Page semi-protected

앨리콧 수열

Aliquot sequence
수학의 미해결 문제:

모든 지혈 순서는 결국 소수, 완벽한 숫자 또는 우호적이거나 사교적인 숫자의 집합으로 끝나는가? (카탈란의 지혈 순서 추측)

(수학에서 더 풀리지 않은 문제)

수학에서 발정수열은 각 항이 전항의 적절한 구분자의 합인 양의 정수열이다. 순서가 숫자 1에 도달하면, 1의 적절한 디비저의 합이 0이기 때문에, 그것은 끝난다.

정의 및 개요

양의 정수 k로 시작하는 앨리팟 시퀀스는 다음과 같은 방법으로 디비전 합 함수 σ1 또는 앨리팟 합 함수 s의 관점에서 공식적으로 정의할 수 있다.[1]

s0 = k
sn = s = ∆(sn−11n−1) - s > 0인n−1n−1 경우 s
sn = 0 if sn−1 = 0 --> (이 조건을 더하면 0 이후의 항은 모두 0이고, 모든 고유 순서는 무한 시퀀스일 것이며, 우리는 모든 고유 순서가 수렴된다고 추측할 수 있으며, 이러한 순서의 한계는 대개 0 또는 6이다)

및 s(0)가 정의되지 않음.

예를 들어 10의 지혈 순서는 다음과 같은 이유로 10, 8, 7, 1, 0이다.

σ1(10) − 10 = 5 + 2 + 1 = 8,
σ1(8) − 8 = 4 + 2 + 1 = 7,
σ1(7) − 7 = 1,
σ1(1) − 1 = 0.

많은 고유점 시퀀스는 0으로 끝나며, 그러한 모든 시퀀스는 반드시 소수, 1로 끝나야 하며, 그 다음이 0으로 끝나야 한다(Prime의 유일한 적절한 구분자가 1이기 때문이다), 그 다음이 0이다(Premiquot sequisor가 없기 때문이다. 최대 75까지의 숫자 목록은 (OEIS의 순서 A080907)을 참조하십시오. 발정 순서가 종료되지 않을 수 있는 다양한 방법이 있다.

  • 완벽한 숫자는 1주기의 반복적인 고유 순서를 가지고 있다. 예를 들어 6의 지혈 순서는 6, 6, 6, 6, 6, ...이다.
  • 원만한 숫자는 2주기의 반복적인 고유 순서를 가지고 있다. 예를 들어 220의 지혈 순서는 220, 284, 220, 284, ...
  • 사교성 있는 숫자는 3주기 이상의 반복적인 고유 순서를 가지고 있다. (가끔 사교성 있는 숫자라는 용어는 우호적인 숫자들을 포함하기 위해 사용된다. 예를 들어 1264460의 지혈 순서는 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ...이다.
  • 어떤 숫자들은 결국 주기적인 고유 순서를 가지고 있지만, 그 숫자 자체는 완벽하지 않고, 우호적이거나, 사교적이지 않다. 예를 들어 95의 지혈순서는 95,25,6,6,6,6,... 95와 같이 완벽하지는 않지만 결국 1교시 반복 지혈순서가 있는 숫자를 지망수라고 한다.[2]
n n의 앨리콧 시퀀스 길이(OEIS: A098007) n n의 앨리콧 시퀀스 길이(OEIS: A098007) n n의 앨리콧 시퀀스 길이(OEIS: A098007) n n의 앨리콧 시퀀스 길이(OEIS: A098007)
0 0 1 12 12, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0 8 24 24, 36, 55, 17, 1, 0 6 36 36, 55, 17, 1, 0 5
1 1, 0 2 13 13, 1, 0 3 25 25, 6 2 37 37, 1, 0 3
2 2, 1, 0 3 14 14, 10, 8, 7, 1, 0 6 26 26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0 8 38 38, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0 8
3 3, 1, 0 3 15 15, 9, 4, 3, 1, 0 6 27 27, 13, 1, 0 4 39 39, 17, 1, 0 4
4 4, 3, 1, 0 4 16 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0 7 28 28 1 40 40, 50, 43, 1, 0 5
5 5, 1, 0 3 17 17, 1, 0 3 29 29, 1, 0 3 41 41, 1, 0 3
6 6 1 18 18, 21, 11, 1, 0 5 30 30, 42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0 16 42 42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0 15
7 7, 1, 0 3 19 19, 1, 0 3 31 31, 1, 0 3 43 43, 1, 0 3
8 8, 7, 1, 0 4 20 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0 8 32 32, 31, 1, 0 4 44 44, 40, 50, 43, 1, 0 6
9 9, 4, 3, 1, 0 5 21 21, 11, 1, 0 4 33 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0 7 45 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0 8
10 10, 8, 7, 1, 0 5 22 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0 7 34 34, 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0 9 46 46, 26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0 9
11 11, 1, 0 3 23 23, 1, 0 3 35 35, 13, 1, 0 4 47 47, 1, 0 3

n에서 시작하는 발정 시퀀스의 길이는

1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... (sequence A044050 in the OEIS)

n에서 시작하는 고유점 시퀀스의 최종 용어(1 제외)는 다음과 같다.

1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... (sequence A115350 in the OEIS)

고유점 시퀀스가 1로 끝나는 숫자

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (sequence A080907 in the OEIS)

완전 숫자 자체(6, 28, 496, ...)를 제외하고 완벽한 숫자로 끝나는 것으로 알려진 고유 순서가 있는 숫자

25, 95, 119, 143, 417, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ... (OEIS에서 순서 A063769)

길이가 2개 이상인 사이클에서 지혈 시퀀스가 종료되는 숫자는

220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1110, 1308, 1336, 1380, 1420, 1490, 1604, 1690, 1692, 1716, 1898, 2008, 2122, 2152, 2172, 2362, (OEIS에서의 연속 A121507)

지혈 순서가 유한하거나 결국 주기적인 것으로 알려져 있지 않은 수는 다음과 같다.

276, 306, 396, 552, 564, 660, 696, 780, 828, 888, 966, 996, 1074, 1086, 1098, 1104, 1134, 1218, 1302, 1314, 1320, 1338, 1350, 1356, 1392, 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ... (sequence A131884 in the OEIS)

지혈 순서에서 결코 후계자가 되지 않는 숫자를 건드릴 수 없는 숫자라고 한다.

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (sequence A005114 in the OEIS)

카탈란-딕슨 추측

카탈루냐-딕슨 추측이라고 불리기도 하는 카탈루냐에 의한 중요한 추측은 모든 고유 순서는 위의 방법들 중 하나로 끝난다는 것이다: 소수, 완벽한 숫자, 또는 우호적이거나 사교적인 숫자의 집합.[3] 대안은 지혈 순서가 무한하지만 절대 반복되지 않는 숫자가 존재하는 것이다. 많은 숫자들 중 구문순열이 완전히 결정되지 않은 숫자는 그러한 숫자일 수 있다. 처음 5명의 후보 번호는 흔히 레머 5(D의 이름을 따서 명명)라고 불린다.H. 르메르: 276, 552, 564, 660, 966.[4] 그러나 276이 지혈 순서에서 높은 정점에 도달한 후 하강할 수 있다는 점은 주목할 필요가 있다; 138이라는 숫자는 1로 돌아가기 전에 179931895322의 정점에 도달한다.

가이(Guy)와 셀프리지(Selfridge)는 카탈루냐-딕슨(Dickson)의 추측이 거짓이라고 믿는다(그래서 그들은 몇몇 지혈 서열이 위에서 무한히 존재한다고 추측한다(즉, 다이버지).[5]

2015년 4월 현재 지혈 순서가 완전히 결정되지 않은 10만 미만 양의 정수는 898개, 100만 미만 정수는 9190개였다.[6]

지혈 시퀀스를 체계적으로 검색

그 aliquot 순서 통제된 그래프, G, s{\displaystyle G_{n,s}}의 s(k){\displaystyle s(k)}k의 Gn에 .[7]의 사이클{k\displaystyle} 적절한 제수의 합을 의미한다 주어진 정수 n{n\displaystyle}, s{\displaystyle G_{n,s}}사교적 numbe를 나타내는 표시할 수 있다.개발 , 의 간격 내에 두 개의 특별한 경우는 완전한 숫자와 원만한 쌍을 나타내는 길이 2의 주기를 나타내는 루프다.

참고 항목

메모들

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Aliquot Sequence". MathWorld.
  2. ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A063769 (Aspiring numbers: numbers whose aliquot sequence terminates in a perfect number.)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Catalan's Aliquot Sequence Conjecture". MathWorld.
  4. ^ Creyaufmüller, Wolfgang (May 24, 2014). "Lehmer Five". Retrieved June 14, 2015.
  5. ^ A. S. 모수노프, 우리가 알리케트 시퀀스에 대해 아는 것은?
  6. ^ Creyaufmüller, Wolfgang (April 29, 2015). "Aliquot Pages". Retrieved June 14, 2015.
  7. ^ Rocha, Rodrigo Caetano; Thatte, Bhalchandra (2015), Distributed cycle detection in large-scale sparse graphs, Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO), doi:10.13140/RG.2.1.1233.8640

참조

  • 마누엘 베니토, 볼프강 크레야우프뮐러, 후안 루이스 바라나, 폴 짐머만. 알리콧 시퀀스 3630 100자리 도달 후 종료. 실험 수학, 제11권, 제2권, 나틱, MA, 2002 페이지 201-206.
  • W. 크레야우프뮐러 Primzahlfamilien - Das Catalan의 schemy 문제와 die Familien der Primzahlen im Bereich 1 bis 3000 detail. 슈투트가르트 2000 (3차 개정), 327p.

외부 링크