초완전수
Hyperperfect number수학에서 k-하이퍼펙트 수는 등가 n = 1 + k(n) - n - 1)가 갖는 자연수 n이며, 여기서 ((n)은 divisor 함수(즉, n의 모든 양의 divisor의 합계)이다.초완전한 숫자는 일부 정수 k에 대한 k-하이퍼펙트 숫자다.초퍼펙트 번호는 1-하이퍼펙트인 퍼펙트 숫자를 일반화한다.[1]
k-하이퍼펙트 수열의 처음 몇 숫자는 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, ...(OEIS의 경우 시퀀스 A034897), 해당 값은 1, 2, 6, 3, 12, ...(순서 A034898)이다.완벽하지 않은 최초의 몇 개의 k-하이퍼펙트 숫자는 21, 301, 325, 697, 1333, ...(OEIS에서 연속 A007592).
초완전한 숫자의 목록
다음 표에는 k-하이퍼펙트 번호 순서의 온라인 정수 백과사전(OEIS)에 있는 시퀀스 번호와 함께 k의 일부 값에 대한 처음 몇 개의 k-하이퍼펙트 번호가 나열되어 있다.
| k | OEIS | 알려진 k-하이퍼펙트 숫자 |
|---|---|---|
| 1 | OEIS: A000396 | 6, 28, 496, 8128, 33550336, ... |
| 2 | OEIS: A007593 | 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ... |
| 3 | 325, ... | |
| 4 | 1950625, 1220640625, ... | |
| 6 | OEIS: A028499 | 301, 16513, 60110701, 1977225901, ... |
| 10 | 159841, ... | |
| 11 | 10693, ... | |
| 12 | OEIS: A028500 | 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ... |
| 18 | OEIS: A028501 | 1333, 1909, 2469601, 893748277, ... |
| 19 | 51301, ... | |
| 30 | 3901, 28600321, ... | |
| 31 | 214273, ... | |
| 35 | 306181, ... | |
| 40 | 115788961, ... | |
| 48 | 26977, 9560844577, ... | |
| 59 | 1433701, ... | |
| 60 | 24601, ... | |
| 66 | 296341, ... | |
| 75 | 2924101, ... | |
| 78 | 486877, ... | |
| 91 | 5199013, ... | |
| 100 | 10509080401, ... | |
| 108 | 275833, ... | |
| 126 | 12161963773, ... | |
| 132 | 96361, 130153, 495529, ... | |
| 136 | 156276648817, ... | |
| 138 | 46727970517, 51886178401, ... | |
| 140 | 1118457481, ... | |
| 168 | 250321, ... | |
| 174 | 7744461466717, ... | |
| 180 | 12211188308281, ... | |
| 190 | 1167773821, ... | |
| 192 | 163201, 137008036993, ... | |
| 198 | 1564317613, ... | |
| 206 | 626946794653, 54114833564509, ... | |
| 222 | 348231627849277, ... | |
| 228 | 391854937, 102744892633, 3710434289467, ... | |
| 252 | 389593, 1218260233, ... | |
| 276 | 72315968283289, ... | |
| 282 | 8898807853477, ... | |
| 296 | 444574821937, ... | |
| 342 | 542413, 26199602893, ... | |
| 348 | 66239465233897, ... | |
| 350 | 140460782701, ... | |
| 360 | 23911458481, ... | |
| 366 | 808861, ... | |
| 372 | 2469439417, ... | |
| 396 | 8432772615433, ... | |
| 402 | 8942902453, 813535908179653, ... | |
| 408 | 1238906223697, ... | |
| 414 | 8062678298557, ... | |
| 430 | 124528653669661, ... | |
| 438 | 6287557453, ... | |
| 480 | 1324790832961, ... | |
| 522 | 723378252872773, 106049331638192773, ... | |
| 546 | 211125067071829, ... | |
| 570 | 1345711391461, 5810517340434661, ... | |
| 660 | 13786783637881, ... | |
| 672 | 142718568339485377, ... | |
| 684 | 154643791177, ... | |
| 774 | 8695993590900027, ... | |
| 810 | 5646270598021, ... | |
| 814 | 31571188513, ... | |
| 816 | 31571188513, ... | |
| 820 | 1119337766869561, ... | |
| 968 | 52335185632753, ... | |
| 972 | 289085338292617, ... | |
| 978 | 60246544949557, ... | |
| 1050 | 64169172901, ... | |
| 1410 | 80293806421, ... | |
| 2772 | OEIS: A028502 | 95295817, 124035913, ... |
| 3918 | 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ... | |
| 9222 | 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ... | |
| 9828 | 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ... | |
| 14280 | 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ... | |
| 23730 | 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ... | |
| 31752 | OEIS: A034916 | 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ... |
| 55848 | 15166641361, 44783952721, 67623550801, ... | |
| 67782 | 18407557741, 18444431149, 34939858669, ... | |
| 92568 | 50611924273, 64781493169, 84213367729, ... | |
| 100932 | 50969246953, 53192980777, 82145123113, ... |
k > 1이 홀수 정수이고 p = (3k + 1) / 2와 q = 3k + 4가 소수라면 p²q는 k-하이퍼펙트라는 것을 알 수 있다; Judson S. McCranie는 2000년에 홀수 k > 1의 모든 k-하이퍼펙트 숫자가 이 형태라고 추측했지만, 그 가설은 지금까지 증명되지 않았다.더욱이 p ≠ q가 홀수 소수이고 k가 k(p + q) = pq - 1과 같은 정수라면 pq는 k-하이퍼펙트임을 증명할 수 있다.
또한 k > 0과 p = k + 1이 prime이면 q = pi - p + 1이 prime, n = pq가i − 1 k-hyperpect라는 것을 보여줄 수 있다.다음 표에는 k의 알려진 값과 n이 k-하이퍼펙트인 i의 해당 값이 나열되어 있다.
| k | OEIS | i의 값 |
|---|---|---|
| 16 | OEIS: A034922 | 11, 21, 127, 149, 469, ... |
| 22 | 17, 61, 445, ... | |
| 28 | 33, 89, 101, ... | |
| 36 | 67, 95, 341, ... | |
| 42 | OEIS: A034923 | 4, 6, 42, 64, 65, ... |
| 46 | OEIS: A034924 | 5, 11, 13, 53, 115, ... |
| 52 | 21, 173, ... | |
| 58 | 11, 117, ... | |
| 72 | 21, 49, ... | |
| 88 | OEIS: A034925 | 9, 41, 51, 109, 483, ... |
| 96 | 6, 11, 34, ... | |
| 100 | OEIS: A034926 | 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ... |
결핍증
새로 도입된 수학적 개념인 고결핍은 초완벽 숫자와 관련이 있다.
정의(Minoli 2010):정수 n과 k> k에 대해,n 숫자에 대한 k-고결함(또는 단순히 고결함)을 다음과 같이 정의한다.
Δk(n) = n(k+1) +(k-1) – k³(n)
숫자 n은 Δk(n) > 0이면 k-hyperdufficient라고 한다.
k=1의 경우 Δ1(n)=2n––(n)을 얻는데, 이는 결핍의 표준 전통적 정의인 것이다.
보조정리: n의 숫자 n은 k-하이퍼펙트(k=1)의 k-하이퍼펙트(k-hyperpectivity, Δk(n) = 0인 경우에만 해당된다.
보조정리: 숫자 n은 일부 k에 대해 Δ(nk-j) = -Δk+j(n) = -Δ(n)가 적어도 1 j > 0일 경우에만 k-하이퍼펙트(k=1)이다.
참조
- ^ Weisstein, Eric W. "Hyperperfect Number". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-10.
- Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. p. 114. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.
추가 읽기
기사들
- Minoli, Daniel; Bear, Robert (Fall 1975), "Hyperperfect numbers", Pi Mu Epsilon Journal, 6 (3): 153–157.
- Minoli, Daniel (Dec 1978), "Sufficient forms for generalized perfect numbers", Annales de la Faculté des Sciences UNAZA, 4 (2): 277–302.
- Minoli, Daniel (Feb 1981), "Structural issues for hyperperfect numbers", Fibonacci Quarterly, 19 (1): 6–14.
- Minoli, Daniel (April 1980), "Issues in non-linear hyperperfect numbers", Mathematics of Computation, 34 (150): 639–645, doi:10.2307/2006107.
- Minoli, Daniel (October 1980), "New results for hyperperfect numbers", Abstracts of the American Mathematical Society, 1 (6): 561.
- Minoli, Daniel; Nakamine, W. (1980), "Mersenne numbers rooted on 3 for number theoretic transforms", International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing.
- McCranie, Judson S. (2000), "A study of hyperperfect numbers", Journal of Integer Sequences, 3, archived from the original on 2004-04-05.
- te Riele, Herman J.J. (1981), "Hyperperfect numbers with three different prime factors", Math. Comp., 36: 297–298, doi:10.1090/s0025-5718-1981-0595066-9, MR 0595066, Zbl 0452.10005.
- te Riele, Herman J.J. (1984), "Rules for constructing hyperperfect numbers", Fibonacci Q., 22: 50–60, Zbl 0531.10005.
책들
- 다니엘 미놀리, MPLS의 목소리, 뉴욕 맥그라우힐, 2002년 ISBN 0-07-07-140615-8 (페이지 114-134)
