이산 수학

이와 같은 그래프는 이산 수학에 의해 연구된 객체 중 하나입니다. 흥미로운 수학적 특성, 실제 문제의 모델로서의 유용성, 그리고 컴퓨터 알고리즘 개발에서의 중요성 때문입니다.

이산 수학은 "연속"이 아니라 "이산"으로 간주될 수 있는 수학 구조 연구이다.이산 수학에서 연구되는 객체에는 정수, 그래프, ^[1]^[2]^[3]^[4]논리학 문장이 포함됩니다.반면 이산 수학은 실수, 미적분, 유클리드 기하학과 같은 "연속 수학"의 주제를 제외한다.이산 개체는 종종 정수로 열거될 수 있다; 더 공식적으로 이산 수학은 계산 가능한^[5] 집합(자연수와 같은 카디널리티를 가진 유한 집합 또는 집합)을 다루는 수학의 한 분야로 특징지어져 왔다.그러나 "이산수학"^[6]이라는 용어의 정확한 정의는 없다.

이산 수학에서 연구되는 객체 집합은 유한할 수도 있고 무한할 수도 있다.유한 수학이라는 용어는 때때로 유한 집합을 다루는 이산 수학 분야, 특히 비즈니스와 관련된 분야에 적용된다.

이산 수학 연구는 20세기 후반에 부분적으로 "이산" 단계로 작동하고 데이터를 "이산" 비트로 저장하는 디지털 컴퓨터의 개발로 인해 증가했다.이산 수학의 개념과 표기법은 컴퓨터 알고리즘, 프로그래밍 언어, 암호학, 자동 정리 증명, 소프트웨어 개발과 같은 컴퓨터 과학 분야의 객체 및 문제를 연구하고 기술하는 데 유용합니다.반대로, 컴퓨터 구현은 이산 수학에서 실제 문제에 아이디어를 적용하는 데 있어 중요합니다.

이산 수학의 주요 연구 대상은 이산 객체이지만, "연속" 수학의 분석 방법 또한 종종 사용된다.

1980년대 이산수학은 컴퓨터 과학 지원 과정으로 등장했지만 그 내용은 다소 엉터리였다.이후 ACM과 MAA의 노력과 연계하여 1학년 학생들의 수학적 성숙도를 높이기 위한 과정으로 발전하여 오늘날에는 ^[7]^[8]일부 대학에서도 수학 전공의 필수 과목이 되고 있다.고교 수준의 이산 수학 교과서들도 나왔다.^[9]이 수준에서 이산 수학은 때때로 ^[10]이 점에서 계산 전 과정과 다르지 않은 예비 과정으로 보여진다.

풀커슨상은 이산 수학에서 뛰어난 논문에 수여됩니다.

과거와 현재에 걸친 큰 과제

그래프 이론의 많은 연구는 이와 같은 모든 지도는 4가지 색상만을 사용하여 색을 칠할 수 있다는 것을 증명하려는 시도에서 비롯되었습니다. 그래서 같은 색의 어떤 영역도 모서리를 공유하지 않습니다.케네스 아펠과 볼프강 하켄은 ^[11]1976년에 이것을 증명했다.

이산 수학의 역사는 분야 내에서 집중된 많은 도전적인 문제들을 수반해 왔다.그래프 이론에서, 많은 연구는 1852년에 처음 언급되었지만 1976년까지 증명되지 않은 4색 정리를 증명하려는 시도에 의해 동기부여되었다.^[11]

논리학에서, 1900년에 제시된 데이비드 힐버트의 미해결 문제 목록의 두 번째 문제는 산술의 공리가 일치한다는 것을 증명하는 것이었다.1931년에 증명된 괴델의 두 번째 불완전성 정리는 적어도 산술 자체로는 불가능하다는 것을 보여주었다.힐베르트의 열 번째 문제는 정수 계수를 갖는 주어진 다항식 디오판틴 방정식이 정수 해를 가지고 있는지 확인하는 것이었다.1970년 유리 마티야세비치는 이것이 불가능하다는 것을 증명했다.

제2차 세계 대전에서 독일 코드를 해독할 필요성은 암호화와 이론 컴퓨터 과학의 발전을 이끌었으며, 최초의 프로그래밍 가능한 디지털 전자 컴퓨터가 앨런 튜링과 그의 주요 작품인 계산 가능한 ^[12]숫자에 대한 안내와 함께 영국의 Bletchley 공원에서 개발되었습니다.냉전은 암호화가 여전히 중요하다는 것을 의미했고, 그 후 수십 년 동안 공개키 암호화와 같은 근본적인 발전이 이루어졌습니다.통신 산업은 이산 수학, 특히 그래프 이론과 정보 이론의 발전에도 동기를 부여했습니다.안전 중요 시스템의 소프트웨어 개발을 위해 논리에서의 진술에 대한 공식적인 검증이 필요했으며, 자동 정리 증명의 발전은 이러한 필요성에 의해 추진되어 왔다.

컴퓨터 지오메트리는 현대 비디오 게임과 컴퓨터 지원 설계 도구에 통합된 컴퓨터 그래픽의 중요한 부분을 차지해 왔습니다.

이산 수학의 몇몇 분야들, 특히 이론 컴퓨터 과학, 그래프 이론, 그리고 조합론들은 ^[13]생명의 나무를 이해하는 것과 관련된 도전적인 생물 정보학 문제들을 다루는데 중요하다.

현재, 이론 컴퓨터 공학에서 가장 유명한 미해결 문제 중 하나는 복잡도 클래스 P와 NP 사이의 관계를 포함하는 P = NP 문제이다.클레이 수학 연구소는 첫 번째 정답 증명에 100만 달러의 상금과 다른 6개의 수학 ^[14]문제에 대한 상금을 내걸었다.

이산 수학의 주제

이론 컴퓨터 공학

복잡성은 이 정렬 루틴과 같은 알고리즘에 걸리는 시간을 연구합니다.

계산기하학은 기하학적 객체의 표현에 컴퓨터 알고리즘을 적용합니다.

이론 컴퓨터 공학은 컴퓨팅과 관련된 이산 수학 분야를 포함한다.그것은 그래프 이론과 수학적 논리에 크게 영향을 미친다.이론 컴퓨터 공학에는 알고리즘과 데이터 구조의 연구가 포함됩니다.계산가능성은 원칙적으로 계산될 수 있고 논리와 밀접한 관련이 있는 것을 연구하는 반면, 복잡성은 계산에 의해 사용된 시간, 공간 및 기타 자원을 연구합니다.오토마타 이론과 형식 언어 이론은 계산 가능성과 밀접하게 관련되어 있습니다.컴퓨터 시스템을 모델링하기 위해 페트리 네트와 프로세스 대수를 사용하고, VLSI 전자회로를 해석하기 위해 이산 수학의 방법을 사용한다.컴퓨터 지오메트리는 기하학적 문제와 기하학적 객체의 표현에 알고리즘을 적용하는 반면 컴퓨터 이미지 분석은 이미지 표현에 알고리즘을 적용합니다.이론 컴퓨터 공학은 또한 다양한 연속적인 컴퓨터 주제에 대한 연구를 포함한다.

정보 이론

여기에 바이너리로 표시된 "Wikipedia" 단어의 ASCII 코드는 정보 처리 알고리즘뿐만 아니라 정보 이론에서도 단어를 표현하는 방법을 제공합니다.

정보 이론은 정보의 수량화를 포함한다.이와 밀접한 관련이 있는 것은 효율적이고 신뢰성 있는 데이터 전송 및 저장 방법을 설계하는 데 사용되는 코딩 이론입니다.정보 이론에는 아날로그 신호, 아날로그 부호화, 아날로그 암호화와 같은 연속적인 주제도 포함됩니다.

논리

논리학은 일관성, 건전성, 완전성뿐만 아니라 유효한 추론과 추론의 원칙에 대한 연구이다.예를 들어, 대부분의 논리 체계에서 (직관적 논리에서는 그렇지 않다) 피어스의 법칙 ((P→Q)→P)→P)은 정리이다.고전 논리의 경우 진실 표를 사용하여 쉽게 확인할 수 있습니다.수학 증명 연구는 논리학에서 특히 중요하며 소프트웨어의 자동 정리 증명과 형식 검증에 응용된다.

논리식은 증명과^[15] 마찬가지로 유한한 트리를 형성하는 이산 구조 또는 보다 일반적으로 (각 추론 단계가 하나 이상의 전제 분기를 결합하여 단일 결론을 내는) 방향 비순환 그래프^[16]^[17] 구조이다.논리식의 참 값은 일반적으로 두 가지 값으로 제한되는 유한 집합을 형성하지만, 논리는 연속적인 값(예: 퍼지 논리)이 될 수도 있습니다.무한 증명 나무 또는 무한 파생 나무와 같은 개념도 ^[18]연구되었습니다. 예를 들어 무한 논리입니다.

집합론

집합론은 집합을 연구하는 수학의 한 분야로, 집합은 {blue, white, red} 또는 (무한) 모든 소수 집합과 같은 물체의 집합입니다.부분적으로 정렬된 집합 및 다른 관계와의 집합은 여러 영역에서 사용됩니다.

이산 수학에서, 계산 가능한 집합(유한 집합을 포함)이 주된 초점이다.수학의 한 분야로서의 집합론의 시작은 보통 삼각 급수 연구에 의해 동기 부여되어 다른 종류의 무한 집합을 구별하는 게오르크 칸터의 작업으로 특징지어지며, 무한 집합 이론의 추가적인 발전은 이산 수학의 범위를 벗어난다.사실, 서술 집합론에서의 현대 연구는 전통적인 연속 수학을 광범위하게 사용한다.

조합

조합학은 이산 구조가 결합되거나 배열되는 방법을 연구합니다.열거 조합학은 특정 조합 객체의 수를 세는 데 집중한다. 예를 들어, 12배 방법은 배열, 조합 및 파티션을 세는 데 통합된 프레임워크를 제공한다.분석 조합론은 복잡한 분석과 확률론의 도구를 사용하는 조합 구조의 열거(즉, 수를 결정하는 것)와 관련이 있다.결과를 설명하기 위해 명시적 조합 공식과 생성 함수를 사용하는 열거형 조합론과 대조적으로, 분석 조합론은 점근 공식을 얻는 것을 목표로 한다.위상결합학은 결합학에서 위상 및 대수위상/공역위상의 기술을 사용하는 것과 관련이 있다.디자인 이론은 특정 교차 특성을 가진 하위 집합 집합의 집합인 조합 설계에 대한 연구입니다.분할 이론은 정수 분할과 관련된 다양한 열거 및 점근 문제를 연구하며, q-계열, 특수 함수 및 직교 다항식과 밀접하게 관련되어 있습니다.원래 수 이론과 분석의 일부였던 분할 이론은 이제 조합론이나 독립장의 일부로 간주됩니다.순서론은 유한 집합과 무한 집합을 모두 연구하는 학문이다.

그래프 이론

그래프 이론은 그룹 이론과 밀접한 관련이 있다.이 잘린 사면체 그래프는 교대군₄ A와 관련이 있습니다.

그래프와 네트워크의 연구인 그래프 이론은 종종 조합론의 일부로 여겨지지만,^[19] 그 자체로 하나의 주제로 간주될 만큼 충분히 크고 뚜렷하게 성장했습니다.그래프는 이산 수학의 주요 연구 대상 중 하나이다.그것들은 자연과 인간이 만든 구조의 가장 흔한 모델 중 하나이다.물리적, 생물학적 및 사회적 시스템에서 다양한 유형의 관계와 프로세스 역학을 모델링할 수 있습니다.컴퓨터 과학에서, 그것들은 통신, 데이터 구성, 계산 장치, 계산 흐름 등의 네트워크를 나타낼 수 있다.수학에서, 그것들은 기하학과 토폴로지의 특정 부분(예: 매듭 이론)에 유용하다.대수 그래프 이론은 군 이론과 밀접한 관계를 가지고 있고 위상 그래프 이론은 위상 이론과 밀접한 관계를 가지고 있다.연속 그래프도 있지만, 대부분의 경우 그래프 이론 연구는 이산 수학의 영역에 속합니다.

수론

검은색 픽셀이 소수인 울람 나선형 숫자입니다.이 도표는 소수 분포의 패턴을 암시한다.

수 이론은 일반적으로 숫자의 특성과 관련이 있는데, 특히 정수와 관련이 있다.특히 모듈러 산술, 디오판틴 방정식, 선형 및 2차 합동성, 소수 및 소수성 테스트와 관련하여 암호 및 암호 분석에 응용된다.수 이론의 다른 이산적인 측면은 숫자의 기하학을 포함한다.해석수론에서는 연속수학의 기법도 사용된다.이산 객체를 넘어서는 주제에는 초월수, 디오판틴 근사, p-adic 분석 및 함수 필드가 포함됩니다.

대수 구조

대수 구조는 이산적인 예와 연속적인 예로서 모두 발생합니다.이산 대수는 논리 게이트와 프로그래밍에 사용되는 부울 대수, 데이터베이스에 사용되는 관계 대수, 그룹, 링 및 필드의 이산 및 유한 버전은 대수 부호화 이론에서 중요하다; 이산 반군과 모노이드는 형식 언어의 이론에 나타난다.

연속 수학의 이산적 유사점

연속 수학에는 이산 미적분, 이산 푸리에 변환, 이산 기하학, 이산 로그, 이산 미분 기하학, 이산 외부 미적분, 이산 모스 이론, 이산 최적화, 이산 확률 이론, 이산 확률 분산과 같은 이산적인 버전이 있는 많은 개념과 이론들이 있다.Ibention, 차분 방정식, 이산 동적 시스템 및 이산 벡터 측정.

유한차분, 이산해석, 이산미적분

이산 미적분과 유한 차이의 미적분학에서, 정수의 간격에 정의된 함수는 보통 수열이라고 불립니다.시퀀스는 데이터 소스로부터의 유한 시퀀스 또는 이산 다이내믹 시스템으로부터의 무한 시퀀스일 수 있습니다.이러한 이산 함수는 목록(영역이 유한한 경우) 또는 일반 용어의 공식에 의해 명시적으로 정의될 수 있으며, 반복 관계 또는 차이 방정식에 의해 암묵적으로 주어질 수 있다.차분 방정식은 미분 방정식과 비슷하지만, 인접한 항들 사이의 차이를 취함으로써 미분 방정식을 대체한다. 즉, 미분 방정식을 근사하거나 (더 자주) 연구할 수 있다.미분방정식에 관한 많은 질문과 방법에는 미분방정식에 대한 대응책이 있다.예를 들어 연속함수 또는 아날로그 신호를 연구하기 위한 고조파 해석에 적분 변환이 있는 경우에는 이산함수 또는 디지털 신호에 대한 이산 변환이 있다.이산 메트릭 공간뿐만 아니라 더 일반적인 이산 위상 공간, 유한 메트릭 공간, 유한 위상 공간도 있습니다.

시간 척도 미적분은 차분 방정식의 이론과 미분 방정식의 이론의 통합으로, 이산 데이터와 연속 데이터의 동시 모델링을 필요로 하는 분야에 적용된다.이러한 상황을 모델링하는 또 다른 방법은 하이브리드 동적 시스템의 개념입니다.

이산 기하학

이산 기하학과 조합 기하학은 기하학적 개체의 이산 집합의 조합 특성에 관한 것입니다.이산 기하학의 오랜 주제는 평면의 타일링입니다.

대수기하학에서 곡선의 개념은 유한한 필드에 걸친 다항식의 고리의 스펙트럼을 그 필드 상의 아핀 공간의 모델이 되도록 함으로써 이산 기하학으로 확장될 수 있다.곡선이 나타나는 공간은 점의 수가 유한하지만 곡선은 연속 설정에서 곡선의 유사점만큼 점의 집합이 아닙니다.예를 들어 $,$ $V(x-c)\subset \operatorname {Spec} K[x]=\mathbb {A} ^{1}$ V ( $V(x-c)\subset \operatorname {Spec} K[x]=\mathbb {A} ^{1}$ - c ) $V(x-c)\subset \operatorname {Spec} K[x]=\mathbb {A} ^{1}$ Spec $V(x-c)\subset \operatorname {Spec} K[x]=\mathbb {A} ^{1}$ K $V(x-c)\subset \operatorname {Spec} K[x]=\mathbb {A} ^{1}$ [ x ] $=$ $V(x-c)\subset \operatorname {Spec} K[x]=\mathbb {A} ^{1}$ { { $displaystyle$ V ( x - c )\ $subset$ \ $operatorname$ { $Spec$ } $V(x-c)\subset \operatorname {Spec} K[x]=\mathbb {A} ^{1}$ K [ x ]= \ $mathbb$ { A } ^ { $A$ }는 $V(x-c)\subset \operatorname {Spec} K[x]=\mathbb {A} ^{1}$ $K$ { $displaystyle$ K $\operatorname {Spec} K[x]/(x-c)\cong \operatorname {Spec} K$ 의 $K$ 어느 $\operatorname {Spec} K[x]/(x-c)\cong \operatorname {Spec} K$ 로서도 연구할 수 있습니다.(x-c)에 있는 로컬 링의 스펙트럼 $\operatorname {Spec} K[x]_{(x-c)}$ K [ $\operatorname {Spec} K[x]_{(x-c)}$ ( $\operatorname {Spec} K[x]_{(x-c)}$ - $\operatorname {Spec} K[x]_{(x-c)}$ ) { $displaystyle \operatorname {Spec } K$ [ $x$ ] $_$ { ( x - $\operatorname {Spec} K[x]_{(x-c)}$ c ) } of $\operatorname {Spec} K[x]_{(x-c)}$ a 、 주변과 함께 점.대수적 다양성은 또한 자리스키 탄젠트 공간이라고 불리는 탄젠트 공간에 대한 잘 정의된 개념을 가지고 있으며, 유한한 환경에서도 미적분의 많은 특징을 적용할 수 있게 한다.

이산 모델링

응용 수학에서 이산 모델링은 연속 모델링의 이산 유사체이다.이산 모델링에서는 이산 공식이 데이터에 적합하다.이러한 형태의 모델링에서 일반적인 방법은 반복 관계를 사용하는 것이다.이산화는 종종 근사치를 사용하여 계산을 쉽게 하기 위해 연속적인 모델과 방정식을 이산적인 것으로 전환하는 과정과 관련이 있습니다.수치 분석은 중요한 예를 제공한다.

「」를 참조해 주세요.

이산 수학의 개요
아이들에게 이산수학을 가르치는 프로그램인 사이버체이스

레퍼런스

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추가 정보

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외부 링크

수학은 utk.edu 수학 아카이브에서 설명되며, 시간표, 튜토리얼, 프로그램 등에 대한 링크를 제공합니다.
아이오와 센트럴: 전기 기술 프로그램 전기 공학을 위한 이산 수학.

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v t 수학
역사 타임라인 개요 리스트 용어집
기초	범주론 정보 이론 수리논리 수학 철학 집합론 유형 이론
대수학	추상적인 가환성 초등 군론 선형 멀티라인 유니버설 호몰로지
분석.	미적분학. 실제 분석 복잡한 분석 초복잡한 분석 미분 방정식 기능 분석 고조파 분석 측정 이론
디스크리트	조합 그래프 이론 순서론
기하학.	대수적 분석 산술 차동 디스크리트 유클리드 유한
수론	산술 대수적 수론 해석수 이론 디오판토스 기하학
토폴로지	일반 대수적 차동 기하학 호모토피 이론
응용의	공학 수학 수리생물학 수리 화학 수리 경제학 수리금융 수리 물리학 수리심리학 수리사회학 수리통계학 확률 통계 정보 시스템 사이언스 제어 이론 게임 이론 운용 조사
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