컬렌 수

수학에서 $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1$ 번호는 정수 순서 $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1$ n $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1$ = $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1$ $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1$ $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1$ + 1 $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1$ 의 멤버다( $n$ 서n {\ $displaystyn$ n $}$ 은 $n$ 자연수임). $C_{n}=n\cdot 2^{n}+1$ Cullen 숫자는 James Cullen에 의해 1905년에 처음 연구되었다.그 숫자들은 프로스 숫자의 특별한 경우들이다.

특성.

1976년에 Christopher Hooley는 C가_n 프라임인 양의 $n\leq x$ 정수 $n\leq x$ $n\leq x$ $n\leq x$ { x {\ $displaystyle n\leq$ x}의 $x\to \infty$ 밀도가 x → $x\to \infty$ 의 o $(x$ )의 순서라는 것을 보여주었다 $x\to \infty$ 그런 점에서 거의 모든 Cullen 숫자는 복합적이다.^[1]수야마 히로미에 의해 훌리의 증명서가 재작업되어, a와 b가 정수인 n·2^{n + a}+b의 어떤 순서에 대해서도 통한다는 것을 보여주었고, 특히 우달 숫자에 대해서도 통한다는 것을 보여주었다.유일하게 알려진 Cullen primes는 n에 대한 primes가 다음과 같다.

141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881(OEIS의 후속 A005849).

그래도 컬렌 프리임이 무한히 많은 것으로 추측된다.

컬렌 수 C는_n p = 2n - 1로 나누어져 만약 p가 8k - 3 형식의 소수라면 p는 p = 2n - 1로 나누어지고, 더욱이 p가 홀수 소수라면 p는 각 m(k) = (2^k - k) (p - 1) - k (k > 0)에 대해 C를 나눈다는_m(k) 페르마의 작은 정리로부터 따르게 된다.또한 자코비 기호(2p)가 -1일 때 프라임 숫자_{(p + 1)/2} p가 C를 나누고, 자코비 기호(2p)가 + 1일 때 p가 C를_{(3p − 1)/2} 나누는 것으로 나타났다.

C도_p 프라임일 정도로 프라임 숫자 p가 존재하는지 알 수 없다.

일반화

때로는 일반화된 Cullen 수 b를 n·bⁿ + 1 형식의 숫자로 정의하기도 하는데, 여기서 n + 2 > b는 prime을 이 형태로 쓸 수 있다면, 그 다음에는 일반화된 Cullen prime이라고 한다.우달 번호는 때때로 두 번째 종류의 컬렌 번호라고 불린다.^[2]

2021년 10월 현재 가장 큰 일반화된 컬렌 프라임은 2525532·73^2525532+1이다.그것은 4,705,888개의 숫자를 가지고 있으며, 프라임그리드 참가자인 톰 그리어가 발견했다.^[3]^[4]

페르마의 작은 정리에 따르면 n이 p - 1로 분할되고 n + 1이 p로 분할되는 prime p가 있다면(특히 n = p - 1) p가 b를 분할하지 않을 때 b는ⁿ 1모드 p로 합치되어야 한다(b는ⁿ^{p − 1} b의 힘이고^{p − 1} b는 1모드 p와 합치되기 때문이다).따라서 n·bⁿ + 1은 p에 의해 분리가 가능하기 때문에 프라임이 아니다.예를 들어, 일부 n이 2모드 6(예: 2, 8, 14, 20, 26, 32, ...), n/bⁿ + 1이 prime이면 b는 3(b = 1 제외)으로 분할해야 한다.

n·bⁿ + 1이 prime(이 용어가 현재 알려지지 않은 경우 물음표가 있음)인 최소 n은 다음과 같다^[5]^[6].

1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1, ?, 3, 8, 1, 19650, 1, 6460, 3, 2, 1, 4330, 2, 2805222, 117, 2, 1, ?, 1, 82960, 5, 2, 25, 304, 1, 36, 3, 368, 1, 1806676, 1, 390, 53, 2, 1, ?, 3, ?, 9665, 62, 1, 1341174, 3, ?, 1072, 234, 1, 220, 1, 142, 1295, 8, 3, 16990, 1, 474, 129897, ?, 1, 13948, 1, ?, 3, 2, 1161, 12198, 1, 682156, 5, 350, 1, 1242, 26, 186, 3, 2, 1, 2, 298, 14, 101670, 9, 2, 7,75, 202, 1, 1374, 63, 2, 1, ... (OEIS에서 연속 A240234)

b	n × bⁿ + 1과 같은 숫자 n (이 n은 최대 101757까지 점검됨)	OEIS 시퀀스
1	1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, ... (all primes minus 1)	A006093
2	1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, ...	A005849
3	2, 8, 32, 54, 114, 414, 1400, 1850, 2848, 4874, 7268, 19290, 337590, 1183414, ...	A006552
4	1, 3, 7, 33, 67, 223, 663, 912, 1383, 3777, 3972, 10669, 48375, ...	A007646
5	1242, 18390, ...
6	1, 2, 91, 185, 387, 488, 747, 800, 9901, 10115, 12043, 13118, 30981, 51496, ...	A242176
7	34, 1980, 9898, ...	A242177
8	5, 17, 23, 1911, 20855, 35945, 42816, ..., 749130, ...	A242178
9	2, 12382, 27608, 31330, 117852, ...	A265013
10	1, 3, 9, 21, 363, 2161, 4839, 49521, 105994, 207777, ...	A007647
11	10, ...
12	1, 8, 247, 3610, 4775, 19789, 187895, ...	A242196
13	...
14	3, 5, 6, 9, 33, 45, 243, 252, 1798, 2429, 5686, 12509, 42545, ...	A242197
15	8, 14, 44, 154, 274, 694, 17426, 59430, ...	A242198
16	1, 3, 55, 81, 223, 1227, 3012, 3301, ...	A242199
17	19650, 236418, ...
18	1, 3, 21, 23, 842, 1683, 3401, 16839, 49963, 60239, 150940, 155928, ...	A007648
19	6460, ...
20	3, 6207, 8076, 22356, 151456, ...	A338412
21	2, 8, 26, 67100, ...
22	1, 15, 189, 814, 19909, 72207, ...
23	4330, 89350, ...
24	2, 8, 368, ...
25	2805222, ...
26	117, 3143, 3886, 7763, 64020, 88900, ...
27	2, 56, 23454, ..., 259738, ...
28	1, 48, 468, 2655, 3741, 49930, ...
29	...
30	1, 2, 3, 7, 14, 17, 39, 79, 87, 99, 128, 169, 221, 252, 307, 3646, 6115, 19617, 49718, ...

참조

^ Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 104. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 94. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006.
^ Marques, Diego (2014). "On Generalized Cullen and Woodall Numbers That are Also Fibonacci Numbers" (PDF). Journal of Integer Sequences. 17.
^ "PrimeGrid Official Announcement" (PDF). Primegrid. 28 August 2021. Retrieved 14 November 2021.
^ "PrimePage Primes: 2525532 · 73^2525532 + 1". primes.utm.edu. Archived from the original on 2021-09-04. Retrieved 14 November 2021.
^ Löh, Günter (6 May 2017). "Generalized Cullen primes".
^ Harvey, Steven (6 May 2017). "List of generalized Cullen primes base 101 to 10000".

추가 읽기

Cullen, James (December 1905), "Question 15897", Educ. Times: 534.
Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.), New York: Springer Verlag, Section B20, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001.
Hooley, Christopher (1976), Applications of sieve methods, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 70, Cambridge University Press, pp. 115–119, ISBN 0-521-20915-3, Zbl 0327.10044.
Keller, Wilfrid (1995), "New Cullen Primes" (PDF), Mathematics of Computation, 64 (212): 1733–1741, S39–S46, doi:10.2307/2153382, ISSN 0025-5718, Zbl 0851.11003.

외부 링크

Chris Caldwell, The Top Tween: Cullen은 The Prime Pages에서 프라임 타임즈를 본다.
프라임 용어집: 프라임 페이지의 컬런 번호.
Weisstein, Eric W. "Cullen number". MathWorld.
Cullen prime: 정의 및 상태^{[permanent dead link]}(기존), Cullen Prime Search가 현재 PrimeGrid에서 호스트됨
폴 레이랜드, 컬렌과 우달 번호

[EPSW94-1] Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 104. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 94. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006.

[2] Marques, Diego (2014). "On Generalized Cullen and Woodall Numbers That are Also Fibonacci Numbers" (PDF). Journal of Integer Sequences. 17.

[3] "PrimeGrid Official Announcement" (PDF). Primegrid. 28 August 2021. Retrieved 14 November 2021.

[4] "PrimePage Primes: 2525532 · 73^2525532 + 1". primes.utm.edu. Archived from the original on 2021-09-04. Retrieved 14 November 2021.

[5] Löh, Günter (6 May 2017). "Generalized Cullen primes".

[6] Harvey, Steven (6 May 2017). "List of generalized Cullen primes base 101 to 10000".

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v t 프라임 번호 클래스
수식별	페르마( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센( $2 p$ - $1$ ) 더블 메르센( $2 2 p -1$ - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로트( $k /2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 원시적( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스 ( $4n$ + 1) 삐에폰트(2 $/3 m n$ + $1$ ) 쿼탄( $x 4 4$ + y) 솔리나스( $2 m$ ± 2 ± $1 n$ ) 컬렌 ( $n \cdot2 n$ + $1$ ) 우달( $n /2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3 3$ - y $)/(x$ - $y$ ) 레이랜드( $x y x$ + y) 타비트( $3/2 n$ - $1$ ) 윌리엄스 ( $b-1)\cdot b n$ - $1$ ) 밀스(⌊ $A 3 n ⌋)$
정수순별	피보나치 루카스 펠 뉴먼-상크스-윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
재산별	위페리히 (페어) 월선 월스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 정규 강하다 선미 초점수(엘리프틱 곡선) 슈퍼싱글러 (달빛설) 좋아 잘 하는 군요 힉스 매우 편협한
기저 의존적	팔린드로믹 에미르프 재단위 $(10 n$ - 1 $)/9$ 퍼머블 원형 잘릴 수 있음 미니멀 섬세한 프라임벌 풀 파충류 유니크 행복하다 셀프 스마란다체-웰린 스트로보그램법 디헤드랄 테트라디어
패턴	트윈( $p,$ p + $2$ ) 바이-트윈 체인( $n$ - 1 $, n$ + 1 $, 2n$ - 1 $, 2n$ + 1, $\dots)$ 트리플릿( $p,$ $p$ + 2 $또는$ $p$ + 4 $, p$ + $6$ ) 쿼드러플릿( $p,$ $p$ + 2 $,$ $p$ + 6 $, p$ + $8$ ) k-투플 사촌( $p,$ p + $4$ ) 섹시( $p,$ p + $6$ ) 첸 소피 제르맹/세이프( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p$ ± 1, $4p$ ± 3, $8p$ ± 7, $...)$ 산술수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0,$ 1, 2 $, 3$ , $...)$ 균형( $연속$ $p$ - $n,$ $p,$ p + $n$ )
크기별	메가(100,000자리 이상) 알려진 것 중 가장 큰 것
콤플렉스	아이젠슈타인 전성기 가우스 프라임
합성수	가성비 카탈루냐 주 타원체 오일러 오일러자코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머루카스 강하다 카마이클 수 거의 전성기 세미프라임 인터프라임 치명적
관련 항목	개연성 프라임 산업용 프라임 불법 프라임 소수점 수식 프라임 갭
처음 60회	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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