비노그라도프의 정리

수 이론에서 비노그라도프의 정리는 충분히 큰 홀수 정수를 3개의 소수 합으로 쓸 수 있다는 것을 암시하는 결과물이다.그것은 골드바흐의 약한 추측의 약한 형태인데, 이는 5보다 큰 모든 홀수 정수에 대해 그러한 표현이 존재함을 암시할 것이다.1930년대에 이를 증명했던 이반 마트베예비치 비노그라도프의 이름을 따서 지은 것이다.하디와 리틀우드는 앞서 이 결과가 일반화된 리만 가설에서 나온다는 것을 보여주었고, 비노그라도프는 이러한 가정을 없앨 수 있었다.비노그라도프의 정리에 대한 완전한 진술은 홀수 정수의 표현 횟수에 대해 점증적 한계를 3회 합으로 부여한다.비노그라도프의 원작에서는 "충분히 크다"는 개념이 잘못 정의되어 있었지만 2002년에는 10개가¹³⁴⁶ 충분히 크다는 것이 밝혀졌다.^[1][2]추가로 10개까지의²⁰ 숫자를 짐승의 힘 방법을 통해 확인했기 때문에,^[3] 이상한 골드바흐 추측이 증명되거나 반증되기 전에 확인해야 할 경우는 한정되어 있었다.2013년, Harald Helfgott는 모든 경우에 대해 골드바흐의 약한 추측을 증명했다.

비노그라도프의 정리 성명

A를 확실한 실수가 되게 하라.그러면

${\displaystyle r(N)={1 \over 2}G(N)^{2}+O\왼쪽(N^{2}\log ^{-A}N\right),}$

어디에

${\displaystyle r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}}=N}\Lambda(k_{1})\Lambda(k_{2})\Lambda(k_{3}),}$

von $Mangoldt{\displaystyle \mathrm{}}$ 함수 $\$ {\$displaystyle \Lambda }$및

${\displaystyle G(N)=\좌(\prod _{p\mid N}\좌(1-{1 \over {\좌(p-1\우))}^{2}}\오른쪽)\왼쪽(\prod _{p\nmid N}\왼쪽(1+{1 \over {\좌측(p-1\우측)}^{3}}\오른쪽)\오른쪽).}$

결과

N이 홀수일 경우 G(N)은 대략 1이므로 모든 N이 충분히 큰 N에 대해$$ $N{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle r}$( ${\displaystyle N}$) ${\displaystyle N^{2$}\$ll$r(N$)}$이(가) 된다.적절한 프라임 파워에 의한 r(N)에 대한 $기여$가 O${\displaystyle ({\frac{\mathrm{N}}{}}^{}}$ ${\displaystyle 3^{}{}^{}{}^{}}$ 2 ${\displaystyle {log\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{})}$ ${\displaystyle N}$ )$${\$displaystyle O\left(N$^{$3 \over 2$}\log$^{2}$N\right$)}$임을 보여줌으로써, 이를 알 수 있다$.$

${\displaystyle N^{2}\log ^{-3}N\ll \left({\hbox{number of ways N을 3 primes}\오른쪽)의 합으로 쓸 수 있다.}$

이것은 특히 충분히 큰 홀수 정수를 3자 합으로 쓸 수 있다는 것을 의미하며, 따라서 골드바흐가 거의 모든 경우에 대해 약한 추측을 보여준다.

증거전략

정리의 증거는 하디-리틀우드 원법을 따른다.지수 합 정의

${\displaystyle S}$ (${\displaystyle \alpha }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \lambda }$(${\displaystyle n}$) e${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{\alpha n}}$) ${\displaystyle S(\alpha )=\sum _{n=1}^{N}\Lambda (n)e(\alpha n$

그러면 우리는

${\displaystyle S(\alpha )^{3}=\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}\leq N}\Lambda (n_{1})\Lambda (n_{2})\Lambda (n_{3})e(\alpha (n_{1}+n_{2}+n_{3}))=\sum _{n\leq 3N}{\tilde {r}}(n$$)e(\reason$ n$)\},$

여기서 $r{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$은(는) 주요 권한으로 제한된 표현 수 $\le {\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \leq$ N$}$을(를) 나타냄$$$.$ 따라서

${\displaystyle r}$( ${\displaystyle N}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle {}_{}^{}}$α 0 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle \alpha {}^{}}$) 3 ${\displaystyle {e\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle N}$) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r(N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3e(-\alpha$ N$)\;d\alpha$ $\}\}.$

If ${\displaystyle \alpha }$ is a rational number ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$, then ${\displaystyle S(\alpha )}$ can be given by the distribution of prime numbers in residue classes modulo ${\displaystyle q}$. Hence, using the Siegel-Walfisz theorem we can compute the contribution of the above integ작은 분모가 있는 합리적 지점의 작은 이웃에 있는 ral.그러한 합리적인 점에 가까운 실수의 집합은 보통 주요 호라고 불리며, 보완자는 부호들을 형성한다.이러한 간격이 적분을 지배하는 것으로 밝혀졌으므로, 정리를 증명하기 위해서는 부호 안에 포함된$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 대한 $){\displaystyle S(\alpha )}$에 대한 상한선을 주어야 한다.이 견적이 증명에서 가장 어려운 부분이다.

일반화 리만 가설을 가정하면, 주요 호에 사용되는 인수는 부호까지 확장될 수 있다.이것은 1923년에 하디와 리틀우드에 의해 행해졌다.1937년 비노그라도프는 $displaystyle S(\alpha )}}}$에 무조건적인 상한을 부여했다$.$ 그의 주장은 단순한 체의 정체성으로 시작되었고, 그 결과 생긴 용어들은 어느 정도 취소를 얻기 위해 복잡한 방법으로 재배열되었다.1977년 R. C. Vaughan은 나중에 Vaughan의 정체성으로 알려지게 된 것에 기초하여 훨씬 더 간단한 주장을 발견했다.그는 만약 - < 1 2{\$displaystyle \alpha -{\frac$ {a$}{q}}}{q}}}}}}{\frac {1}{q^{2$}}:00 그 다음임을 증명했다.

${\displaystyle S}$(${\displaystyle \alpha }$ )${\displaystyle \ll }$( ${\displaystyle N\frac{}{}{}^{}}$ + ${\displaystyle {N\mathrm{}4\mathrm{}}^{}}$ /${\displaystyle {}^{}}$5 + ${\displaystyle N\sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{q}}$) ${\displaystyle {\mathrm{로그}}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S(\alpha$) $\ll$\ll \$left ({\frac {N}{\sq}}}+N^{4/5}+{\sqrt{n}}}\log ^{4}N$

Using the Siegel-Walfisz theorem we can deal with ${\displaystyle q}$ up to arbitrary powers of ${\displaystyle \log N}$, using Dirichlet's approximation theorem we obtain ${\displaystyle S(\alpha ) \ll {\frac {N}{\log ^{A}N}}}$ on the minor arcs.따라서 부호 위에 있는 적분은 다음과 같이 경계할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {CN}{\log ^{A}N}}\int _{0}^{1} S(\alpha ) ^{2}\;d\alpha \ll {\frac {N^{2}}{\log ^{A-1}N}}}$,

정리상의 오차항이 나오는군

참조

• Vinogradov, Ivan Matveevich (1954). The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Translated, revised and annotated by K. F. Roth and Anne Davenport. London and New York: Interscience. MR 0062183.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive number theory. The classical bases. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 164. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3845-2. ISBN 0-387-94656-X. MR 1395371. 8장.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Vinogradov's Theorem". MathWorld.