소수점 수식

숫자 이론에서, 소수 공식은 소수만을 생성하는 공식이다. 정확하고 예외 없이.효율적으로 계산할 수 있는 공식은 알려져 있지 않다.그러한 '공식'이 어떤 것이 될 수 있고 또 어떤 것이 될 수 없는지를 보여주는 여러 제약조건이 알려져 있다.

윌슨의 정리를 바탕으로 한 공식

간단한 공식은

${\displaystyle f(n)=\left\lfloor {\frac {n!{\bmod{(}}}n+1)}{n}\right\bloor (n-1)+2}$

양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 경우$,$ 여기서 $\lfloor {\displaystyle }$ ${\displaystyle \text{⌊}}$ \ ${\displaystyle \lfloor \rfloor }$은 가장 가까운 정수로 반올림되는 바닥 기능이다.By Wilson's theorem, ${\displaystyle n+1}$ is prime if and only if ${\displaystyle n!\equiv n{\pmod {n+1}}}$. Thus, when ${\displaystyle n+1}$ is prime, the first factor in the product becomes one, and the formula produces the prime number ${\displaystyle n+1}$.그러나 $n{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n+1$}이$($가) prime이 아닐$$ 때 첫 번째 인자는 0이 되고 공식은 prime number 2를 생성한다.^[1]$n{\displaystyle !}$ ${\displaystyle mod}$(${\displaystyle n}$+ $){\displaystyle$ n$!{\bmod{(}})}을($를)${\displaystyle \mathrm{평가}}$하려면 n$$- 1 {\$displaystyle n-1}$의 승수와 감소 $modulo{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1 ${\displaystyle n+1$}이$($$가$) 필요하기 때문에 이 공식은 소수점을 생성하는 효율적인 방법이 아니다$.$

1964년에 윌런스는 이 공식을 주었다.

${\displaystyle p_{n}=1+\sum _{i=1}^{2^{n}\left\frac {n}{\sum _{j=1}^{i}\lfloor \lfloor(\cos {\frac {(j-1)!+1}{j}}\pi \right)^{2}\right\piloor }}^{1/n}\right\irown }$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 기본 ${\displaystyle {번호}_{}}$ p {\$displaystyle p_$^[2]n}에 대해$.$이 공식은 또한 효율적이지 않다.In addition to the appearance of ${\displaystyle (j-1)!}$, it computes ${\displaystyle p_{n}}$ by adding up ${\displaystyle p_{n}}$ copies of ${\displaystyle 1}$; for example, ${\displaystyle p_{5}=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1$$+$$1+0+0+\ft +0=11}$ .

디오판타인 방정식 시스템 기반 공식

프라임의 집합은 계산적으로 열거할 수 있는 집합이기 때문에, 마티야세비치의 정리에 의해 디오판타인 방정식의 체계로부터 얻을 수 있다.Jones 외 연구진(1976)은 26개 변수에서 14개의 디오판틴 방정식을 명시적으로 발견했는데, 예를 들어, 주어진 숫자 k + 2는 만약 그 시스템이 자연수로 해결책을 가지고 있다면 다음과 같은 경우에 한한다.^[3]

${\displaystyle \property_{0}=wz+h+j-q=0}$

${\displaystyle \property_{1}=(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z=0}$

${\displaystyle \property_{2}=16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}=0}$

${\displaystyle \cHB _{3}=2n+p+q+z-e=0}$

${\displaystyle \property_{4}=e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}=0}$

${\displaystyle \property_{5}=(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}=0}$

${\displaystyle \property_{6}=16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}=0}$

${\displaystyle \cHB_{7}=n+\ell +v-y=0}$

${\displaystyle \property_{8}=(a^{2}-1)\ell ^{2}+1-m^{2}=0}$

${\displaystyle \cHB_{9}=ai+k+1-\ell -i=0}$

${\displaystyle \property_{10}=(a+u^{2}-a)^{2}-1(n+4dy)^{2}+1-(x+cu)^{2}=0}$

${\displaystyle \cHB_{11}=p+\ell (a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m=0}$

${\displaystyle \cHB_{12}=q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x=0}$

${\displaystyle \pm _{13}=z+p\ell (a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm=0}$

14 방정식 α₀, …, α는₁₃ 26개 변수에서 생성되는 다항식 불평등을 생성하는 데 사용할 수 있다.

${\displaystyle (k+2)(1-\properties _{0}^{2}-\properties _{1}^{1}^{1}^{1}-\cdots -\properties _{13}^{2})0}$

예:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(k+2)(1-{}\\[6pt]&[wz+h+j-q]^{2}-{}\\[6pt]&[(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z]^{2}-{}\\[6pt]&[16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[2n+p+q+z-e]^{2}-{}\\[6pt]&[e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[(a^{2}-1)y^{2}+1-x^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[16r^{2}y^{4}(a^{2}-1)+1-u^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[n+\ell +v-y]^{2}-{}\\[6pt]&[(a^{2}-1)\ell ^{2}+1-m^{2}]^{2}-{}-{}\[6pt]&[ai+k1-\-\ell -i]^{2}-{2}-{6pt]&[(a+u^{2}-a)^{2}-1}(n+4dy)^{2-1}^{2}+1-(x+cu)^{2}]^{2}-{}\\[6pt]&[p+\ell (a-n-1)+b(2an+2a-n^{2}-2n-2)-m]^{2}-{}\\[6pt]&[q+y(a-p-1)+s(2ap+2a-p^{2}-2p-2)-x]^{2}-{}\\[6pt]&[z+p\ell (a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm]^{2})\\[6pt]&>0\end{aligned}}}$

26개 변수의 다항식 불평등이며, 소수 집합은 비 음의 정수에 대한 변수 a, b, …, z 범위로 왼쪽이 취하는 양의 값 집합과 동일하다.

마티야세비치의 일반적인 정리는 세트가 디오판타인 방정식의 체계로 정의된다면, 단지 9개의 변수에서 디오판타인 방정식의 체계로도 정의할 수 있다고 말한다.^[4]따라서 10개 변수만 있는 위와 같은 원시 생성 다항식이 있다.그러나 그 정도는 (10의⁴⁵ 순서로) 크다.한편, 그러한 정도의 방정식도 단지 4에 불과하지만 58개의 변수에서 존재한다.^[5]

밀스 공식

최초의 그러한 공식은 W. H. Mills(1947)에 의해 확립되었는데, 그는 다음과 같은 실제 숫자 A가 존재한다는 것을 증명했다.

${\displaystyle d_{n}=A^{3^{n}}}$

, 그러면.

${\displaystyle \left d_{n}\right\rfloor =\좌측\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor }$

모든 양의 정수 n에 대한 소수.^[6]리만 가설이 사실이라면, 그런 A의 최소값은 약 1.30637788386806904686144926...(OEIS에서 시퀀스 A051021)이며 밀스의 상수로 알려져 있다.This value gives rise to the primes ${\displaystyle \left\lfloor d_{1}\right\rfloor =2}$, ${\displaystyle \left\lfloor d_{2}\right\rfloor =11}$, ${\displaystyle \left\lfloor d_{3}\right\rfloor =1361}$, ... (sequence A051254 in the OEIS).상수 A에 대해서는 거의 알려져 있지 않다(합리적인지 조차 알려져 있지 않다).이 공식은 애초에 소수점을 찾지 않고 상수를 계산하는 알려진 방법이 없기 때문에 실질적인 가치가 없다.

수식에 플로어 기능에 대한 특별한 사항은 없다는 점에 유의하십시오.토스는 다음과 같은$$ 상수 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$도 존재한다는 것을 증명했다.

${\displaystyle \lceil B^{r^{n}\rceil }$

>… ${\displaystyle r>2.106\ldots }$을(를) 대표하기도 한다(토스 2017).

$r{\displaystyle }$ =${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle r=3$인 경우 상수 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 값은 1.24055470525201424067로 시작한다$$.처음 생성된 몇 개의 프리타임은 다음과 같다.

${\displaystyle 2,7337,382739, 560620057041983603199,19199995814728732732767120910458589097055039099096068469,\ldots }$

리만 가설을 가정하지 않고 엘솔츠는 밀스의 그것과 유사한 몇 가지 프라임 대표 기능을 개발했다.For example, if ${\displaystyle A\approx 1.00536773279814724017}$, then ${\displaystyle \left\lfloor A^{10^{10n}}\right\rfloor }$ is prime for all positive integers ${\displaystyle n}$. Similarly, if ${\displaystyle A\approx 3.82499980734$$39146171615551375$ 그 다음 $\lfloor {\displaystyle }$ ${\displaystyle {A{\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {3^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\mathrm{13n}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\$은(는) 모든 양의 $정수{\displaystyle }$ n$${\$displaysty$n}에 가장 적합하다$.$

라이트의 공식

밀스'와 유사한 또 다른 주요 생성 공식은 E. M. 라이트의 정리로부터 나온다.그는 만약 그런 것이 있다면 실수 α가 존재한다는 것을 증명했다.

${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle g_{0}=\message }$ 및

${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle \mathrm{g<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; g\_\{n+1\}=2^\{g\_\{n\}\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/ce8aea0479e66924725b0a44bf89df9f3a7c3a03"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:10.67ex;\; height:2.676ex;"\; papago-attr-id="131">}}$${\displaystyle n_{}}$ +${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ = ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {g_{}}^{}}$ ${\$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle n\geq 0$

, 그러면.

${\displaystyle \left\lfloor g_{n}\right\loor =\left\loor 2^{{2^{\loor }}{2^{\loor }}}}$

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 1 ${\displaystyle n\geq$ 1$}$에 대한 prime이다$.$^[9] 라이트는 그러한 상수의 소수점 7자리: $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1.9287800}$ ${\displaystyle \alpha$= 1$.9287800}$을(를) 제공한다$.$This value gives rise to the primes ${\displaystyle \left\lfloor g_{1}\right\rfloor =\left\lfloor 2^{\alpha }\right\rfloor =3}$, ${\displaystyle \left\lfloor g_{2}\right\rfloor =13}$, and ${\displaystyle \left\lfloor g_{3}\right\rfloor =16381}$. ${\displaystyle \lfloor g_{}}$$⌋[\$이(가) 짝수여서 프라임이 아니다.단, $\alpha {\displaystyle }$= 1${\displaystyle .9287800}$+ ${\displaystyle 8.2843}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {10}^{}}$- ${\displaystyle {4933}^{}}$ ${\$= 1$.9287800+8$로 한다$.$$2843\cdot 10^{-4933}}$, ${\displaystyle \left\lfloor g_{1}\right\rfloor }$, ${\displaystyle \left\lfloor g_{2}\right\rfloor }$, and ${\displaystyle \left\lfloor g_{3}\right\rfloor }$ are unchanged, while ${\displaystyle \left\lfloor g_{4}\right\rfloor }$ is a prime with 4932자리 숫자.^[10]이 프리임의 순서는${\displaystyle }$$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle$$\left\lfloor g_{4}\right\$$rfloor }$을(를$)$ 초과하여$$ 확장할 수 없으며, 밀스의 공식처럼, 같은 이유로 라이트 공식을 사용하여 프라임을 찾을 수 없다$.$

모든 premimes를 나타내는 함수

상수 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 2.920050977316}$… ${\displaystyle f_{1}=2.920050977316\ldots }($OEIS에서 순서 A249270), n${\displaystyle \mathrm{n}}$ 2 ${\displaysty n\geq$ 2$}$에 대해 시퀀스를 정의하십시오$.$

${\displaystyle f_{n}=\left\lfloor f_{n-1}\right\llloor(f_{n-1}-\left\lloor f_{n-1}\right\loor +1)}$

(1)

여기서 ${\displaystyle \text{⌊}}${{\$displaystyle \left\lfloor$ \$right\lloor }$는 플로어 기능이다.Then for ${\displaystyle n\geq 1}$, ${\displaystyle \left\lfloor f_{n}\right\rfloor }$ equals the ${\displaystyle n}$th prime: ${\displaystyle \left\lfloor f_{1}\right\rfloor =2}$, ${\displaystyle \left\lfloor f_{2}\right\rfloor =3}$, ${\$디스플레이 $스타일 \left\lfloor f_{$3}\$right\bloor =5}$등^[11] 기사에 제시된$$ 초기 상수 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 2.920050977316}$ ${\displaystyle f_{1}=2.920050977316}$은 등식 (1)이 37까지, ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 12}$초까지$$ 프리임을 생성할 수 있을 정도로 정밀하다.

모든 프리임을 생성하는$$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}의 정확한 값은 급속하게 컨버전싱되는 시리즈에 의해 주어진다.

${\displaystyle f_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {p_{n}-1}{P_{n}}}={\frac {2-1}{1}}+{\frac {3-1}{2}}+{\frac {5-1}{2\cdot 3}}+{\frac {7-1}{2\cdot 3\cdot 5}}+\cdots ,}$

$여기$서 ${\displaystyle p_{}}$ ${\$는 n ${\displaystyle n}$ th prime이고, ${\displaystyle {pn}_{}}$ ${\$$displaystyle P_{n}}}$은 $pn{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle$p_${n$}}보다 작은 모든 primes의 산물이다$.$우리가 알고$$ 있는 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 숫자가 많을수록 primes 방정식(1)이 더 많이 생성된다.예를 들어, 100보다 작은 25개의 제곱을 사용하여 시계열에서 25개의 항을 사용하여 다음과 같은 더 정확한 근사치를 계산할 수 있다.

${\displaystyle f_{1}\simeq 2.9200509773161347120925629171119.}$

이것은 방정식 (1)이 100보다 작은 25 프리타임을 다시 산출하기에 충분한 숫자를 가지고 있다.

위의 밀스의 공식과 라이트의 공식과 마찬가지로, 더 긴 프리타임 목록을 생성하기 위해서는 초기 $상수$인 ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ 1${\$1}의 더 많은 숫자를 아는 것으로 시작할 필요가 있는데$,$ 이 경우에는 더 긴 프리임의 리스트가 계산에 필요하다.

플로프의 공식

2018년에 사이먼 플로프는 프리타임에 대한 일련의 공식들을 추측했다.밀스의 공식과 유사하게, 그것들은 형식이다.

${\displaystyle \left\{a_{0}^{r^{n}\오른쪽\}}}$

여기서 {${\displaystyle \text{}}}$ ${\displaystyle \{\\}}$은(는) 가장 가까운 정수로 반올림하는 함수다$$.예를 들어 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 43.80468771580293481}$ ${\displaystyle a_{0}\$ 약 $43.80468771580293481}$ 및 $r$ = ${\displaystyle 5\mathrm{}}$ /${\displaystyle }$4 ${\displaystyle r=5/4$을 사용하면 113, 367, 1607, 10177, 102217...Using ${\displaystyle a_{0}=10^{500}+961+\varepsilon }$ and ${\displaystyle r=1.01}$ with ${\displaystyle \varepsilon }$ a certain number between 0 and one half, Plouffe found that he could generate a sequence of 50 probable primes (with high probability of being prime).아마도 이 공식은 실제 소수들의 무한 순서를 줄 수 있는 ε이 존재할 것이다.자릿수는 501에서 시작하여 매회 약 1%씩 증가한다.^[12][13]

주 공식 및 다항식 함수

모든 정수 n에 대한 소수점까지 평가하는 정수 계수를 갖는 비정규 다항함수 P(n)는 존재하지 않는 것으로 알려져 있다.그 증거는 다음과 같다:그런 다항식이 존재했다고 가정하자.Then P(1) would evaluate to a prime p, so ${\displaystyle P(1)\equiv 0{\pmod {p}}}$. But for any integer k, ${\displaystyle P(1+kp)\equiv 0{\pmod {p}}}$ also, so ${\displaystyle P(1+kp)}$ cannot also be prime (as it would be divisible by p) unless it were p itself. 그러나 모든 k에 대해$$ P${\displaystyle (1}$+ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$= P${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= p ${\displaystyle P(1+kp)=P(1)=p}$의 유일한 방법은 다항식 함수가 일정한 경우일 뿐이다.동일한 추론은 더욱 강력한 결과를 보여준다: 거의 모든 정수 n에 대해 소수점까지 평가하는 비정규 다항함수 P(n)가 존재하지 않는다.

오일러는 (1772년) 2차 다항식을 처음으로 알아차렸다.

${\displaystyle P(n)=n^{2}+n+41}$

40 정수 n = 0, 1, 2, ..., 39에 대한 prime이며 해당하는 primes 41, 43, 47, 53, 61, 71, ..., 1601이다.용어의 차이는 2, 4, 6, 8, 10...n = 40의 경우, 제곱수 1681을 생성하는데, 이는 41 × 41과 같으며, 이는 이 공식에서 n ≥ 0의 합성수로서 가장 작은 숫자다. 41이 n을 나누면 P(n)도 나눈다.나아가 P(n)는 n(n + 1) + 41로 쓸 수 있으므로 41이 n + 1을 대신 나누면 P(n)도 나눈다.The phenomenon is related to the Ulam spiral, which is also implicitly quadratic, and the class number; this polynomial is related to the Heegner number ${\displaystyle 163=4\cdot 41-1}$. There are analogous polynomials for ${\displaystyle p=2,3,5,11{\text{ and }}17}$ (the lucky numbers of 오일러), 다른 희그너 숫자에 해당된다.

양의 정수 S가 주어지면 n² + n + c라는 표현이 항상 S와 일치하도록 c가 무한히 많을 수 있다.정수 c는 음수일 수 있으며, 이 경우 프라임이 생성되기 전에 지연이 발생한다.

산술 진행에 관한 디리클레트의 정리를 바탕으로, ${\displaystyle \mathrm{선형}}$ 다항함수 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle (n}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle n}$+ b ${\displaystyle L(n)=an+b}$이(가) 상대적으로 prime인 한 무한히 많은 프리마임을 생성하는$$ 것으로 알려져 있다(그러나 그러한 함수는 n의 모든 값에 대한 prime 값을 가정하지 않는다).또한 그린-타오 정리는 모든 k에 대해 하나의 a와 b가 존재하며, 그 속성은 $L{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) =${\displaystyle n}$ + ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle L(n)=an+b}$이 0 ~ k - 1의 n에 대해 prime이다$$.^[update] 그러나 2020년 현재 이러한 유형의 가장 잘 알려진 결과는 k = 27:

${\displaystyle 224584605939537911+18135696597948930n}$

0부터 26까지의 n 모두를 위한 prime이다.^[14]최소 2도 이상의 단변 다항식이 존재하는지조차 알 수 없다. 이 다항식은 소수인 값을 무한히 가정한다. 분야코프스키 추측을 보라.

반복 관계를 사용한 가능한 공식

또 다른 주요 발전기는 재발 관계에 의해 정의된다.

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+\gcd(n,a_{n-1}),\properties a_{1}=7,}$

여기서 gcd(x, y)는 x와 y의 가장 큰 공통점을 나타낸다.The sequence of differences a_n+1 − a_n starts with 1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 47, 3, 1, 5, 3, ... (sequence A132199 in the OEIS).Rowland(2008)는 이 시퀀스가 오직 하나와 소수만을 포함하고 있다는 것을 증명했다.그러나 gcd(n + 1, a_n)라는 용어는 항상 이상하고 따라서 결코 2와 같지 않기 때문에, 587은 1과 다른 처음 1만 개의 결과에서 나타나지 않는 가장 작은 소수(2를 제외한)이기 때문에 모든 소수점을 포함하지는 않는다.그럼에도 불구하고, 같은 논문에서는 다소 비효율적이긴 하지만, 모든 홀수 프레임을 포함하는 것이 추측되었다.^[15]

보다 효율적인 프로그램뿐만 아니라 소수점 만을 열거하는 사소한 프로그램이 있기 때문에 그러한 재발 관계는 어떤 실용성보다 호기심의 문제라는 점에 유의한다.

참고 항목

• 소수 정리

참조

추가 읽기

• Regimbal, Stephen (1975), "An explicit Formula for the k-th prime number", Mathematics Magazine, Mathematical Association of America, 48 (4): 230–232, doi:10.2307/2690354, JSTOR 2690354.
• 베누고팔란.프라임, 트윈프라임, 프라임 수 및 트윈프라임 수를 나타내는 공식.인도 과학 아카데미의 절차—수학과학, 제92권, 제1호, 1983년 9월, 페이지 49~52 에라타

외부 링크

• Eric W. Weisstein, Prime Formulas (Prime-Generating Polynomial) at MathWorld.