레오나르도 수

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레오나르도 숫자는 재발에 의해 주어진 일련의 숫자들이다.

${\displaystyle L(n)={\begin{case}1&{\mbox{{{n=0\\\1&{\n-1)+L(n-1)+L(n-2)+1&{\mbox{{{n}\case}}}}}}}$

Edsger W. Dijkstra는^[1] 그것들을 그의 스무드소트 알고리즘의 필수적인 부분으로 사용했고,^[2] 또한 그것들을 좀 더 자세히 분석했다.^[3]

레오나르도 프라임은 또한 프라임인 레오나르도 숫자다.

가치

처음 몇 개의 레오나르도 숫자는

1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167, 8361, ...(OEIS의 경우 순서 A001595)

처음 몇개의 레오나르도 프라임은

3, 5, 41, 67, 109, 1973, 5167, 2692537, 11405773, 126491971, 331160281, 535828591, 279167724889, 145446920496281, 28944668049352441, 5760134388741632239, 63880869269980199809, 167242286979696845953, 597222253637954133837103, ... (sequence A145912 in the OEIS)

표현.

• 다음과 같은 방정식이 적용된다.

${\displaystyle L(n)=2L(n-1)-L(n-3)}$

피보나치 수와의 관계

레오나르도 숫자는 관계 $L{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle F}$( n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L(n)=2F(n+1)-1,n\geq 0}$에 의해 피보나치 숫자와 관련된다$.$

이러한 관계에서 레오나르도 숫자에 대한 폐쇄형식을 도출하는 것은 간단하며, 이는 피보나치 숫자에 대한 비네의 공식과 유사하다.

${\displaystyle L(n)=2{\frac {\varphi ^{n+1}-\psi ^{n+1}}{\varphi -\psi }}-1={\frac {2}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{n+1}-\psi ^{n+1}\right)-1=2F(n+1)-1}$

where the golden ratio ${\displaystyle \varphi =\left(1+{\sqrt {5}}\right)/2}$ and ${\displaystyle \psi =\left(1-{\sqrt {5}}\right)/2}$ are the roots of the quadratic polynomial ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$.

참조

외부 링크

• OEIS 시퀀스 A001595