추상대수

수학에서, 더 구체적으로 대수학, 추상대수학 또는 현대대수학은 대수적 구조를 연구하는 학문입니다.^[1]대수적 구조에는 그룹, 링, 필드, 모듈, 벡터 공간, 격자 및 필드 위의 대수가 포함됩니다.추상대수라는 용어는 20세기 초에 대수학의 오래된 부분, 더 구체적으로 계산과 추론에서 숫자를 나타내기 위한 변수의 사용과 구별하기 위해 만들어졌습니다.현재 "추상 대수"라는 용어는 수학 교육에서 일반적으로 수업을 명명할 때 사용되며 고급 수학에서는 거의 사용되지 않습니다.

대수적 구조와 그와 관련된 동형 사상은 수학적 범주를 형성합니다.범주론은 다양한 구조물에 대해 유사한 성질과 구성을 통일적으로 표현할 수 있도록 하는 형식주의입니다.

보편 대수학은 대수적 구조의 종류를 하나의 대상으로 연구하는 관련 과목입니다.예를 들어, 군의 구조는 다양한 군이라고 불리는 보편 대수학에서 단일 개체입니다.

역사

19세기 이전에 대수학은 다항식에 대한 연구로 정의되었습니다.^[2]추상대수학은 더 복잡한 문제들과 해결 방법들이 발전하면서 19세기에 존재하게 되었습니다.구체적인 문제들과 예들은 수론, 기하학, 분석 그리고 대수 방정식의 해법들로부터 왔습니다.현재 추상대수학의 일부로 인식되는 대부분의 이론들은 수학의 여러 분야에서 이질적인 사실들의 집합으로 시작하여, 다양한 결과들이 그룹화되는 핵심 역할을 하는 공통된 주제를 획득하고, 마침내 공통된 개념 집합에 기초하여 통일되었습니다.이 통일은 20세기 초반에 일어났고 군, 고리, 장과 같은 다양한 대수적 구조의 공식적인 공리적 정의를 낳았습니다.^[3]이러한 역사적 발전은 구조에 대한 공식적인 정의로 각 장을 시작하고 구체적인 예를 따르는 ^[4]반 데르 베르덴의 현대 대수학과 같은 인기 있는 교과서에서 발견되는 처리와는 거의 정반대입니다.^[5]

초등대수학

다항식이나 대수 방정식에 대한 연구는 오랜 역사를 가지고 있습니다.c. 기원전 1700년, 바빌로니아 사람들은 단어 문제로 지정된 2차 방정식을 풀 수 있었습니다.이 단어 문제 단계는 수사적 대수학으로 분류되며 16세기까지 지배적인 접근법이었습니다.무함마드 이븐 무사 알콰리즈미 ī는 서기 830년에 "대수"라는 단어를 만들었지만, 그의 업적은 전적으로 수사적 대수학이었습니다.완전한 기호 대수학은 프랑수아 비에테의 1591년 신 대수학이 될 때까지 나타나지 않았고, 심지어 이것은 데카르트의 1637년 라 게오메트리에 기호가 주어진 몇 가지 철자 단어를 가지고 있었습니다.^[6]기호 방정식을 푸는 공식적인 연구는 레온하르트 오일러가 18세기 후반에 음수와 허수와 같은 당시 "말도 안 되는" 근을 받아들이게 만들었습니다.^[7]그러나, 유럽의 수학자들은, 대부분, 19세기 중반까지, 이러한 개념들에 저항했습니다.^[8]

조지 피콕의 1830년 대수학 논문은 대수학을 엄밀하게 상징적인 기반 위에 두려는 최초의 시도였습니다.그는 기존의 산술 대수와 구별되는 새로운 기호 대수를 구별했습니다.산술 대수학에서 ${\displaystyle a}$ -${\displaystyle }$b ${\displaystyle$a - b$}$는 ≥ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\geq$ b$}$로 제한되지만,$$기호 대수학에서는 모든 연산 규칙이 아무런 제한 없이 유지됩니다.이 피코크를 사용하면$$${\displaystyle a}$=${\displaystyle 0}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$${\$$displaystyle$a = 0,${\displaystyle c}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle$ a = $0,$c = $0}$ {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ a${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle c}$= ${\displaystyle 0}$}$$${\displaystyle (a-b)$ ($c-d$) = $ac+$bd$}$와 ${\displaystyle \mathrm{같은}}$ 법칙들을 보여줄 수 있습니다. 피코크는 자신의 주장을 정당화하기 위해 그가 "동등한 형태의 영속성"의 원리라고 부르는 것을 사용했습니다$.$하지만 ^[9]그의 추론은 귀납법의 문제에 시달렸습니다예를 들어, $a$ ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle \sqrt{a}}$ ${\displaystyle${\$sqrt {a}}{\sqrt {$b}}={\$sqrt {ab}}$는 음수가 아닌 실수에 대해 성립하지만 일반 복소수에는 성립하지 않습니다.

초기군론

수학의 여러 영역이 그룹 연구로 이어졌습니다.라그랑주의 1770년 5차방정식의 해에 대한 연구는 다항식의 갈루아 군으로 이어졌습니다.페르마의 작은 정리에 대한 가우스의 1801년 연구는 정수 모듈론의 고리, 정수 모듈론의 곱셈군, 순환군과 아벨 군의 더 일반적인 개념으로 이어졌습니다.클라인의 1872년 에를랑겐 프로그램은 기하학을 연구하고 유클리드 군과 투영 변환 군과 같은 대칭군으로 이어졌습니다.1874년 리는 "갈루아 미분 방정식 이론"을 목표로 리 군 이론을 도입했습니다.1876년 푸앵카레와 클라인은 분석에서 오토모픽 함수에 대한 연구를 바탕으로 뫼비우스 변환 그룹과 모듈형 그룹 및 푸치안 그룹과 같은 하위 그룹을 소개했습니다.^[10]

집단의 추상적인 개념은 19세기 중반에 걸쳐 서서히 나타났습니다.1832년 갈루아는 "군"이라는 용어를 처음으로 사용했는데,^[11] 이는 작곡 아래 닫힌 순열의 집합을 의미합니다.^[12]아서 케일리(Arthur Cayley)의 1854년 논문 그룹 이론에 따르면 그룹은 연상 구성 연산을 갖는 집합으로 정의되고 오늘날 모노이드(monoid)^[13]라고 불리는 항등식 1이 1.1870년 크로네커는 폐쇄적이고, 치환적이고, 연상적이며, 왼쪽 취소 속성 ${\displaystyle b}$를 ≠ c → ⋅ ${\displaystyle b}$를 ≠ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b\neq c\to a\cdot b\neq a\cdot$ c$}$로 하는 추상 이진 연산을 정의했는데, 이는$$유한 아벨 군에 대한 현대 법칙과 유사합니다.1882년 베버가 정의한 군의 정의는 연관성이 있고 좌우로 상쇄되는 닫힌 이진 연산이었습니다.^[16]발터 폰 다이크는 1882년에 군의 정의의 일부로서 역원소를 필요로 한 최초의 사람이었습니다.^[17]

일단 이 추상적인 그룹 개념이 등장하자, 이 추상적인 환경에서 결과가 재구성되었습니다.예를 들어, 실로우의 정리는 1887년 프로베니우스에 의해 유한군의 법칙으로부터 직접적으로 증명되었지만, 프로베니우스는 그 정리가 치환군에 대한 코시의 정리와 모든 유한군이 치환군의 부분군이라는 사실을 언급했습니다.^[18][19]오토 er더는 특히 이 분야에서 다작을 했는데, 1889년에는 몫군을, 1893년에는 그룹 자기 변형을 정의했고, 단순한 그룹도 정의했습니다.그는 요르단 강을 완주하기도 했습니다.홀더 정리.데데킨트와 밀러는 해밀턴 군을 독립적으로 특징짓고 두 요소의 정류자의 개념을 도입했습니다.19세기 말, 번사이드, 프로베니우스, 몰리엔은 유한군의 표현 이론을 만들었습니다.^[18]J. A. de Séguier의 1905년 모노그래프 추상 그룹 이론의 요소들은 비록 유한 그룹으로 제한되었지만, "콘크리트" 그룹을 부록으로 강등시키면서, 추상적이고 일반적인 형태로 이러한 많은 결과를 제시했습니다.유한한 추상적 그룹과 무한한 추상적 그룹에 관한 최초의 모노그래프는 O. K. Schmidt의 1916년 추상적 그룹 이론이었습니다.^[20]

초기고리이론

비가환환환론은 복소수를 초복소수로 확장하면서 시작되었는데, 특히 1843년 윌리엄 로완 해밀턴의 쿼터니언들이 그러했습니다.많은 다른 숫자 체계들이 곧 뒤따랐습니다.1844년에 해밀턴은 2사분수를, 케일리는 팔색조를, 그라스먼은 외부대수를 소개했습니다.^[21]제임스 코클은 1848년에^[22] 테사린을, 1849년에 동족보를 발표했습니다.^[23]윌리엄 킹던 클리포드는 1873년에 분할-이쿼터니언을 소개했습니다.또한 케일리는 1854년에 실수와 복소수에 대한 군대수와 1855년과 1858년의 두 논문에서 제곱행렬을 소개했습니다.^[24]

일단 충분한 예들이 있으면, 그것들을 분류하는 것이 남았습니다.1870년에 출판된 논문에서 벤자민 피어스는 150개 이상의 초복소수 차원 체계를 6 이하로 분류하고 연관 대수의 명확한 정의를 내렸습니다.그는 무중력 원소와 무중력 원소를 정의하고 어떤 대수도 이런저런 원소를 포함한다는 것을 증명했습니다.그는 피어스 분해를 정의하기도 했습니다.1878년의 프로베니우스와 1881년의 찰스 샌더스 피어스는$$R {\$displaystyle$ \$mathbb$ {R$}}$에 대한 유일한 유한 차원 분할 대수가 실수$$, 복소수 및 쿼터니언임을 독립적으로 증명했습니다.1880년대에 킬링과 카탄은 반단순 리 대수가 단순 리 대수로 분해될 수 있다는 것을 보여주었고, 모든 단순 리 대수를 분류했습니다.이에 영감을 받아 $1890년대$에 카탄, 프로베니우스, $몰리엔은$ R {\$displaystyle \mathbb$ ${$$}} 또는$ C {\$displaystyle$ \mathbb ${C}}$에 대한 유한 차원 연관 대수가 몇 개의 단순 대수의 곱인 0퍼텐셜 대수와 반단순 대수의 직접 합으로 유일하게$$ 분해된다는 것을 증명했습니다.나눗셈 대수 위의 제곱 행렬.카르탕은 직접합과 단순 대수와 같은 개념을 정의한 최초의 사람이었고, 이 개념들은 꽤 영향력이 있는 것으로 증명되었습니다.1907년 웨더번은 카탄의 결과를 임의의 분야로 확장하였는데, 이 분야를 오늘날의 웨더번 원리 정리와 아르틴이라고 합니다.웨더번 정리.^[25]

치환환의 경우, 여러 영역이 함께 치환환 이론으로 이어졌습니다.^[26]1828년과 1832년의 두 논문에서 가우스는 가우스 정수를 공식화하고 이들이 고유한 인수분해 영역(UFD)을 형성하고 2차 호혜성 법칙을 증명했습니다.야코비와 아이젠슈타인은 비슷한 시기에 아이젠슈타인 정수에 대한 입방체 호혜성 법칙을 증명했습니다.^[25]페르마의 마지막 정리에 대한 연구는 대수적 정수로 이어졌습니다.1847년 가브리엘 라메는 FLT를 증명했다고 생각했지만 모든 사이클로토믹 필드가 UFD라고 가정했기 때문에 그의 증명은 오류가 있었습니다. 하지만 쿰머가 지적했듯이 $Q{\displaystyle }$(ζ ${\displaystyle {23}_{}}$)${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{23})}$는 UFD가 아니었습니다.1846년과 1847년에 쿠머는 이상적인 수를 도입했고 사이클로토믹 장에 대한 이상적인 소수로 독특한 인수분해를 증명했습니다.^[28]데데킨트는 1871년에 이를 확장하여 대수적 수장의 정수 영역에 있는 0이 아닌 모든 이상이 데데킨트 영역 이론의 선구자인 소수 이상의 고유한 산물이라는 것을 보여주었습니다.전체적으로 데데킨트의 연구는 대수적 수론의 주제를 만들었습니다.^[29]

1850년대에 리만은 리만 표면의 기본 개념을 도입했습니다.리만의 방법은 그가 디리클레의 원리라고 부르는 가정에 의존했고,^[30] 1870년에 바이어스트라스에 의해 의문이 제기되었습니다.1900년에 힐베르트는 직접적인 방법을 개발함으로써 리만의 접근법을 정당화했습니다.^[31]1860년대와 1870년대에 Clebsch, Gordan, Brill, 그리고 특히 M. 노에테르는 대수함수와 곡선을 연구했습니다.특히, 노이더는 이러한 현대적 언어를 사용하지는$$않았지만, 다항식 $고리{\displaystyle \mathbb{}}$ R${\displaystyle [x,}$ y${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}$에서 두 개의 대수 곡선에 의해 생성된 이상의 원소가 되기 위해서는 어떤 조건이 필요한지 연구했습니다.1882년 데데킨트와 베버는 대수적 수론에 대한 데데킨트의 초기 연구와 유추하여 리만 표면에 대한 최초의 엄밀한 정의와 리만-로흐 정리의 엄밀한 증명을 허용하는 대수 함수장 이론을 만들었습니다.1880년대 크로네커, 1890년 힐베르트, 1905년 라스커, 1913년 마카오리는 E에 함축된 다항식 고리의 이상을 더 연구했습니다. 뇌터의 작품.Lasker는 Lasker-Noether 정리의 특별한 경우, 즉 다항식 고리의 모든 이상이 일차 이상의 유한한 교차점이라는 것을 증명했습니다.마카오리는 이 분해의 독특함을 증명했습니다.^[32]전체적으로 이 작업은 대수기하학의 발전으로 이어졌습니다.^[26]

1801년 가우스는 정수 위에 이항 이차 형식을 도입하고 동치를 정의했습니다.그는 또한 이진 형태의 불변인 이러한 형태의 판별자를 정의했습니다.1860년대와 1890년대 사이에 불변의 이론이 발전했고 대수학의 주요 분야가 되었습니다.케일리, 실베스터, 고르단과 다른 사람들은 2진법과 3진법에 대해 야코비안과 헤센을 발견했습니다.^[33]1868년에 고르단은 복소수에 대한 이진 형태의 불변량의 등급 대수가 유한하게 생성되었다는 것을 증명했습니다. 즉, 기저를 가지고 있습니다.^[34]Hilbert는 1885년에 불변량에 대한 논문을 썼고 1890년에 어떤 형태의 변량이든 기본을 가지고 있다는 것을 보여주었습니다.그는 1890년에 이것을 힐베르트의 기본 정리로 더 확장했습니다.^[35]

일단 이 이론들이 개발된 후, 추상적인 고리 개념이 등장하기까지는 아직 수십 년이 걸렸습니다.최초의 공리적인 정의는 1914년 아브라함 프라엔켈에 의해 제시되었습니다.^[35]그의 정의는 주로 표준 공리였다: 두 연산 덧셈이 있는 집합은 그룹을 형성하고 (꼭 교환할 필요는 없다), 곱셈은 연관성이 있고 덧셈 위에 분포하며 동일성 요소를 가지고 있습니다.^[36]게다가, 그는 정수의 고리와 같은 현재 일반적인 고리를 제외한 p-adic 수에 대한 연구에서 영감을 받은 "정규 원소"에 대한 두 가지 공리를 가지고 있었습니다.이를 통해 Frankel은 덧셈이 교환적이라는 것을 증명할 수 있었습니다.^[37]프랑켈의 연구는 1910년 슈타이니츠의 필드 정의를 링 위로 옮기는 것을 목표로 했지만, 그것은 구체적인 시스템에 대한 기존의 연구와 연결되지 않았습니다.소노 마사조의 1917년 정의는 현재의 정의와 동일한 최초의 정의였습니다.^[38]

1920년 에미 뇌터는 W. 슈마이들러와 공동으로 좌우의 이상을 고리로 정의하는 이상 이론에 관한 논문을 발표했습니다.다음 해에 그녀는 링베라이헨의 이상론이라는 획기적인 논문을 발표하여, (수학적) 이상과 관련하여 상승 사슬의 상태를 분석했습니다.이 출판물은 "노에테리아의 고리"라는 용어와 다른 수학적인 물체들이 노에테리아라고 불리는 용어를 만들어 냈습니다.^[39][40]저명한 대수학자 어빙 카플란스키는 이 연구를 "혁명적"이라고 불렀습니다.^[39] 다항식 고리의 성질과 불가분하게 연결된 것처럼 보이는 결과는 하나의 공리에서 나온 것으로 나타났습니다.^[41]노에더의 작품에서 영감을 받은 아르틴은 하강 사슬 상태를 생각해 냈습니다.이러한 정의는 추상적인 고리 이론의 탄생을 의미합니다.^[42]

초기장론

1801년 가우스는 정수 modp를 도입했는데, p는 소수입니다.Galois는 1830년에 이것을 ${\displaystyle {pn}^{}}$ ${\$개의$$ 요소를 가진 유한한 필드로 확장했습니다.^[43]1871년 리처드 데데킨트는 4개의 산술 연산에서 닫힌 실수 또는 복소수의 집합에 대해 "체" 또는 "말뭉치"(유기적으로 닫힌 실체를 암시하는 말)를 의미하는 독일어 단어 ^[44]쾨르퍼(Körper)를 소개했습니다."필드(field)"라는 영어 용어는 1893년 무어(Moore)에 의해 소개되었습니다.^[45]1881년 레오폴드 크로네커는 그가 합리성의 영역이라고 부르는 것을 정의했는데, 이것은 현대 용어로 합리적인 분수의 영역입니다.^[46] 추상장에 대한 최초의 명확한 정의는 1893년 하인리히 마르틴 베버에 의해서입니다.그것은 곱셈을 위한 연관 법칙은 빠졌지만, 유한한 분야와 대수적 수론과 대수기하학 분야를 다루었습니다.^[47]1910년 슈타이니츠는 지금까지 축적된 추상장론의 지식을 종합했습니다.그는 현대적인 정의로 분야를 공리적으로 정의하고, 그 특성에 따라 분류했으며, 오늘날 흔히 볼 수 있는 많은 정리들을 증명했습니다.^[48]

기타주요분야

• 선형대수를^[49] 유도한 일차방정식의 풀이

현대 대수학

19세기 말과 20세기 초에는 수학의 방법론에 변화가 있었습니다.추상대수학은 20세기 초에 현대 대수학이라는 이름으로 등장했습니다.이 연구는 수학에서 보다 지적인 엄격함을 추구하기 위한 노력의 일환이었습니다.처음에는 수학 전체(그리고 자연과학의 주요 부분)가 의존하는 고전 대수학의 가정이 공리계의 형태를 취했습니다.더 이상 구체적인 물체의 성질을 정하는 것에 만족하지 않게 된 수학자들은 일반 이론에 관심을 돌리기 시작했습니다.어떤 대수적 구조에 대한 공식적인 정의는 19세기에 등장하기 시작했습니다.예를 들어, 다양한 순열 그룹에 대한 결과는 추상 그룹의 일반적인 개념과 관련된 일반 정리의 예로 볼 수 있게 되었습니다.다양한 수학적 대상의 구조와 분류 문제가 전면에 나왔습니다.^{[citation needed]}

이 과정들은 모든 수학에서 일어나고 있었지만, 특히 대수학에서 두드러졌습니다.원시 연산과 공리를 통한 공식적인 정의는 군, 고리 및 장과 같은 많은 기본 대수 구조에 대해 제안되었습니다.따라서 군론과 고리 이론과 같은 것들이 순수 수학에서 자리를 잡았습니다.에른스트 슈타이니츠와 데이비드 힐버트, 에밀 아르틴, 에미 노더의 일반환과 치환환의 대수적 연구는 치환환의 이상을 생각했던 에른스트 쿰머, 레오폴드 크로네커, 리처드 데데킨트의 업적과 표현에 관한 게오르크 프로베니우스와 이사이 슈어의 업적을 바탕으로 이루어졌습니다. 추상대수학을 정의하게 된 군론.이러한 19세기의 마지막 4분의 1과 20세기의 첫 4분의 1의 발전은 바르텔 반 데르 베르덴의 현대 대수학에서 체계적으로 드러났습니다.1930년에 출판된 2권짜리 모노그래프 – 1931에서 방정식 이론에서 대수 구조 이론으로 대수라는 단어의 의미를 영원히 바꾼 것.

기본개념

수학자들은 다양한 양의 세부 사항을 추상화함으로써 수학의 많은 분야에서 사용되는 다양한 대수적 구조를 정의했습니다.예를 들어, 연구된 거의 모든 시스템은 집합이며, 집합 이론의 정리가 적용됩니다.특정 이진 연산이 정의된 집합은 마그마를 형성하며, 마그마와 관련된 개념과 집합에 대한 개념이 적용됩니다.우리는 연관성(반군을 형성하기 위한), 항등식 및 역등식(군을 형성하기 위한), 그리고 다른 더 복잡한 구조와 같은 대수적 구조에 추가적인 제약을 추가할 수 있습니다.추가적인 구조로 더 많은 정리를 증명할 수 있지만 일반성은 줄어듭니다.예를 들어, 고리는 하나의 작용 위에 있는 군이기 때문에, 고리 (특정한 공리를 가진 두 개의 이항 작용을 갖는 대수적인 물체)를 연구할 때 군 이론의 정리가 사용될 수 있습니다.일반적으로 일반성의 양과 이론의 풍부함 사이에는 균형이 있습니다. 일반적인 구조일수록 일반적으로 중요하지 않은 정리가 적고 응용이 적습니다.^{[citation needed]}

단일 이진 연산을 갖는 대수적 구조의 예는 다음과 같습니다.

• 마그마
• 퀘이사 그룹
• 모노이드
• 세미그룹
• 그룹.

몇 가지 작업을 포함하는 예는 다음과 같습니다.

추상대수학의 분과

군론

그룹은 집합 $G$ ${\displaystyle G}$에 "group product", 이진 연산 ⋅${\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$ × ${\displaystyle G}$→$$G {\$displaystyle$ \$cdot :$G$\times$G\$rightarrow G}$를 포함합니다. 그룹은 다음$$정의 공리를 만족합니다.

ID: $G$ ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle a}$ $요소$에 대해$$$e$ ⋅ ${\displaystyle a}$ = ⋅ ${\displaystyle e}$ =${\displaystyle e\cdot$a$$=$a\cdot$e=$a}$를 보유하는 {\displaystyle $e}$ $요소$가 있습니다$.$

역: $G$ ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle a}$ 요소에 대해 $요소$ b ${\displaystyle b}$가 존재하므로$$⋅ ${\displaystyle b}$ = b ⋅ ${\displaystyle a}$ = e ${\displaystyle a\cdot$b$$=$b\cdot$a = $e}$가 됩니다$.$

연관성: $G$ ${\displaystyle G}$의 $원소$ a${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a, b,$ c$}$의 각 삼중항에 대해$,$ (${\displaystyle a}$ b)${\displaystyle }$⋅ ${\displaystyle c}$ = ⋅ ${\displaystyle (b}$ ⋅ ${\displaystyle c)}$ ${\displaystyle (a\cdot$ b$)\cdot$c=$a\cdot c(b\cdot$ c$)}$를 갖습니다$.$

고리이론

링은 $집합$ R {\$displaystyle R}$이며, 두 개의 이진 연산이 추가됩니다:$$(${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y)}$ ↦ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$ 및 곱셈:$$(${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y)}$ ↦ xy ${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}.$

• ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$이(가) 추가된 교환 그룹입니다.
• ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$은(는) 곱셈 하 모노이드입니다.
• 곱셈은 덧셈에 대해 분배적입니다.

적용들

그것의 일반성 때문에 추상대수는 수학과 과학의 많은 분야에서 사용됩니다.예를 들어, 대수적 위상은 위상을 연구하기 위해 대수적 대상을 사용합니다.2003년에 증명된 푸앵카레 추측은 연결성에 대한 정보를 암호화하는 다양체의 기본 그룹이 다양체가 구인지 아닌지를 결정하는 데 사용될 수 있다고 주장합니다.대수적 수론은 정수들의 집합을 일반화하는 다양한 수환들을 연구합니다.대수적 수론의 도구를 사용하여 앤드류 와일스는 페르마의 마지막 정리를 증명했습니다.^{[citation needed]}

물리학에서 군은 대칭 조작을 나타내기 위해 사용되며 군 이론의 사용은 미분 방정식을 단순화할 수 있습니다.게이지 이론에서 국소 대칭의 요구 조건은 계를 설명하는 방정식을 추론하는 데 사용될 수 있습니다.이러한 대칭을 설명하는 군은 Li 군이며, Li 군과 Li 대수에 대한 연구는 물리적 시스템에 대해 많은 것을 보여줍니다. 예를 들어, 이론에서 힘 전달자의 수는 Li 대수의 차원과 같고, 이러한 보손은 Li 대수가 nonabelian이면 매개하는 힘과 상호 작용합니다.^[50]

참고 항목

• 코딩이론
• 군론
• 추상대수학의 출판물 목록

참고문헌

서지학

추가열람

• Allenby, R. B. J. T. (1991), Rings, Fields and Groups, Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2
• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P. (1999) [1981], A Course in Universal Algebra
• Gilbert, Jimmie; Gilbert, Linda (2005), Elements of Modern Algebra, Thomson Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-40264-8
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
• Sethuraman, B. A. (1996), Rings, Fields, Vector Spaces, and Group Theory: An Introduction to Abstract Algebra via Geometric Constructibility, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94848-5
• Whitehead, C. (2002), Guide to Abstract Algebra (2nd ed.), Houndmills: Palgrave, ISBN 978-0-333-79447-0
• W. Keith Nicholson (2012) 추상대수학 개론, 4판, John Wiley & Sons ISBN 978-1-118-13535-8
• John R. Durbin (1992) 현대 대수학 : 서론, John Wiley & Sons

외부 링크

• 찰스 C.Pinter (1990)[1982] Maryland 대학에서 나온 추상대수학 제2판