게으른 요리사의 순서

더 공식적으로 중심 다각형 숫자로 알려진 게으른 요리사의 순서는 주어진 수의 직선 컷으로 만들 수 있는 디스크의 최대 조각 수(팬케이크나 피자는 보통 상황을 설명하는 데 사용된다)를 설명한다.예를 들어, 팬케이크를 가로지르는 세 컷은 원 안의 공통점에서 모든 컷이 일치하면 여섯 조각을 생성하지만 그렇지 않으면 일곱 조각까지 생성된다.이 문제는 선 배열에서 셀을 세는 것의 하나로서 수학적으로 공식화될 수 있다; 더 높은 차원에 대한 일반화는 하이퍼플레인의 배열을 참조하라.

3차원의 이 시퀀스의 아날로그는 케이크 번호다.

공식 및 시퀀스퀀스

지정된 수의 절단 n으로 생성될 수 있는 최대 조각 수 p, 여기서 n ≥ 0은 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle p={\frac {n^{2}+n+2}{2}.}$

이항 계수를 사용하여 공식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle p=1+{\tbinom {n+1}{2}}}={\tbinom{n}{0}+{\tbinom {n}{1}+{\tbinom {n}{2}}.}$

간단히 말해서, 각 숫자는 삼각형 숫자 + 1과 같다.

베르누이의 삼각형(k = 2)의 세 번째 열은 삼각형 숫자 플러스 1이므로, 게으른 식객의 n컷 순서(n ≥ 2)를 형성한다.

이 순서는 파스칼 삼각형의 각 행의 처음 3개 항까지의 합에서 대안으로 도출할 수 있다.^[1]

k n	0	1	2		합계
1	1	-	-		1
2	1	1	-		2
3	1	2	1		4
4	1	3	3		7
5	1	4	6		11
6	1	5	10		16
7	1	6	15		22
8	1	7	21		29
9	1	8	28		37
10	1	9	36		46

n = 0으로 시작하는 이 시퀀스(OEIS의 시퀀스 A000124). 따라서

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, ...

그것의 3차원 아날로그는 케이크 숫자로 알려져 있다.연이은 케이크 숫자의 차이는 게으른 요리사의 순서를 알려준다.^[2]

증명

p = f(n)로 표현되는 최대 조각 수를 생성하기 위해 원을 n번 자르면 n번째 절단을 고려해야 하며, 마지막 절단에 의해 추가된 조각 수는 f(n - 1)이다.

최대 조각 수를 얻으려면 n번째 절단선이 원 내부의 다른 모든 절단선을 교차하되, 이전 절단선의 교차점을 교차해서는 안 된다.따라서 n번째 선 자체는 n - 1위, n번째 선 세그먼트로 절단된다.각 세그먼트는 팬케이크(n - 1)의 한 조각을 두 부분으로 나누고 조각 수에 정확히 n을 더한다.새 선은 이전 선 각각을 한 번만 통과할 수 있기 때문에 더 이상 세그먼트를 가질 수 없다.기존 교차점이 아닌 지점을 중심으로 작은 각도로 칼을 회전시키면 각도가 충분히 작을 경우 마지막으로 추가된 선을 포함하여 이전의 모든 선을 교차하기 때문에 절단선은 항상 이전의 모든 절단선을 교차할 수 있다.

따라서 n컷 이후의 총 조각 수는 다음과 같다.

$[\displaystyle f(n)=n+f(n-1)]}$

이러한 재발 관계는 해결될 수 있다.f(n - 1)가 한 용어 확장되면 관계가 된다.

$[\displaystyle f(n)=n+(n-1)+f(n-2)]}$

f(n - 2) 용어의 확장은 마지막 기간이 f(0)으로 줄어들 때까지 계속될 수 있으므로,

$[\displaystyle f(n)=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +1+f(0)]}$

f(0) = 1이므로, 절단을 하기 전에 한 조각이 있기 때문에, 이것은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle f(n)=1+(1+2+3+\cdots +n).}$

이는 산술적 수열의 합계에 대한 공식을 사용하여 단순화할 수 있다.

${\displaystyle f(n)=1+{\frac {n(n+1)}{2}}}={\frac {n^{2}+n+2}{2}}.}$

참고 항목

• 케이크 번호
• 플로이드 삼각형
• 원을 영역으로 분할 - 여기서 n은 내접된 다각형의 면 수입니다.

메모들

참조

• Moore, T. L. (1991), "Using Euler's formula to solve plane separation problems", The College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, 22 (2): 125–130, doi:10.2307/2686448, JSTOR 2686448.

• Steiner, J. (1826), "Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes ("A Few Statements about the Division of the Plane and of Space")", J. Reine Angew. Math., 1: 349–364.

• Wetzel, J. E. (1978), "On the division of the plane by lines" (PDF), American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 85 (8): 647–656, doi:10.2307/2320333, JSTOR 2320333, archived from the original (PDF) on 2011-07-21, retrieved 2008-12-15.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Circle Division by Lines". MathWorld.