이와사와 이론
Iwasawa theory수 이론에서 이와사와 이론은 수 분야의 무한한 탑 위에 산술적으로 관심 있는 대상을 연구하는 학문이다. 이와사와 겐키치(1959년)에 의해 시작된 이상적인 계급 집단의 갈루아 모듈 이론으로, 사이클로토믹장 이론의 일부로서 시작되었다. 1970년대 초, 배리 마즈르는 이와사와 이론의 일반화를 아벨의 품종으로 고려했다. 보다 최근(1990년대 초) 랄프 그린버그는 동기를 위해 이와사와 이론을 제안했다.
공식화
Iwasawa worked with so-called -extensions: infinite extensions of a number field with Galois group isomorphic to the additive group of p-adic integers for some prime p. (These were called -extensions in ea신문 조회를 하다.)[1] Every closed subgroup of is of the form so by Galois theory, a -extension is the same thing as a tower of fields
such that Iwasawa studied classical Galois modules over by asking questions about the structure of modules over
보다 일반적으로 이와사와 이론은 갈루아 그룹과 p-adic Lie 그룹과의 확장에 대한 갈루아 모듈의 구조에 대해 질문한다.
예
을 (를) 프라임 숫자로 K = Q( {\ K을(를) 통해 생성된 필드가 의 뿌리에 의해 에(으)하도록 한다. 이와사와는 다음과 같은 숫자 분야의 탑을 고려했다.
여기서 은(는)K {\과 (와n+1) 결합하여 생성된 필드다.
The fact that implies, by infinite Galois theory, that 흥미로운 갈루아 모듈을 얻기 위해 이와사와는 의 이상적인 클래스 그룹을 취했고 을 p-torion 부분으로 삼았다. 도 m → {\}\ I_{n}} m > n 이 (가) 있을 때마다 I_{이(가) 존재하며 이는 역계(역계)의 데이터를 준다. 만약 우리가 정하면
그렇다면 이(가) p. 을(를) 초과하는 모듈이라는 것을 역제한 구조에서 어렵지 않게 알 수 있다. 사실 은 이와사와 대수 = [ [ =\을(를) 넘는 모듈이다 이것은 2차원 일반 국부 링이며, 이를 통해 모듈을 설명할 수 있다. 설명에서 K. 클래스 그룹의 p-part에 대한 정보를 복구할 수 있다.
여기서의 동기는 의 이상적인 계급 그룹에서 p-torion이 이미 쿠메르에 의해 페르마의 마지막 정리를 직접 증명하는 주요 방해물로 확인되었다는 것이다.
p-adic 분석을 통한 연결
1950년대 이 시작부터 실질적인 이론이 세워졌다. 모듈 이론과 1960년대에 쿠보타와 레오폴트가 정의한 p-adic L 기능들 사이에 근본적인 연관성이 주목되었다. 후자는 베르누이 수에서 시작하여 보간법을 사용하여 디리클레 L 기능의 p-adic 유사점을 정의한다. 이 이론이 쿠메르의 세기에 걸친 정기적인 프라임에서 마침내 나아갈 수 있는 가능성을 가지고 있다는 것이 분명해졌다.
이와사와는 p-adic L-기능을 정의하는 두 가지 방법(모듈 이론에 의한, 보간법에 의한)이 일치해야 한다는 주장으로서 이와사와 이론의 주요 추측을 공식화하였는데, 그 방법이 잘 정의되어 있는 한이다. 이는 에 대한 Mazur & Wiles(1984)와 Wiles(1990)에 의한 모든 실제 수 필드에 대해 입증되었다. 이러한 증명들은 헤르브란드의 정리(일명 헤르브란트-리벳 정리)에 대한 켄 리벳의 반작용에 대한 증거를 본떠서 만든 것이다.
칼 루빈은 랭(1990년)과 워싱턴(1997년)에 기술된 콜리바긴의 오일러 시스템을 사용함으로써 마주르와일즈 정리의 보다 기본적인 증거를 발견했고, 이후 가상의 이차적 영역에 대한 주요 추측에 대한 다른 일반화를 증명했다.
일반화
무한탑의 갈루아 그룹, 출발장, 연구한 산술 모듈의 종류 등은 모두 다양할 수 있다. 각각의 경우에, 탑과 p-adic L-기능을 연결하는 주요한 추측이 있다.
2002년 크리스토퍼 스키너와 에릭 어번(Erich Urban)은 GL(2)에 대한 주요 추측의 증거를 주장했다. 2010년에는 프리프린트(Skinner & Urban 2010)를 게시하였다.
참고 항목
참조
원천
- Coates, J.; Sujatha, R. (2006), Cyclotomic Fields and Zeta Values, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-33068-4, Zbl 1100.11002
- Greenberg, Ralph (2001), "Iwasawa theory---past and present", in Miyake, Katsuya (ed.), Class field theory---its centenary and prospect (Tokyo, 1998), Adv. Stud. Pure Math., vol. 30, Tokyo: Math. Soc. Japan, pp. 335–385, ISBN 978-4-931469-11-2, MR 1846466, Zbl 0998.11054
- Iwasawa, Kenkichi (1959), "On Γ-extensions of algebraic number fields", Bulletin of the American Mathematical Society, 65 (4): 183–226, doi:10.1090/S0002-9904-1959-10317-7, ISSN 0002-9904, MR 0124316, Zbl 0089.02402
- Kato, Kazuya (2007), "Iwasawa theory and generalizations" (PDF), in Sanz-Solé, Marta; Soria, Javier; Varona, Juan Luis; et al. (eds.), International Congress of Mathematicians. Vol. I, Eur. Math. Soc., Zürich, pp. 335–357, doi:10.4171/022-1/14, ISBN 978-3-03719-022-7, MR 2334196
- Lang, Serge (1990), Cyclotomic fields I and II, Graduate Texts in Mathematics, vol. 121, With an appendix by Karl Rubin (Combined 2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96671-7, Zbl 0704.11038
- Mazur, Barry; Wiles, Andrew (1984), "Class fields of abelian extensions of Q", Inventiones Mathematicae, 76 (2): 179–330, doi:10.1007/BF01388599, ISSN 0020-9910, MR 0742853, Zbl 0545.12005
- Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323 (Second ed.), Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-37889-1, ISBN 978-3-540-37888-4, MR 2392026, Zbl 1136.11001
- Rubin, Karl (1991), "The 'main conjectures' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields", Inventiones Mathematicae, 103 (1): 25–68, doi:10.1007/BF01239508, ISSN 0020-9910, Zbl 0737.11030
- Skinner, Chris; Urban, Éric (2010), The Iwasawa main conjectures for GL2 (PDF), p. 219
- Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to cyclotomic fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 83 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4
- Wiles, Andrew (1990), "The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields", Annals of Mathematics, 131 (3): 493–540, doi:10.2307/1971468, JSTOR 1971468, Zbl 0719.11071.
인용구
- ^ Greenberg, Ralph. "Memories of Professor Iwasawa". Retrieved 25 September 2021.
추가 읽기
- de Shalit, Ehud (1987), Iwasawa theory of elliptic curves with complex multiplication. p-adic L functions, Perspectives in Mathematics, vol. 3, Boston etc.: Academic Press, ISBN 978-0-12-210255-4, Zbl 0674.12004
외부 링크
- "Iwasawa theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]