번사이드 정리

윌리엄 번사이드

수학에서 번사이드의 집단 이론의 정리는 G가 $p^{a}q^{b}$ $p^{a}q^{b}$ ${\$ 의 $p^{a}q^{b}}$ 유한 집단이라면 p와 q는 소수, a와 b는 음이 아닌 정수라면 G는 해결할 수 있다고 되어 있다.따라서 각각의 비-아벨라 유한 단순 집단은 적어도 3개의 뚜렷한 소수들로 나누어질 수 있는 질서를 가지고 있다.

역사

그 정리는 윌리엄 번사이드(1904)에 의해 유한집단의 대표이론을 이용하여 증명되었다.그^[when?] 중^[which?] 몇 가지 특별한 경우는 이전에 번사이드, 요르단, 프로베니우스 등에 의해 증명된 바 있었다.존 톰슨은 N-그룹 정리 작업에서 표현 이론의 사용을 피하는 증거를 추출할 수 있다고 지적했고, 이는 홀수 순서의 그룹에 대해서는 골드슈미트(1970), 짝수 순서의 그룹에 대해서는 벤더(1972)가 명시적으로 했다.마츠야마(1973년)는 증빙을 간소화했다.

증명

번사이드보다 배경을 더 많이 사용하는 다음의 증거는 모순에 의한 것이다.pq는^a^b 이 숫자와 동일한 순서를 가진 해결 불가능한 그룹 G가 있을 정도로 두 개의 주요 강대국 중 가장 작은 제품이 되도록 하자.

G는 사소한 중심이 있는 단순한 그룹이고 a는 0이 아니다.

만약 G가 서로 다른 정규 부분군 H를 가지고 있다면, (G의 최소성 때문에), H와 G/H도 해결할 수 있을 것이고, 따라서 G 역시 우리의 가정과 모순될 것이다.그래서 G는 간단하다.

만약 a가 0이라면, G는 유한 q-group일 것이고, 따라서 nilpotent일 것이고, 따라서 해결 가능하다.

마찬가지로 G는 아벨리안일 수 없고 그렇지 않으면 해결할 수 있을 것이다.G는 단순하기 때문에 그것의 중심은 반드시 사소한 것이어야 한다.

일부 d > 0에 대해 q^d 결합체를 갖는 G의 원소가 있다.

Sylow의 정리 제1차 진술에 의해 G는 순서^a p의 부분군 S를 가진다.S는 비경쟁적인 p-그룹이기 때문에 중심 Z(S)가 비경쟁적이다.비경쟁 요소 $g\in Z(S)$ $g\in Z(S)$ $g\in Z(S)$ ( $g\in Z(S)$ ) $g\in Z(S)$ 을(를 $g\in Z(S)$ 고정한다. g의 결합자 수는 S의 지수 q를^b 나누는 스태빌라이저 부분군_g G의 지수와 같다(S는 G의_g 부분군이기 때문이다).따라서 이 숫자는 q^d 형식이다. 더욱이, 정수 d는 g가 비경쟁적이어서 G에서 중심적이지 않기 때문에 엄격히 양수적이다.

치수 n은 q로 분할되지 않고 복잡한 숫자 χ(g)은 0이 아닌 χ과 함께 χ과 비교 불가한 표현 exists이러한 치수 n은 q로 분할되지 않는다.

$\mathbb {C}$ _{1 ≤ i ≤ h} ${\$ 여기서 χ은₁ 사소한 문자를 나타냄) 위에 G의 복구할 수 없는 문자 패밀리가 되도록 하자. $\mathbb {C}$ g는 1과 같은 결합 등급에 속하지 않기 때문에, 그룹의 문자 표의 열에 대한 직교성 관계는 다음을 제공한다.

0=\sum _{i=1}^{h}\chi _{i}(1)\chi_{i}=1+\sum _{i=2}^{i}\i}g.

이제 χ_i(g)는 대수적 정수인데, 그것들이 통합의 뿌리의 합이기 때문이다.g에서 사라지지 않는 모든 비독점적 캐릭터들이 1시에 q로 나눌 수 없는 가치를 취한다면, 우리는 그것을 추론한다.

-{\frac {1}{q}=\sum _{i\geq 2,~\chi _{i}\neq 0}{\frac {\i}{i}(1)}{q}\chi _{i}(g)

대수적 정수(대수적 정수의 정수 배수의 합이기 때문에), 이것은 불합리하다.이것이 그 진술을 증명한다.

복합수 qχ^d(g)/n은 대수 정수다.

The set of integer-valued class functions on G, Z( $\mathbb {Z}$ [G]), is a commutative ring, finitely generated over $\mathbb {Z}$ . All of its elements are thus integral over $\mathbb {Z}$ , in particular the mapping u which takes the value 1 on the conjugacy class of g그리고 다른 곳에서는 0이다.

$A:Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{n})$ 함수 f를 보내는 매핑 $A:Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{n})$ A $A:Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{n})$ : $A:Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{n})$ ( $A:Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{n})$ Z [ $A:Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{n})$ $A:Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{n})$ → $A:Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{n})$ ⁡ $A:Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{n})$ (C $A:Z(\mathbb {Z} [G])\rightarrow \operatorname {End} (\mathbb {C} ^{n})$ ) ${\displaystyle$ A $:Z(\mathb$ {Z $}[G])\$ 오른쪽 $화살표 \operatorname$ { $End}(\mathb {C} ^{n})}$

\sum _{s\in G}f\rho(s)

반지의 동형상이다.왜냐하면 ρ(s)⁻¹A(u)ρ = 모든 s에 대해 A(u)가 되기 때문에 슈르의 보조정리법은 A(u)가 동음이의 λI임을_n 암시한다.그 흔적은 다음과 같다.

\displaystyle \sum _{s\in G}f\chi(s)=q^{d}\chi(g)}

호모테티 λI는_n 적분 원소의 동형상이기 때문에, 이것은 복합수 λ = qχ^d(g)/n이 대수 정수라는 것을 증명한다.

복합수 χ(g)/n은 대수 정수다.

q는 n에 비해 비교적 원시적이기 때문에, 베주트의 정체성에 의해 다음과 같은 두 개의 정수 x와 y가 있다.

xq^{d}+yn=1\text{n}}\frac {\frac {\chi(g)}{n}=x{q^{d}\chi}{n}+y\chi(g)}

대수 정수의 정수 계수를 갖는 선형 결합은 다시 대수 정수이기 때문에, 이것은 그 문장을 증명한다.

g의 이미지는 ρ이라는 표현 아래 동음이의어다.

복합수인 ((g)/n이 되게 한다.대수 정수여서 그 규범 N(ζ) (즉, 그 결합체의 산물로서 $\mathbb {Q}$ ${\$ 에 대한 최소 다항식의 뿌리가 0이 아닌 정수인 것이다.이제 ζ은 단결의 뿌리의 평균( e(g)의 고유값)이므로 그 결합도 모두 1보다 작거나 같은 절대값을 갖는다.그들의 제품 N(ζ)의 절대값이 1보다 크거나 같기 때문에 그들의 절대값은 모두 1이어야 하며, 특히 ζ(g)의 고유값이 모두 같으므로 ρ(g)는 동음이의 값이다.

결론

N을 ρ의 알맹이가 되게 하라.균질 ρ(g)은 임(()에서 중심인 반면, g는 G에서 중심인 반면, g는 G에서 중심인 것이 아니다. 따라서 단순군 G의 정상 부분군 N은 비교가 되지 않기 때문에 G와 동일하므로 ρ은 비교표현이라는 사실과 모순된다.

이 모순은 정리를 증명한다.

참조

Bender, Helmut (1972), "A group theoretic proof of Burnside's p^aq^b-theorem.", Math. Z., 126: 327–338, doi:10.1007/bf01110337, MR 0322048
Burnside, W. (1904), "On Groups of Order p^αq^β" (PDF), Proc. London Math. Soc. (s2-1 (1)): 388–392, doi:10.1112/plms/s2-1.1.388
Goldschmidt, David M. (1970), "A group theoretic proof of the p^aq^b theorem for odd primes", Math. Z., 113: 373–375, doi:10.1007/bf01110506, MR 0276338
제임스, 고든, 그리고 리벡, 마틴(2001)이다.그룹의 표현 및 문자 (2번째 페이지)케임브리지 대학교 출판부ISBN 0-521-00392-X.31장을 참조하라.
Matsuyama, Hiroshi (1973), "Solvability of groups of order 2^aq^b.", Osaka J. Math., 10: 375–378, MR 0323890

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