소수

소수(또는 소수)는 두 개의 작은 자연수의 곱이 아닌 1보다 큰 자연수입니다.소수가 아닌 1보다 큰 자연수를 합성수라고 합니다.예를 들어, 5는 제품으로 쓸 수 있는 유일한 방법인 1 × 5 또는 5 × 1이 5 자체를 포함하기 때문에 prime입니다.그러나 4는 두 숫자가 모두 4보다 작은 제품(2 × 2)이므로 합성입니다.소수는 산술의 기본 정리 때문에 수론에서 중심입니다. 1보다 큰 모든 자연수는 소수 자체이거나 그 순서에 따라 고유한 소수의 곱으로 인수분해될 수 있습니다.

원시적인 특성을 원시성이라고 합니다.trial division이라고 불리는$$주어진 $n$의 ${\displaystyle n}$의 소수를 검사하는 간단하지만 느린 방법은 $n{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $n}$이(가) 2에서 n$사이$의 정수 {\$sqrt {n}}$의 배수인지$$ 여부를 검사합니다$.$ 더 빠른 알고리즘으로는 빠르지만 오류 가능성이 적은 밀러-라빈 소수점 검정과 AKS 소수점 검정이 있습니다.ty 검정 - 다항식 시간에 항상 정답을 생성하지만 너무 느려서 실용적이지 못합니다.메르센 수와 같은 다양한 특수 형태에 대해 특히 빠른 방법을 사용할 수 있습니다.2018년^[update] 12월 현재 알려진 가장 큰 소수는 메르센 소수로, 소수점이 24,862,048입니다.^[1]

기원전 300년경 유클리드가 증명한 바와 같이, 무한히 많은 소수들이 있습니다.소수와 합성수를 구분하는 알려진 간단한 공식은 없습니다.그러나 큰 자연수 내의 소수의 분포는 통계적으로 모형화할 수 있습니다.그 방향의 첫 번째 결과는 19세기 말에 증명된 소수 정리인데, 무작위로 선택된 큰 수가 소수일 확률은 그 자릿수에 반비례한다는 것, 즉 로그에 반비례한다는 것입니다.

소수에 관한 몇 가지 역사적인 문제들은 아직도 풀리지 않고 있습니다.여기에는 2보다 큰 모든 짝수가 2개의 소수의 합으로 표현될 수 있다는 골드바흐의 추측과 2개의 차이가 나는 소수의 쌍이 무한히 많다는 쌍둥이 소수 추측이 포함됩니다.그러한 질문들은 수론의 다양한 분야들의 발전을 촉진시켰고, 분석적인 또는 대수적인 측면들에 초점을 맞추었습니다.소수점들은 정보 기술의 여러 루틴들에 사용되는데, 공개 키 암호법과 같이, 많은 수를 그들의 소수점들에 인수하는 것의 어려움에 의존합니다.추상대수학에서 소수처럼 일반화된 방식으로 행동하는 대상은 소수의 원소와 소수의 이상을 포함합니다.

정의 및 예시

자연수(1, 2, 3, 4, 5, 6 등)는 1보다 크고 두 개의 작은 자연수의 곱으로 쓸 수 없는 소수(또는 소수)라고 불립니다.소수가 아닌 1보다 큰 수를 합성수라고 합니다.^[2]즉, $n개$의 ${\displaystyle n}$개의$$ 항목을 두 개 이상의 항목으로 구성된 더 작은 동일한 크기의 그룹으로 분할할 수 없거나,^[3] $n개$의 ${\displaystyle$ n$}$개의$$ 점을 너비가 1개 이상이고 높이가 1개 이상인 직사각형 격자로 정렬할 수 없는 경우 $n개$의 ${\displaystyle n}$이 최적입니다.^[4]예를 들어, 1부터 6까지의 숫자 중에서 2, 3, 5가 소수인데,^[5] 이들을 (나머지 없이) 균등하게 나누는 다른 숫자가 없기 때문입니다.1은 정의에서 특별히 제외되기 때문에 prime이 아닙니다.4 = 2 × 2 및 6 = 2 × 3은 모두 합성입니다.

자연수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 약수는 ${\displaystyle n}$을(를) 균등하게$$ 나누는 자연수입니다$$.모든 자연수는 1과 자신을 모두 나눗셈으로 가지고 있습니다.만약 다른 분할자가 있다면, 그것은 소수가 될 수 없습니다.이것은 소수에 대한 동등한 정의로 이어집니다: 그것들은 정확히 두 개의 양수를 가진 숫자입니다.그 두 개는 1과 숫자 자체입니다.1은 단지 하나의 나눗셈을 가지고 있기 때문에, 이것은 이 정의에 의해 소수가 아닙니다.^[6]그러나 동일한 것을 표현하는 또 다른 방법은 숫자 $n$이 1보다 크면 ${\displaystyle n}$이 소수이고$$, 숫자 $2{\displaystyle \mathrm{},}$ ${\displaystyle 3,}$ ${\displaystyle \dots ,}$n${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2, 3,\dots, n-1}$ 중 어느 것도 $n개$의 ${\displaystyle n}$을(를) 균등하게$$ 나누지 않으면 소수라는 것입니다.^[7]

처음 25개의 소수(100개 미만의 모든 소수)는 다음과 같습니다.^[8]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (OEIS에서의 서열 A000040).

2보다 큰$$ 짝수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은(는) 소수가 아닙니다. 이는 어떤 수라도 곱 ${\displaystyle 2}$× ${\displaystyle n\mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle 2\times n/2}$와 같이 표현될 수 있기 때문입니다$.$ 따라서 2를 제외한 모든 소수는 홀수이므로 홀수 소수라고 합니다.^[9]마찬가지로, 일반적인 십진법으로 쓰여질 때, 5보다 큰 모든 소수는 1, 3, 7, 또는 9로 끝납니다.다른 숫자로 끝나는 숫자는 모두 합성입니다. 0, 2, 4, 6 또는 8로 끝나는 10진수는 짝수이고 0 또는 5로 끝나는 10진수는 5로 나뉩니다.^[10]

$모든{\displaystyle \mathbf{}}$ 소수의 집합은 때때로 P ${\$볼드체 대문자 P) 또는 ^[11]$P{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ \$mathbb$ {P$}($칠판 볼드체 대문자 P)$$로 표시됩니다.^[12]

역사

기원전 1550년경부터 시작된 힌드 수학 파피루스는 이집트에서 소수와 합성수의 형태가 다르게 확장되었습니다.^[13]그러나 소수에 대한 명백한 연구에 대한 가장 오래된 기록은 고대 그리스 수학에서 나온 것입니다.유클리드의 원소(기원전 300년경)는 소수의 무한성과 산술의 기본 정리를 증명하고, 메르센 소수로부터 완벽한 수를 구성하는 방법을 보여줍니다.^[14]또 다른 그리스의 발명품인 에라토스테네스의 체는 여전히 소수의 목록을 만드는 데 사용됩니다.^[15][16]

서기 1000년경, 이슬람 수학자 이븐 알 하이탐(알하젠)은 윌슨의 정리를 발견했고, 소수들을 (${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1)!}$+ 1 ${\displaystyle$ ($n-1)!$ + $1}$로 균등하게 나누는 숫자$$ $n{\displaystyle }${\$displaystyle$ n$}$으로 특징지었습니다$.$ 또한 그는 모든 완벽한 숫자들도 메르센 소수를 사용한 유클리드의 구조에서 나온 것이라고 추측했습니다.증명할 ^[17]수는 없었습니다또 다른 이슬람 수학자인 이븐 알-바나 알-마라쿠시는 에라토스테네스의 체는 상한의 제곱근까지만 소수를 고려하면 체의 속도가 빨라질 수 있음을 관찰했습니다.^[16]피보나치는 이슬람 수학의 혁신을 유럽으로 가져갔습니다.그의 책 Liber Abaci (1202)는 원시성을 시험하기 위한 시험 분할을 처음으로 기술했고, 다시 제곱근까지만 나눗셈을 사용했습니다.^[16]

1640년 피에르 드 페르마는 다음과 같이 진술했습니다.페르마의 작은 정리(나중에 라이프니츠와 오일러에 의해 증명됨).^[18]페르마는 또한 페르마 숫자 ${\displaystyle {22{\mathrm{}}^{}}^{}}$ n${\displaystyle {{}^{}}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ + $1}$의 소수를 조사했고$,$^[19] 마린 메르센은 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ 자체를$$ 소수로$$ 2 ${\displaystyle p^{}}$ -${\displaystyle {}^{}1}$ ${\displaystyle 2^{p}$ - $1}$ 형태의 소수인 메르센 소수를 연구했습니다.^[20]크리스티안 골드바흐는 오일러에게 보낸 1742년 편지에서 모든 짝수는 두 소수의 합이라는 골드바흐의 추측을 공식화했습니다.^[21]오일러는 알하젠의 추측을 증명했습니다.오일러 정리) 모든 완벽한 수는 메르센 소수로 구성될 수 있습니다.^[14]그는 $소수$의 ${\displaystyle 무한성}$과${\displaystyle \frac{\mathrm{소수}}{}}$1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \frac{3}{}}$+ 1 ${\displaystyle \frac{5}{}}$+ 1${\displaystyle }$7 +$$1 $11$ + ⋯${\tfrac$ {1$}{2}}+{\tfrac$ {1$}{3}}+{\tfrac$ {1$}{5}}+{{7$}}+{\tfrac ${$1}+{\tfrac {1$}{$7}}+{\$tfrac$ {1}}+{\tfrac {$1}{11}+\cdots$ 19세기 초, 다리엔드레와 가우스는 $x$ ${\displaystyle x}$가 무한대로 경향이 있기 때문에 x$${\$displaystyle x}$까지의 소수는 $x{\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ⁡ ${\displaystyle x}${\$displaystyle x/\$log $x$$}$로 점근적이라고 추측했습니다$.$ 여기서 ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ⁡ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$는 $x$ ${\displaystyle x}$의 자연 로그입니다$.$ 이 높은 밀도의 소수들의 더 약한 결과는 베르트랑의 가정이었습니다.1852년 파프누티 체비셰프가 $증명$한 n ${\$$displaystyle n}$과 2 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ 사이에는 모두 > ${\$displaystyle n > $1}$의 소수가 있습니다$.$^[23]베른하르트 리만은 1859년 제타 함수에 관한 논문에서 레전드르와 가우스의 추측을 증명하기 위한 개요를 스케치했습니다.비록 밀접하게 관련된 리만 가설은 증명되지 않았지만, 리만의 윤곽은 1896년 하다마르와 드 라 발레 푸생에 의해 완성되었고, 그 결과는 현재 소수 정리로 알려져 있습니다.^[24]또 다른 19세기의 중요한 결과는 어떤 산술적 진행이 무한히 많은 소수를 포함한다는 디리클레의 정리였습니다.^[25]

많은 수학자들이 실제적으로 분할이 적용 가능한 수보다 큰 수에 대한 원시성 검정 작업을 해왔습니다.특정한 수형으로 제한되는 방법으로는 페르마 수에 대한 페핀의 검정(1877),^[26] 프로트의 정리(c. 1878),^[27] 루카스-가 있습니다.레머 원시성 테스트(1856년 기원)^[16]와 일반화된 루카스 원시성 테스트.

1951년 이래로 모든 알려진 가장 큰 소수들이 컴퓨터에서 이러한 테스트를 사용하여 발견되었습니다.^[a]더 큰 소수점에 대한 탐색은 Great Internet Mersenne Prime Search 및 기타 분산 컴퓨팅 프로젝트를 통해 수학계 외부의 관심을 불러일으켰습니다.^[8][29]소수는 순수 수학^[b] 이외의 응용 분야가 거의 없다는 생각은 1970년대에 공개 키 암호법과 RSA 암호 시스템이 개발되면서 깨졌습니다.^[32]

컴퓨터화된 primality testing과 factorization의 실용적인 중요성이 증가함에 따라 많은 수의 제한 없는 형태를 처리할 수 있는 개선된 방법이 개발되었습니다.^[15][33][34]소수의 수학적 이론은 또한 임의로 긴 소수의 산술적 진행이 있다는 그린-타오 정리(2004)와 경계 크기의 소수 간격이 무한히 많이 존재한다는 이탕 장의 2013년 증명으로 나아갔습니다.^[35]

원초성

대부분의 초기 그리스인들은 1이 숫자라고 생각하지도 않았기 때문에,^[36][37] 그들은 1이 소수라고 생각할 수 없었습니다.Nicomachus, Iamblichus, Boethius, 그리고 Cassiodorus를 포함한 그리스와 후기 로마 전통의 몇몇 학자들도 소수를 홀수의 세분화로 생각했고, 그래서 그들은 2를 소수라고 생각하지 않았습니다.그러나 유클리드와 다른 그리스 수학자들의 대다수는 2를 소수라고 여겼습니다.중세 이슬람 수학자들은 1을 숫자가 아닌 것으로 보는 데 있어 그리스인들을 크게 따랐습니다.^[36]중세와 르네상스에 이르러 수학자들은 1을 숫자로 다루기 시작했고, 그들 중 일부는 1을 첫 번째 소수로 포함시켰습니다.^[38]18세기 중반 크리스티안 골드바흐는 레온하르트 오일러와 서신을 주고받으면서 1을 소수로 기록했지만 오일러 자신은 1을 소수로 생각하지 않았습니다.^[39]19세기에 많은 수학자들은 여전히 1을 소수로 여겼고,^[40] 1을 포함한 소수의 목록은 1956년까지 계속 출판되었습니다.^[41][42]

만약 소수의 정의가 1을 소수라고 부르는 것으로 바뀐다면, 소수와 관련된 많은 문장들은 더 어색한 방식으로 고쳐 써야 할 것입니다.예를 들어, 산술의 기본 정리는 인자화의 관점에서 1보다 큰 소수로 다시 고쳐야 할 것입니다. 왜냐하면 모든 숫자는 복사본 수가 1인 여러 개의 인자화를 가질 것이기 때문입니다.^[40]마찬가지로, 에라토스테네스의 체는 1을 소수로 취급한다면, 1의 모든 배수(즉, 다른 모든 수)를 제거하고 오직 하나의 숫자 1만 출력하기 때문에 올바르게 작동하지 않을 것입니다.^[42]소수의 다른 기술적인 특성들은 또한 숫자 1을 유지하지 못합니다: 예를 들어 오일러의 토티언트 함수 또는 나눗셈 함수의 합에 대한 공식은 1에 대한 공식과 다릅니다.^[43]20세기 초, 수학자들은 1을 소수로 나열할 것이 아니라, "단위"로서 자신의 특별한 범주에 넣어야 한다는 것에 동의하기 시작했습니다.^[40]

기본 속성

고유 인수분해

소수의 곱으로 숫자를 쓰는 것을 소수의 소인수분해라고 합니다.예를 들어,

${\displaystyle {\begin{aligned}34866&=2\times 3\times 3\times 13\times 149\times 3^{2}\times 13\times 149.\end{aligned}}$

제품에 포함된 용어를 프라임 팩터(prime factor)라고 합니다.동일한 소수점이 두 번 이상 발생할 수 있습니다. 이 예제는 소수점 $3$의 복사본을 두 개 가지고 있습니다${\displaystyle \mathrm{.}}${\$displaystyle 3.}$ 소수점이 여러 번 발생할$$ 때 지수화를 사용하여 동일한 소수점의 여러 복사본을 그룹화할 수 있습니다. 예를 들어 위의 제품을 쓰는 두 번째 방법에서 ${\displaystyle {32\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 3$^{2}}$는 제곱 o를 나타냅니다$$.r 세컨드 파워 $3{\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle 3.$$}$

일반적으로 소수 이론과 수학에서 소수의 중요성은 산술의 기본 정리에서 비롯됩니다.^[44]이 정리는 1보다 큰 모든 정수는 하나 이상의 소수의 곱으로 쓰여질 수 있음을 나타냅니다.더 강력하게 말하면, 이 제품은 순서가 다를 수 있지만 동일한 수의 두 소인수 분해가 동일한 소수의 복사본 수를 갖는다는 점에서 독특합니다.^[45]따라서 정수 인수분해 알고리즘을 사용하여 인수분해를 찾는 여러 가지 방법이 있지만 모두 동일한 결과를 생성해야 합니다.따라서 소수는 자연수의 "기본 구성 요소"로 간주될 수 있습니다.^[46]

소인수분해의 유일성에 대한 몇 가지 증거는 유클리드의 보조정리에 근거합니다.$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이 소수이고 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) $정수{\displaystyle }$ a {\$displaystyle a}$와$,$ {\$displaystyle b,}$로 구성된$$ ${\displaystyle \mathrm{제품}}$ $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$를 $분할$하면 $p$ ${\displaystyle p}$이(가) $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ b$}($또는 둘 다)를$$ 분할합니다.^[47]반대로, $숫자{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$이(가) 제품을 분할할 때 항상 제품의 적어도 하나의 인자를 분할하는 속성을 가진다면$$, $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$는 소수여야 합니다.^[48]

무한대

무한히 많은 소수들이 있습니다.다른 말로 하자면, 그 수열은

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

소수는 끝이 없습니다이 진술은 고대 그리스 수학자 유클리드를 기리기 위해 유클리드의 정리로 불리는데, 이 진술에 대한 최초의 알려진 증거가 유클리드에게 기인하기 때문입니다.오일러에 의한 분석적 증명, 페르마 수에 기초한 골드바흐의 증명,^[49] 일반적인 위상수학을 사용한 퍼스텐버그의 증명,^[50] 그리고 쿰머의 우아한 증명을 포함하여 소수의 무한성에 대한 더 많은 증거들이 알려져 있습니다.^[51]

유클리드의 증명은^[52] 모든 유한한 소수의 목록이 불완전하다는 것을 보여줍니다.핵심 아이디어는 주어진 목록에서 소수를 곱하여 $.{\displaystyle 1.}$ 목록이$$ 소수 ${\displaystyle {p1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {p2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {pn}_{}}$ ${\displaystyle p_{1}, p_{2},\ldots, p_{n}$로 구성되어 있으면$$ 숫자를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{n}}$

$기본{\displaystyle }$ 정리에 의해, N개의$${\$displaystyle N}$은(는) 소인수분해를 갖습니다.

${\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdot p'_{m}$

하나 또는 그 이상의 주요 요인들과 함께.${\displaystyle \mathrm{N개}}$의$${\$displaystyle$ N$}$은(는) 이러한 각 요인으로 균등하게 구분되지만$$, $N개$의 ${\displaystyle N}$은(는) 주어진 목록의 소수점으로 나눌 때 나머지 1개를$$ $가지므로{\displaystyle }$ N개의$${\$displaystyle$ N$}$개의 소수점은 주어진 목록에 있을 수 없습니다$$.모든 소수의 유한한 목록이 없기 때문에 무한히 많은 소수가 있어야 합니다.

가장 작은 소수의 곱에 하나를 더해서 형성되는 수를 유클리드 수라고 합니다.^[53]처음 5개는 소수지만, 6번째는

${\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,}$

는 합성수입니다.

소수에 대한 공식

소수에 대한 효율적인 공식은 알려져 있지 않습니다.예를 들어, 소수의 값만 사용하는 비정규 다항식은 여러 변수에서도 없습니다.^[54]그러나 모든 소수를 부호화하는 수많은 표현이 있습니다.하나의 가능한 공식은 윌슨의 정리에 기초하여 숫자 2를 여러 번 생성하고 다른 모든 소수들은 정확히 한 번 생성합니다.^[55]또한 9개의 변수와 1개의 매개 변수에 디오판토스 방정식의 집합이 있으며, 다음과 같은 성질을 가지고 있습니다. 매개 변수는 방정식 체계가 자연수보다 해를 가지는 경우에만 소수입니다.이것은 모든 양의 값이 소수라는 속성을 가진 단일 공식을 얻는 데 사용될 수 있습니다.^[54]

원시 생성 공식의 다른 예는 밀스의 정리와 라이트의 정리에서 나옵니다.이들은 다음과 같은 실제$$ 상수 > ${\displaystyle A$> $1}$ 및 μ ${\displaystyle \mu }$이(가) 있다고 주장합니다.

${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfoor {\text{ and }}\left\lfoor 2^{\cdots ^{2^{\mu}}}\right\rfoor }$

첫 번째 공식에서 임의의$$ $자연수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle$ n$}$에 대하여 소수이고, 두 번째 공식에서 임의의 수의 지수에 대하여 소수입니다.^[56]여기서 ⌊ ⋅ ⌋ $displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfoor }$은(는) 바닥 함수를 나타내며 문제의 숫자보다 작거나 같은 가장 큰 정수입니다.그러나 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 또는$$ $\mu {\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mu}$의 값을 계산하려면 소수를 먼저 생성해야 하기 때문에 소수를 생성하는 데 유용하지 않습니다.

질문 열기

소수에 관한 많은 추측들이 제기되어 왔습니다.종종 기본 공식을 가지고 있는 이러한 추측들 중 많은 것들은 수십 년 동안 증거를 견뎌왔습니다: 1912년 란다우의 네 가지 문제들은 모두 아직 풀리지 않았습니다.^[57]그 중 하나는 2보다 큰 모든$$ 짝수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은 두 개의 소수의 합으로 쓸 수 있다고 주장하는 골드바흐의 추측입니다.^[58]2014년 현재, 이 추측은 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 4}$⋅ ${\displaystyle {1018}^{}}$까지의 모든 수에 대해 검증되었습니다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ n = 4$\cdot 10^{18}}$ 이보다 약한 문장이 증명되었습니다. 예를 들어, 비노그라도프의 정리는 충분히 큰 홀수 정수는 모두 세 개의 소수의 합으로 쓰여질 수 있다고 말합니다.첸의 정리는 충분히 큰 모든 짝수는 소수와 반 소수(두 소수의 곱)의 합으로 표현될 수 있다고 말합니다.^[61]또한 10보다 큰 임의의 짝수는 6개의 소수의 합으로 쓸 수 있습니다.^[62]그러한 문제를 연구하는 수론의 한 분야는 가산수론이라고 불립니다.^[63]

또 다른 유형의 문제는 연속적인 소수 사이의 차이인 소수 격차에 관한 것입니다.임의로 큰 소수 ${\displaystyle \mathrm{간격}}$이 존재한다는 것은 $수열{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$!${\displaystyle }$+${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$! + 3${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n}$!${\displaystyle }$+$$ {\$displaystyle$n ! + $2,$n ! + $3,\dots,$n ! + n ! + n$}$이(가) 임의의 자연수 $n$에 대해 $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n-1}$개의$$ 합성수로 구성되어$$ 있다는 것을 주목하면 알 수 있습니다${\displaystyle .}${\$displaystyle$n$.}$ 그러나 큰 소수 간격은 이 인수가 보여주는 것보다 훨씬 이전에 발생합니다$$^[64].^[65]예를 들어, 길이 $8$의 첫 번째 소수 간격은 8 !${\displaystyle }$= ${\displaystyle 40320}$보다 훨씬 작은 89와 97 사이에 있습니다${\displaystyle \mathrm{.}}$${\displaystyle 8!=40320.$$}$2가 다른 쌍의 소수가 무한히 많은 것으로 추측됩니다. 이것이$$ 쌍의 소수 추측입니다.폴리냑의 추측은 더 일반적으로 모든 양의 $정수$ k${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ k$,}$에 대해 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle k}$ 차이가 나는 연속적인 소수의 쌍이 무한히 많다는$$ 것을 말합니다${\displaystyle .}${\$displaystyle 2k$.} 안드리카의^[67] 추측,^[67] 브로카드의 추측,^[68] 르장드르의 추측,^[69] 그리고 오페르만의 추측^[68] 모두 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\di$로부터 소수 사이의 가장 큰 간격이$splaystyle$ 1}에서 n$$${\displaystyle$ n$}$까지의 결과는 최대${\displaystyle }약$n, {\$displaystyle$ {\$sqrt$ {$n}}$이어야 하며, 이는 리만 가설에서 따르는 것으로 알려져 있는 결과이며, 훨씬 강력한 Cramér 추측은 $O{\displaystyle ((\mathrm{로그}}$ $⁡$ n${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle 2{}^{}}$)에서 가장 큰 간격 크기를 설정합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ O$((\log$ n$)^{2}.$$}$소수$$^[67] 간격은 $소수{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ - 튜플$$, 두 개 이상의 소수 사이의 차이에서 나타나는 패턴으로 일반화할 수 있습니다.그들의 무한함과 밀도는 첫 번째 하디-리틀우드 추측의 주제이며, 이는 소수가 소수 정리에 의해 주어진 밀도를 가진 임의의 수열과 유사하게 행동한다는 휴리스틱에 의해 동기 부여될 수 있습니다.^[70]

분석속성

해석적 수론은 연속함수, 극한, 무한급수 그리고 무한소와 무한소의 관련 수학의 렌즈를 통해 수론을 연구합니다.

이 연구 영역은 레온하르트 오일러와 그의 첫 번째 주요 결과인 바젤 문제의 해결에서 시작되었습니다.문제는 무한합 $1{\displaystyle }$+ 1 ${\displaystyle \frac{4}{}}$+ 1 ${\displaystyle \frac{9}{}}$+ 1 ${\displaystyle \frac{16}{}}$+ ${\displaystyle$ 1$+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}+\dots},$ 오늘날 리만 제타 함수의 ζ$){\displaystyle \zeta(2)}$ 값으로 인식할 수 있습니다.이 함수는 소수와 수학에서 가장 중요한 미해결 문제 중 하나인 리만 가설과 밀접하게 연결되어 있습니다.오일러는 ζ${\displaystyle }$(${\displaystyle 2)}$ = π ${\displaystyle 2^{}}$/ 6 ${\displaystyle \zeta ($2)=\$pi ^{2}/6}$을 보여주었습니다$.$이 숫자의 역수인 $6$ /${\displaystyle }$π 2 ${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$는$$큰 범위에서 균일하게 선택된 두 난수가 상대적으로 소수일 확률을 제한하는 것입니다(공통 요인이 없음).

주어진 큰 임계값보다 작은 소수가 몇 개인가 하는 질문과 같은 큰 소수의 분포는 소수 정리에 의해 설명되지만 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ - 번째 소수에 대한 효율적인 공식은 알려져 있지 않습니다.디리클레의 산술 진행에 대한 정리는 기본 형태에서 선형 다항식을 주장합니다.

${\displaystyle p(n)=a+bn}$

상대적으로 소수의 정수를 $가진{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$는 무한히 많은 소수의 값을 갖습니다$$.정리의 더 강한 형태는 이러한 소수 값의 역수의 합이 발산하고, 동일한 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$를 갖는 다른 선형 다항식이 대략 동일한 소수 비율을 갖는다는$$ 것을 나타냅니다.고차 다항식에서 소수의 비율에 대한 추측이 공식화되었지만 증명되지 않은 상태로 남아 있으며, (정수 인수의 경우) 소수인 이차 다항식이 무한히 자주 존재하는지는 알 수 없습니다.

유클리드 정리의 해석적 증명

무한히 많은 소수들이 있다는 오일러의 증명은 소수들의 역수의 합을 고려합니다.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}}$

오일러는 임의의 실수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대하여$$$이{\displaystyle }$ 합이 x ${\displaystyle x}$보다 큰 $소수$ p ${\displaystyle$ p$}$가 존재함을 보여주었습니다$.$^[73]이것은 무한히 많은 소수들이 있다는 것을 보여주는데, 소수들이 무한히 많다는 것을 보여줍니다. 왜냐하면 소수들이 무한히 많다면 합은 $모든{\displaystyle }$x {\$displaystyle x}$를 지나 증가하는 것이 아니라 가장 큰 소수에서 최대치에 도달하기 때문입니다$.$이 합의 증가율은 메르텐스의 두 번째 정리에 의해 더 정확하게 설명됩니다.^[74]비교를 위해 합은

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}+{\frac {1}{2^{2}}+{\frac {1}{3^{2}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}$

${\displaystyle n}$이(가) 무한대로 가기 때문에$$ 무한대로 커지지 않습니다(바젤 문제 참조).이런 의미에서 소수는 자연수의 제곱보다 더 자주 발생하지만, 두 집합 모두 무한대입니다.^[75]브런의 정리에 따르면 쌍둥이 소수의 역수의 합은

${\displaystyle \left ({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left ({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left ({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}\right)+\cdots,}$

유한합니다.브룬의 정리 때문에 쌍둥이 소수가 무한히 많이 존재한다는 오일러의 방법을 이용하여 쌍둥이 소수 추측을 푸는 것은 없습니다.^[75]

주어진 경계 아래의 소수들의 수

소수 counting 함수 π${\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \pi(n)}$은(는) $n$ ${\displaystyle n}$보다 크지 않은 소수로 정의됩니다$.$ 예를 들어, 11보다 작거나 같은 소수가 5개 있으므로 π ${\displaystyle (11)}$= ${\displaystyle 5}${\$displaystyle \pi(11$)= $5}$입니다$.$메셀과 같은 방법들은..레머 알고리즘은 각 $소수점$을 $n개$까지 나열하는 것보다 더 빨리 π${\displaystyle (n)}$ ${\displaystyle$ \$pi(n$$)}$의 정확한 값을 계산할 수 있습니다$.$소수 정리는 π${\displaystyle }$(${\displaystyle n)}$ ${\displaystyle \pi(n)}$이(가) $n{\displaystyle }$/ ${\displaystyle \log }$ ⁡ ${\displaystyle n/\log$ n$}$에 점근적이라는 것을 나타내며$,$ 이는 다음과 같이 표시됩니다.

${\displaystyle \pi(n)\sim {\frac {n}{\log n}},}$

$n$ ${\displaystyle n}$이(가${\displaystyle )}$ 무한대로 증가함에 따라 오른쪽 분수에 대한 π$)$ {\$displaystyle$ \$pi(n)}$의 비율이 1에 가까워짐을 의미합니다.이것은 $n$ ${\$$displaystyle n}$보다 작은 무작위로 선택된 숫자가 n {\$displaystyle n}$의 자릿수에 반비례할 가능성을 의미합니다$.$ 또한 $n$ ${\displaystyle$ n$}$번째 소수는 ${\displaystyle \mathrm{nlog}}$ ⁡ n ${\displaystyle n\log n}$에 비례하므로 a의 평균 크기가소수 간격은 ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ⁡ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \log n}$에 비례합니다$.$ π${\displaystyle (n)}$ ${\displaystyle \pi(n)}$에 대한 더 정확한 추정치는 오프셋 로그 적분으로 제공됩니다.

${\displaystyle \pi(n)\sim \operatorname {Li}(n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}}}$

산술적 진행률

산술 진행은 수열의 연속적인 숫자들이 모두 같은 차이를 가지는 유한하거나 무한한 수열입니다.^[81]이 차이를 진행 계수라고 합니다.^[82]예를들면,

3, 12, 21, 30, 39, ...,

는 모듈러스 9를 갖는 무한 산술 진행입니다.산술적 진행에서 모듈러스로 나눌 때 모든 숫자의 나머지는 동일합니다. 이 예제에서 나머지는 3입니다.계수 9와 나머지 3은 모두 3의 배수이기 때문에 수열의 모든 원소도 마찬가지입니다.따라서 이 진행은 3이라는 소수 하나만 포함합니다.일반적으로 무한한 진행은

${\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }$

나머지 ${\displaystyle a}$ $및$ 모듈러스 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$이(가) 비교적 소수일 때만 소수점 이상을 가질 수 있습니다.상대적으로 소수라면, 산술 진행에 대한 디리클레의 정리는 진행이 무한히 많은 소수를 포함한다고 주장합니다.^[83]

그린-타오 정리는 소수로만 구성된 임의의 긴 유한 산술 진행이 있음을 보여줍니다.^[35][84]

이차 다항식의 소수값

오일러는 그 함수가

${\displaystyle n^{2}-n+41}$

는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 40}$ ${\displaystyle 1\leq n\$^[85][86]$leq 40}$에 대한 소수를 산출합니다$.$이 현상에 대한 설명의 모색은 헤그너 수의 심층 대수적 수론과 클래스 수 문제로 이어졌습니다.^[87]하디-리틀우드 추측 F는 로그 적분과 다항식 계수 측면에서 정수 계수를 갖는 이차 다항식의 값 중 소수의 밀도를 예측합니다.무한히 많은 소수의 값을 갖는 2차 다항식은 증명되지 않았습니다.^[88]

Ulam 나선형은 자연수를 2차원 격자로 배열하고, 소수가 강조 표시된 원점을 둘러싼 동심원 사각형으로 나선형으로 배열합니다.시각적으로 소수점들은 특정 대각선에서 군집하는 것처럼 보이고 다른 대각선에서는 군집하는 것처럼 보이지 않으며, 이는 일부 2차 다항식이 다른 다항식보다 소수점 값을 더 자주 갖는다는 것을 의미합니다.^[88]

제타 함수와 리만 가설

1859년부터 시작된 수학에서 가장 유명한 미해결 문제 중 하나이자 밀레니엄 상 문제 중 하나는 리만 제타 함수 ζ${\displaystyle (s)}${\$displaystyle$ \$zeta($s)}의 0이 어디에 있는지 묻는 리만 가설입니다.이 함수는 복소수에 대한 분석 함수입니다.실수 부분이 1보다 큰$$ 복소수 ${\displaystyles}$의 경우 모든 정수에 대한 무한 합과 소수에 대한 무한 곱이 모두 같습니다.

${\displaystyle \zeta(s)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^{s}}=\frac {{\text{prime}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

오일러에 의해 발견된 합과 곱 사이의 동일성을 오일러 곱이라고 합니다.^[89]오일러 곱은 산술의 기본 정리로부터 유도될 수 있으며, 제타 함수와 소수 사이의 밀접한 연관성을 보여줍니다.^[90]무한히 많은 소수들이 있다는 또 다른 증거로 이어집니다. 만약 유한개만 있다면, s${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ s=$1}$에서도 합곱의 동일성이 유효하겠지만,$$합이 발산할 것입니다(하모닉 $급수$ 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$+ 1 ${\displaystyle \frac{3}{}}$+ ${\displaystyle ...}$ ${\displaystyle$1 + ${\tfrac {1}{2$}} + ${\tfrac {1}{3}$ + \ dots $}).$모순된 ^[91]점

리만 가설은 제타 함수의 0이 모두 음수이거나 실수 부분이 1/2인 복소수라는 것을 말합니다.^[92]소수 정리의 원래 증명은 이 가설의 약한 형태에 기반을 두었는데, 실제 부분이 1인 0은 없다는 것입니다.^[93][94][95]소수 계수 함수는 각 항이 제타 함수의 0 중 하나에서 나오는 합으로 리만의 명시적 공식으로 표현될 수 있습니다. 이 합의 주항은 로그 적분이고 나머지 항들은 합이 주항의 위 아래에서 변동하게 합니다.^[96]이런 의미에서 0은 소수가 얼마나 규칙적으로 분포되는지를 조절합니다.만약 리만 가설이 참이라면, 이러한 변동은 작을 것이고, 소수 정리에 의해 주어진 소수들의 점근적 분포는 또한 훨씬 더 짧은 간격($숫자{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle x}$ 근처의 간격에 $대해$ x$${\$displaystyle x}$의 제곱근에 대한 길이)을 유지할 것입니다.$$^[94]

추상대수

모듈러 산술 및 유한장

모듈러 산술은 모듈러스라고 하는$$ $자연수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$에 대해$\{$${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle \dots ,\mathrm{n}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ {\$displaystyle \{0, 1, 2,\dots, n-1\}$만 사용하여 일반 산술을 수정합니다.$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$으로 나눈 후 나머지로 대체하여 다른 자연수를 이 시스템에 매핑할 수 있습니다$.$^[97] 모듈러 합, 차이 및 곱은 정수의 일반적인 합, 차이 또는 곱의 결과에 대해 나머지로 동일한 대체를 수행하여 계산됩니다.^[98]정수의 동일성은 모듈러 산술에서 일치합니다. $x$ ${\displaystyle x}$ 및 $y$ ${\displaystyle y}$는 $n$ ${\displaystyle n}$으로 나눈 후 같은 나머지를 가질 때 일치합니다($쓰기$ x ≡${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\equiv}$ $mod$ n ${\displaystyle n$$\}).$ 그러나 이 숫자 체계에서는모듈러스가 소수일 경우에만 0이 아닌 모든 숫자로 나뉠 수 있습니다.예를 들어, 소수 $7$ ${\displaystyle 7}$을 모듈러스로 하면 3 ${\displaystyle 3}$으로 나눌 수 있습니다: $2{\displaystyle /3}$ ≡ ${\displaystyle 3}$ $mod$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7$$}}.$ 왜냐하면 분모를 지우면 유효한 공식 $2$$$≡ 9 ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}$이 주어지기 때문입니다$.$ 그러나 합성어를 사용하면 유효한 공식 2항목 $모듈러스{\displaystyle \mathrm{}}$ 6 ${\displaystyle 6},$$3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 3}$으로 분할할 수 없습니다$$.$2{\displaystyle /3}$ ≡ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 2/3\equiv$ x${\bmod {6}}$에 유효한 해결책이 없습니다$.$ 분모를 $3$ ${\displaystyle 3}$을(를) 곱하여 지우면 $왼쪽$이$$2 {\$displaystyle$ 2$}$이(가) 되고 $오른쪽$이$0$ {\$displaystyle$ $}$ 또는 3 {\$displaystyle$ 3$}$이(가) 됩니다$.$ 추상 대수학 용어에서, 수행 능력은 다음과 같습니다.orm 나눗셈은 모듈러 산술 모듈로 소수가 필드 또는 더 구체적으로 유한 필드를 형성하는 반면 다른 모듈로는 링만 제공하고 필드는 제공하지 않는 것을 의미합니다.^[100]

소수에 대한 몇 가지 정리는 모듈러 산술을 사용하여 공식화할 수 있습니다.예를 들어, 페르마의 작은 정리는 ≢ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$a$\not \equiv 0}($$mod$ p ${\displaystyle p})$이면 $p$ - ${\displaystyle 1^{}}$≡ $1 {\displaystyle$ a$^{p-1}\equiv 1}($$mod$ p ${\displaystyle$ p$})$이라는 것입니다.$이{\displaystyle }$값을 {\$displaystyle$a}의 모든 선택에 더하면 다음과$$ 같은 식을 얻는다.

${\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}}}$

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$가 prime일 때마다 유효합니다.Giuga의 추측은 이 방정식이 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 소수가 되기에$$ 충분한 조건이라고 말합니다.^[102]Wilson의 정리에 따르면 정수 > 1 ${\$$displaystyle$ p $>1}$은 계승 (${\displaystyle p}$ - ${\displaystyle 1}){\displaystyle }$! $displaystyle$(p-1$)$ !인 경우에만 소수임을 알 수 있습니다.$}$이${\displaystyle \mathrm{값}}$은$$-1 {\$displaystyle$-1} $mod$p {\$displaystyle p}$과$($와) 일치합니다. 합성수 ${\displaystyle n}$ $=$ r$$$⋅$ {\$displaystyle \;n$$=$$r\cdots\;}$의 경우 인자 중 하나가 n과$$$($${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1${\displaystyle )}$을 둘 다 나누기 때문에 고정할 수 없습니다. ${\displaystyle (n-1)!},$(${\displaystyle n}$- 1${\displaystyle )!}$$≡$${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$(${\displaystyle \mathrm{mod}}$ ${\displaystyle n}$ )${\displaystyle (n-1)!$$\equiv -1{\pmod {n}}$은(는) 불가능합니다.^[103]

p-adic 수

정수 $n$ ${\displaystyle n}$의 $p$ ${\displaystyle p}$ - adic 순서 ν ${\displaystyle p_{}n)}$ ${\displaystyle \nu_{p}(n)$은 $n$ ${\displaystyle n}$의 소인수분해에서 $p$ ${\displaystyle p}$의 복사본 수입니다$.$$p$ ${\displaystyle p}$ - adic $순서$의 분수 m /${\displaystyle }$n ${\displaystyle m/n}$을(를) ν ${\displaystyle p_{}m)}$ -${\displaystyle }$ν ${\displaystyle p_{}n)}$ ${\displaystyle \nu _{p}(m$) -$\nu$ _${p}(n)}$로 정의하여 동일한 개념을 정수에서 유리수로 확장할 수 있습니다$.$임의의 유리수 $q$ ${\displaystyle q}$의 $p$ ${\displaystyle p}$ -adic 절대값 ${\displaystyle {}_{}}$ p ${\displaystyle$q$_{p}}$를 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$ν p (${\displaystyle {{}_{}q)}^{}}$ ${\displaystyle$q _${p}}$로 정의합니다$.$ 정수에 해당 $p$ ${\displaystyle$ p$}$ -adic 절대값을 곱하면 인수분해에서 p ${\displaystyle p}$의 인수가 상쇄됩니다.다른 소수만 남겨놓고 말입니다두 실수 사이의 거리가 거리의 절대값으로 측정될 수 있는 것처럼, 두 유리수 $사이$의 거리는$$p {\$displaystyle$ p$}$ - adic$$ $거리{\displaystyle }$,$$p {\$displaystyle$ p$}$ -adic$$ 절대값으로 측정될 수 있습니다.거리의 정의에서 두 수는 p ${\displaystyle p}$의 고역으로 나눌 수 있을 때 가까운 거리를 갖습니다$.$ 실수가 유리수와 그 거리로부터 형성될 수 있는 것과 같은 방법으로, 추가적인 극한값을 더해서 완전한 필드를 형성함으로써 유리수 w$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ - adic$$ 거리를 다른 완전한 $필드$인 p ${\displaystyle$ p$}$ -adic$$ 숫자로 확장할 수 있습니다.^[104][105]

이들로부터 유도된 차수, 절댓값, 완전장의 그림은 대수적 수 장들과 그들의 값들(장의 곱셈군으로부터 차수라고도 불리는 완전한 차수의 덧셈군으로의 특정한 매핑), 절댓값들(장으로부터 실수들로의 특정한 곱셈 매핑)로 일반화될 수 있습니다.norms라고도 함),^[104] places(지정된 필드가 조밀 집합인 완성 필드에 대한 확장, 완성이라고 함).^[106]예를 들어, 유리수에서 실수로 확장하는 것은 숫자들 사이의 거리가 그들의 차이의 일반적인 절대값이 되는 곳입니다.가법 그룹에 해당하는 매핑은 절대값의 로그이지만, 이 값이 평가의 모든 요구 사항을 충족하는 것은 아닙니다.오스트로스키 정리에 따르면, 동치에 대한 자연스러운 개념까지 실수와 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -adic$$ 수는 순서와 절대값을 가진 유일한 값, 절대값, 유리수 위의 위치입니다.^[104]지역-지구 원리는 유리수를 둘러싼 특정한 문제들이 그들 각각의 장소에서 나온 해결책들을 종합함으로써 해결될 수 있도록 하고, 소수 이론에 대한 중요성을 다시 강조합니다.^[107]

고리의 원소

가환환은 덧셈, 뺄셈, 곱셈이 정의되는 대수적 구조입니다.정수는 고리이며, 정수의 소수는 두 가지 다른 방식으로 고리로 일반화되었습니다. 소수와 환원 불가능한 원소.링 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 $요소{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$는 0이 아니고, 곱셈 역수가 없고(즉, 단위가 아님), 다음 조건을 만족하는 경우 prime이라고 합니다$$. $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$가 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 두$$ 요소의 곱 ${\displaystyle \mathrm{xy}}$ ${\displaystyle xy}$를 나눌 때마다$$$x{\displaystyle }$ ${\disp$ 중 하나 이상도 나눕니다.$laystyle x}$ 또는$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y$\}.$ 요소가 단위가 아니거나 다른 두 비단위 요소의 곱이 아닌 경우에는 요소를 축소할 수 없습니다.정수의 고리에서, 소수의 원소와 환원불가능한 원소는 동일한 집합을 형성하고,

${\displaystyle \{\dots,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\",}$

임의의 고리에서는 모든 원소가 환원 불가능합니다.역은 일반적으로 성립하지 않지만 고유 인수 분해 도메인에는 성립합니다.^[108]

산술의 기본 정리는 고유 인수 분해 도메인에서 (정의에 따라) 계속 유지됩니다.이러한 도메인의 예로는 가우스 정수 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$[${\displaystyle i}$] ${\displaystyle {Z} [i]},$$a{\displaystyle }$+ $bi{\displaystyle }$ ${\displaystyle a$+ $bi}$ 형식의 복소수 고리, $i$ ${\displaystyle i}$는 허수 단위를 나타내고$$ ${\displaystyle a}$ 및 b$$ ${\displaystyle b}$는 임의의 정수입니다.그것의 주요 요소들은 가우스 소수라고 알려져 있습니다.정수 중 소수인 모든 수가 가우시안 정수에서 소수로 남아 있는 것은 아닙니다. 예를 들어, 숫자 2는 ${\displaystyle 두}$ 개의 가우시안 소수 $1{\displaystyle \mathrm{}}$+ i ${\displaystyle 1+i}$과 $1$ -${\displaystyle }$i ${\displaystyle 1-i}$의 곱으로 쓸 수 있습니다$.$ 3 mod 4에 해당하는 유리 소수(정수의 소수 원소)는 가우시안 소수입니다.그러나 1 mod 4에 해당하는 유리한 소수는 그렇지 않습니다.^[109]이것은 홀수 소수 $p$ ${\displaystyle p}$가 두 제곱의 합, 즉 $p$ = ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ y ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle$p=$x^{2}$ + $y^{2}}$로 표현할 수 있으므로$$$p$ = ${\displaystyle (x}$+ i ${\displaystyle y}$)$$(${\displaystyle x}$ - i y ) {\$displaystyle$ p= ($x$+ i y) (x -${\displaystyle }$i y$)}$ 로 정확히 $p$ ${\displaystyle p}$가 1 mod 4일 때 인수를 사용할 수 있다는 페르마의 정리의 결과입니다$.$

원초적 이상

모든 링이 유일한 인수 분해 도메인은 아닙니다.예를 들어, 숫자 $a{\displaystyle }$+ b -${\displaystyle \sqrt{5}}$ ${\displaystyle$ a + b${\sqrt {-5}}($정수 $a$ ${\displaystyle$ a$}$및 $b$ ${\displaystyle b}$의 경우$)$로 이루어진 21번$${\$displaystyle 21}$은 두 개의 ${\displaystyle \mathrm{인수분해}}$21 = ${\displaystyle 3}$⋅ ${\displaystyle 7}$= (${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle \sqrt{2}}$-${\displaystyle }$5 ) ${\displaystyle (\sqrt{1}}$- 2${\displaystyle }$- 5$$) {\$displaystyle 21$=$3\cdot$7 = $(1$ + 2 {\$sqrt${-$5}})$ (1 - 2 {\$sqrt${-5$}})$를 갖습니다$.$ 두 개의 인수 중 어느 것도 줄일 수 없습니다.더 이상의 값을 가질 수 없으므로 고유한 인수분해를 갖지 않습니다.고유 인수분해를 더 큰 종류의 고리로 확장하기 위해, 수의 개념은 모든 원소의 쌍을 포함하는 고리의 원소의 부분 집합인 이상의 개념과 고리의 원소가 있는 모든 원소의 곱으로 대체될 수 있습니다.소수의 이상은 치환대수학, 대수수론, 대수기하학에서 중요한 도구이자 연구 대상입니다.정수환의 가장 기본적인 이상은 (0), (2), (3), (5), (7), (11), ...산술의 기본 정리는 래스커-노에테르 정리로 일반화되는데, 이 정리는 노에테르 치환환의 모든 이상을 일차 이상의 교집합으로 표현하며, 이는 소수의 적절한 일반화입니다.^[111]

고리의 스펙트럼은 점이 고리의 가장 중요한 이상인 기하학적 공간입니다.^[112]산술 기하학 또한 이 개념의 혜택을 받고 있으며 기하학과 수론 모두에 많은 개념이 존재합니다.예를 들어, 대수적 수론의 기본적인 문제인 확장장으로 들어올려질 때 소수의 이상을 인수분해하거나 수식하는 것은 기하학에서 수식과 약간 유사합니다.이러한 개념은 정수와 관련된 수론적 질문에서도 도움이 될 수 있습니다.예를 들어, 2차 숫자 필드의 정수 환에 있는 소수 이상은 제곱근 모듈로 정수 소수의 존재에 관한 문장인 2차 호혜성을 증명하는 데 사용될 수 있습니다.^[113]페르마의 마지막 정리를 증명하려는 초기의 시도는 순환 정수에서 고유 인수 분해의 실패와 관련된 정수 소수인 정규 소수를 도입하게 했습니다.^[114]대수적 수장에서 정수 소수가 여러 소수 이상의 곱으로 몇 개의 정수를 인수하느냐의 문제는 체보타레프의 밀도 정리에 의해 다루어지는데, 체보타레프는 (순환 정수에 적용될 때) 산술 진행의 소수에 대한 디리클레의 정리를 특별한 경우로 가지고 있습니다.^[115]

군론

유한군 이론에서, 만약 소수 $pn {\$ p$^{n}}$의 거듭제곱이 군의 순서를 나눈다면$$, 군은 $순서{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {pn}^{}}${\$displaystyle p^{n}}$의 부분군을 갖는다는 것을 의미합니다$.$ 라그랑주 정리에 의해, 임의의 소수의 모임은 순환군이고,그리고 번사이드 정리에 의해 순서가 단지 두 개의 소수로 나뉠 수 있는 모든 군은 풀 수 있습니다.^[116]

계산법

오랫동안, 일반적인 수 이론, 특히 소수에 대한 연구는 마모를 균등하게 분배하기 위해 소수의 기어 톱니를 사용하는 것 외에는 수학^[b] 이외의 응용 분야가 없는 순수 수학의 표준적인 예로 여겨졌습니다.^[117]특히 영국 수학자 G.H.하디와 같은 정수론자들은 군사적으로 의미가 전혀 없는 일을 하는 것에 자부심을 가지고 있었습니다.^[118]

숫자 이론의 순수성에 대한 이러한 비전은 1970년대에 소수가 공개 키 암호 알고리즘의 기초로 사용될 수 있다고 공개적으로 발표되면서 산산조각이 났습니다.^[32]이러한 응용 프로그램들은 소수로 계산하기 위한 알고리즘, 특히 소수가 소수인지 여부를 결정하는 방법에 대한 중요한 연구로 이어졌습니다.가장 기본적인 기본적인 기본 테스트 절차인 시험 분할은 너무 느려서 많은 숫자에 유용하지 않습니다.한 그룹의 현대 원시성 검정은 임의의 숫자에 적용할 수 있는 반면, 여러 특수 유형에 대해서는 더 효율적인 검정이 가능합니다.대부분의 원시 검정은 그들의 주장이 소수인지 아닌지만 알려줍니다.복합 인수의 주요 인자(또는 모든 주요 인자)를 제공하는 루틴을 인수분해 알고리즘이라고 합니다.소수는 체크섬, 해시 테이블 및 의사 난수 생성기의 컴퓨팅에도 사용됩니다.

재판부

주어진 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 기본성을 검사하는 가장 기본적인 방법은 시행 분할이라고 합니다$$.$이{\displaystyle }$ 메서드는$$n {\$displaystyle$ n$}$을(를) 2에서 $n{\displaystyle }$ {\$displaystyle n}$의 제곱근까지 각 정수로$$ 분할합니다$.$ 이러한 $정수{\displaystyle }$ 분할 n ${\displaystyle n}$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$을(를) 합성으로$$ 균등하게$$ 설정합니다. 그렇지 않으면 prime입니다.제곱근보다 큰 정수는 $n$ = ${\displaystyle a}$ ⋅ ${\displaystyle$n=$a\cdot b}$일 $때$마다$$${\displaystyle a}$ 및 $b$ ${\displaystyle b}$ 두 인자 중 하나가 $n$ ${\displaystyle n}$의 제곱근보다 작거나 같으므로 확인할 필요가 없습니다$.$ 또 다른 최적화 방법은 소수만 이 범위의 인자로 확인하는 것입니다.예를 들어, 이 방법은 37이 소수인지 여부를 확인하기 위해 2에서 ${\displaystyle \sqrt{37}}${\$displaystyle${\$sqrt$ {37$}}$ 범위의 소수$($2, 3, 5)로 나눕니다.각 분할은 0이 아닌 나머지를 생성하므로 37이 실제로 가장 좋습니다.

이 방법은 설명하기 쉽지만 큰 정수의 소수점을 검정하는 데는 실용적이지 않습니다. 왜냐하면 이 방법이 수행하는 검정 수는 정수의 자릿수에 따라 기하급수적으로 증가하기 때문입니다.^[120]그러나 시행 분할은 여전히 작은 인자를 가진 합성 수를 신속하게 발견하기 위해 분할 크기의 제곱근보다 작은 한계를 가지고 사용되며, 이 필터를 통과하는 수에 대해 더 복잡한 방법을 사용합니다.^[121]

체

컴퓨터 이전에는 주어진 한계까지 모든 소수 또는 소수 인수를 나열하는 수학 표가 일반적으로 인쇄되었습니다.^[122]소수의 목록을 생성하는 가장 오래된 방법은 에라토스테네스의 체라고 불립니다.^[123]애니메이션은 이 방법의 최적화된 변형을 보여줍니다.^[124]동일한 문제에 대한 또 다른 점근적으로 효율적인 체법은 Atkin의 체입니다.^[125]고급 수학에서 체 이론은 다른 문제들과 비슷한 방법을 적용합니다.^[126]

원시성 검정 대 원시성 증명

임의의 주어진 수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$n}이$$ 소수인지 여부에 대한 가장 빠른 현대 테스트 중 일부는 확률적(또는 몬테카를로) 알고리즘이며, 이는 오답을 생성할 확률이 작다는 것을 의미합니다.^[127]예를 들어 주어진 수 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$에 대한 Solovay-Strassen primality test는 수 $a{\displaystyle \mathrm{}}$${\$$displaystyle a$$}$를 ${\displaystyle 2}${\displaystyle 2}에서 p - 2 ${\displaystyle$ $p-2$$}$까지 임의로$$$$ 선택하고$$ 모듈러 지수를 사용하여 $a{\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle p^{}}$ - ${\displaystyle {1)}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$± 1 ${\displaystyle$ a$^{(p-1)/2}\pm$ 1$}$이 p ${\displaystyle p}$로 나뉠$$ 수 있는지 확인합니다. 그렇다면$,$^[c]예라고 대답하고 그렇지 않으면 아니오라고 대답합니다.$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 실제로$$ 소수이면 항상 yes라고 대답하지만 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) 합성이면 최대 1/2 확률로 yes라고 대답하고 최소 1/2 확률로 no라고 대답합니다.^[128]이 테스트를 동일한 숫자에서 ${\displaystyle n}$ 반복하면 합성수가 매번 테스트를 통과할 확률은 최대 $1{\displaystyle \mathrm{}/{2n}^{}}$ ${\$입니다$.$ 이는 테스트 횟수에 따라 지수 함수적으로 감소하므로,이것은 반복 검정을 통과한 숫자가 소수라는 높은 신뢰도를 제공합니다(확실하지는 않지만).반면에 검정에 실패한 경우에는 그 수가 확실히 합성됩니다.^[129]이러한 검정을 통과한 합성수를 의사 소수라고 합니다.^[128]

이와는 대조적으로, 몇몇 다른 알고리즘들은 그들의 답이 항상 정확할 것이라고 보장합니다: 소수는 항상 소수로 결정될 것이고 합성은 항상 합성으로 결정될 것입니다.예를 들어 재판분할의 경우도 그렇습니다.정확한 출력이 보장된 알고리즘에는 AKS 원시성 테스트와 같은 결정론적(무임의) 알고리즘과 ^[130]타원 곡선 원시성 증명의 일부 변형과 같이 알고리즘에 의해 수행된 임의 선택이 최종 답에 영향을 미치지 않는 무작위 라스베가스 알고리즘이 모두 포함됩니다.^[127]타원 곡선 방법은 어떤 수가 소수라고 결론을 내리면 빠르게 확인할 수 있는 소수성 인증서를 제공합니다.^[131]타원 곡선 원시성 테스트는 보장된 올바른 원시성 테스트의 실제에서 가장 빠르지만, 실행 시간 분석은 엄격한 증명이 아닌 휴리스틱 인수를 기반으로 합니다.AKS 원시성 검정은 수학적으로 시간 복잡성을 증명했지만 실제로 증명되는 타원 곡선 원시성보다 느립니다.^[132]이 방법은 소수점을 찾을 때까지 난수를 생성하고 테스트함으로써 큰 소수점을 생성하는 데 사용될 수 있습니다.^[d] 이렇게 할 때, 더 빠른 확률적 테스트를 통해 대부분의 합성수를 빠르게 제거할 수 있습니다.

다음 표에는 이러한 테스트의 일부가 나와 있습니다.실행 시간은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$ 테스트할 수 있는 수, 확률적 알고리즘의 경우 수행한 $테스트$의 k ${\displaystyle$ k$}$로 $표시$됩니다.또한 ε ${\displaystyle \varepsilon}$은(는) 임의로 작은 양수이며 로그는 지정되지 않은 기저에 대한 로그입니다.큰 O 표기법은 각 시간 바운드에 상수 인자를 곱하여 무차원 단위에서 시간 단위로 변환해야 함을 의미합니다. 이 인자는 알고리즘을 실행하는 데 사용된 컴퓨터 유형과 같은 구현 세부 정보에 의존하지만 입력 매개 변수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 및 $k$ ${\displaystyle k}$에는 의존하지 않습니다$.$

시험	개발.	유형	러닝타임	메모들	참고문헌
AKS 소수점 검정	2002	결정론적	${\displaystyle O((\log n)^{6+\varepsilon})}$		[130][133]
타원 곡선 원시성 증명	1986	라스베이거스	${\displaystyle O((\log n)^{4+\varepsilon})}$ 휴리스틱하게		[132]
베일리..PSW primality	1980	몬테카를로	${\displaystyle O((\log n)^{2+\varepsilon})}$		[134][135]
밀러-라빈 원시성 검정	1980	몬테카를로	${\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon})}$	${\displaystyle {\mathrm{오류}}^{}}$ 확률 $4{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$k ${\$ 4$^{-k}}$	[136]
솔로베이-스트라센 소수점 검정	1977	몬테카를로	${\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon})}$	${\displaystyle {\mathrm{오류}}^{}}$ 확률 $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$k ${\$ 2$^{-k}}$	[136]

특수 목적 알고리즘 및 알려진 최대 프라임

임의의 자연수에 적용되는 앞서 설명한 검정 외에도 일부 특수한 형태의 검정은 보다 신속하게 원시성을 검정할 수 있습니다.예를 들면 루카스 가족은..레머 소수성 검정은 밀러-라빈 검정의 단일 반복과 동시에 결정적으로 메르센 수(2의 거듭제곱보다 하나 작은 수)가 소수인지 여부를 결정할 수 있습니다.^[137]이는 1992년 이래^[update](2018년 12월 기준) 알려진 가장 큰 전성기가 항상 메르센의 전성기였던 이유입니다.^[138]메르센 소수는 무한히 많다고 추측됩니다.^[139]

다음 표는 다양한 유형의 알려진 가장 큰 소수를 보여줍니다.이러한 소수점들 중 일부는 분산 컴퓨팅을 사용하여 발견되었습니다.2009년, Great Internet Mersenne Prime Search 프로젝트는 최소 천만 자리의 프라임을 최초로 발견하여 미화 10만 달러의 상금을 받았습니다.^[140]Electronic Frontier Foundation은 또한 최소 1억 자리 수와 10억 자리 수의 소수점에 대해 각각 15만 달러와 25만 달러를 제공합니다.^[141]

유형	프라임	십진자리수	날짜.	발견자:
메르센 프라임	282,589,933 − 1	24,862,048	2018년12월7일[1]	패트릭 라로슈, 위대한 인터넷 메르센 프라임 서치
프로트 프라임	10,223x2+1	9,383,761	2016년10월31일[142]	페터 사볼츠, 프라임 그리드[143]
요인 소수	208,003! − 1	1,015,843	2016년7월	소후쿠이[144]
프라이머리 프라이머리[e]	1,098,133# − 1	476,311	2012년3월	제임스 P.버트, 프라임그리드[146]
쌍둥이 소수점	2,996,863,034,895 × 21,290,000 ± 1	388,342	2016년9월	톰 그리어, 프라임 그리드[147]

정수 인수분해

복합 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이 주어졌을 때$,$ 하나의(또는 모든) 소수 인자를 제공하는 작업을 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 인수분해라고 합니다$.$ 이것은 소수점 테스트보다 상당히 어렵고,^[148] 많은 인수분해 알고리즘이 알려져 있지만 가장 빠른 소수점 테스트 방법보다 느립니다.$시도{\displaystyle }$ 분할과 Pollard의 ro 알고리즘을 사용하여 n {\$displaystyle n}$의 매우 작은 인자를 찾을 수 있으며, n$$^[121]${\displaystyle$ n$}$이 적당한 크기의 인자를 가질$$ 때 타원 곡선 인자화가 효과적일 수 있습니다.^[149]인자의 크기에 의존하지 않는 임의의 큰 수에 적합한 방법으로는 이차 체와 일반 숫자 필드 체가 있습니다.소수성 검정과 마찬가지로 특수 숫자 필드 체를 포함하여 입력이 특수한 형태를 가져야 하는 인수분해 알고리즘도 있습니다.^[150]2019년^[update] 12월 현재 범용 알고리즘에 의해 인수된 것으로 알려진 가장 큰 숫자는 RSA-240으로, 240개의 십진 숫자(795비트)를 가지고 있으며 두 개의 큰 소수의 곱입니다.^[151]

쇼어의 알고리즘은 양자 컴퓨터의 다항식 수의 단계에서 임의의 정수를 인수분해할 수 있습니다.^[152]그러나 현재 기술은 이 알고리즘을 아주 적은 수의 경우에만 실행할 수 있습니다.2012년^[update] 10월 현재 쇼어의 알고리즘을 실행하는 양자 컴퓨터에 의해 인수된 가장 많은 수는 21입니다.^[153]

기타 계산 응용 프로그램

RSA 및 Diffie와 같은 여러 공개 키 암호 알고리즘:헬만 키 교환은 큰 소수(2048비트 소수)를 기반으로 합니다.^[154]RSA는 ${\displaystyle \mathrm{xy}}$ ${\displaystyle x}$ 제품만 알려진$$ 경우 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및 $y$ ${\displaystyle y}($가정된 공임)을 계산하는 것보다$$ 두 (큰) 숫자 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및$$ y ${\displaystyle y}$의 곱을 수행하는 것이 훨씬 쉽다는 가정에 의존합니다.^[32]디피-헬만 키 교환은 모듈 지수화(${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle mod}$ c ${\$ mod ${c}}$ 계산)$$를 위한 효율적인 알고리듬이 있다는 사실에 의존하는 반면, 역 연산(산점 로그)은 어려운 문제로 생각됩니다.^[155]

소수는 해시 테이블에 자주 사용됩니다.예를 들어 보편적 해싱을 위한 카터와 웨그먼의 원래 방법은 무작위 선형 함수 모듈로 큰 소수를 선택함으로써 해시 함수를 계산하는 것에 기초했습니다.Carter와 Wegman은 이 방법을 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ - 독립$$ 해싱으로 일반화했습니다. 더 높은 차수의 다항식을 사용하여 다시 큰 소수를 모듈화했습니다.^[156]해시 함수에서와 마찬가지로, 프로브 시퀀스가 전체 테이블을 덮도록 하기 위해 2차 프로빙 기반 해시 테이블에서 해시 테이블 크기에 소수가 사용됩니다.^[157]

몇몇 체크섬 방법들은 소수의 수학에 기초를 두고 있습니다.예를 들어, 국제 표준 도서 번호에 사용되는 체크섬은 소수인 모듈로 11의 나머지를 취함으로써 정의됩니다.11이 소수이기 때문에 이 방법은 한 자리 수의 오류와 인접한 자리의 위치를 모두 탐지할 수 있습니다.^[158]다른 체크섬 방법인 아들러-32는 산술 모듈로 65521을 사용하는데, 이는 ${\displaystyle {216}^{}}$ ${\$보다 작은 가장 큰 소수입니다$.$^[159] 소수는 선형 합동 생성기와^[160] 메르센 트위스터를 포함한 의사 난수 생성기에도 사용됩니다.^[161]

기타 어플리케이션

소수는 수론에서 중심적으로 중요하지만 추상대수나 기초기하학을 포함한 수학 내의 다른 분야에도 많은 응용이 있습니다.예를 들어 소수의 점을 2차원 그리드에 배치하여 3개의 점이 일렬로 배치되지 않도록 하거나, 3개의 점으로 구성된 모든 삼각형이 넓은 면적을 갖도록 할 수 있습니다.^[162]또 다른 예로는 계수를 소수와 제곱으로 나누는 것에 기초하여 다항식이 축소 불가능한지 여부에 대한 검정인 Eisenstein의 기준이 있습니다.^[163]

소수의 개념은 매우 중요해서 수학의 여러 분야에서 다른 방식으로 일반화되어 왔습니다.일반적으로 "프라임"은 적절한 의미에서 최소성 또는 분해 불가능성을 나타냅니다.예를 들어, 주어진 필드의 최상위 필드는 0과 1을 모두 포함하는 가장 작은 하위 필드입니다.유리수의 장이거나 소수의 원소가 존재하는 유한한 장입니다.^[164]종종 두 번째, 추가적인 의미는 prime이라는 단어를 사용함으로써 의도됩니다. 즉, 어떤 물체라도 본질적으로 고유하게, 그것의 주요 구성요소로 분해될 수 있다는 것입니다.예를 들어, 매듭 이론에서 프라임 매듭(prime knot)은 두 개의 자명하지 않은 매듭의 연결된 합으로 쓸 수 없다는 의미에서 분해할 수 없는 매듭입니다.임의의 매듭은 소수 매듭의 연결된 합으로 고유하게 표현될 수 있습니다.^[165]3-매니폴드의 주요 분해는 이러한 유형의 또 다른 예입니다.^[166]

수학과 컴퓨팅을 넘어 소수는 양자역학과 잠재적인 연관성을 가지고 있으며, 예술과 문학에서 은유적으로 사용되어 왔습니다.그들은 진화 생물학에서도 매미의 생애 주기를 설명하는데 사용되어 왔습니다.

구성 가능한 다각형 및 다각형 파티션

페르마 소수는 형태의 소수입니다.

${\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}$

$k$가 {\$displaystyle k}$이고 음이 아닌 정수입니다.^[167]그것들은 그러한 숫자들이 모두 소수라고 추측했던 피에르 드 페르마의 이름을 따서 지어졌습니다.3, 5, 17, 257, 65,537과 같은 이 숫자들 중 처음 5개는 소수이지만,^[168] ${\displaystyle {F5\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 합성이며, 2017년 현재 검증된 다른 모든 페르마 숫자들도 마찬가지입니다.^[169]$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}($있는 경우)의 홀수 소인수가 서로 다른 페르마 소수인 경우에만 직선과 나침반을 사용하여 정규 n {\$displaystyle$ $n$$}-$gon을 구성할 수 있습니다.^[168]마찬가지로, 정규 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$}-곤은 n$$ ${\displaystyle n}$의 주 인자가 2 또는 3의 복사본의 임의 수의 수와$$ 별개의 피어폰트 소수, 2 ${\displaystyle a^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle b^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ 형태의 소수$${\$displaystyle 2^{a}3^{b}+1$인 경우에만 직선 에지, 나침반 및 각도 삼등분기를 사용하여 구성될 수 있습니다$.$^[170]

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 소수의 거듭제곱일 때, 임의의 볼록 다각형을 면적이 $같고{\displaystyle }$ 둘레가 같은$$n {\$displaystyle$ n$}$개의$$ 작은 볼록 다각형으로 분할할 수 있지만 n ${\displaystyle n}$의 다른 값에서는 알 수 없습니다$.$^[171]

양자역학

1970년대 휴 몽고메리와 프리먼 다이슨의 연구를 시작으로 수학자들과 물리학자들은 리만 제타 함수의 0이 양자계의 에너지 준위와 연결되어 있다고 추측해왔습니다.^[172][173]소수는 또한 상호 편향되지 않은 기저와 대칭 정보적으로 완전한 양의 연산자 값 측정과 같은 수학적 구조 덕분에 양자 정보 과학에서 중요합니다.^[174][175]

생물학

매직카다속 매미가 사용하는 진화 전략은 소수를 이용한 것입니다.^[176]이 곤충들은 일생의 대부분을 땅속에서 쓰레기로 보냅니다.7년, 13년, 17년이 지난 후에야 번데기가 되고 굴 밖으로 나오며, 이때 날아다니며 번식하고 길어야 몇 주 후에 죽습니다.생물학자들은 포식자들이 이 번식 주기와 동기화하는 것을 막기 위해 이 소수의 번식 주기 길이가 진화했다고 이론을 제시합니다.^[177][178]이와는 대조적으로, 대나무 식물에서 꽃이 피는 사이의 다년간의 기간은 소인수 분해에서 작은 소수만을 갖는 부드러운 숫자로 가설이 세워집니다.^[179]

문예

소수는 많은 예술가들과 작가들에게 영향을 미쳤습니다.프랑스 작곡가 올리비에 메시앙은 "자연 현상"을 통해 금속 음악을 만들기 위해 소수를 사용했습니다.La Nativité du Seigneur (1935)와 Quatre études de rythme (1949–50)와 같은 작품에서, 그는 예측할 수 없는 리듬을 만들기 위해 동시에 다른 소수에 의해 주어진 길이의 모티브를 사용합니다: 소수 41, 43, 47, 53은 세 번째 에뛰드인 "Neumyshmique"에 나타납니다.메시아엔에 따르면 이 작곡 방식은 "자연의 움직임, 자유롭고 불평등한 기간의 움직임에 의해 영감을 받았다"고 합니다.^[180]

과학자 칼 세이건은 그의 공상과학 소설 컨택에서 소인수분해가 외계인과의 의사소통에서 2차원 이미지 평면을 만드는 수단으로 사용될 수 있다고 제안했습니다. 이 아이디어는 1975년 미국 천문학자 프랭크 드레이크와 처음으로 비공식적으로 개발된 것입니다.^[181]Mark Haddon의 소설 The Curious Incident of the Dog in the Night-Time에서, 내레이터는 주인공인 아스퍼거 증후군을 가진 수학적으로 재능 있는 십대의 정신 상태를 전달하기 위한 방법으로 이야기의 섹션들을 연속된 소수로 배열합니다.^[182]소수는 파올로 조르다노 소설 "소수의 고독"에서 외로움과 고립에 대한 은유로 사용되는데, 정수 중 "외부자"로 묘사됩니다.^[183]

메모들

참고문헌

외부 링크

• "Prime number". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
• Caldwell, Chris, The Prime Pages primes.utm.edu .
• BBC의 우리 시간대의 주요 수치
• 플러스 교사 및 학생 패키지: 케임브리지 대학의 밀레니엄 수학 프로젝트에서 제작한 무료 온라인 수학 잡지인 플러스의 소수.

발전기 및 계산기

• 소수점 계산기는 최대 20자리까지 임의의 양의 정수를 인수분해할 수 있습니다.
• 인수분해를 사용한 빠른 온라인 기본성 테스트는 타원 곡선 방법(최대 천 자리 수, Java 필요)을 사용합니다.
• 거대한 소수의 데이터베이스
• Wayback Machine에서 2021-02-27까지 최대 1조 개의 숫자가 보관됩니다.