모츠킨 수

모츠킨 수
이름을 따서 명명됨	테오도르 모츠킨
발행년도	1948
출판사 저자	테오도르 모츠킨
No. 알려진.	무한의
공식	속성 참조
제1항	1, 1, 2, 4, 9, 21, 51
OEIS 지수	A001006; 모츠킨;

수학에서 n번째 모츠킨 숫자는 원의 n개 점 사이에 비절연 화음을 그리는 다른 방법의 수입니다(화음으로 모든 점을 만지는 것은 아님). 모츠킨 번호는 테오도어 모츠킨의 이름을 따서 지어졌으며 기하학, 조합학, 숫자 이론에서 다양한 응용을 가지고 있다.

$n$ = $n=0,1,\dots$ $n=0,1,\dots$ , $n=0,1,\dots$ …에 대한 $M_{n}$ Motzkin 번호 $M_{n}$ n ${\displaystyle$ $M_$ ${n}$ 는 다음 $n=0,1,\dots$ 순서를 형성한다.

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, ... (sequence A001006 in the OEIS)

예

$다음 4$ 그림은 원(M = $9$ )의 4점 사이에 비절연 화음을 그리는 9가지 방법을 보여준다.

다음 그림은 원(M = $215$ )에서 5점 사이에 비절연 화음을 그리는 21가지 방법을 보여준다.

특성.

모츠킨 수치는 재발 관계를 만족시킨다.

M_{n}=M_{n-1}+\sum _{n-2}^{n-2}M_{n-2-i}={\frac {2n+1}{n+1}{n+1}+{\frac {3n-3}{n-2}{n-2}}:00M_{n-2}}.

Motzkin 숫자는 이항계수와 카탈로니아 숫자로 표현할 수 있다.

M_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}C_{k}.

Motzkin 번호의 $m(x)=\sum _{n=0}^{\infty }M_{n}x^{n}$ 생성 영상 $m(x)=\sum _{n=0}^{\infty }M_{n}x^{n}$ m $m(x)=\sum _{n=0}^{\infty }M_{n}x^{n}$ ) $m(x)=\sum _{n=0}^{\infty }M_{n}x^{n}$ = $m(x)=\sum _{n=0}^{\infty }M_{n}x^{n}$ = 0 $m(x)=\sum _{n=0}^{\infty }M_{n}x^{n}$ M n $m(x)=\sum _{n=0}^{\infty }M_{n}x^{n}$ n $m(x)=\sum _{n=0}^{\infty }M_{n}x^{n}$ {\ $displaystyle$ m $(x)=\sum$ _{ $n=0}^{\infit }M_{n}x^{n}}}}}}}$ 을(를) 만족함

x^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0

x^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0

( x

x^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0

)

x^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0

+

x^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0

(

x^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0

- 1

x^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0

) m

x^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0

(

x^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0

)

x^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0

+

x^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0

=

x^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0

{\displaystyle

x

^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0}

.

Motzkin 번호의 통합 표현은 다음과 같다.

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

=

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

0

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

sin

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

( x

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

)

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

(

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

(

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

)

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

+

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

)

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

M_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx

{\

d x {\

daystyle M_{n}={\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{

0}{0}^{\

pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x){ndx

그것은 증상이 없다.

M_{n}\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {3}{n}}\right)^{3/2}3^{n},~n\to \infty

M_{n}\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {3}{n}}\right)^{3/2}3^{n},~n\to \infty

~ 1

M_{n}\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {3}{n}}\right)^{3/2}3^{n},~n\to \infty

M_{n}\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {3}{n}}\right)^{3/2}3^{n},~n\to \infty

(

M_{n}\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {3}{n}}\right)^{3/2}3^{n},~n\to \infty

M_{n}\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {3}{n}}\right)^{3/2}3^{n},~n\to \infty

) 3

M_{n}\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {3}{n}}\right)^{3/2}3^{n},~n\to \infty

/ 2

M_{n}\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {3}{n}}\right)^{3/2}3^{n},~n\to \infty

M_{n}\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {3}{n}}\right)^{3/2}3^{n},~n\to \infty

M_{n}\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {3}{n}}\right)^{3/2}3^{n},~n\to \infty

→

M_{n}\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {3}{n}}\right)^{3/2}3^{n},~n\to \infty

{\displaystyle M_{n}\심 {\frac{1}{2}\sqrt{\pi }}}}}}}}}{\frac {3}{n}}\right)^{3/2/n

Motzkin prime은 prime인 Motzkin number이다. 2013년^[update] 10월 현재 이러한 프리타임은 4가지로 알려져 있다.

2, 127, 15511, 953467954114363(OEIS에서 시퀀스 A092832)

조합해석

$n$ 에 대한 Motzkin 번호는 $또한$ n - 1 $길이$ 의 양의 정수 시퀀스의 수로서, 개방 요소와 종료 요소 사이의 차이는 -1, 0 또는 1이고, $n$ 에 대한 Motzkin 번호는 n $길이$ 와 종료 요소가 있는 길이 + $1$ 의 양의 정수 시퀀스의 수입니다.g 원소는 1이고, 두 연속 원소의 차이는 -1, 0 또는 1이다.

또한 $n$ 에 대한 Motzkin 번호는 좌표(0, 0)에서 $n단계$ 로 좌표(0, 0)에서 좌표( $n$ , 0)까지 그리드의 우측 상단 사분면에 있는 경로의 수를 제공한다. 각 단계에서 오른쪽(위, 아래 또는 직선으로)만 이동할 수 있지만 $y$ = 0 축 아래로 디핑하는 것은 금지된 경우.

예를 들어, 다음 그림은 (0, 0) ~ (4, 0) 사이의 9개의 유효한 Motzkin 경로를 보여준다.

도나헤이&샤피로(1977)가 모츠킨 숫자에 대한 조사에서 열거한 것처럼 수학의 다른 분야에서는 최소한 14개의 다른 모츠킨 숫자들이 나타난다. Guibert, Pergola & Pinzani(2001)는 모츠킨 숫자에 의해 vexorial 비자발성이 열거된다는 것을 보여주었다.

참고 항목

교차점이 허용되는 경우 화음을 그리는 방법의 수를 나타내는 전화 번호
들라노이 수
나라야나 수
슈뢰더 수

참조

Bernhart, Frank R. (1999), "Catalan, Motzkin, and Riordan numbers", Discrete Mathematics, 204 (1–3): 73–112, doi:10.1016/S0012-365X(99)00054-0
Donaghey, R.; Shapiro, L. W. (1977), "Motzkin numbers", Journal of Combinatorial Theory, Series A, 23 (3): 291–301, doi:10.1016/0097-3165(77)90020-6, MR 0505544
Guibert, O.; Pergola, E.; Pinzani, R. (2001), "Vexillary involutions are enumerated by Motzkin numbers", Annals of Combinatorics, 5 (2): 153–174, doi:10.1007/PL00001297, ISSN 0218-0006, MR 1904383
Motzkin, T. S. (1948), "Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products", Bulletin of the American Mathematical Society, 54 (4): 352–360, doi:10.1090/S0002-9904-1948-09002-4

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Motzkin Number". MathWorld.

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