실수

Real number
실수 집합에 대한 기호

수학에서 실수거리, 지속 시간 또는 온도와 같은 연속적인 1차원 측정하는 데 사용할 있는 숫자입니다. 여기서 연속이란 값 쌍이 임의로 작은 차이를 가질 수 있음을 의미합니다.[a] 모든 실수는 무한 소수 전개로 거의 유일하게 표현될 수 있습니다.[b][1]

실수는 미적분학(그리고 더 일반적으로 모든 수학에서)의 기본이며, 특히 한계, 연속성도함수에 대한 고전적인 정의에서의 역할에 의해 결정됩니다.[c]

실수의 집합은 R 또는 R표시되며[2] "실체"라고 불리기도 합니다.[3] 르네 데카르트가 17세기에 사용한 형용사인 실수는 실수와 -1제곱근과 같은 허수를 구별합니다.[4]

실수에는 정수 -5분수 4 / 3과 같은 유리수가 포함됩니다. 나머지 실수들은 무리수라고 불립니다. 제곱근 √2 = 1.414...와 같은 정수 계수를 갖는 다항식루트는 일부 무리수(모든 유리수)입니다.; 이것들은 대수적 숫자라고 불립니다. π = 3.1415와 같이 그렇지 않은 실수도 있습니다.; 이것들은 초월수라고 불립니다.[4]

실수는 정수(..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)에 해당하는 점들이 동일한 간격으로 있는, 숫자선 또는 실수선이라고 불리는 선 위의 모든 점들로 생각할 수 있습니다.

Real numbers can be thought of as all points on a number line
실수는 숫자 선의 모든 점으로 생각할 수 있습니다.

반대로, 분석기하학은 선(특히 축선) 위의 점과 실수를 연결하여 기하학적 변위가 해당 숫자 간의 차이에 비례하도록 하는 것입니다.

실수에 대한 위의 비공식적인 설명은 실수를 포함하는 정리의 증명의 정확성을 보장하기에 충분하지 않습니다. 더 나은 정의가 필요하다는 깨달음, 그리고 그러한 정의의 정교화는 19세기 수학의 주요 발전이었고 실수 분석, 실수 함수와 실수 값 수열에 대한 연구의 기초입니다. 현재의 공리적 정의는 실수가 (동형까지) 데데킨드-완전 순서 필드를 형성한다는 것입니다.[d] 실수에 대한 다른 일반적인 정의로는 코시 수열(유리수)의 등가 클래스, 데데킨트 컷(Dedkind cut) 및 무한 소수 표현이 있습니다. 이 모든 정의는 공리적 정의를 만족하므로 동치입니다.

특성 특성화

실수는 데데킨트 완전체순서장을 형성한다고 말할 수 있을 정도로 근본적인 성질이 완벽하게 특징적입니다. 여기서 "완전한 특성화"는 임의의 두 데데킨드 완전 순서 필드 사이에 고유한 동형이 존재하며, 따라서 그들의 요소들이 정확히 동일한 특성을 갖는다는 것을 의미합니다. 이것은 실수가 어떻게 정의될 수 있는지 알지 못한 채 실수를 조작하고 그것으로 계산할 수 있다는 것을 의미합니다. 이것은 19세기 후반에 최초의 공식적인 정의가 제공되기 전 몇 세기 동안 수학자와 물리학자들이 한 일입니다. 이러한 형식적 정의와 그 동등성의 증명에 대한 자세한 내용은 실수의 구성을 참조하십시오.

산술

실수는 순서 필드를 형성합니다. 직관적으로 초등 산수의 방법과 규칙이 적용된다는 뜻입니다. 더 정확하게 말하면, 덧셈과 곱셈의 두 가지 이진 연산과 다음과 같은 성질을 갖는 총 순서가 있습니다.

  • 실수 a와 b를 더하면 a+ {\ a가 되는데, 이것은 ab입니다.
  • 두 실수 aba {\a\ 또는a와 b의 곱인 × b, atimes b,}를 나타냅니다.
  • 덧셈과 곱셈은 모두 가환이므로 모든 실수 a와 b에 대해 + b= +a ab=b+a} 및 b = ba {\display a=ba}를 의미합니다.
  • 덧셈과 곱셈은 둘 다 연관되어 있으므로, + b ) + = +(+c ) a + b) + c = + ( + 및 (b ) c = a ( b c ) {\displaystyle (ab) c = a (bc)} 모든 실수 a, b 및 c에 대해 괄호를 생략할 수 있습니다.
  • 곱셈은 모든 실수 a, b 및 c에 대해 + = a+ {\display a(b + c) = ab + ac}를 의미합니다.
  • 0이라는 실수가 있고 0으로 표시되는 것은 가산 항등식입니다. 즉, 모든 실수 a에 대해 + =style a + 0 = a}를 표시합니다.
  • 곱셈 항등식1로 표시된 실수가 있는데, 이것은 × 1 = 실수 a에 대해style a\times 1=a}를 표시한다는 것을 의미합니다.
  • 모든 실수 a에는 덧셈 역이 표시됩니다 - 즉, 모든 실수 a에 대해 +(- ) = displaystyle a+(-a) = 0}이 됩니다.
  • 0이 아닌 모든 실수 a에는- 또는 {\로 표시되는 곱셈 역이 있습니다.이것은 - 1 displaystyle aa^{-1} 1}이 0이 아닌 실수 a에 대해임을 의미합니다.
  • 전체 는 < b>로 표시됩니다 being that it is a total order means two properties: given two real numbers a and b, exactly one of or is true; and if and then one has also
  • The order is compatible with addition and multiplication, which means that implies for every real number c, and is implied by and

위의 속성에서 다른 많은 속성을 추론할 수 있습니다. 특히:

  • a에 0 0 {\displaystyle 0\cdo a = 0}
  • < 모든 실수 a에 대하여

보조작업

위의 작업에서 추론할 수 있는 몇 가지 다른 작업이 일반적으로 사용됩니다.

  • 뺄셈: 두 실수 ab를 빼면 ab덧셈 역-b의 합이 나옵니다. 즉,
  • 나눗셈: 실수 a를 0이 아닌 실수 b로 나눈 또는/ 로 표현하며, ab의 곱셈 역수, 즉,
  • 절댓값: 실수 a의 으로 a a는 0으로부터의 거리를 측정하며 다음과 같이 정의됩니다.

보조오더관계

위에서 고려한 총 순서< 로 표시되며 "ab보다 작음"으로 표시됩니다. 세 가지 다른 순서 관계도 일반적으로 사용됩니다.

  • 보다 큼: a > b, a> b "ab보다 큼"으로 읽혀지고, < . b< a에만 >b a>정의됩니다.
  • 이하: a a "ab보다 작거나 같다" 또는 "a가 b보다 크지 않다"로 읽혀지는 ≤ b,( <b ) = ),{\a < b){\text{ or = b}(a b b ), 또는 이와 동등하게 (b < a )로 정의됩니다. {\displaystyle {\text{not }}(b < a ).
  • , {\ ageq b,} "가 b보다 같다" 또는 "a가 b보다 작지 않다"로 , (b < a) 또는 (a = ), {\displaystyle (b < a){\text{ or = b}(a = b), 또는 이와 동등하게 (a < b )로 정의됩니다. {\displaystyle {\text{not }(a < b)}

실수로서의 정수와 분수

실수 01은 일반적으로 자연수 01로 식별됩니다. 이를 통해 n개의 실수의 합이 1인 자연수 n을 식별할 수 있습니다.

이 식별은 n n}(서 n{\ n은 자연수임)로 되는 실수의 가산 역 n {\ 과 함께 의 정수 {\ 을 식별함으로써 추구할 수 있습니다마찬가지로 유리수 / p여기서 pq는 정수이고 0 q\n)pq로 식별되는 실수의 나눗셈으로 식별됩니다.

이러한 식별은 유리수의 Q 를 실수 의 순서 부분 필드로 만듭니다 아래 설명되는 데데킨드 완전성 과 같은 일부 실수를 의미합니다.유리수가 아니라 무리수라고 합니다.

자연수, 정수 및 실수는 일반적으로 개별적인 성질에 의해 정의되는 것이 아니라 속성()을 정의함으로써 정의되기 때문에 위와 같은 식별은 타당합니다. 따라서 자연수를 몇 개의 실수와 동일시하는 것은 페아노 공리가 이 실수들에 의해 만족된다는 사실에 의해 정당화되며, 덧셈 1이 후속 함수로 사용됩니다.

형식적으로, 자연수 에서 정수 에서 Q 까지의 순서 링의 주입 동형을 갖습니다 Q 에서 실수 정렬된 필드의 주입 동형화{\ 식별은 소스와 각 주입 동형화의 이미지를 구별하지 않고 따라서 쓰기로 구성됩니다.

이러한 식별은 공식적으로 표기법을 남용하는 것이며 일반적으로 무해합니다. 매우 구체적인 상황에서만 위와 같은 동형화를 명시적으로 사용하여 이들을 피하고 이를 대체해야 합니다. 건설적수학과 컴퓨터 프로그래밍이 이에 해당됩니다. 후자의 경우, 이러한 동형화는 컴파일러에 의해 종종 자동으로 수행될 수 있는 유형 변환으로 해석됩니다.

데데킨드 완성도

이전 속성에서는 실수와 유리수를 구분하지 않습니다. 구별은 상한을 갖는 모든 실수 집합이 최소 상한을 인정한다는 데데킨드 완전성에 의해 제공됩니다. 이것은 다음을 의미합니다. A set of real numbers is bounded above if there is a real number such that for all ; such a is called an upper bound of So, Dedekind completeness means that, S가 위에 속한다면, S는 다른 어떤 상한보다 작은 상한을 갖습니다.

데데킨드 완전성은 다른 종류의 완전성(아래 참조)을 의미하지만 몇 가지 중요한 결과도 있습니다.

  • Archimedean 속성: 모든 실수 x < n 테이크, = +1, {\ n = u + 1,}이며, u {\displaystyle u}는 x보다 작은 정수의 최소 상한입니다.)
  • 마찬가지로 x가 양의 실수라면 0< < x 0 < 인 양의 정수 n이 존재합니다
  • 모든 양의 실수 x는 양의 제곱근을 가지며, 즉 = 인 양의 r r이 존재합니다{\display r^{2}=x.}
  • 실수 계수가 있는 홀수 차수의 모든 일변량 다항식은 최소 하나의 실수 을 갖습니다(선행 계수가 양수이면 다항식의 값이 음수인 실수의 최소 상한을 취합니다).

마지막 두 성질은 실수가 실제 닫힌 장을 형성한다는 것으로 요약됩니다. 이것은 대수학의 기본 정리의 실제 버전을 의미합니다. 즉, 실제 계수를 갖는 모든 다항식은 최대 2의 실제 계수를 갖는 다항식으로 인수분해될 수 있습니다.

십진법

실수의 핵심 속성은 십진법 표현입니다. 십진 표현은 음이 아닌 정수 k10자리 숫자의 무한 시퀀스(음이 아닌 정수는 10보다 작음)로 구성됩니다.

그것은 쓰여 있습니다.

일반적으로 을 잃지 않고 k = k=0} 또는 b ≠ 0. {\b_{k}\n이라고 가정합니다. 예를 들어, 의 경우 3.cdots,} 0 {\ k 0 b 3, {\displaystyle b_{0} 3,} a 1 1,}= a2 = 4, {\displaystyle a_2}=4,} 등입니다.

이러한 십진법 표현은 시퀀스를 잘라내어 얻은 십진법 분수의 최소 상한으로 고유한 음이 아닌 실수를 지정합니다. 좀 더 정확하게 말하면, 의 정수 n이 주어졌을 때, 자리 n에서의 수열의 절단은 소수를 정의하는 유한 수열 ,b - 2 n 입니다.

시퀀스로 정의된 실수는 Ddecind 완전성에 의해 존재하는 의 최소 상한입니다.

반대로 음수가 아닌 실수 a가 주어졌을 때, 귀납법에 의한 a의 십진법 표현을 다음과 같이 정의할 수 있습니다. ⋯ b 0 {\b_{0}}을 D≤ a {\{0}\leqa이 정수는 Archimedean 속성 때문에 존재합니다)가 가장 큰 D 0 {\displaystyle D_{0의 십진수 표현으로 정의합니다. Then, supposing by induction that the decimal fraction has been defined for one defines as the largest digit such that 그리고 한 집합 - 1 + / . {\displaystyle D_{n} D_{n-1}+a_{n}/10^{n}입니다.

실수의 정의 속성을 사용하여 a의 최소 상한임을 나타낼 수 있습니다 따라서, 결과적인 숫자의 순서를 a십진법 표현이라고 합니다.

이전 구조에서 < {\ < 대체하면 또 다른 십진법 표현을 얻을 수 있습니다. 두 표현은 a가 h 형태의 소수점 부분이 아닌 한 동일합니다 이 경우 첫 번째 소수점 표현에서은 n > h 대해 0이고 두 번째 표현에서, 9.(0.999 참조...) 자세한 것은).

요약하면, 실수와 소수 표현 사이에 무한히 많은 후행 9로 끝나지 않는 바이젝션이 있습니다.

위의 고려 사항은 {\displaystyle B}로 로 교체하는 것만으로 모든 기본 ≥ 2, B\geq 2,}에 직접 적용됩니다. {\B-1.}

위상 완전성

실수를 사용하는 주된 이유는 많은 수열에 한계가 있기 때문입니다. 좀 더 형식적으로, 실수들은 완전합니다. (미터법 공간이나 균일한 공간이라는 의미에서, 이것은 앞 절의 순서의 데데킨트 완전성과는 다른 의미입니다.)

임의의 ε > 0에 대하여 거리 x - x가 N보다 큰 모든 n과 m에 대하여 ε보다 작도록 정수 N이 존재하는 경우 실수의 수열 (x)를 코시 수열이라고 합니다. 원래 Cauchy가 제공한 이 정의n x가 결국 임의로 가까이에 와서 유지된다는 사실을 공식화합니다.

수열 (x)는 원소들이 결국 x에 임의로 가까이 남아 있으면 한계 x수렴합니다. 즉, 어떤 ε > 0에 대해 거리 x - x가 N보다 큰 n에 대한 ε보다 작도록 정수 N이 존재하는 경우(아마도 ε에 따라 다름).

모든 수렴 수열은 코시 수열이고, 실수의 경우에는 그 반대가 참이며, 이는 실수의 위상 공간이 완전하다는 것을 의미합니다.

유리수 집합이 완전하지 않습니다. 예를 들어, 각 항이 양의 제곱근 2의 소수 전개의 자릿수를 더한 수열(1; 1.4; 1.41; 1.4142; 1.41421; ...)은 코시(Cauchy)이지만 유리수로 수렴하지는 않습니다(실수에서는 반대로 2의 양의 제곱근으로 수렴).

현실의 완전성 속성은 미적분학, 더 일반적으로 수학적 분석이 구축되는 기반입니다. 특히, 수열이 코시 수열이라는 테스트는 수열이 한계가 있다는 것을 증명하고, 계산하지 않고, 심지어 그것을 알지도 못하게 합니다.

예를 들어, 지수 함수의 표준 급수

모든 x에 대하여 실수로 수렴합니다. 왜냐하면 합은

N을 충분히 크게 선택함으로써 임의로 작게(M과 무관하게) 만들 수 있습니다. 이것은 시퀀스가 코시(Cauchy)이고, 따라서 수렴한다는 것을 증명하고, 모든 x에 대해 잘 정의되어 있음을 보여줍니다.

"완전한 순서 필드"

실수는 종종 "완전한 순서 필드"로 설명되는데, 이는 여러 가지 방법으로 해석될 수 있는 구문입니다.

첫째, 주문은 격자 완전할 수 있습니다. 정렬된 어떤 필드도 격자 완전체가 될 수 없음을 쉽게 알 수 있습니다. 왜냐하면 가장 큰 원소를 가질 수 없기 때문입니다(어떤 원소 z가 주어지면 z + 1이 더 큽니다).

또한 주문은 데데킨드-완전일 수 있습니다. § 공리적 접근법을 참조하십시오. 이것이 의미하는 "완전한" 감각일 때, 그 섹션의 마지막에 있는 유일성 결과는 "완전한 순서 필드"라는 문구에서 "the"라는 단어를 사용하는 것을 정당화합니다. 이러한 완성감은 데데킨트 컷의 리얼의 구축과 가장 밀접한 관련이 있는데, 그 구축은 순서화된 장(유리)에서 시작하여 표준적인 방식으로 데데킨트 완성을 형성하기 때문입니다.

이 두 가지 완전성 개념은 필드 구조를 무시합니다. 그러나 순서군(이 경우 필드의 가산군)은 균일한 구조를 정의하고 균일한 구조는 완전성의 개념을 갖습니다. §의 완전성에 대한 설명은 특수한 경우입니다. (메트릭 공간의 정의는 이미 실수의 특성화에 의존하기 때문에 메트릭 공간에 대한 관련되고 더 잘 알려진 개념이 아닌 균일한 공간의 완전성 개념을 참조합니다.) (가) 유일하게 균일하게 완전한 순서 필드라는 것은 사실이 아니지만, 유일하게 균일하게 완전한 아르키메데스 필드이며 실제로 "완전한 순서 필드" 대신 "완전한 아르키메데스 필드"라는 문구를 자주 듣습니다. 모든 균일하게 완전한 아르키메데스 필드는 데데킨드-완전한 아르키메데스 필드라는 문구에서 "the"를 사용하여 정당화해야 합니다. 이러한 완성감은 아키메데스 장(유리)에서 시작하여 표준적인 방법으로 그것의 균일한 완성을 형성하기 때문에 코시 수열(이 글에서 전면적으로 수행하는 구성)에서 나오는 현실의 구성과 가장 밀접한 관련이 있습니다.

그러나 "완전한 아르키메데스 장"이라는 말의 원래 사용은 데이비드 힐버트에 의한 것이었는데, 그는 그것에 의해 여전히 다른 의미를 가지고 있습니다. 그는 모든 다른 아르키메데스 필드가 R 의 부분 필드라는 의미에서 실수들이 가장 아르키메데스 필드를 형성한다는 것을 의미했습니다 따라서 은 더 이상 아르키메데스 필드를 만들지 않고는 더 이상 더할 수 없다는 의미에서 "완전"입니다. 이러한 완성감은 초현실적 숫자로부터 현실의 구성과 가장 밀접한 관련이 있는데, 그 구성은 모든 순서화된 필드(초현실)를 포함하는 적절한 클래스로 시작하여 그로부터 가장 큰 아르키메데스 하위 필드를 선택하기 때문입니다.

카디날리티

모든 자연수 집합 {1, 2, 3, 4, ...}와 모든 실수의 집합은 모두 무한 집합이지만 실수에서 자연수까지의 일대일 함수는 존재하지 않는다는 점에서 모든 실수의 집합은 셀 없습니다. 모든 실수 집합의 기수로 표시됩니다 연속체의 카디널리티(cardinality)라고 불렸습니다. 이것은 모든 자연수 집합의 기수보다 엄격하게 크며ℵ 0 _{0}} 및 'aleph-not'이라고 함), 자연수 집합의 거듭제곱 집합의 기수와 같습니다.

연속체 가설(CH은 ℵ 0 \aleph _{보다 엄격하게 c {\ {\mathfrak {c보다 엄격하게 기수를 가진 실수의 부분 집합이 없다는 진술입니다. 이것은 현대 수학의 표준 기반인 선택 공리(ZFC)를 포함한 저멜로-프란켈 집합론의 공리를 사용하여 증명할 수도 없고 반박할 수도 없습니다. 실제로 ZFC의 일부 모델은 CH를 만족하는 반면 다른 모델은 이를 위반합니다.[5]

기타속성

위상 공간으로서 실수는 분리 가능합니다. 셀 수 있는 유리수들의 집합이 실수에서 조밀하기 때문입니다. 무리수는 실수에서도 조밀하지만 셀 수 없고 실제와 같은 기수성을 가지고 있습니다.

실수는 메트릭 공간을 형성합니다. x와 y 사이의 거리는 절대값 x - y로 정의됩니다. 완전 순서 집합이기 때문에 순서 토폴로지도 수행합니다. 메트릭에서 발생하는 토폴로지와 순서에서 발생하는 토폴로지는 동일합니다. 그러나, 메트릭 토폴로지에서 엡실론-볼(epsilon-ball)과 같은 순서 토폴로지에서 토폴로지에 대한 다른 표현을 생성합니다. Dedekind cuts 구성은 순서 토폴로지 표현을 사용하고 Cauchy 시퀀스 구성은 메트릭 토폴로지 표현을 사용합니다. 실수들은 하우스도르프 차원 1의 수축 가능하고(따라서 연결되고 간단히 연결됨) 분리 가능하며 완전한 메트릭 공간을 형성합니다. 실수는 로컬로 압축되지만 압축되지는 않습니다. 이러한 속성을 고유하게 지정하는 다양한 속성이 있습니다. 예를 들어, 모든 무한, 연결 및 분리 가능한 순서 토폴로지는 반드시 실제와 동형입니다.

음수가 아닌 모든 실수는 R 에서 제곱근갖지만 음수는 없습니다. 이것은 의 순서가 대수 구조에 의해 결정됨을 보여줍니다. 또한 홀수 차수의 모든 다항식 하나의 실근을 인정합니다. 이 두 성질은 R 을 실제 닫힌 장의 첫 번째 예로 만듭니다. 이것을 증명하는 것은 대수학의 기본 정리에 대한 하나의 증명의 전반부입니다.

실제는 표준 측도르베그 측도를 가지고 있는데, 이것은 단위 간격 [0;1]이 측도 1을 갖도록 정규화된 위상 그룹으로서의 구조에 대한 하르 측도입니다. 를 들어, 비탈리 집합과 같이 레베그가 측정할 수 없는 실수 집합이 존재합니다.

실수의 최상위 공리는 실수의 부분집합을 의미하므로 2차 논리문입니다. 1차 논리만으로는 실수를 특성화할 수 없습니다. 뢰벤하임-스콜렘 정리는 1차 논리에서 실수 자체와 정확히 동일한 문장을 만족하는 실수의 셀 수 있는 조밀한 부분 집합이 존재한다는 것을 의미합니다. 초실수 집합은 R 과() 동일한 1차 문장을 만족합니다 R 과(와) 동일한 1차 문장을 만족하는 순서 필드를 비표준 모델이라고 합니다 이것이 비표준 분석을 작동시키는 이유입니다. 비표준 모델에서 1차 을 증명함으로써displaystyle \mathbb {에서 증명하는 것보다 쉬울 수 있음), 에서도 동일한 문장이 참이어야 함을 알 수 있습니다

실수의 필드는 유리수의 필드의 확장 필드이며, R 위의 벡터 공간으로 볼 수 있습니다 선택 공리를 가진 제르멜로-프랑켈 집합론은 이 벡터 공간의 기초의 존재를 보장합니다. 모든 실수는 유리 계수만을 사용하여 이 집합의 원소들의 유한 선형 조합으로 유일하게 기록될 수 있는 실수 집합 B가 존재합니다. 따라서 B의 어떤 원소도 다른 원소들의 유리한 선형 조합이 되지 않습니다. 그러나 이러한 근거는 명시적으로 설명된 적이 없기 때문에 이 존재 정리는 순수하게 이론적입니다.

정렬된 정리는 만약 선택의 공리를 가정한다면 실수들이 잘 정렬될 수 있음을 암시합니다: 의 모든 비어 있지 않은 부분 집합이 이 순서에서 최소 원소를 갖는 속성을 가진 R \mathbb {총 순서가 존재합니다. (예를 들어, 열린 구간은 이 순서에서 최소 요소를 포함하지 않으므로 실수의 표준 순서 ≤는 순서가 잘 맞지 않습니다.) 다시 말하지만, 이러한 잘 정돈된 질서의 존재는 명시적으로 설명되지 않았기 때문에 순수하게 이론적입니다. 만약 ZF의 공리에 추가하여 V=L을 가정한다면, 실수들의 잘 정렬된 순서는 공식에 의해 명시적으로 정의될 수 있음을 보여줄 수 있습니다.

실수는 계산 가능하거나 계산 불가능할 수 있습니다; 알고리즘적으로 임의적이거나 그렇지 않거나; 산술적으로 임의적이거나 그렇지 않습니다.

역사

실수 에는 유리수 가 포함되며 정수 에는 자연수 가 포함됩니다.

기원전 1000년경 이집트인들은 간단한 분수를 사용했습니다; 기원전 600년에 쓰여진 베다어 "슐바 수트라스" (" 화음의 규칙")에는 무리수의 첫 번째 "사용"일 수 있는 것이 포함되어 있습니다. 비합리성의 개념은 2와 61 같은 특정 숫자의 제곱근이 정확히 결정될 수 없다는 것을 알고 있던 마나바(기원전 750–690)c.와 같은 초기 인도 수학자들에 의해 암묵적으로 받아들여졌습니다.[7] 기원전 500년경, 피타고라스가 이끈 그리스 수학자들2의 제곱근이 무리수라는 것을 깨달았습니다.

중세 시대는 0, 음수, 정수, 분수의 수용을 가져왔는데, 처음에는 인도중국의 수학자들이, 그리고 그 다음에는 아랍의 수학자들이 무리수를 대수적 대상으로 다룬 최초의 수학자들도 있었습니다(후자는 대수학의 발전에 의해 가능해졌습니다).[8] 아랍 수학자들은 "숫자"와 "크기"라는 개념을 더 일반적인 실수 개념으로 통합했습니다.[9] 이집트 수학자 아부 카밀 슈자 이븐 아슬람(Abum Kāmil Shujā ibn Aslam,c. 850–930)은 무리수를 2차 방정식의 해나 방정식의 계수(종종 제곱근, 세제곱근, 네제곱근의 형태)로 받아들인 최초의 인물입니다.[10] 유럽에서는, 숫자 단위와 비교할 수 없는 그러한 숫자들을 비합리적인 숫자 또는 서드("deef")라고 불렀습니다.

16세기에 사이먼 스테빈은 현대 십진법의 기초를 만들었고, 이 점에서 유리수와 무리수 사이에는 차이가 없다고 주장했습니다.

17세기에 데카르트는 다항식의 근을 "상상적"인 것과 구별하여 설명하기 위해 "실체"라는 용어를 도입했습니다.

18세기와 19세기에는 무리수와 초월수에 대한 연구가 많았습니다. Lambert (1761)는 π이 유리수가 될 수 없다는 잘못된 증거를 제시했고, Legendre (1794)는 그 증거를 완성했고 π이 유리수의 제곱근이 아니라는 을 보여주었습니다. Liouville (1840)은 2 정수 이차방정식의 근이 될 수 없다는 것을 보여주었고, 그 후 초월수의 존재를 확립했습니다. Cantor (1873)는 이 증명을 확장하고 크게 단순화했습니다.[13] 에르미트(Hermite, 1873)는 e가 초월적이라는 것을 증명했고, 린데만(Lindemann, 1882)은 π이 초월적이라는 것을 보여주었습니다. Lindemann의 증명은 Weierstrass (1885), Hilbert (1893), Hurwitz,[14] Gordan에 의해 훨씬 단순화되었습니다.[15]

미적분학의 개발자들은 실수를 엄밀하게 정의하지 않고 사용했습니다. 최초의 엄격한 정의는 1871년 칸토어에 의해 출판되었습니다. 1874년, 그는 모든 실수의 집합은 셀 수 없이 무한하지만, 모든 대수적 숫자의 집합은 셀 수 없이 무한하다는 것을 보여주었습니다. 칸토어의 첫 번째 불가산성 증명은 1891년에 발표된 그의 유명한 대각선 주장과 달랐습니다.

형식적 정의

실수계 < ) { {}+{}; cdot {}; {}<{}})는 동형까지 공리적으로 정의될 수 있으며, 이는 이하에서 설명합니다. "실수 체계"를 구성하는 방법도 여러 가지가 있는데, 일반적인 접근법은 자연수에서 시작하여 유리수를 대수적으로 정의하고, 마지막으로 실수를 유리수의 특정 부분집합인 코시 수열의 동치 클래스 또는 데데킨드 컷으로 정의하는 것입니다.[16] 또 다른 접근법은 유클리드 기하학의 어떤 엄격한 공리화(예를 들어 힐베르트나 타르스키)에서 시작하여 실수 체계를 기하학적으로 정의하는 것입니다. 실수에 대한 이러한 모든 구성은 결과적인 수 체계가 동형이라는 점에서 동등한 것으로 나타났습니다.

공리적 접근

이 모든 실수들의 집합을 나타낸다고 하자. 그러면.

  • 집합 덧셈곱셈이 정의되고 일반적인 속성을 갖는 필드입니다.
  • 필드의 순서는 다음과 같은 전체 순서 ≥가 있음을 의미합니다.
    • if xy, then x + zy + z;
    • if x ≥ 0 and y ≥ 0, then xy ≥ 0.
  • 순서는 Dedekind-complete이며 이는 {\displaystyle \에서상한 R {\ \mathbb 의 모든 비어 있지 않은 부분 집합 S {\ \mathbb 에서 최소 상한일명, 최상위)을 갖는다는 것을 의미합니다

마지막 속성은 실수에는 적용되지만 유리수(또는 다른 이국적인 순서 필드)에는 적용되지 않습니다. 예를 들어 {Q : 2< 2 } \{x :2}<2\}}는 유리 상한(예: 1.42)을 갖지만 가장 유리한 상한은 2 {\sqrt {2}}은 유리하지 않기때문입니다.

이러한 속성은 (완전성에 대한 다른 정의에서는 암시되지 않는) 아르키메데스 속성을 의미하며, 이는 정수 집합이 실수에서 상한을 갖지 않는다는 것을 의미합니다. 실제로 이것이 거짓이라면 정수는 최소 상한 N을 가질 것입니다. 그러면 N – 1은 상한이 아니며 N > N 1, 따라서 N + 1 > N이 되는 정수 n이 존재하므로 N의 상한 속성과 모순됩니다.

실수는 위의 속성에 의해 고유하게 지정됩니다. More precisely, given any two Dedekind-complete ordered fields and , there exists a unique field isomorphism from to . 이러한 독특함은 우리가 그들을 본질적으로 동일한 수학적 대상으로 생각할 수 있게 해줍니다.

의 또 다른 공리화에 대해서는 타르스키의 실수 공리화를 참조하십시오

유리수를 이용한 작도

실수는 유리수의 완성으로 구성될 수 있는데, 이 경우 (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...)와 같은 소수 또는 이진 확장으로 정의된 수열이 고유한 실수로 수렴되는 방식입니다. 실수에 대한 자세한 내용과 기타 구성은 실수 구성을 참조하십시오.

응용프로그램 및 연결

물리학

물리학에서는 만유인력 상수와 같은 대부분의 물리 상수와 위치, 질량, 속도, 전하량과 같은 물리적 변수를 실수를 이용하여 모델링합니다. 사실 고전역학, 전자기학, 양자역학, 일반상대성이론, 표준모형과 같은 기본적인 물리적 이론들은 실수에 기초한 수학적 구조, 전형적으로 매끄러운 다양체 또는 힐베르트 공간을 사용하여 설명됩니다. 물리량의 실제 측정은 유한한 정확도와 정밀도를 갖습니다.

물리학자들은 때때로 더 근본적인 이론이 실수를 연속체를 형성하지 않는 양으로 대체할 것이라고 제안했지만, 그러한 제안은 여전히 추측에 불과합니다.[17]

논리

실수는 집합론의 제르멜로-프랑켈 공리화를 사용하여 공식화되는 경우가 가장 많지만, 일부 수학자들은 수학의 다른 논리적 기초와 함께 실수를 연구합니다. 특히 실수는 역수학과 건설수학에서도 연구됩니다.[18]

Edwin Hewitt, Abraham Robinson 등이 개발한 초실수무한소와 무한소를 도입하여 실수 집합을 확장하여 무한소 미적분학을 라이프니츠, 오일러, 코시 등의 원래 직관에 더 가깝게 구축할 수 있습니다.

에드워드 넬슨내적 집합론은 일항 술어 "표준"을 도입함으로써 저멜로-프란켈 집합론을 구문론적으로 풍부하게 합니다. 이 접근법에서, 무한소는 (로빈슨의 이론에서처럼) 실수 집합의 (표준이 아닌) 요소입니다.

연속체 가설은 실수 집합의 기수는ℵ 1 1}}, 즉 정수의 기수인 ℵ 0 \aleph_{0} 다음으로 작은 무한 라는 것을 가정합니다. 폴 코헨은 1963년에 집합론의 다른 공리와 독립적인 공리임을 증명했습니다. 즉, 연속체 가설 또는 연속체의 부정 중 하나를 모순 없이 집합론의 공리로 선택할 수 있습니다.

연산

유한 컴퓨터는 무한히 많은 숫자나 다른 무한한 표현을 직접 저장할 수 없기 때문에 전자 계산기와 컴퓨터는 임의의 실수 위에서 작동할 수 없습니다. 또한 일반적으로 조작하기 불편한 임의의 정의 가능한 실수에서도 작동하지 않습니다.

대신 컴퓨터는 일반적으로 과학적 표기와 유사한 표현인 부동 소수점 숫자라고 불리는 유한 정밀 근사를 사용합니다. 달성 가능한 정밀도는 고정 소수점, 부동 소수점 또는 임의의 정밀도 숫자 또는 다른 표현과 같이 각 숫자에 대해 할당된 데이터 저장 공간에 의해 제한됩니다. 대부분의 과학적 계산은 이진 부동소수점 산술을 사용하며, 종종 십진수 16자리 정도의 정확도를 가진 64비트 표현을 사용합니다. 실수는 일반적인 산술 규칙을 만족시키지만 부동소수점 수는 그렇지 않습니다. 수치해석 분야는 근사 연산으로 구현된 수치 알고리즘안정성정확성을 연구합니다.

또는 컴퓨터 대수 시스템은 유리수 또는 십진 근사가 아닌 기호 공식(: 2 ⁡ 5, ,} ∫ 0 1x x01}x^{x}\,dx})을 조작하여 비합리적인 양에 대해 정확하게 작동할 수 있습니다. 그러나 정확하고 상징적인 산술도 한계가 있습니다: 예를 들어, 계산 비용이 더 많이 들고, 일반적으로 두 상징적 표현식이 동일한지 여부를 결정하는 것은 불가능합니다(상수 문제). 그리고 산술 연산은 단일 숫자의 표현 크기에 지수 함수적인 폭발을 일으킬 수 있습니다(예를 들어, 유리수를 제곱하면 분자와 분모의 자릿수가 약 두 배로 증가하고 다항식을 제곱하면 항 수가 약 두 배로 증가하여 유한한 컴퓨터 저장 공간을 압도합니다.[20]

실수는 숫자를 산출하는 알고리즘이 존재하는 경우 계산 가능하다고 합니다. 알고리즘은 [21] 수 없이 많지만 실수는 셀 수 없이 많기 때문에 거의 모든 실수는 계산에 실패합니다. 게다가, 두 계산 가능한 숫자의 동일성은 결정할 수 없는 문제입니다. 일부 구성주의자들은 계산 가능한 현실의 존재만을 받아들입니다. 정의 가능한 숫자의 집합은 더 넓지만 여전히 셀 수 있습니다.

집합론

집합론, 구체적으로 서술 집합론에서, 바이어 공간은 실수의 대리인으로 사용되는데, 후자는 기술적인 불편함인 위상적 특성(연결성)을 가지고 있기 때문입니다. Baire 공간의 요소를 "리얼"이라고 합니다.

어휘와 표기법

모든 실수의 집합 블랙보드 볼드) 또는 R(상향 볼드)로 표시됩니다. 자연스럽게 장의 구조를 부여받았기 때문에 실수의 표현장은 대수적 성질을 고려할 때 자주 사용됩니다.

The sets of positive real numbers and negative real numbers are often noted and ,[22] respectively; and are also used.[23] 음이 아닌 실수는 ≥ 0 {\R} geq 0}으로 기록될 수 있지만 종종 + ∪ {0}으로 기록되는 것을 볼 수 있습니다. ^{+}\cup \{0\}}[22] 프랑스 수학에서 양의 실수음의 실수는 일반적으로 0을 포함하며, 이 집합들은 R+ R로 표기됩니다 이 이해에서[23], 0이 없는 각각의 집합을 엄밀하게 양의 실수와 엄밀하게 음의 실수라고 하며, + ∗ {R} _및 R - ∗라고 합니다. {\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{*}.[23]

표기법은 실좌표 공간)의 원소 n쌍의 집합을 의미하며 는 R{\의 n개 사본의 데카르트 곱과 동일할 수 있습니다 공간은 실수의 필드 있는 n차원 벡터 공간으로 종종 n차원의 좌표 공간이라고 합니다. 이 공간은 후자에서 직각좌표계를 선택하는 즉시 n차원 유클리드 공간으로 식별될 수 있습니다. 이 식별에서 유클리드 공간의 점은 데카르트 좌표의 튜플과 식별됩니다.

수학에서 실수는 형용사로 쓰이는데, 이는 기초가 되는 필드가 실수의 필드(또는 실수의 필드)라는 것을 의미합니다. 예를 들어, 실수 행렬, 실수 다항식, 실수대수. 이 단어는 ("모든 실수의 집합"에서와 같이) 실수를 의미하는 명사로도 사용됩니다.

일반화 및 확장

실수는 일반화되고 여러 가지 다른 방향으로 확장될 수 있습니다.

  • 복소수는 모든 다항식에 대한 해를 포함하므로 실수와는 달리 대수적으로 닫힌 장입니다. 그러나 복소수는 순서 필드가 아닙니다.
  • 친화적으로 확장된 실수 체계는 + ∞와 - ∞의 두 요소를 추가합니다. 컴팩트한 공간입니다. 그것은 더 이상 장도 아니고 심지어 가산군도 아니지만 여전히 완전한 순서를 가지고 있습니다. 게다가 그것은 완전한 격자입니다.
  • 실제 투영 선은 하나의 값 ∞만 추가합니다. 컴팩트한 공간이기도 합니다. 다시 말하지만, 그것은 더 이상 필드도 아니고 심지어 추가 그룹도 아닙니다. 그러나 0이 아닌 요소를 0으로 나눌 수 있습니다. 분리 관계에 의해 설명되는 순환 순서를 갖습니다.
  • 긴 실수선은 실수선의 ℵ* + ℵ 복사본과 단일 점(여기서 ℵ*은 ℵ의 역순서를 의미함)을 붙여넣어 실수와 "로컬적으로" 동일하지만 다소 더 긴 순서 집합을 만듭니다. 예를 들어, 긴 실수선에는 ℵ의 순서 보존 임베딩이 있지만 실수에는 포함되지 않습니다. 긴 실수선은 완전하고 국소적으로 아르키메데스적인 가장 큰 순서 집합입니다. 앞의 두 예와 마찬가지로 이 집합은 더 이상 필드 또는 가산 그룹이 아닙니다.
  • 실수를 확장하는 순서 필드는 초실수초현실수입니다. 둘 다 무한히 작은 수와 무한히 큰 수를 포함하므로 비아키메데스 순서 필드입니다.
  • 힐베르트 공간의 자기 인접 연산자(예를 들어, 자기 인접 정사각형 복소 행렬)는 많은 측면에서 실수를 일반화합니다. (완전한 순서는 아니지만) 순서화할 수 있고, 완전하며, 모든 고유값이 실수이며, 실제 연관 대수를 형성합니다. 의 정의 연산자는 양의 실수에 대응하고 정규 연산자는 복소수에 대응합니다.

참고 항목

수계
복잡한
진짜
합리적인
정수
자연의
0 : 0
1: 1
소수
합성수
음의 정수
분수
유한 십진법
다이아딕 (무한쌍성)
반복 십진법
무리수
대수 무리수
초월적
허수

메모들

  1. ^ 이것은 실수와 유리수를 구별하기에 충분하지 않습니다. 완전성의 속성도 필요합니다.
  2. ^ 끝나는 유리수들은 두 개의 십진법 전개를 가질 수 있습니다(0.999 참조); 다른 실수들은 정확히 한 개의 십진법 전개를 갖습니다.
  3. ^ 한계 및 연속성은 실수를 참조하지 않고 일반 토폴로지에서 정의할 수 있지만 이러한 일반화는 비교적 최근의 것이며 매우 구체적인 경우에만 사용됩니다.
  4. ^ 좀 더 정확히 말하면, 완전히 순서화된 두 개의 필드가 주어졌을 때, 그들 사이에는 고유한 동형이 존재합니다. 이는 아이덴티티가 주문과 호환되는 현실의 고유한 필드 자동 형태임을 의미합니다.

참고문헌

인용

  1. ^ "Real number". Oxford Reference. 2011-08-03.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Real Number". Wolfram MathWorld. Retrieved 2020-08-11.
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원천

외부 링크