용될 수 있다.

범주성

이론은 원래 동형사상까지의 구조를 결정한다면 범주형이라고 불렸다.1차 로직의 표현성에 중대한 제약이 있기 때문에 이 정의는 유용하지 않은 것으로 판명되었습니다.뢰벤하임-스콜렘 정리는 만약 이론 T가 어떤 무한 기수에 대한 무한 모형을 갖는다면, 충분히 큰 기수 θ에 대한 크기 θ의 모형을 갖는다는 것을 의미한다.크기가 다른 두 모델은 동형일 수 없기 때문에, 유한 구조만 범주 이론으로 기술할 수 있다.

그러나 기수에 대한 범주성의 약한 개념은 모델 이론의 핵심 개념이 되었다.이론 T는 카디널리티 θ인 T의 두 모델이 동형일 경우 θ-카테고리컬이라고 한다.「카테고리성」의 문제는, $「」$이 언어의 카디널리티보다 큰가( 「$0$\displaystyle$\alph_{0}}+」)$에 의해서 결정적으로 좌우됩니다.여기서 「」는 시그니처의 카디널리티입니다.유한 시그니처 또는 카운터블시그니처에서는$$"\$displaystyle \obega"-$cardinality와$$ "uncountable"-cardinality 사이에 $근본적$인 차이가 있음을 의미합니다.

γ-균등성

$§$ ${\displaystyle$ \omega$}$ - 물리 이론은 유형 공간의 특성에 따라 특성화할 수 ${\displaystyle \mathrm{있습니다}}$.

유한 또는 계수 가능한 시그니처의 완전한 1차 이론 T의 경우 다음 조건이 동등합니다.

1. $T$는 $"\displaystyle \obega"$ - 범주형입니다$$.
2. S(T)의_n 모든 유형이 격리됩니다.
3. 모든 자연수 n에 대해 S(T)는_n 유한하다.
4. 자연수 n마다 n개의 자유변수에서의 식 θ(x₁, ..., x_n)의 수는 등가모듈로 T까지의 유한하다.

(Q,<>){\displaystyle(\mathbb{Q},<.)}의(R,<>){\displaystyle(\mathbb{R},<.)}의 그것은 또한 그 이론은 이론,ω{\displaystyle \omega}의 빈 세트 이상의 모든 n-type p(x1,…,)n){\displaystyle p(x_{1},\dots{n,x_})}로-categorical은 pairwise o.에 의해 격리된다rder relation $($ $사이$에 있습니다.즉, 계산 가능한 모든 조밀한 선형 순서는 유리 번호선과 순서가 동일하다는 것을 의미합니다.한편$,$ 필드로서의 Q$(\displaystyle \mathbb {$$}),$ R$(\displaystyle \mathbb${R$$$})$$및{\displaystyle \mathbb{}}$ C$(\displaystyle$$\mathbb${C$$$})$의 이론은 $범주형$이 아닙니다$.$이는 이러한 모든 필드에서 무한히 많은 자연수가 x ${\displaystyle =1}$ +${\displaystyle }$θ + ${\displaystyle 1}$ $({displaystyle$ x$=1+\display$ +1$)$ $형식$의 $공식$으로 정의될 수 있다는 사실에서 비롯됩니다.

$§$ $0 {\displaystyle$ \$alph _{$0$$} - 이론과 그 계수 가능한 모델은 또한 올리고형 그룹과 강한 유대관계를 가지고 ${\displaystyle {\mathrm{있다}}_{}}$.

유한 또는 계수 가능한 시그니처의 완전한 1차 이론 T는 자기동형군이 올리고형인 경우에만 $범주형이다$$.$

엥겔러, Ryl-Nardzewski 및 Svenonius와 독립적으로 발생하는 이 하위 섹션의 동등한 특성은 Ryl-Nardzewski 정리라고도 한다.

조합 서명에서$,$ $\delta {\displaystyle }$\$displaystyle \obega}$ - 범주$$ 이론의 공통 소스는 유한 관계 구조 클래스의 가능한 모든 구성을 결합하는 한계로 얻을 수 있는 Fraéssé 한계이다.

셀 수 없는 범주성

마이클 몰리는 1963년에 셀 수 없는 언어의 ^[31]이론에는 셀 수 없는 범주성의 개념이 하나밖에 없다는 것을 보여주었다.

몰리의 범주성 정리

유한 시그니처 또는 계수 가능한 시그니처의 1차 이론 T가 「일부 계수 불능 기수」에 대해서 「범주적」인 경우, T는 「모든 계수 불능 기수」에 대해서 「범주적」이다.

몰리의 증거는 셀 수 없는 범주성과 모형의 내부 구조 사이의 깊은 연관성을 드러냈고, 이것이 분류 이론과 안정성 이론의 출발점이 되었다.셀 수 없을 정도로 범주적인 이론은 많은 관점에서 가장 품행이 바른 이론이다.특히, 완전하고 강한 최소한의 이론은 셀 수 없을 정도로 범주적이다.이것은 주어진 특성의 대수적으로 닫힌 장의 이론이 셀 수 없이 범주적이며, 필드의 초월도가 동형성을 결정한다는 것을 보여준다.

$범주론$인 동시에 셀 수 없을 정도로 범주론인 이론을 완전 범주론이라고 합니다$.$

안정성 이론

1차 이론의 모델 클래스의 구조에서 중요한 요소는 안정성 계층에서 그것의 위치이다.

완전한 이론 T는 모델 $(\$ 및$$ 파라미터 $세트{\displaystyle }$ $(\$ A$\subset\mathcal$$$${M})$가$\displaystyle$을 초과하지 않는 경우, 기수 ${\$ ${\displaystyle\lambda}$에 대해 $안정적$이라고 불립니다.$st{\displaystyle }$ ${\$ { $displaystyle$\ $lambda }$는 A 위의 T 타입을 완성합니다.

어떤 무한 기수에 대해$안정$된 $이론$이라면 안정적이라고 할 수 있습니다.기존에는 $(\$$\alph_{$$0})$$$-안정적인 $이론$이라면 ^[32]안정적이라고 할 수 있습니다$.$

안정성 계층

안정성 이론의 기본 결과는 안정성 스펙트럼 ^[33]정리이며, 이는 계수 가능한 시그니처의 모든 완전 이론 T가 다음 클래스 중 하나에 속한다는 것을 의미한다.

1. T가 $안정적$일 수 있는 추기경 $cardinals$$({$ $displaystyle \lambda }$ - stable$$
2. $T$는 "\$displaystyle \displayda$$$$^{\alph_{0$}}$=\displayda }"$인 ${\displaystyle {경우}^{}}$에만 $"\$$displaystyle \displayda ^{\alph_0}}"$가 됩니다$.$
3. $T$는 ${\displaystyle \{\backslash }$ \ $displaystyle$ \ lambda$$$$} - ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}^{}}$0 { $display style$ \$lambda$ \ geq 2^ { \ $alph$ _ { 0$$}$$입니다(여기서 2 ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}^{}}$ 0 \ $displaystyle$ 2^ { \ $alph$$_$ { $0$} ） 。

첫 번째 유형의 이론은 불안정하고, 두 번째 유형의 이론은 엄격히 안정적이며, 세 번째 유형의 이론은 슈퍼스타블이라고 불립니다.또한 $이론$이 ${\$ { $displaystyle$\$obega }$ - stable이면$$ 모든 무한 ^[34]기수에서 안정적이기 $때문$에 ${\$ { \ $displaystyle$\ obega$$} - stability는$$ 미신보다 강하다.

모델 이론의 많은 구성들은 안정적인 이론으로 제한될 때 더 쉽습니다; 예를 들어, 안정된 이론의 모든 모델은 일반화 연속체 가설이 ^[35]사실인지 여부에 관계없이 포화 기본 확장을 가집니다.

셸라의 안정적인 이론을 공부한 원래 동기는 셀 수 없는 카디널리티에 ^[36]대해 셀 수 있는 이론이 얼마나 많은 모델을 가지고 있는지를 결정하는 것이었다.이론이 셀 수 없을 정도로 범주적이라면, 그 $이론$은$$able$$ { \ $displaystyle$\ $obega$} - stable입니다.보다 일반적으로 메인 갭 정리는 이론 T가 2개 ${\displaystyle {이하}^{}}$의 카디널리티 모델$(\displaystyle$ 2$^{\lambda$$\})$을 갖는 셀 수 없는 기수$(\displaystyle$$\lambda)$가 있는 경우 T는 슈퍼스타일임을 의미합니다.

기하학적 안정성 이론

안정성 계층은 또한 이론의 모델 내에서 정의 가능한 집합의 기하학적 구조를 분석하는 데 중요하다.$§$ {\$displaystyle \omega}$ - $안정$ 이론에서 몰리 순위는 모델 내에서 정의 가능한 집합 S에 대한 중요한 차원 개념입니다.이는 초한 유도에 의해 정의됩니다.

• The Morley rank is at least 0 if S is non-empty.
• For α a successor ordinal, the Morley rank is at least α if in some elementary extension N of M, the set S has infinitely many disjoint definable subsets, each of rank at least α − 1.
• For α a non-zero limit ordinal, the Morley rank is at least α if it is at least β for all β less than α.

A theory T in which every definable set has well-defined Morley Rank is called totally transcendental; if T is countable, then T is totally transcendental if and only if T is ${\displaystyle \omega }$-stable. Morley Rank can be extended to types by setting the Morley Rank of a type to be the minimum of the Morley ranks of the formulas in the type. Thus, one can also speak of the Morley rank of an element a over a parameter set A, defined as the Morley rank of the type of a over A. There are also analogues of Morley rank which are well-defined if and only if a theory is superstable (U-rank) or merely stable (Shelah's ${\displaystyle \infty }$-rank). Those dimension notions can be used to define notions of independence and of generic extensions.

More recently, stability has been decomposed into simplicity and "not the independence property" (NIP). Simple theories are those theories in which a well-behaved notion of independence can be defined, while NIP theories generalise o-minimal structures. They are related to stability since a theory is stable if and only if it is NIP and simple,^[37] and various aspects of stability theory have been generalised to theories in one of these classes.

Non-elementary model theory

Model-theoretic results have been generalised beyond elementary classes, that is, classes axiomatisable by a first-order theory.

Model theory in higher-order logics or infinitary logics is hampered by the fact that completeness and compactness do not in general hold for these logics. This is made concrete by Lindstrom's theorem, stating roughly that first-order logic is essentially the strongest logic in which both the Löwenheim-Skolem theorems and compactness hold. However, model theoretic techniques have been developed extensively for these logics too.^[38] It turns out, however, that much of the model theory of more expressive logical languages is independent of Zermelo-Fraenkel set theory.^[39]

More recently, alongside the shift in focus to complete stable and categorical theories, there has been work on classes of models defined semantically rather than axiomatised by a logical theory. One example is homogeneous model theory, which studies the class of substructures of arbitrarily large homogeneous models. Fundamental results of stability theory and geometric stability theory generalise to this setting.^[40] As a generalisation of strongly minimal theories, quasiminimally excellent classes are those in which every definable set is either countable or co-countable. They are key to the model theory of the complex exponential function.^[41] The most general semantic framework in which stability is studied are abstract elementary classes, which are defined by a strong substructure relation generalising that of an elementary substructure. Even though its definition is purely semantic, every abstract elementary class can be presented as the models of a first-order theory which omit certain types. Generalising stability-theoretic notions to abstract elementary classes is an ongoing research program.^[42]

Selected applications

Among the early successes of model theory are Tarski's proofs of quantifier elimination for various algebraically interesting classes, such as the real closed fields, Boolean algebras and algebraically closed fields of a given characteristic. Quantifier elimination allowed Tarski to show that the first-order theories of real-closed and algebraically closed fields as well as the first-order theory of Boolean algebras are decidable, classify the Boolean algebras up to elementary equivalence and show that the theories of real-closed fields and algebraically closed fields of a given characteristic are unique. Furthermore, quantifier elimination provided a precise description of definable relations on algebraically closed fields as algebraic varieties and of the definable relations on real-closed fields as semialgebraic sets ^[43][44]

In the 1960s, the introduction of the ultraproduct construction led to new applications in algebra. This includes Ax's work on pseudofinite fields, proving that the theory of finite fields is decidable,^[45] and Ax and Kochen's proof of as special case of Artin's conjecture on diophantine equations, the Ax-Kochen theorem.^[46] The ultraproduct construction also led to Abraham Robinson's development of nonstandard analysis, which aims to provide a rigorous calculus of infinitesimals.^[47]

More recently, the connection between stability and the geometry of definable sets led to several applications from algebraic and diophantine geometry, including Ehud Hrushovski's 1996 proof of the geometric Mordell-Lang conjecture in all characteristics^[48] In 2001, similar methods were used to prove a generalisation of the Manin-Mumford conjecture. In 2011, Jonathan Pila applied techniques around o-minimality to prove the André-Oort conjecture for products of Modular curves.^[49]

In a separate strand of inquiries that also grew around stable theories, Laskowski showed in 1992 that NIP theories describe exactly those definable classes that are PAC-learnable in machine learning theory. This has led to several interactions between these separate areas. In 2018, the correspondence was extended as Hunter and Chase showed that stable theories correspond to online learnable classes.^[50]

History

Model theory as a subject has existed since approximately the middle of the 20th century, and the name was coined by Alfred Tarski, a member of the Lwów–Warsaw school, in 1954.^[51] However some earlier research, especially in mathematical logic, is often regarded as being of a model-theoretical nature in retrospect.^[52] The first significant result in what is now model theory was a special case of the downward Löwenheim–Skolem theorem, published by Leopold Löwenheim in 1915. The compactness theorem was implicit in work by Thoralf Skolem,^[53] but it was first published in 1930, as a lemma in Kurt Gödel's proof of his completeness theorem. The Löwenheim–Skolem theorem and the compactness theorem received their respective general forms in 1936 and 1941 from Anatoly Maltsev. The development of model theory as an independent discipline was brought on by Alfred Tarski during the interbellum. Tarski's work included logical consequence, deductive systems, the algebra of logic, the theory of definability, and the semantic definition of truth, among other topics. His semantic methods culminated in the model theory he and a number of his Berkeley students developed in the 1950s and '60s.

In the further history of the discipline, different strands began to emerge, and the focus of the subject shifted. In the 1960s, techniques around ultraproducts became a popular tool in model theory.^[54] At the same time, researchers such as James Ax were investigating the first-order model theory of various algebraic classes, and others such as H. Jerome Keisler were extending the concepts and results of first-order model theory to other logical systems. Then, inspired by Morley's problem, Shelah developed stability theory. His work around stability changed the complexion of model theory, giving rise to a whole new class of concepts. This is known as the paradigm shift ^[55] Over the next decades, it became clear that the resulting stability hierarchy is closely connected to the geometry of sets that are definable in those models; this gave rise to the subdiscipline now known as geometric stability theory. An example of an influential proof from geometric model theory is Hrushovski's proof of the Mordell–Lang conjecture for function fields.^[56]

Connections to related branches of mathematical logic

Finite model theory

Finite model theory, which concentrates on finite structures, diverges significantly from the study of infinite structures in both the problems studied and the techniques used.^[57] In particular, many central results of classical model theory that fail when restricted to finite structures. This includes the compactness theorem, Gödel's completeness theorem, and the method of ultraproducts for first-order logic. At the interface of finite and infinite model theory are algorithmic or computable model theory and the study of 0-1 laws, where the infinite models of a generic theory of a class of structures provide information on the distribution of finite models.^[58] Prominent application areas of FMT are descriptive complexity theory, database theory and formal language theory.^[59]

Set theory

Any set theory (which is expressed in a countable language), if it is consistent, has a countable model; this is known as Skolem's paradox, since there are sentences in set theory which postulate the existence of uncountable sets and yet these sentences are true in our countable model. Particularly the proof of the independence of the continuum hypothesis requires considering sets in models which appear to be uncountable when viewed from within the model, but are countable to someone outside the model.^[60]

The model-theoretic viewpoint has been useful in set theory; for example in Kurt Gödel's work on the constructible universe, which, along with the method of forcing developed by Paul Cohen can be shown to prove the (again philosophically interesting) independence of the axiom of choice and the continuum hypothesis from the other axioms of set theory.^[61]

In the other direction, model theory is itself formalised within Zermelo-Fraenkel set theory. For instance, the development of the fundamentals of model theory (such as the compactness theorem) rely on the axiom of choice, and is in fact equivalent over Zermelo-Fraenkel set theory without choice to the Boolean prime ideal theorem.^[62] Other results in model theory depend on set-theoretic axioms beyond the standard ZFC framework. For example, if the Continuum Hypothesis holds then every countable model has an ultrapower which is saturated (in its own cardinality). Similarly, if the Generalized Continuum Hypothesis holds then every model has a saturated elementary extension. Neither of these results are provable in ZFC alone. Finally, some questions arising from model theory (such as compactness for infinitary logics) have been shown to be equivalent to large cardinal axioms.^[63]

See also

Notes

References

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