풍부수

수 이론에서, 풍부한 수 또는 과도한 수는 적절한 분수의 합이 수보다 큰 수이다. 정수 12는 첫 번째 풍부한 숫자다. 그것의 적절한 구분자는 총 16개로 1, 2, 3, 4, 6개다. 합이 그 수를 초과하는 양은 풍부함이다. 예를 들어 숫자 12는 4가 풍부하다.

정의

divisors )(n) > 2n 또는 동등하게 적절한 divisors(또는 aliquot sum) s(n) > n의 합을 나타내는 숫자 n.

풍요는 σ(n) - 2n(또는 s(n) - n)의 값이다.

예

처음 28개의 풍부한 숫자는 다음과 같다.

12, 18, 20, 20, 24, 30, 30, 40, 42, 48, 54, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 104, 112, 114, 120, ... (OEIS의 경우 순차 A005101).

예를 들어 24의 적절한 구분자는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12이며 합계는 36이다. 36은 24보다 크기 때문에 24라는 숫자가 풍부하다. 그것의 풍부함은 36 - 24 = 12이다.

특성.

• 가장 작은 홀수 풍부한 숫자는 945이다.
• 2로 나누지 않거나 3으로 나누지 않는 가장 작은 풍족수는 5391411025이며, 뚜렷한 주요 요인은 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29이다(OEIS에서 순서 A047802). 2005년 Iannucci가 제공한 알고리즘은 첫 번째 k primes로 분리되지 않는 가장 작은 풍요로운 숫자를 찾는 방법을 보여준다.^[1] $만약{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$( ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle$ A$(k)}$이(가) 첫 번째 k primes로 나눌 수 없는 가장 작은 풍부 숫자를 나타낸다면$$, 모든 > ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대해 우리는 가지고 있다.

${\displaystyle (1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }}}}}}}$

충분히 큰 k에

• (완벽한 숫자 자체를 제외한) 모든 배수가 풍부하다.^[2] 예를 들어 $1{\displaystyle \mathrm{}}$+ n ${\displaystyle \frac{2}{}}$+ ${\displaystyle \frac{3}{}}$+ n + ${\displaystyle \frac{6}{}}$= n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1+{\tfrac{n}{2}}+{n}{3}+{\tfrac{n}{$n}}}{$6}=n+1$}을 표시하기 때문에 6보다 큰 배수는 모두 풍부하다$.$$}$
• 풍부한 수의 배수는 모두 풍부하다.^[2] For example, every multiple of 20 (including 20 itself) is abundant because ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}.$$}$
• 결과적으로, 무한히 많은 짝수와 홀수들이 존재한다.
• 게다가, 풍부한 숫자의 집합은 0이 아닌 자연 밀도를 가지고 있다.^[3] 마크 델레글리스는 1998년에 풍부한 숫자와 완벽한 숫자의 집합의 자연 밀도가 0.2474에서 0.2480 사이라는 것을 보여주었다.^[4]
• 풍부한 수나 완벽한 수의 배수가 아닌 풍부한 수를 원시적인 풍부한 수라고 부른다.
• 풍요가 어떤 낮은 수보다 큰 풍요로운 수를 고도로 풍요로운 수라고 하고, 상대적 풍요(s(n)/n )가 어떤 낮은 수보다 큰 수를 초복수라고 한다.
• 20161보다 큰 모든 정수는 풍부한 두 숫자의 합으로 쓸 수 있다.^[5]
• 반완벽 숫자가 아닌 풍부한 숫자를 이상한 숫자라고 부른다.^[6] 풍부한 1을 가진 풍부한 수를 퀘이시퍼스라고 하는데, 아직 발견되지 않았다.

관련개념

적절한 인자의 합이 숫자 자체와 같은 숫자(예: 6과 28)를, 적절한 인자의 합이 숫자 자체보다 적은 숫자를 부족 숫자라고 한다. 숫자를 부족하거나 완벽하거나 풍부하게 분류하는 것으로 처음 알려진 분류는 니코마코스(Nicomacus)가 그의 인트로덕티오 산술(Adcirca 100 AD)에서 한 것인데, 이것은 풍부한 숫자를 팔다리가 너무 많은 기형적인 동물처럼 묘사했다.

n의 다산성 지수는 비율 ((n)/n이다.^[7] 동일한 근거리 지수를 가진 구별되는 숫자 n₁, n₂, ...(풍부한 수든 아니든 간에)를 친근한 숫자라고 한다.

a₂ = 12가 첫 번째 풍부한 숫자에 해당하는 σ(n) > kn과 같은 최소 숫자 n의 순서(a_k)는 매우 빠르게 성장한다(OEIS에서 순서 A134716).

근거리 지수가 3을 초과하는 가장 작은 홀수 정수는 1018976683725 = 3³ × 5² × 7² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29이다.^[8]

p = (p₁, ..., p_n)가 소수 목록이라면 p에서 소수만으로 구성된 일부 정수가 풍부하면 p는 풍부하다고 한다. 이를 위한 필요충분하고 충분한_i 조건은 p_i/(p - 1)의 산물이 2 이상이라는 것이다.^[9]

참조

• Tattersall, James J. (2005). Elementary Number Theory in Nine Chapters (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85014-8. Zbl 1071.11002.

외부 링크

• 프라임 용어집: 풍부한 숫자
• Weisstein, Eric W. "Abundant Number". MathWorld.
• PlanetMath에 풍부한 숫자.