범주론

Category theory
오브젝트 X, Y, Z 및 형태소 f, g, g ) f를 가지는 카테고리의 개략적인 표현(카테고리의YZ 3개의X 아이덴티티 형태소 1, 1, 및 1은, 각각 문자 X, Y, Z로부터 자신들에게 3개의 화살표로 표시됩니다.)

범주론은 20세기 중반 사무엘 에일렌버그손더스레인의해 대수적 위상에 대한 기초 연구로 소개된 수학적 구조와 그 관계에 대한 일반 이론이다.오늘날 범주 이론은 수학의 거의 모든 영역과 컴퓨터 과학의 일부 영역에서 사용된다.특히, 몇 가지 맥락에서 비슷하게 나타나는 이전 것들의 새로운 수학적 객체들의 많은 구성들은 범주의 관점에서 편리하게 표현되고 통일된다.를 들어 몫 공간, 직접 곱, 완성도, 이중성 등이 있습니다.

범주는 두 종류의 오브젝트, 즉 카테고리의 오브젝트와 몰피즘의 소스타깃이라고 불리는 두 오브젝트와 관련된 몰피즘에 의해 형성됩니다.형태론은 종종 그것의 근원을 표적에 매핑하는 화살이라고 말한다.모르피즘은 제1의 모르피즘의 대상이 제2의 모르피즘의 근원과 같으면 합성할 수 있으며, 모르피즘 조성은 기능 구성(동일성동일성 모르피즘의 존재)과 유사한 특성을 가진다.형태론은 종종 일종의 기능이지만 항상 그렇지는 않다.를 들어, 모노이드는 단일 오브젝트를 가진 범주로 볼 수 있으며, 그 모피즘은 모노이드의 요소이다.

카테고리의 두 번째 기본 개념은 펑터의 개념으로 })의 모피즘 역할을 합니다. 소스가 소스에 매핑되고 대상이 타겟에 매핑되는 방식으로 (반변함수의 경우 소스가 타겟에 매핑되고 그 반대의 경우) 의 형태에 매핑됩니다.세 번째 기본 개념은 함수의 형태론으로 볼 수 있는 자연스러운 변환입니다.

카테고리, 객체 및 형태

분류

범주 C는 다음의 세 가지 수학적 실체로 구성된다.

  • 오브젝트라고 불리는 요소를 가진 클래스 ob(C)
  • 클래스 홈(C)으로, 요소를 형태, 지도 또는 화살표라고 합니다.형태소 f는 소스 오브젝트 a타깃 오브젝트 b를 가진다.
    f : a → b는 "f는 a에서 b로의 형태론"으로 구두로 표현될 것이다.
    hom(a, b) - 대체적으로 hom(a, b), mor(a, b) 또는 C(a, b)C 표현되는 식 hom(a, b)는 a에서 b까지의 모든 형태소의 hom-class를 나타낸다.
  • 형태소 합성이라고 불리는 이항 연산 δ는 3개의 물체 a, b, c에 대해 θ : hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c)을 갖는다.f : ab g : bc구성은 g † f 또는 gf[a]작성되며, 두 가지 공리에 의해 제어된다.
    • 연관성:f : ab, g : bc h : c → d경우 h µ (g µ f) = (h µ g) µ f,
    • 아이덴티티:모든 물체 x에 대하여, x에 대한 동일 형태소 f : ab라고 불리는 형태소x 1 : x → x가 존재하며, 모든 형태소 f : a → b에 대하여 우리는 1 µf = f 1a 1을 가진다b.
공리로부터, 모든 물체에 대해 정확히 하나의 정체성 형태가 있다는 것을 증명할 수 있다.어떤 저자들은 각각의 사물을 그것의 정체성 형태론으로 식별함으로써 주어진 정의에서 벗어난다.

형태론

형태소 사이의 관계(: fg = h)는 종종 교환 도표를 사용하여 표현되며, "점"은 객체를 나타내고 "점"은 형태소를 나타낸다.

모르피즘은 다음 속성 중 하나를 가질 수 있습니다.형태론 f : a → b는 a:

  • fg1 = fg2 경우 단형(또는 단형)은 모든 형태소1 g, g2 : xa에 대해 g = g2 의미한다1.
  • 에피모피즘(또는 에피모피즘)은 g ∘ f = g2 f1 경우1 모든2 형태소1 g, g2 : b → x.
  • f가 서사시이면서 모노릭인 경우 이형성.
  • fg = 1b, gf = [b]1인a 형태소 g : b → a가 존재하는 경우 동형사상.
  • a = b. end(a)가 a의 내형성을 나타내는 경우 내형성.
  • f가 내형성과 동형성을 모두 갖는다면 자기동형성. aut(a)는 a의 자기동형성을 나타낸다.
  • f의 오른쪽 역이 존재하는 경우, 즉 f ism g = 1인 형태론b g : b → a가 존재하는 경우 후퇴한다.
  • f왼쪽 역이 존재하는 경우, 즉 g ∘ f = 1인a 형태론 g : b → a가 존재하는 경우.

모든 후퇴는 에피모피즘이고 모든 단면은 단일 형태이다.또한 다음 세 가지 진술이 동일하다.

  • f는 단일 동형 및 후퇴이다.
  • f는 에피모피즘 및 단면이다.
  • f는 동형사상입니다.

기능자

펑터는 카테고리 간 구조를 유지하는 맵입니다.그것들은 모든 (작은) 범주의 형태론이라고 생각할 수 있다.

범주 C에서 범주 D까지의 (등가적) 함수 F는 다음과 같이 구성된다(F : C → D).

  • C의 각 객체 x에 대해 D의 객체 F(x)
  • C 형태소 f : x → y에 대하여 형태소 F(f) : F(x) F(y),

다음 두 가지 특성이 유지되도록 합니다.

  • C의 모든 물체 x에 대해 F(1x) = 1F(x);
  • 모든 형태소 f : x → y g : yz에 대하여 F(g ) f) = F(g) f F(f)

역변함수 F: CD는 "모든 화살표로 둘러싸인 형태"라는 점을 제외하면 공변함수와 같다.보다 구체적으로, C의 모든 형태소 f : xyD의 형태소 F(f) : F(y) F(x)에 할당되어야 한다.즉, 역변량 함수는 반대op 범주 C에서 D까지의 공변량 함수로 작동합니다.

자연스러운 변환

자연 변환은 두 함수 사이의 관계입니다.펑터는 종종 "자연 구조"를 기술하고 자연 변환은 두 개의 그러한 구조 사이의 "자연 동형"을 기술합니다.때때로 매우 다른 두 구조가 "같은" 결과를 낳는다; 이것은 두 함수 사이의 자연스러운 동형사상에 의해 표현된다.

F와 G가 범주 C와 D 사이의 (등가적인) 함수자일 경우, F에서 G로의 자연 변환 θ는 C의 모든 물체 X에 관련지어지고, D의 모든 형태론 fX : XY에 대하여, 우리Y F : X Y를 가진다.

Commutative diagram defining natural transformations

2개의 함수 FG는 C의 모든 물체 X에 대해 θ가X 동형일 정도로 F에서 G로 자연 변환이 존재하는 경우 자연 동형이라고 한다.

기타 개념

범용 구성, 한계 및 조건

범주 이론의 언어를 사용하여, 수학 연구의 많은 영역을 분류할 수 있습니다.카테고리에는 세트, 그룹 및 토폴로지가 포함됩니다.

범주는 빈 집합이나 두 의 토폴로지의 과 같이 모든 객체가 공통으로 가지고 있는 속성으로 구분되지만, 범주의 정의에서 객체는 원자적인 것으로 간주됩니다. 즉, 객체 A가 집합인지, 토폴로지인지 또는 기타 추상 개념인지 알 수 없습니다.따라서 이러한 객체의 내부 구조를 참조하지 않고 특별한 객체를 정의하는 것이 과제입니다.요소를 참조하지 않고 빈 집합을 정의하거나 개방형 집합을 참조하지 않고 제품 토폴로지를 정의하려면 각 범주의 형태에 따라 다른 개체와의 관계 측면에서 이러한 개체를 특성화할 수 있습니다.따라서 이 작업은 관심 대상을 고유하게 결정하는 보편적인 속성을 찾는 입니다.

범주 한계를 개발하고 이원화하여 콜리밋의 개념을 도출할 수 있는 경우, 수많은 중요한 구성을 순전히 범주적 방식으로 설명할 수 있다.

동등한 카테고리

한 범주에 대한 정리가 다른 범주에 대한 정리로 쉽게 변환될 수 있다는 의미에서, 어떤 조건에서 두 범주가 본질적으로 같은 것으로 간주될 수 있는가?그러한 상황을 설명하기 위해 사용하는 주요 도구는 범주의 동등성이라고 불리며, 두 범주 사이의 적절한 함수에 의해 주어집니다.범주적 등가성은 수학에서 많은 응용 분야를 찾아냈다.

추가 개념 및 결과

범주 및 함수의 정의는 범주 대수의 매우 기본적인 것만을 제공합니다; 추가적인 중요한 주제들은 아래에 나열되어 있습니다.이 모든 주제들 사이에는 강한 상호 관계가 있지만, 주어진 순서는 추가 읽기의 지침으로 고려될 수 있다.

  • 함수 범주C D는 개체로서 C에서 D로, 그리고 형태론으로서 그러한 함수들의 자연스러운 변환을 가지고 있다.요네다 렘마는 범주 이론의 가장 유명한 기초 결과물 중 하나입니다; 그것은 펑터 범주에서 대표적인 함수들을 설명합니다.
  • 이중성:범주 이론의 모든 진술, 정리 또는 정의는 본질적으로 "모든 화살표를 반전"함으로써 얻어지는 쌍수를 가지고 있다.카테고리 C에서 하나의 스테이트먼트가 참일 경우, 듀얼 카테고리op C에서는 그 듀얼 스테이트먼트가 참입니다.범주 이론 수준에서 투명한 이원성은 응용 프로그램에서 종종 모호해지고 놀라운 관계로 이어질 수 있습니다.
  • 인접 펑터: 펑터는 반대 방향으로 매핑되는 다른 펑터에 왼쪽(또는 오른쪽) 인접할 수 있습니다.이러한 인접 함수의 쌍은 일반적으로 보편적 속성에 의해 정의된 구조에서 발생한다. 이는 보편적 속성에 대한 보다 추상적이고 강력한 견해로 볼 수 있다.

고차원 카테고리

상기 개념의 많은 것, 특히 카테고리, 인접함수쌍 및 펑터카테고리의 동등성은 고차원 카테고리의 맥락에 위치할 수 있다.간단히 말해, 우리가 두 물체 사이의 형태론을 "한 물체에서 다른 물체로 우리를 데려가는 과정"으로 간주한다면, 고차원 범주는 우리가 "고차원 과정"을 고려함으로써 이것을 수익적으로 일반화할 수 있게 해준다.

예를 들어, (엄격한) 2-카테고리는 "모피즘 사이의 몰피즘"과 함께 하나의 몰피즘을 다른 몰피즘으로 변환할 수 있는 과정이다.그런 다음 이러한 "쌍동형"을 수평과 수직으로 "합성"할 수 있으며, 두 구성 법칙에 관련된 2차원 "교환 법칙"을 유지할 필요가 있습니다.이러한 맥락에서 표준 예는 모든 (작은) 범주의 2가지 범주인 Cat이며, 이 예에서 형태소의 이형성은 일반적인 의미에서 형태소의 자연스러운 변환입니다.또 다른 기본적인 예는 단일 객체가 있는 2-카테고리를 고려하는 것입니다.이것들은 본질적으로 모노이드 카테고리입니다.바이카테고리는 형태론의 구성이 엄밀하게 연관성이 있는 것이 아니라 동형사상에 "까지" 연관성이 있는 2차원 범주의 더 약한 개념이다.

이 과정은 모든 자연수 n에 대해 확장될 수 있으며, 이를 n-범주라고 합니다.서수 ω에 대응하는 「카테고리」의 개념도 있다.

고차원 범주는 로널드 브라운에 의해 도입된 개념인 고차원 대수학의 더 넓은 수학 분야의 일부이다.이러한 아이디어에 대한 대화 소개는 John Baez, 'n-카테고리 이야기'(1996)를 참조하십시오.

이력 메모

범주의 전체 개념은 기본적으로 보조 개념이며, 우리의 기본 개념은 본질적으로 펑터와 자연 변환의 개념입니다.

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1942-45년, Samuel EilenbergSaunders Mac Lane은 위상학, 특히 대수적 위상학 연구의 일부로 범주, 함수 및 자연 변환을 도입했다.그들의 작업은 직관적이고 기하학적인 호몰로지로부터 호몰로지 대수학으로의 전환의 중요한 부분이었다.아일렌버그와 맥 레인은 나중에 그들의 목표는 자연 변화를 이해하는 것이라고 썼다.여기에는 범주가 필요한 함수의 정의가 필요했습니다.

Stanislaw Ulam과 그를 대신한 몇몇 글은 폴란드에서는 1930년대 후반부터 관련 아이디어가 유행했다고 주장했다.아일렌베르크는 폴란드인이었고 1930년대에 폴란드에서 수학을 공부했다.범주 이론은 추상적 과정을 공식화하는 [citation needed]에미 노이더(Mac Lane의 교사 중 한 명)의 작업의 연속이기도 합니다. 노이더는 수학적 구조의 한 종류를 이해하는 것은 그 구조([citation needed]동형사상)를 보존하는 과정을 이해하는 것을 필요로 한다는 것을 깨달았습니다.아일렌버그와 맥 레인은 위상구조를 특징짓는 대수구조(위상불변량)와 관련된 프로세스(함수)를 이해하고 공식화하기 위한 범주를 도입했다.

범주 이론은 원래 호몰로지 대수의 필요성을 위해 도입되었고, 현대 대수 기하학의 필요성을 위해 광범위하게 확장되었다.범주 이론은 보편 대수의 확장으로 볼 수 있는데, 후자는 대수 구조를 연구하고 전자는 모든 종류의 수학적 구조와 연구 또한 다른 성질의 구조 사이의 관계에 적용되기 때문이다.이러한 이유로, 그것은 수학 전반에 걸쳐 사용된다.수학적 논리 의미론(범주적 추상 기계)에 대한 적용은 나중에 이루어졌다.

토포이(topoi)라고 불리는 특정 범주는 수학의 기초로서 자명한 집합론의 대안으로 작용할 수도 있다.토포스는 2개의 추가 토포 공리가 있는 특정 유형의 카테고리로 간주할 수도 있습니다.범주 이론의 이러한 기초적인 적용은 건설적인 수학의 기초와 정당화로서 상당히 상세하게 연구되어 왔다.토포스 이론은 기하학적 기원을 가진 추상 다발 이론의 한 형태이며, 무의미한 위상학과 같은 아이디어로 이어집니다.

범주형 논리는 이제 직감적 논리학을 위한 유형 이론에 기초한 잘 정의된 분야로, 함수 프로그래밍도메인 이론에서 적용되며, 여기서 데카르트 닫힌 범주는 람다 미적분의 비 구문적 설명으로 받아들여진다.최소한 범주 이론 언어는 이러한 관련 영역의 공통점을 명확하게 합니다(추상적인 의미에서는).

범주론은 다른 분야에서도 적용되고 있다.예를 들어, John Baez는 물리학에서 파인만 도표와 모노이드 [2]범주 사이의 연관성을 보여 주었다.범주 이론의 또 다른 응용 분야, 더 구체적으로 말하자면, 토포스 이론은 수학 음악 이론에서 만들어졌습니다. 예를 들어 게리노 마졸라의 "음악의 토포스, 개념의 기하학적 논리, 이론, 그리고 퍼포먼스"를 참조하십시오.

수학의 기초로서 학부생들을 범주에 소개하기 위한 보다 최근의 노력에는 윌리엄 로베어와 로즈브루그(2003)와 로베어와 스티븐 샤누엘(1997)과 미로슬라브 요토프(2012)가 포함된다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ 일부 저자는 g f ffg 또는 f g g로 표기하여 반대 순서로 작곡한다.카테고리 이론을 사용하는 컴퓨터 과학자들은 매우 일반적으로 g f f에 대해 f ; g라고 쓴다.
  2. ^ 서사시적이고 모노릭한 형태론이 반드시 동형사상은 아니라는 점에 유의하십시오!기본적인 반례: 2개의 오브젝트 A와 B로 이루어진 범주에서, 항등 형태와 A에서 B까지의 단일 형태 f는 서사적이고 모노픽이지만, 동형이 아니다.

레퍼런스

인용문

  1. ^ Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1945). "General theory of natural equivalences". Transactions of the American Mathematical Society. 58: 247. doi:10.1090/S0002-9947-1945-0013131-6. ISSN 0002-9947.
  2. ^ Baez, J.C.; Stay, M. (2009). "Physics, topology, logic and computation: A Rosetta stone". New Structures for Physics. Lecture Notes in Physics. Vol. 813. pp. 95–172. arXiv:0903.0340. doi:10.1007/978-3-642-12821-9_2. ISBN 978-3-642-12820-2. S2CID 115169297.

원천

추가 정보

  • Marquis, Jean-Pierre (2008). From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory. Springer. ISBN 978-1-4020-9384-5.

외부 링크