주이념

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수학, 특히 링 이론에서 주요 이상은 $R$의 모든 요소에 의한 곱셈을 통해$$ $R$의 ${\displaystyle R}$의 ${\displaystyle A}$에 의해 생성되는$$ $링{\displaystyle }$ R$${\$displaystyle R$$}$의 $이상적$인 I$${\$displaystystyle I$}이다$.$ 용어$$ 또한 다른 유사한 평균을 가지고 있다.g 순서 이론에서, 단일 요소 x${\displaystyle }x{\displaystyle }$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle$ x$\in P}$에 의해 생성된$$ poset P ${\displaystyle$ $p$$}$에서 (순서) 이상적(순서)을 가리키며, $이$는${\displaystyle }$P .$${\$displaystyle$ p$.}$에서 x ${\displaystystyle$ x$}$보다 작거나 같은 모든 요소의 집합을 말한다.

이 글의 나머지 부분은 고리-테오레틱 개념을 다루고 있다.

정의들

• $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 왼쪽 주 이상적인 R은 $일부{\displaystyle }$ 요소${\displaystyle }$a$,$ {\$displaystyle$a,}에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ R${\displaystyle }$a${\displaystyle }$= {${\displaystyle r}$ :${\displaystyle r\}}$ ${\displaystyle R}$}{$displaystyle R=\{ra:r\in R\}$이(가) 제공하는 R${\$$displaystystyle$ R}의 $하위$ 집합이다.
• $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 오른쪽 주 이상은 ${\displaystyle \mathrm{일부}}$ 요소 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle aR$${\displaystyle \},}${\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $aR=\{ar:r\in R\}$에 의해$$$$ 제공된 R ${\displaystyle R}$의 하위 집합이다$.$
• a two-sided principal ideal of ${\displaystyle R}$ is a subset of ${\displaystyle R}$ given by ${\displaystyle RaR=\{r_{1}as_{1}+\ldots +r_{n}as_{n}:r_{1},s_{1},\ldots ,r_{n},s_{n}\in R\}}$ for some element ${\display$$스타일$ $a,}$ 즉$$, ${\displaystyle \mathrm{형식상}}$의 모든 유한 합계의 $집합$ r${\displaystyle .}$ . . .$$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . $..$$}$

양면 주 이상에 대한 이 정의는 다른 정의보다 더 복잡해 보일 수 있지만, 추가적으로 이상이 닫힌 상태로 유지되도록 하는 것이 필요하다.^{[citation needed]}

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) ID가 있는 정류 링이라면 위의 세 가지 개념은 모두 동일하다. 이 경우 ${\displaystyle a}$에 의해 생성된 이상을 ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle a\angle }$ 또는$$${\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (a$)로 쓰는 것이 일반적이다$.$$}$

비원칙적 이상 예

모든 이상이 주체가 되는 것은 아니다. 예를 들어 계수가 복잡한 두 $변수{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$ 및 $y$ , ${\displaystyle y}$에서 모든 다항식$$중$$$C[x,y$] [x,y$]}$을(를) 교환 링 $C{\displaystyle \mathbb{}[x}$, y${\displaystyle ]}$를 고려하십시오. 상수 기간 동안 0을 갖는$$ $C{\displaystyle \mathbb{}[}$ ${\displaystyle x}$,${\displaystyle }$${\displaystyle y}$$$$]$의 모든 $다항식으로$구성된 x${\$$displaystyle$ $x$$}$ 및$$ $y{\displaystyle ,}$ ${\$$displaystyle$ y$}$에 의해 생성된$$ 이상적인${\displaystyle }$$style$x , y \$langle$ x$,y\$$displaysty$ y$}$은 주체가 아니다. 이를 확인하려면 $p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $p}$이(가)${\displaystyle }$⟨ ${\displaystyle x}$, y ${\displaystyle ⟩}$. ${\displaystyle \langle x,y\\rangele .}$의 생성자였다고$$ 가정하면$$, $그러면$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$와 y ${\displaysty y$$}$은(가$)$ 모두 p , ${\$$displaystystystystystystystystystystystyp$)로 구분되며, 이 0이($으)$가 아니면 불가능하다. 그러나 0은 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ⟩}$, ${\displaystyle \langle x,y\angle }$에서 유일한 상수여서 우리는 모순을 가지고 있다.

In the ring ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\{a+b{\sqrt {-3}}:a,b\in \mathbb {Z} \},}$ the numbers where ${\displaystyle a+b}$ is even form a non-principal ideal. 이 이상은 복잡한 평면에서 규칙적인 육각 격자를 형성한다. $({\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$, b${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$0${\displaystyle }$) ${\displaystyle (a,b)=(2,0)}$ 및$$${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$)${\displaystyle (1,1$)을 고려하십시오$.$$}}$ 이$$ 숫자들은 같은 규범(2개)을 가진 이 이상적 요소들이지만, 링에 있는 유일한 $단위$는 1 ${\displaystyle 1}$과${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle -1,}$이기 때문에 그들은$$ 연관성이 없다.

관련 정의

모든 이상이 주체가 되는 반지를 교장, 또는 주된 이상반지라고 한다. PID(주요 이상 도메인)는 모든 이상이 주체가 되는 필수 영역이다. 모든 PID는 고유한 요인화 영역이다. 정수의 고유한 요인화에 대한 일반적인 증명(일명 산술의 기본 정리)은 어떤 PID에도 있다.

주요 이상 예

$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 주요 이상은 $⟨{\displaystyle n}$ ${\displaystyle ⟩}$= n ${\displaystyle Z\mathbb{}.}$ ${\displaystyle \langle n\rangele =n\\\mathb${Z$$$}.}$$사실{\displaystyle \mathbb{}}$Z {\\$displaysty \mathb$ {Z$}}은($으)의 주요 이상 영역으로 다음과$$$$ 같이 나타낼 수 있다. Suppose ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots \rangle }$ where ${\displaystyle n_{1}\neq 0,}$ and consider the surjective homomorphisms ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\ra$$ngle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},n_{3}\rangle \rightarrow \cdots .}$ Since ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle }$ is finite, for sufficiently large ${\displaystyle k}$ we have ${\displaystyle \mathbb{Z}/⟨n_1,n_2,\dots ,n_k⟩=\mathbb{Z}/}$${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle =\mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k+1}\rangle =\cdots .}$ Thus ${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle ,}$ which implies ${\displaystyle I}$ is 항상 미세하게 생성된다. Since the ideal ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ generated by any integers ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ is exactly ${\displaystyle \langle \mathop {\mathrm {gcd} } (a,b)\rangle ,}$ by induction on the number of generators it follows that ${\displaystyle I$${}$이(가) 교장이다.

그러나, 모든 반지는 주요한 이상, 즉 정확히 하나의 요소에 의해 생성되는 모든 이상을 가지고 있다. For example, the ideal ${\displaystyle \langle x\rangle }$ is a principal ideal of ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y],}$ and ${\displaystyle \langle {\sqrt {-3}}\rangle }$ is a principal ideal of ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}].$$}$ {${\displaystyle 0}$} = ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \backslash }$\$displaystyle \{0\}=\langle 0\langle }$과(와) $R{\displaystyle }$ =${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle R=\langle$ 1$\rangele}$은(는) 모든 링 $R{\displaystyle .}$ ${\displaystystystyle R.}$의 주요$$ 이상이다$$.

특성.

모든 유클리드 영역은 PID이다. 가장 큰 공통 분점 계산에 사용되는 알고리즘은 어떤 이상적인 발전기를 찾기 위해 사용될 수 있다. 보다 일반적으로, 상호 작용 링에 있는 어떤 두 가지 주요 이상은 이상적인 곱셈의 의미에 있어서 가장 큰 공통점을 가지고 있다. 주요 이상적인 영역에서, 이것은 하나의 단위로 곱하기까지의 링 요소들의 가장 큰 공통 분포를 계산할 수 있게 해준다; 우리는 ${\displaystyle gcd}$ ${\displaystyle (,b}$) ${\displaystyle \gcd(a,b)}$를 이상적인$$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b⟩.}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangele.}$의 생성기로 정의한다.

For a Dedekind domain ${\displaystyle R,}$ we may also ask, given a non-principal ideal ${\displaystyle I}$ of ${\displaystyle R,}$ whether there is some extension ${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle R}$ such that the ideal of ${\displaystyle S}$ generated by ${\displaystyle I}$ is principal (더 느슨하게 말하면, $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ I$}$은(는) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 주체가 된다$$.$$ 이 문제는 대수적 정수(데데킨드 도메인의 예)의 고리 연구와 관련하여 발생하였으며, 이 때문에 다카기 테이지, 에밀 아르틴, 데이비드 힐버트 등 여러 학문에 의한 계급장 이론의 전개로 이어졌다.

클래스장 이론의 주된 이상적 정리는 모든 정수 링 $R{\displaystyle }${\$displaystyle$R}($$즉, 일부 숫자장 정수의 링)이 더 큰 정수 $링{\displaystyle }$ S ${\displaystyle$S}에 포함되어 $있으며{\displaystyle }$, R$$ ${\displaystyle R}$의 모든 이상이 $S{\displaystyle .}$ ${\\displaystystytyle S$의 주요 이상이 되는$$ 특성을 가지고 있다.$.}$ 이 정리에서는$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ R}의$$$힐버트{\displaystyle }$ 클래스 필드의 정수 링으로 S$$ {\displaystyle $S}$을(를) 취할 수 있다. 즉, $R{\displaystyle }$,${\displaystyle R}$의 소수 필드의 최대 미묘화 아벨리아 확장(즉, 갈루아비아 그룹이 아벨리안인 갈루아 확장자)이며, 이것은 R에 의해$$ 고유하게 결정된다.$R$

크롤의 주된 이상적 정리는 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 노메트리안 고리이고 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $I$$}$이(가) 주체라면$$, $R{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ R$,}$의 적절한 이상적이라면$$I {\$displaystyty$ I$}$은 높이가 최대 하나라고 명시하고$$ 있다.

참고 항목

• 주요 이상에 대한 오름차순 체인 조건

참조

• Gallian, Joseph A. (2017). Contemporary Abstract Algebra (9th ed.). Cengage Learning. ISBN 978-1-305-65796-0.