인수분해

수학에서 인수분해(또는 인수분해, 영어 철자 차이 참조) 또는 인수분해는 숫자 또는 다른 수학적 객체를 여러 요인의 산물로 쓰는 것으로 구성되며, 일반적으로 같은 종류의 더 작거나 단순한 객체이다.예를 들어, 3 × 5는 정수 15의 인수분해이고, (x – 2)(x + 2)는 다항식² x – 4의 인수분해이다.

인수분해는 보통 $실수$나 복소수$$등 나눗셈을 가진 수 체계 내에서 의미가 없는 것으로 간주됩니다.왜냐하면 $y$가$0$이 아닌 $경우{\displaystyle }$ x$)\$$displaystyle($$xy)\times(1/y)$로${\displaystyle }$삼분할 수 있기 때문입니다.단, 유리수 또는 유리함수에 대한 의미 있는 인수분할은 최저항으로 쓰고 그 분자와 분모를 분리하여 인수분할함으로써 얻을 수 있다.

인수분해는 고대 그리스 수학자들이 정수의 경우에 처음으로 고려했다.그들은 모든 양의 정수는 1보다 큰 정수로 인수분해될 수 없는 소수들의 곱으로 인수분해 될 수 있다고 주장하는 산술의 기본 정리를 증명했다.또한, 이 인수분해는 요인의 순서에 따라 고유합니다.정수 인수분해는 곱셈과 반대이지만 알고리즘적으로는 훨씬 더 어렵습니다. RSA 암호 시스템에서는 공개 키 암호법을 구현하기 위해 이 사실을 악용합니다.

다항식 인수분해 또한 수세기 동안 연구되어 왔다.초등 대수학에서, 다항식을 인수분해하는 것은 그 근을 찾는 문제를 인자의 근을 찾는 것으로 감소시킨다.정수 또는 장에 계수가 있는 다항식은 고유한 인수분해 특성을 가지고 있는데, 이는 소수로 대체되는 산술의 기본 정리의 버전이다.특히, 복잡한 계수를 갖는 일변량 다항식은 선형 다항식으로 독특한 (순서까지) 인수분해를 허용한다: 이것은 대수의 기본 정리의 버전이다.이 경우 루트 검색 알고리즘을 사용하여 인수분해를 수행할 수 있습니다.정수 계수를 갖는 다항식의 경우는 컴퓨터 대수학의 기본이다.유리수 계수를 갖는 다항식의 링 내에서 (완전) 인수분해를 계산하기 위한 효율적인 컴퓨터 알고리즘이 있다(다항식의 인수분해를 참조).

고유한 인수분해 특성을 갖는 교환환을 고유 인수분해 도메인이라고 한다.대수 정수의 특정 고리와 같이 고유한 인수 분해 영역이 아닌 수 체계가 있습니다.하지만, 대수 정수의 고리는 데데킨트 영역의 약한 성질을 충족시킨다: 이상 인수는 독특하게 소수에 포함된다.

인수분해는 또한 수학적인 물체의 보다 일반적인 분해를 더 작거나 단순한 물체의 곱으로 나타낼 수 있다.예를 들어 모든 함수는 주입함수에 의한 사출함수의 구성에 포함시킬 수 있다.행렬에는 많은 종류의 행렬 인수 분해가 있습니다.예를 들어 모든 대각선 엔트리가 1인 하부 삼각행렬 L, 상부 삼각행렬 U 및 치환행렬 P의 곱으로서 모든 행렬이 고유한 LUP 인수분해를 가지며, 이는 가우스 소거를 위한 행렬식이다.

정수

산술의 기본정리에 따르면, 1보다 큰 모든 정수는 소수(인자의 순서까지)에 대한 고유한 인수분해를 가지며, 이는 1보다 큰 정수의 곱으로 더 인수분해를 할 수 없는 정수이다.

정수 n의 인수분해를 계산하기 위해서는 n의 제수 q를 구하거나 n이 소수라고 판정하는 알고리즘이 필요하다.이러한 제수가 발견되면 이 알고리즘을 q와 n/q 인수에 반복적으로 적용하면 최종적으로 ^[1]n의 완전한 인수분해를 얻을 수 있다.

n의 제수 q를 구하려면, 만약 있다면², 1 < q 및 q n n이 되도록 q의 모든 값을 테스트하는 것으로 충분하다.실제로, r이 r > n인² n의 제수라면, q = n / r은 q n n인² n의 제수이다.

q의 값을 오름차순으로 테스트하는 경우, 첫 번째 제수는 반드시 소수이며, 보조인자 r = n / q는 q보다 작은 제수를 가질 수 없습니다. 따라서 완전한 인수분해를 얻으려면 q보다 작거나 qr보다 크지 않은 r의 제수를 검색하여 알고리즘을 계속해야 합니다.

메서드를 적용하기 위해 모든 q 값을 테스트할 필요는 없습니다.원칙적으로 소수점만 테스트하는 것으로 충분하다.이것은 예를 들어 에라토스테네스의 체를 사용하여 생성할 수 있는 소수 표를 가져야 합니다.인수분해법은 기본적으로 에라토스테네스의 체와 같은 작용을 하기 때문에 일반적으로 소수인지 아닌지가 명확하지 않은 수만을 제수로 시험하는 것이 더 효율적이다.일반적으로 2, 3, 5 및 숫자> 5를 테스트하는 것으로 진행할 수 있습니다.이 테스트의 마지막 숫자는 1, 3, 7, 9이며 자릿수의 합계는 3의 배수가 아닙니다.

이 방법은 작은 정수를 인수분해하는 데 효과적이지만 큰 정수에 대해서는 비효율적입니다.예를 들어, 피에르 드 페르마는 6번째 페르마 수가

${\displaystyle 1+2^{5}=1+2^{32}=4,294,967,297}$

소수점이 아닙니다.실제로 위의 방법을 적용하기 위해서는 10진수의 숫자에 대해 10000 이상의 분할이 필요합니다.

보다 효율적인 인수분해 알고리즘이 있습니다.그러나 그것들은 상대적으로 비효율적인 상태로 남아 있는데, 이는 현재의 최첨단 기술로는, 심지어 더 강력한 컴퓨터라 할지라도 무작위로 선택된 두 개의 소수점들의 곱인 500자리 숫자를 인수분해할 수 없기 때문이다.이를 통해 안전한 인터넷 통신에 널리 사용되는 RSA 암호 시스템의 보안이 보장됩니다.

예

n = 1386을 소수로 인수분해하는 경우:

• 2로 나누기 시작: 짝수이고, n = 2 · 693입니다.693과 2를 첫 번째 제수 후보로 계속합니다.
• 693은 홀수(2는 제수가 아님)이지만 3의 배수이다: 1은 693 = 3 · 231이고 n = 2 · 3 · 231이다.231과 3을 첫 번째 제수 후보로 계속합니다.
• 231은 또한 3의 배수이다: 1은 231 = 3 · 77이므로 n = 2² · 3 · 77이다.77과 3을 첫 번째 제수 후보로 계속합니다.
• 77은 3의 배수가 아닙니다.자릿수의 합계가 3의 배수가 아니라 14이기 때문입니다.마지막 숫자가 7이기 때문에 5의 배수도 아닙니다.다음으로 테스트할 홀수 제수는 7입니다.1은 77 = 7 · 11이므로 n = 2² · 3 · 7 · 11이다.이는 7이 소수임을 나타냅니다(직접 테스트하기 쉬움).11과 7을 첫 번째 제수 후보로 계속합니다.
• 7 > 11로² 1이 종료됩니다.따라서 11은 소수이고, 소인수 분해는

1386 = 2 · 3² · 7 · 11

표현.

식을 조작하는 것은 대수의 기본이다.인수분해는 여러 가지 이유로 표현 조작에 가장 중요한 방법 중 하나입니다.만약 방정식을 EfF = 0의 인수 형태로 넣을 수 있다면, 방정식을 푸는 문제는 두 개의 독립적인 (그리고 일반적으로 더 쉬운) 문제 E = 0과 F = 0으로 분할된다.식을 인수분해할 수 있는 경우 요인은 훨씬 단순하기 때문에 문제에 대한 통찰력을 얻을 수 있습니다.예를들면,

${\displaystyle x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-bcx-bcx-braps}$

16의 곱셈, 4의 뺄셈, 3의 덧셈을 갖는 것은 훨씬 단순한 식에 포함될 수 있다

${\displaystyle(x-a)(x-b)(x-c),}$

두 곱셈과 세 뺄셈만 가능합니다.게다가, 인수 형식은 즉시 다항식의 근으로서 근 x = a, b, c를 준다.

한편, 인수 분해가 항상 가능한 것은 아니며, 인수 분해가 가능하다고 해서 항상 단순하지는 않습니다.$예$를 들어 x ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1}${ $display$ $style x$${\displaystyle }$$^$ { ${\displaystyle 10}$$}$ - 1과 x 9 + $x$8 $+$ ${\displaystyle x^{}}$ + x${\displaystyle {}^{}}$2 +${\displaystyle {}^{}{x\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}}$( \ $x$ ^ { 9 } + $x$ { $8$} + \ $cdots + x$ { $2$} +$x$ + x +$1$ )로 나눌 수 있습니다.

인수분해를 찾기 위한 다양한 방법이 개발되었으며, 아래에 몇 가지 설명이 있습니다.

대수 방정식을 푸는 것은 다항식 인수분해 문제로 볼 수 있다.사실, 대수의 기본정리는 다음과 같이 말할 수 있다: 복소계수를 갖는 x of degree n의 모든 다항식은 i${\displaystyle {}_{}}$= 1, ..., n에 대해 n개의 $선형인자{\displaystyle }$x - ${\displaystyle a_{}}$ ,$$\$display x-a_${i$$$}$로 인수분해될 수 있다. 여기서_i 는 ^[2]다항식의 근원이다.이러한 경우 인수분해 구조가 알려져 있지만, 는 일반적으로_i 아벨-루피니 정리에 의해 라디칼(n근^th)의 관점에서 계산될 수 없다.대부분의 경우 루트 검색 알고리즘을 사용하여 루트의 근사값을 계산하는 것이 최선입니다.

표현식의 인수분해 이력

표현식을 단순화하기 위한 대수적 조작의 체계적 사용은 알-크와리즈미의 책인 완성과 균형에 의한 계산에 관한 포괄적인 책과 함께 9세기로 거슬러 올라갈 수 있는데, 이 책에는 그러한 두 가지 유형의 조작이라는 제목이 붙어 있다.

그러나 2차 방정식을 푸는 데도 해리오트가 ^[3]죽은 지 10년이 지난 1631년에 출판되기 전에는 인수분해법이 사용되지 않았다.그의 책 Artis Analyticsae Praxis ad Aequationes Algebraas Resolvendas에서, Harriot은 단수, 이원수, 삼원수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈과 나눗셈을 위한 표를 그렸다.그런 다음 두 번째 절에서 aa - ba + ca = + bc라는 방정식을 설정하고, 이것이 이전에 제공한 곱셈의 형태와 일치함을 보여주어 인수분해(a - b)(a + c)^[4]를 구했다.

일반적인 방법

다음 방법은 합계가 되거나 합계로 변환될 수 있는 모든 식에 적용됩니다.따라서, 합계의 항이 단수가 아닌 경우, 즉 합계의 항이 변수와 상수의 산물인 경우에도 적용될 수 있지만, 가장 자주 다항식에 적용됩니다.

공통인자

합계의 모든 항이 산물이고 일부 요인이 모든 항에 공통으로 나타날 수 있습니다.이 경우 분포 법칙에 따라 이 공통 요인을 제외할 수 있습니다.이러한 공통 요인이 여러 개 있는 경우 가장 큰 공통 요인을 나누는 것이 좋습니다.또한 정수 계수가 있으면 이러한 계수의 최대 공약수를 인수분해할 수 있습니다.

예를 들어,^[5]

${{displaystyle 6x^{3}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=2x^{2}(3+4xy-5x^{2}y),}$

2는 6, 8, 10의 최대 공약수이고 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2$({$ x$^{3}y^{2}})$는 모든 항을 나눕니다.

그룹화

항을 그룹화하면 인수 분해를 얻기 위해 다른 방법을 사용할 수 있습니다.

예를 들어, 인수분해하는 방법

$({displaystyle 4x^{2}+20xy+15y,}$

처음 두 항에는 공통 요인 x가 있고 마지막 두 항에는 공통 요인 y가 있다고 말할 수 있습니다.따라서

$({displaystyle 4x^{2}+3xy+15y=(4x^{2}+20x)+(3xy+15y)=4x(x+5)+3y(x+5)}).$

그런 다음 단순 검사에서 공통 인자 x + 5를 보여 인수 분해로 이어집니다.

$({displaystyle 4x^{2}+20xy+3xy+15y=(4x+3y)(x+5)}).$

일반적으로 이 값은 두 개의 이원체의 곱으로 얻은 4개의 항의 합계에 적용됩니다.빈도는 낮지만, 보다 복잡한 예에도 도움이 될 수 있습니다.

용어의 덧셈 및 뺄셈

일부 용어 그룹화는 인식 가능한 패턴의 일부를 드러내는 경우가 있습니다.그런 다음 패턴을 완성하기 위해 항을 더하고 빼는 것이 유용합니다.

이 방법의 일반적인 용도는 2차 공식을 얻기 위한 제곱법을 완성하는 것입니다.

${\displaystyle {또\mathrm{}}^{}}$ 다른 예로는 x${\displaystyle {}^{}4}$ +${\displaystyle \mathrm{}}1$의 인수분해$(\displaystyle$ x$^{4}+1.)$가 있습니다.일반적으로 i로 표기되는 -1의 비실수 제곱근을 도입하면 제곱의 차이가 생깁니다.

${\displaystyle x^{4}+1=(x^{2}+i)(x^{2}-i).}$

그러나 실수 계수를 사용하여 인수분해하는 것도 좋습니다.${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 ,$${\$displaystyle 2x^{2}}$를 더하고 뺀 $다음{\displaystyle \mathrm{}}$ 세 개의 항을 그룹화하면 이항식의 제곱을 인식할 수 있습니다.

${{displaystyle x^{4}+1=(x^{2}+1)-2x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-\left(xclarcrt {2}\right)^2}=\left(x^{2}+xclarcrt {2}+1\right)\left(xlarclarclight) {x^2}}$

${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 ({$displaystyle 2x^{2}})$를 감산하여 $더하면{\displaystyle \mathrm{}}$ 다음과 같이 인수분해 됩니다.

${{displaystyle x^{4}+1=(x^{2}-2x^{2}+1)+2x^{2}=(x^{2}-1)^{2}+left(xcarrt {2}\right)^2}=\left(x^{2}+xcarrt {-2}-1)\rt(x-rt)(x-2)}$

이러한 인수분해는 복소수뿐만 아니라 -1, 2 또는 -2가 정사각형인 모든 필드에서도 작동합니다.유한 필드에서는 두 비제곱의 곱은 제곱입니다. 이는 정수에 대해 축소할 수 없는 $다항식{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}{4\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle 1}$,$${\$display style$ x$^{4}+1,}$이$$ 모든 소수에서 환원 가능한 모듈임을 의미합니다.예를들면,

${\displaystyle x^{4}+1\equiv (x+1)^{4}{\pmod {2}};}$

${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 4${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle \mathrm{1\mu }}$( x${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ +${\displaystyle x}$ -${\displaystyle 1}$) ( ${\displaystyle {}^{}{}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle x}$ -${\displaystyle 1}$) ( ${\displaystyle mod\mathrm{}}$3${\displaystyle }$) , \$display$ x ^ { $4 }$ + 1 \$equiv$ ( $x$^ { $2$${\displaystyle }$} + x - ${\displaystyle 1}$$){ x$} { \$pmod {3$} , \ $qquad$$$} ( ${\displaystyle mod\mathrm{}}$ 3${\displaystyle ;}$)$이후$ \ $equiv 1$.

${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 4${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1{}^{}}$ ( ${\displaystyle {}^{}{}^{}2}$ +${\displaystyle 2}$) ( ${\displaystyle mod\mathrm{}}$5${\displaystyle }$) ,$$\ $display style$ x ^ { $4 }$ + 1 \$equiv$ ( $x ^$ { $2$} +$2)$ { \ $pmod${ $5$} 、 \ $qquad }$$이후$, \$style$ 2$$ { 2$$} \ $equiv 1$（ ${\displaystyle mod\mathrm{}}$ 5${\displaystyle }$） 。

${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ 4${\displaystyle {}^{}}$+ 1${\displaystyle }$µ ( ${\displaystyle {}^{}2{}^{}}$+ ${\displaystyle 3x}$+${\displaystyle 1}$) ( ${\displaystyle mod\mathrm{}}$7${\displaystyle }$)$$, \ $display$ $style$ x ^ { $4$} +$1$ \ $equiv$($x ^$ { $2 }$ + ${\displaystyle {3x\mathrm{}}^{}}$$+ 1)$ { \ ${\displaystyle \mathrm{pmod}}$ {$7$${\displaystyle {}^{}}$ , \ $qquad$} $style$ . $2$ ${\displaystyle mod\mathrm{}}$ 7${\displaystyle }$） 。$}$

인식 가능한 패턴

많은 아이덴티티가 합계와 곱의 동일성을 제공합니다.위의 방법을 사용하여 식에 어떤 아이덴티티의 합계가 나타나도록 할 수 있으며, 따라서 곱으로 대체할 수 있습니다.

왼쪽이 패턴으로 일반적으로 사용되는 ID를 다음에 나타냅니다(즉, 이러한 ID에 나타나는 변수 E와 F는 ^[6]인수분해해야 하는 식의 하위 표현을 나타낼 수 있습니다).

• 두 제곱의 차이

${\displaystyle E^{2}-F^{2}=(E+F)(E-F)}$

예를들면,

${\displaystyle {displaystyle {arged}a^{2}+&2ab+b^{2}-\&=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})\&=(a+b)^{2}-{2}-(x-y-{y-{2})\a}^2}^2}&#2}\end { aligned}}$

• 두 큐브의 합계/차이

${\displaystyle E^{3}+F^{3}=(E+F)(E^{2}-EF+)F^{2}}$

$\displaystyle E^{3}-F^{3}=(E-F)(E^{2}+EF+F^{2}}$

• 두 사승의 차이

${\displaystyle {\begin{4}-F^{4}&=(E^{2}+F^{2})\\&=(E^{2}+F^{2}(E+F)(E-F)\{end})$

• 두 n제곱의 합계/차이

은 종종 더될 수 . 음음 、 음음 、 음다 、 다 in 、 다 in 、 in in 。

• 차이, 짝수 지수

$(\displaystyle E^{2n}-F^{2n}=(E^{n}+F^{n}(E^{n}-F^{n}))$

• 차이, 짝수 또는 홀수 지수

$\displaystyle E^{n}-F^{n}=(E-F)(E^{n-1}+E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}+\cdots+EF^{n-2}+F^{n-1})$

이는 요인이 인수분해된 합계보다 훨씬 클 수 있음을 보여 주는 예제입니다.

• 합, 홀수 지수

$\displaystyle E^{n}+F^{n}=(E+F)(E^{n-1}-E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}-\cdots-EF^{n-2}+F^{n-1})$

(앞의 식에서 F를 -F로 바꿈으로써 얻을 수 있음)

• 합, 짝수 지수

지수가 2의 거듭제곱인 경우, 일반적으로 복소수를 도입하지 않고는 식을 인수분해할 수 없습니다(E와 F가 복소수를 포함하는 경우에는 그렇지 않을 수 있습니다).n의 제수가 홀수인 경우, 즉 n = pq with p 홀수인$$경우, ("${\displaystyle {Sum}^{}}$, 홀수 지수"에서)${\displaystyle {}^{}}$ +${\displaystyle {}^{}{}^{}}$($q$ p$.$ ${\$displaystyle (E$^{q$)^{p$F^{q})^{p$}^{p$}$에 적용되는 앞의 공식을 사용할 수 있다.$}$

• 삼차수 및 입방정식

${\displaystyle {narged}&x^{2}+y^{2}+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^{2}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xyz-yz)\\&x^{3}+y^{3}+z^{2}(y+z)+3x^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz=(x+y+z)^{3}\\&x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2}).\end { aligned}}$

• 이항 전개

이항정리는 그 안에 나타나는 정수로부터 쉽게 인식할 수 있는 패턴을 제공한다.

정도: 은준준수:

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^2}}$

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}}$

${\displaystyle a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}}$

${{displaystyle a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}}$

보다 일반적으로 (${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle b{}^{}}$ {\$displaystyle (a+b)^{n}$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle a}$- b${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle (a-b)^{n}}$의 확장된 형태의 계수는 파스칼 삼각형의 n번째 행에 나타나는 이항 계수이다.

통합의 뿌리

통합의 n번째 근은 각각 $다항식{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}{n}^{}}$ -${\displaystyle 1}$의 근인 복소수이다$.$ {\$displaystyle$ x$^{n}-1.}$$$ 그래서 그들은 숫자이다.

${\displaystyle e^{2ik\pi /n}=\cos {tfrac {2\pi k}{n}}+i\sin {tfrac {2\pi k}{n}}}$

k ${\displaystyle =0}$ , ${\displaystyle ...}$ ,${\displaystyle n}$ -${\displaystyle 1}$의 $.$ {{$displaystyle$ k$=0,\ldots,n-1}$

따라서 E와 F의 두 가지 표현에 대해 다음 중 하나가 있습니다.

$({displaystyle E^{n}-F^{n}=(E-F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E-Fe^{2ik\pi/n}\right)})$

$\displaystyle E^{n}+F^{n}=\prod _{k=0}^{n-1}\left(E-Fe^{(2k+1)i\pi/n}\right)\qquad {text{text{if}}n{even}}}}$

${\displaystyle E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E+Fe^{2ik\pi/n}\right)\qquad {text{if}}{n}{text{n}}}}}}\prodexit{n}}}$

E와 F가 실수 표현식이고 실수 인자를 원한다면 모든 복잡한 켤레 인자를 곱으로 대체해야 합니다.${\displaystyle e^{}}$ i$$ {\$display e^{i\alpha}}$의 복소 공역체는${\displaystyle {}^{}}$e - ${\displaystyle i^{}}\alpha$이므로$,$ {\$display e^{-i$\alpha$}}$ 및$$

$\displaystyle \left(a-be^{i\alpha }\right)\left(a-be^{-i\alpha }\left(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}\right)+b^{2}e^{i\alpha}e}e^{i\alpha}e\alpha}^{i\alpha}^2}={-}$

하나는 다음과 같은 실인수 분해가 있다(k를 n – k 또는 n + 1 – k로 변경하고 일반적인 삼각 공식을 적용하여 하나의 인수에서 다른 인수로의 전달:

$디스플레이 스타일E^{2n}-F^{2n}&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}-2EF\cos), {\tfrac {k\pi}{n}+F^{2}\right)\\&=(E-F)(E+F)\prod_{k=1}^{n-1}\left(E^{2}+2)EF\cos,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\end {aligned}}$

$디스플레이 스타일E^{2n}+F^{2n}&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}+2)EF\cos,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\\&=\cisco _{k=1}^{n}\left(E^{2}-2EF\cos),{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}+F^{2}\right)\end{aligned}}$

이러한 인수분해에서 나타나는 코사인들은 대수적 수이며, 라디칼로 표현될 수 있다(이는 갈로아 그룹이 순환적이기 때문에 가능하다). 그러나 이러한 라디칼 표현은 n의 낮은 값을 제외하고는 사용하기에는 너무 복잡하다.예를들면,

$({displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2})ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2})ab+b^{2}).}$

${\displaystyle a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}+{\frac {1-{\fracrt {5}}}{2}}ab+b^{2}}\오른쪽)\left(a^{2}+{\frac {1+{\fracrt {5}}{2}}}{2}ab+b^{2}}\right)}$

${\displaystyle a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{2}-{\frac {1-{\fracrt {5}}}{2}}ab+b^{2}}\오른쪽)\left(a^{2}-{\frac {1+{\fracrt {5}}{2}}}{2}ab+b^{2}}\right)}$

합리적인 계수를 사용하여 인수분해를 원하는 경우가 많습니다.이러한 인수분해는 사이클로토믹 다항식을 포함한다.합과 차이 또는 거듭제곱의 합리적인 인수분해를 표현하기 위해, 우리는 다항식의 균질화를 위한 표기가 필요하다: 만약${\displaystyle }P{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle x^{}{}^{}}$n${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$+ ${\displaystyle +}$ +${\displaystyle {}_{}}$, { $displaystyle$P ( x ) =$a$_ $0$} $x$^ { $n$} + $a$_ { $i$} x$$$$^ {$n$ + $cdogen }$ + $n$} , n , , n , , , .$y$$$} 그럼$$$,$ 한 명은

${\displaystyle E^{n}-F^{n}=\prod _{k\mid n}{\overline {Q}_{n}(E,F)}$

${\displaystyle E^{n}+F^{n}=\prod _{k\mid 2n,k\mid n}{\overline {Q}_{n}(E,F)}$

여기서 곱은 n의 모든 제수 또는 n을 나누지 않는 2n의 모든 제수를 차지하며, ${\displaystyle Q_{}}$n (${\displaystyle x}$) {$displaystyle Q_{n}(x)$은 n번째 사이클로토믹 다항식이다.

예를들면,

${{displaystyle a^{6}-b^{6}=오버라인 {Q}_{1}(a,b){\오버라인 {Q}(a,b)}_{3}(a,b){\오버라인 {Q}_{6}(a,b)=(a-b)^2(a)}^2(a)를 표시합니다.$

${\displaystyle a^{6}+b^{6}}=오버라인 {Q}_{4}(a,b){\overline {Q}_{12}(a,b)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}),$

6의 제수는 1, 2, 3, 6이고 6을 나누지 않는 12의 제수는 4와 12이기 때문이다.

다항식

다항식의 경우 인수분해는 대수 방정식을 푸는 문제와 강하게 관련되어 있습니다.대수 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다.

${\displaystyle P(x)\,{\stackrel {text {def} {=}}\,a_{0}x^{n}+a_{1}}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=0,}$

여기서 P(x)는 0${\displaystyle {}_{}0{0인\mathrm{}}_{}}$ x의 다항식이다$.$ {\$displaystyle a_{0}\neq$ 0$.}$ 이$$ 방정식의 해(다항식의 루트라고도 함)는 다음과 같은 x 값 r이다.

${\displaystyle P(r)=0.}$

$P{\displaystyle (x)}$ $=$ ${\displaystyle Q(x)}$ $)$ {$displaystyle$ P$(x$)=$Q(x)R(x)}$가 두 다항식의 곱으로서 P(x) = 0의 인수분해라면, P(x)의 뿌리는 Q(x)의 뿌리와 R(x)의 뿌리의 결합이다.따라서 P(x) = 0을 푸는 것은 Q(x) = 0과 R(x) = 0을 푸는 간단한 문제로 환원된다.

반대로, 인자 정리는 만약 r이 P(x) = 0의 루트라면, P(x)는 다음과 같이 인수분해 될 수 있다고 주장한다.

$Pdisplaystyle P(x)=(x-r)Q(x),}$

여기서 Q(x)는 P(x) = 0의 유클리드 나눗셈을 선형(도 1) 인자 x – r로 나눈 값이다.

만약 P(x)의 계수가 실수 또는 복소수라면, 대수의 기본정리는 P(x)가 실수 또는 복소수를 갖는다고 주장한다.계수 정리를 재귀적으로 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$Pdisplaystyle P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots(x-r_{n}),}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 r${\displaystyle {}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle r_{}}$ n$${\$displaystyle r_{1},\ldots,r_{n}$은 P의 실제 루트 또는 복잡한 루트이며, 그 중 일부는 반복될 수 있습니다.이 완전한 인수분해는 요인의 순서에 따라 다릅니다.

P(x)의 계수가 실수인 경우 일반적으로 요인이 실수 계수를 갖는 인수 분해를 원합니다.이 경우 완전 인수분해에는 몇 가지 2차(도 2) 요인이 있을 수 있습니다.이 인수분해는 위의 완전한 인수분해에서 쉽게 추론할 수 있습니다.실제로 r = a + ib가 P(x)의 비실수근이라면, 그 복소공역 s = a - ib도 P(x)의 근이다.그래서 그 제품은

$\displaystyle (x-r)(x-s)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}+2ax+a^{2}+b^{2}+b^{2}+b^{2}$

는 실제 계수를 갖는 P(x)의 인수입니다.모든 비실제 요인에 대해 이 과정을 반복하면 선형 또는 2차 실수 요인을 사용하여 인수분해를 얻을 수 있습니다.

이러한 실수 또는 복잡한 인수분해를 계산하기 위해서는 정확하게 계산되지 않을 수 있고 근치 알고리즘만을 사용하여 근사할 수 있는 다항식의 근이 필요하다.

실제로, 대부분의 관심 대수 방정식은 정수 또는 유리 계수를 가지며, 같은 종류의 인자로 인수분해를 원할 수 있다.산술의 기본정리는 정수 또는 유리계수를 갖는 다항식이 고유한 인수분해 특성을 갖는다는 것을 언급하면서 이 경우에 일반화 될 수 있다.보다 정확하게는, 합리적인 계수를 갖는 모든 다항식을 곱에서 인수분해할 수 있다.

${\displaystyle P(x)=q,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),}$

여기서 q는 유리수이고 ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}1}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) , ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle P_{}}$k (${\displaystyle x}$) , \ $displaystyle P_{1$} (x$$) , \$ldots$, $P_$${k}$ ($x)$ 은$$ 축소할 수 없고 원시적인 정수 계수를 가진 정수 다항식입니다. 즉,${\displaystyle {}_{}{P}_{}}$ ${\displaystyle i}$($x$$$) 중 $어느{\displaystyle {}_{}}$ 것도 두 개의 곱으로 쓸 수 없습니다.ients)는 1도 -1도 아닙니다(차수 0의 다항식으로 간주됩니다).또한, 이 인수분해는 요인의 순서와 요인의 부호까지 고유합니다.

대부분의 컴퓨터 대수 시스템에서 구현되는 이 인수분해를 계산하는 효율적인 알고리즘이 있습니다.자세한 내용은 다항식의 인수 분해를 참조하십시오.유감스럽게도, 이러한 알고리즘은 종이와 연필로 계산하는 데 사용하기에는 너무 복잡합니다.위의 휴리스틱스 외에도, 몇 가지 방법만이 수동 계산에 적합하며, 이는 일반적으로 0이 아닌 계수가 거의 없는 낮은 수준의 다항식에만 적용된다.이러한 주요 방법은 다음 서브섹션에서 설명합니다.

원시 부품 및 콘텐츠 인수분해

유리계수를 갖는 모든 다항식은 유리수와 정수계수를 갖는 다항식의 곱으로 독특한 방식으로 인수분해될 수 있다. 정수다항식은 원시(계수의 최대공약수는 1)이며 양의 선행계수(가장 높은 항의 계수)를 갖는다.예를 들어 다음과 같습니다.

$(\displaystyle -10x^{2}+5x+5=cdot (2x^{2}-x-1)}$

$({displaystyle {1}{3}}x^{5}+{\frac {7}{2}x^{2}+2x+1=paramfrac {1}{6}) (2x^{5}+21x^{2}+12x+6)$

이 인수분해에서 유리수는 내용이라고 하며, 원시 다항식은 원시 부분이다.이 인수분해 계산은 다음과 같이 수행될 수 있다. 첫째, 모든 계수를 공통 분모로 줄여 정수 계수를 갖는 다항식의 정수 q에 의해 몫값을 구한다.그런 다음 이 다항식 계수의 더 큰 공약수 p를 나누어 원시 부분을 구합니다. 내용물은${\displaystyle }p{\displaystyle }$ /${\displaystyle }$q$$. { $displaystyle$ p$/q$} 마지막으로$$ 필요한 경우 p 부호와 원시 부분의 모든 계수를 변경합니다.

이 인수분해는 원래의 다항식보다 더 큰 결과(일반적으로 공분모가 많은 경우)를 산출할 수 있지만, 이러한 경우에도 일반적으로 원시 부분을 더 쉽게 추가 인수분해할 수 있습니다.

인자 정리 사용

인자 정리는 만약 r이 다항식의 근이라면 다음과 같이 기술한다.

$\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}}$

P(r) = 0을 의미하며, 인수분해가 있습니다.

${\displaystyle P(x)=(x-r)Q(x),}$

어디에

$({displaystyle Q(x)=b_{0}x^{n-1}+\cdots + b_{n-2}x+b_{n-1})$

${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$0 { $displaystyle$ a $_${ 0 } $= b _${ 0$$} 。다항식 장분할 또는 합성분할은 다음과 같다.

$\displaystyle b_{i}=a_{0}r^{i}+\cdots +a_{i}\{text{for }}\i=1,\ldots,n{-}1.}$

이것은 다항식의 근을 알고 있거나 추측할 수 있는 경우에 유용할 수 있습니다.

예를 들어${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle P}$( x ) $=$ ${\displaystyle 3}$ -${\displaystyle 3}$ x +${\displaystyle 2}$, {\$displaystyle P(x)=x^{3}-3x+$2$$,}의 경우 계수의 합이 0이므로 r = 1이 루트임을 쉽게 알 수 있다.r + 0 = 1, ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle 0r}$ - ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle =}$ - $、$ { $displaystyle$ r ^ { 2$$} + $0r$ - 3 = -$2$, } has$$ 。

$(\displaystyle x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).}$

유리근

유리수 계수가 있는 다항식의 경우 유리수인 루트를 검색할 수 있습니다.원시적인 부분 내용 인수분해(위 참조)는 유리 근을 찾는 문제를 단순하지 않은 공통 제수가 없는 정수 계수를 갖는 다항식의 경우로 줄입니다.

x ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{p}{}}$q {$displaystyle$ x$=sqtfrac {p}{q}}$이(가) 이러한 다항식의 합리적인 근인 $경우{\displaystyle }$

$\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}}$

인자 정리는 한 사람이 인수분해를 가지고 있다는 것을 보여준다

${\displaystyle P(x)=(qx-p)Q(x),}$

여기서 두 요인 모두 정수 계수를 갖습니다(Q가 정수 계수를 갖는 것은 위의 P(x)의 x${\displaystyle }$-${\displaystyle p}$ /$$q(\$displaystyle x-p/q)$ 비율 공식에서 비롯됩니다).

차수 n의 계수와 상수의 계수를 비교하면 ${\displaystyle \frac{p}{}}$q {\$displaystyle$${p}$ {$q$$}$이(가) 축소된 형식의 유리 루트일 경우 ${\displaystyle q_{}}$는${\displaystyle {}_{}}0$의 제수$,$p는$n의$$제수임$을 알 수 있습니다$.$} 따라서$$ ^[7]p와 q의 가능성은 한정되어 있어 체계적으로 조사할 수 있다$.$

예를 들어, 다항식이

${\displaystyle P(x)=2x^{3}-7x^{2}+10x-6}$

이 있다 합리적인 뿌리 pq{\displaystyle{\tfrac{p}{q}}}과q>;0, 그때 p야 한다 나누다 6, 그것이 낫지.∈{±1,±2±3,6±},{\displaystylep\in\와 같이{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\},}와 q야 한다 나누2, q∈{1,2}.{\displaystyleq\in\와 같이{1,2\}.}게다가, 만약 x<0모든 용어의 다항식은 negativ.e,따라서 루트는 음수일 수 없습니다.즉, 사람은 반드시

${\displaystyle {tfrac {p}{q}\in \1,2,3,6,{\tfrac {1}{2},{\tfrac {3}{2}}\}.$

직접 계산 결과 3 $($ {$2}})$만이 루트이므로 다른 합리적 루트는 있을 수 없습니다.인자 정리를 적용하면 마침내 $인수분해{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}3}$ - ${\displaystyle 7{}^{}{x\mathrm{}}^{}}$ 2 + ${\displaystyle \mathrm{10}}$x - $=$ (${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$ -${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ) (${\displaystyle {}^{}}$x ${\displaystyle 2}$ -${\displaystyle 2}$ x +${\displaystyle }$2${\displaystyle }$) .$${ $style 2x^{3}-7x^{2}+10x-6$=($2x-3)(x^{2$}-$2x+2)$가 됩니다.$}$

이차 교류법

위의 방법은 2차 다항식에 적용되어 ac 인수분해 ^[8]방법으로 이어질 수 있다.

2차 다항식 고려

${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$

정수 계수를 사용합니다.유리 근이 있는 경우, 분모는 a를 균등하게 나누어야 하며, ${\displaystyle r1\frac{}{}}$ $.$ (\$displaystyle r_${1} =$rtfrac {r}a})$로 표기할 수 있습니다.$}$ Vieta 공식에 따르면 다른 $r2$(\$displaystyle r_{$2$$})는

${\displaystyle r_{2}=-{\frac {b}-r_{1}=-{\frac {b}{a}}-{\frac {r}{a}}={\frac {b+r}{a}}}},$

$s{\displaystyle }$ $=$- (${\displaystyle b}$ +${\displaystyle r}$ $).$ {{$displaystyle$ s=-($b+r)}.$$$ 따라서 두 번째 근은 또한 합리적이며, 비에타의 두 $번째{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {공식\mathrm{}}_{}}$ r ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle 2\frac{}{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ c ${\displaystyle \frac{a}{}}${\$displaystyle r_{$1}$r_${2} =$specfrac {c}{a}}}$는 다음을 나타낸다.

$({displaystyle {frac {s} {a}} {\frac {r} {a}} = fac {c} {a}} )$

그것은

$(*displaystyle rs=ac\text{and}}\cisco r+s=-b).}$

곱이 ac인 정수 쌍을 모두 확인하면 합리적인 근이 나옵니다.

요약하면 ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle bx}$ +$$ {\$displaystyle$ ax$^{2}+bx+c}$가 유리근인 $경우{\displaystyle }$ r ${\displaystyle 및}$ $=$ ${\displaystyle c}$ {\$displaystyle$ $rs$$=$$ac$$}$ ${\displaystyle 및}r{\displaystyle }$ + s $=$ - $(테스트$할 수 있는 제한된 수의 $경우)$와 같은 ${\displaystyle \frac{\mathrm{정수}}{}}$ r 및 ${\displaystyle \frac{s}{}}$가 있습니다$.$${tfrac{s}{a}}.$} 즉$$, 인수분해가 있다$.$

$\displaystyle a(ax^{2}+bx+c)=(ax-r)(ax-s).}$

예를 들어, 2차 다항식을 생각해 봅시다.

$(\displaystyle 6x^{2}+13x+6).}$

ac = 36의 인자를 검사하면 4 + 9 = 13 = b가 나오므로 두 근이 나옵니다.

${\displaystyle r_{1}=-{\frac {4}{6}=-{\frac {2}{3}{3}}=-{\frac {9}{6}=-{\frac {3}{2}}$

그리고 인수분해

$({displaystyle 6x^{2}+13x+6=6(x+{\tfrac {2}{3}})=(3x+2)(2x+3)}).$

다항식 루트에 공식 사용

모든 일변량 2차 ${\displaystyle {}^{}}$ a${\displaystyle {}^{}{x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ + ${\displaystyle b}$ x$$+ ${\displaystyle c}$ $displaystyle ax^{2}+bx+$c$$}는 2차 공식을 사용하여 인수분해할 수 있습니다.

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha)=a\left(x-{\frac {-b+{\frac {b^2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-{\frac {b^{2}-4ac}}, {b^2-ac}}, {-ac}}, {-}}, {-ac}}, {a}}, {-}}}, {-}}, {-}, {-}}}, {-}}$

$여기$서$$α(\$displaystyle \alpha }$ $및$ β(\$displaystyle \language)$는 다항식의 두 근입니다.

a, b, c가 모두 실재하는 경우, 판별 $b{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle a}$c {\$display b^{2}-4ac}$가 음이 아닌 경우에만 인수가 실재한다.그렇지 않으면 2차 다항식을 상수 실요인으로 인수분해할 수 없습니다.

2차 공식은 계수가 2와 다른 특성 필드, 특히 홀수 ^[9]개수의 요소가 있는 유한 필드의 계수에 속할 때 유효합니다.

입방정식과 4차 다항식의 근에 대한 공식도 있는데, 일반적으로 너무 복잡해서 실제로 사용할 수 없다.아벨-루피니 정리는 5도 이상의 다항식에 대한 라디칼의 관점에서 일반적인 근 공식은 없다는 것을 보여준다.

루트 간 관계 사용

다항식의 근과 계수 사이의 관계를 알고 있는 경우가 있을 수 있습니다.이 지식을 사용하면 다항식을 인수분해하고 그 근원을 찾는 데 도움이 될 수 있습니다.갈로아 이론은 비에타의 공식을 포함하는 뿌리와 계수 사이의 관계에 대한 체계적인 연구에 기초한다.

여기서는 $다항식{\displaystyle }$ P$(x)$의 2개의 ${\displaystyle {루트\mathrm{}}_{}}$ x 1$(xx_$${$1})과 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$($xx$$)$가 관계를 만족하는 단순한 경우를 고려합니다.

${\displaystyle x_{2}=Q(x_{1}),}$

여기서 Q는 다항식입니다.

${\displaystyle {즉\mathrm{}}_{}}$, x$$1({$displaystyle x_{$1$$})은 $Q(x))$와${\displaystyle }$P$x).displaystyle$ P$(x)$의 $공통{\displaystyle }$ 루트입니다.} 따라서$$ 이 두 다항식의 최대공약수의 근이다$.$따라서 이 최대공약수는 P${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle )}$의 정수계수입니다$.\$ $displaystyle$ P$(x$)입니다$.$} 다항식에 대한 유클리드 알고리즘은 이 가장 큰 공통 인자를 계산할 수 있다$.$

$예$를 들어${\displaystyle ,<sup\; class="reference"\; id="cite\_ref-10"><a\; href="\#cite\_note-10">[10]</a></sup>}$ P${\displaystyle ({}^{}}$) $=$ ${\displaystyle {}^{}}$ - 5${\displaystyle {}^{}{x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ -${\displaystyle \mathrm{16}}$ x $+$ ${\displaystyle 80}$({$display$ $style$ P$(x$)= $x^{3$}-$5x^{2}-16x+80)$의 루트가 0인 경우 P($x)$와 P$x-style)$에 유클리드 알고리즘을 적용할 수 있습니다.$$ 첫 번째 분할 스텝은${\displaystyle }$P${\displaystyle (x}$)에${\displaystyle }$P($x$${\displaystyle )\backslash }$$displaystyle P($x$$$)\$displaystyle P(x)\displaystyle P($x)\$displaystyle P(-x)\를 $추가$하는 것으로 $구성$됩니다.

$(\displaystyle -10(x^{2}-16)).}$

그리고 P$)$ {$displaystyle$ P$(x)}$를 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$-$16$으로 $나누면{\displaystyle }$ 0이 되고 x - 5가 지수로 되어 완전한 인수분해로 이어집니다.

$({displaystyle x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4)})$

고유한 인수분해 도메인

정수와 필드 위의 다항식은 고유한 인수 분해의 속성을 공유한다. 즉, 모든 0이 아닌 원소는 가역 원소(정수의 경우 ±1)와 환원 불가능한 원소(정수의 경우 소수)의 곱으로 인수 분해될 수 있다. 그리고 이 인수 분해는 f를 정렬하기 위해 독특하다.배우와 유닛이 바뀌는 것이 요인입니다.이 속성을 공유하는 통합 도메인을 고유 인수분해 도메인(UFD)이라고 합니다.

최대공약수는 UFD에 존재하며, 반대로 최대공약수가 존재하는 모든 적분 도메인은 UFD입니다.모든 주요 이상적인 영역은 UFD이다.

유클리드 도메인은 정수와 유사한 유클리드 분할로 정의되는 적분 도메인이다.모든 유클리드 도메인은 주요 이상 도메인이며, 따라서 UFD이다.

유클리드 영역에서, 유클리드 나눗셈은 최대공약수를 계산하는 유클리드 알고리즘을 정의할 수 있다.단, 인수분해 알고리즘의 존재를 의미하는 것은 아닙니다.F에 대한 일변량 다항식의 유클리드 영역 F[x]에 어떠한 인수분해 알고리즘도 존재할 수 없는 필드 F의 명확한 예가 있다.

이상

대수적 수론에서, 디오판토스 방정식의 연구는 19세기 동안 수학자들이 대수적 정수라고 불리는 정수의 일반화를 도입하도록 이끌었다.고려된 대수 정수의 첫 번째 고리는 가우스 정수와 아이젠슈타인 정수로, 이들은 보통 정수와 주요 이상 영역이라는 특성을 공유하며, 따라서 고유한 인수분해 특성을 가진다.

불행히도, 대수 정수의 대부분의 고리는 주체가 아니며 독특한 인수분해를 가지고 있지 않다는 것이 곧 밝혀졌다.가장 간단한 예는 Z${\displaystyle \sqrt{}}$[ - $],$ ${\displaystyle \mathbb${$Z$} [{\$sqrt${-$5}}}}$ 입니다.

$({displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\cdot {-5}})(2-{\cdisplayrt {-5}}),}$

그리고 이 모든 요소들은 줄일 수 없습니다.

이 독특한 인수 분해의 부족은 디오판토스 방정식을 푸는 데 큰 어려움이다.예를 들어, 페르마의 마지막 정리의 많은 잘못된 증명들은 독특한 인수 분해의 암묵적인 가정에 기초했다.

이 어려움은 대수적 정수의 고리가 이상의 고유한 인수분해를 가지고 있다는 것을 증명한 데데킨트에 의해 해결되었다: 이 고리들에서, 모든 이상은 원시 이상의 산물이며, 이 인수분화는 인자의 순서에서 독특하다.이 고유한 인수분해 속성을 가진 통합 도메인은 이제 Dedekind 도메인이라고 불립니다.그것들은 대수적 수 이론의 기본이 되는 많은 훌륭한 성질을 가지고 있다.

매트릭스

행렬 고리는 가환성이 아니며 고유한 인수분해 기능이 없습니다. 일반적으로 행렬을 행렬의 곱으로 작성하는 방법은 여러 가지가 있습니다.따라서 인수분해 문제는 지정된 유형의 요인을 찾는 것으로 구성됩니다.예를 들어, LU 분해는 상위 삼각 행렬에 의해 하위 삼각 행렬의 곱으로 행렬을 제공합니다.이것이 항상 가능한 것은 아니기 때문에 일반적으로 치환 행렬을 갖는 "LUP 분해"를 세 번째 인자로 간주한다.

가장 일반적인 행렬 인수 분해 유형은 행렬 분해를 참조하십시오.

논리행렬은 이항관계를 나타내며 행렬 곱셈은 관계구성에 대응한다.인수분해를 통한 관계의 분해는 다른 기능적 관계와 같은 관계의 특성을 프로파일링하는 역할을 한다.

「 」를 참조해 주세요.

• 오일러의 정수 인수분해법
• 페르마의 정수 인수분해법
• 모노이드 인수분해
• 곱셈 파티션
• 가우스 정수 분해표

메모들

레퍼런스

• Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
• Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
• Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
• Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
• Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co.

외부 링크

• 울프램 알파도 인수분해 할 수 있다.