트윈 프라임

Twin prime

트윈 프라임(twin prime)은 다른 프라임 숫자보다 2 적게 또는 2 더 많은 프라임 번호로, 예를 들어, 트윈 프라임 쌍의 멤버(41, 43) 중 한 명이다. 즉 쌍둥이 프라임은 프라임 차이가 둘인 프라임이다. 때때로 쌍둥이 프라임이라는 용어는 쌍둥이의 프라임 한 쌍에 사용된다; 이것의 다른 이름은 프라임 트윈 또는 프라임 쌍이다.

트윈 프라임은 더 큰 범위를 조사할수록 점점 더 드물어지는데, 이는 인접한 프라임들 사이의 격차가 숫자 자체로 커질수록 더 커지는 일반적인 경향과 일치한다. 그러나 쌍둥이 소수(일명 쌍둥이 소수 추측)가 무한히 많은지, 아니면 가장 큰 쌍이 있는지는 알 수 없다. 2013년 이탕 장의 획기적인[1] 업적과 제임스 메이너드, 테렌스 타오 등의 업적은 쌍둥이가 무한히 많다는 것을 증명하는 데 상당한 진전을 이루었지만, 현재 이 일은 미해결로 남아 있다.[2]

수학의 미해결 문제:

쌍둥이 자매가 무한히 많은가?

(수학에서 더 풀리지 않은 문제)

특성.

보통 쌍(2, 3)은 쌍성 소수 쌍으로 간주되지 않는다.[3] 2가 유일한 소수이기 때문에, 이 쌍은 한 쌍씩 다른 소수들 중 유일한 소수다. 따라서 쌍둥이 소수들은 다른 두 소수에서 가능한 한 가깝게 간격을 둔다.

처음 몇 쌍의 쌍둥이 프라임 쌍은 다음과 같다.

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61, 6), (71, 73), (101, 109), (137, 139), … OEIS: A077800.

3,) 보다 큰 모든 쌍둥이 프라임 쌍이 일부 자연수 n에 대해(- ,+ ) 형식이기 때문에 5는 두 쌍에 속하는 유일한 프라임이다. 즉, 두 프라임 사이의 숫자는 6의 배수인 것이다.[4] 그 결과, 쌍쌍의 소수점(3과 5는 제외)의 합은 12로 나누어진다.

브룬의 정리

주요기사 : 브런의 정리

1915년, 비고 브룬은 쌍둥이 프리임의 왕복 합이 수렴한다는 것을 보여주었다.[5] 브룬의 정리라고 불리는 이 유명한 결과는 브룬 체의 첫 번째 사용이었고 현대 체 이론의 발전을 시작하는데 도움을 주었다. 현대판 브런의 주장은 N보다 적은 쌍둥이의 소수 수가 초과하지 않는다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다.

어떤 절대 상수 C > 0에 대해서. 사실 위에 경계한다.[6]

여기서 = C 여기서 C는2 아래 주어진 쌍의 소수점이다.[7]

트윈 프라임 추측

무한히 많은 쌍둥이 소수들이 존재하는가에 대한 문제는 수년 동안 숫자 이론에서 가장 개방적인 질문들 중 하나였다. p+2도 prime일 정도로 primes p가 무한히 많다는 쌍둥이 프라임 추측의 내용이다. 1849년, 드 폴리낙은 모든 자연수 k에 대해 p+2k도 prime이 prime p가 prime일 정도로 무한히 많다는 보다 일반적인 추측을 했다.[8] 데 폴리냑의 추측 중 케이스 k = 1은 쌍둥이의 원시 추측이다.

트윈 프라임 추측의 더 강력한 형태인 하디-리틀우드 추측(아래 참조)은 프라임 숫자 정리와 유사한 트윈 프라임 분포 법칙을 상정한다.

2013년 4월 17일, 이탕 장은 7,000만 미만 정수 N의 경우, N [9]장 논문에 의해 차이가 나는 소수 쌍이 무한히 많다는 증거를 2013년 5월 초에 수학 연보에 의해 받아들여졌다.[10] 테렌스 타오는 이후 장의 구속력을 최적화하기 위한 폴리매트릭스 프로젝트를 제안했다.[11] 장보고의 발표 1년 뒤인 2014년 4월 14일 현재 바운드는 246으로 축소됐다.[12] 또한, 엘리엇-할베르스탐 추측과 그 일반화된 형태를 가정할 때, 폴리매스 프로젝트 위키에는 각각 12와 6으로 한계가 축소되었다고 기술하고 있다.[12] 이러한 개선된 경계는 장쩌민보다 간단한 다른 접근법을 사용하여 발견되었으며 제임스 메이너드와 테렌스 타오에 의해 독자적으로 발견되었다. 또한 이 두 번째 접근방식은 폭 f(m)의 무한히 많은 구간이 최소 m 프리마임을 포함한다는 것을 보장하는 데 필요한 최소 f(m)에 대한 한계를 제공했다.

골드바흐의 추측이 강화된다면, 또한 무한한 수의 쌍둥이가 있다는 것을 증명할 수 있을 것이다.

쌍둥이 추정치보다 약한 다른 이론들

1940년, 폴 에르드제스는 p가 p 뒤에 다음 prime을 나타내는 (p < - p) < (c ln p)와 같이 p가 일정 c < 1과 무한히 많은 primes p가 있다는 것을 보여주었다. 이것이 의미하는 바는 우리가 점점 더 큰 프리타임으로 이동함에 따라 이러한 간격들이 천천히 커지게만 하면 두 개의 프리타임(p,p′)이 포함된 무한히 많은 간격을 찾을 수 있다는 것이다. 여기서 "느리게 성장한다"는 것은 이러한 간격의 길이가 로그로 성장할 수 있다는 것을 의미한다. 이 결과는 연속적으로 개선되었다; 1986년 헬무트 마이어는 상수 c < 0.25를 사용할 수 있다는 것을 보여주었다. 2004년 다니엘 골드스톤과 젬 얄드름은 상수가 c = 0.085786까지 더 개선될 수 있다는 것을 보여주었고, 2005년 골드스턴, 야노스 핀츠, 얄드름 등이 c를 임의적으로 작은 것으로 선택할 수 있다는 것을 확립했다.[13][14]

한편, 이러한 결과는, 예를 들어, c ln ln p와 같이 간격의 크기가 커지는 것만을 허용한다면, 두 개의 프리마임을 포함하는 구간이 무한히 많지 않을 수도 있다는 것을 배제하지 않는다.

엘리엇-할베르스탐 추측이나 약간 약한 버전을 가정함으로써, 그들은 n, n + 2, n + 6, n + 8, n + 12, n + 18, n + 20 중 적어도 두 개가 프라임일 정도로 n이 무한히 많다는 것을 보여줄 수 있었다. 그들은 더 강한 가설 하에서 무한히 많은 n에 대해 n, n + 2, n + 4, n + 6 중 적어도 2가 프라임이라는 것을 보여주었다.

이탕 장씨의 결과,

Goldston-Graham-Pintz-의 주요 개선점이다.일드름 결과. 장 바운드와 메이너드의 작품에 대한 폴리매스 프로젝트 최적화는 바운드를 N = 246으로 줄였다.[15][16]

추측

퍼스트 하디-리틀우드 추측

하디-리틀우드 추측(G. H. Hardy와 John Littlewood의 이름)은 쌍둥이의 원시 추측을 일반화한 것이다. 소수 정리와 유사하게 쌍자형을 포함한 원시 별자리 분포와 관련이 있다. p2+2도 prime이 되도록 p pr x x의 prime 수를 나타내도록 한다. 트윈 프라이밍 상수 C를2 다음과[17] 같이 정의하십시오.

(여기서 제품은 모든 소수점 p ≥ 3에 걸쳐 있다.) 그렇다면 최초의 하디 리틀우드 추측의 특별한 경우는 다음과 같다.

x가 무한에 가까워질수록 두 표현식의 몫이 1인 경향이 있다는 점에서.[18] (두 번째 ~는 추측의 일부가 아니며 부품에 의한 통합에 의해 증명된다.)

1/ln t가 원시 분포의 밀도 함수를 설명한다고 가정하면 추측을 정당화할 수 있다(그러나 입증되지는 않음). 소수 정리에 의해 제시되는 이러한 가정은 위의2 ((x)에 대한 공식에서 알 수 있듯이 쌍둥이 소수 추측을 내포하고 있다.

(여기에서 제시되지 않은) 원시 k-tuple에 대한 완전장성 제1차 하디-리틀우드 추측은 제2차 하디-리틀우드 추측이 거짓임을 암시한다.

딕슨의 추측에 의해 이 추측이 연장되었다.

폴리냑의 추측

1849년 폴리그낙의 추측에 따르면 모든 양의 자연수 k에 대해 p′ - p = k(즉, k 크기의 prime 갭이 무한히 많다)와 같은 연속적인 p와 p가 무한히 많다. 사례 k = 2는 쌍방의 유력한 추측이다. 그 추측은 아직 k의 어떤 구체적인 가치에 대해서도 입증되거나 반증되지 않았지만, 장 부장의 결과는 적어도 하나의 (현재 알려지지 않은) k의 가치에 대해서는 사실임을 증명하고 있다. 실제로, 그러한 k가 존재하지 않았다면, 어떤 양의 자연수 N에도 모든 m < N에 대해n+1 p - pn = m이 있고, n이 충분히 크면 pn+1 - p > N이n 있는 n이 가장 미세하게 많으며, 이는 장의 결과와 모순된다.[8]

큰 쌍둥이 프라임

2007년부터 두 개의 분산 컴퓨팅 프로젝트인 트윈 프라임 서치(Twin Prime Search)와 프라임그리드(PrimeGrid)가 여러 개의 기록적인 쌍둥이를 생산했다. 2018년 9월 현재 알려진 가장 큰 쌍둥이 프라임 쌍은 2996863034895 · 21290000 ± 1이며,[19] 소수점 수는 38만8342개다. 그것은 2016년 9월에 발견되었다.[20]

1018 이하에는 808,675,888,577,436쌍의 쌍둥이 프라임 쌍이 있다.[21][22]

최대 4.35 · 10까지의15 모든 프라임 쌍에 대한 경험적 분석은 그러한 쌍의 수가 다음보다 작을 경우, x f()이다.x)·x/(로그) x)2 다음에 f().x)는 작은 것의 약 1.7이다. x 그리고 다음과 같이 약 1.3으로 감소한다. x 무한의 경향이 있다 f()의 제한 값x하디-리틀우드추측에 따르면)은 쌍둥이 프라임 상수(OEIS:A114907)의 두 배와 같은 것으로 추측된다(브런의 상수와 혼동해서는 안 된다).

기타 기본 속성

3번째 홀수마다 3으로 나누어져 있는데, 3번째 홀수 중 하나가 3이 아니면 3번째 홀수 중 1이 될 수 없다. 따라서 5는 두 쌍의 프라임 쌍의 일부인 유일한 프라임이다. 한 쌍의 하위 멤버는 정의상 첸 프라임이다.

쌍쌍(m, m + 2)이 쌍쌍의 프라임인 것은 만약의 경우에 한하여 증명되었다.

m - 4 또는 m + 6도 prime이면 3 prime을 prime tripet이라고 한다.

일부 자연수 n > 1에 대한 형식의 쌍둥이 프라임 쌍(6n - 1, 6n + 1)의 경우 n은 0, 2, 3, 5, 7 또는 8(OEIS: A002822)의 단위를 가져야 한다.

절연 소수

고립된 소수(단일 소수 또는 비승 소수라고도 함)는 p - 2 또는 p + 2가 소수인 소수 p이다. 즉, p는 쌍둥이의 프라임 쌍의 일부가 아니다. 예를 들어, 21과 25는 둘 다 복합적인 것이기 때문에 23은 고립된 프라임이다.

처음 몇 번의 고립된 소수들은

2, 23, 37, 47, 53, 67, 79, 83, 89, 97, ... OEIS: A007510

그것은 브룬의 정리로부터 거의 모든 프리임이 주어진 임계값 n보다 작은 격리된 프리임의 수와 n보다 작은 모든 프리임의 비율이 n이 무한대로 1이 되는 경향이 있다는 점에서 격리된다는 것을 따른다.

참고 항목

참조

  1. ^ "Yitang Zhang's Spectacular Mathematical Journey".
  2. ^ 테리 타오, 프라임과의 작은 격차와 큰 격차
  3. ^ 첫 10만 쌍둥이 프라임
  4. ^ Caldwell, Chris K. "Are all primes (past 2 and 3) of the forms 6n+1 and 6n-1?". The Prime Pages. The University of Tennessee at Martin. Retrieved 2018-09-27.
  5. ^ Brun, V. (1915), "Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare", Archiv for Mathematik og Naturvidenskab (in German), 34 (8): 3–19, ISSN 0365-4524, JFM 45.0330.16
  6. ^ 베이트맨 & 다이아몬드(2004) 페이지 313
  7. ^ Heini Halberstam, and Hans-Egon Richett, Che Methods, 페이지 117, Dover Publices, 2010
  8. ^ a b de Polignac, A. (1849). "Recherches nouvelles sur les nombres premiers" [New research on prime numbers]. Comptes rendus (in French). 29: 397–401. 400페이지부터: "1테오렘er. Tout nombre pair esst égal a la différence deux nombres premier consécutifs d'une infinité de manieres … (1차 정리) 짝수 하나하나가 무한히 많은 방법으로 두 개의 연속된 소수와의 차이와 동일하다 … )
  9. ^ McKee, Maggie (14 May 2013). "First proof that infinitely many prime numbers come in pairs". Nature. doi:10.1038/nature.2013.12989. ISSN 0028-0836.
  10. ^ Zhang, Yitang (2014). "Bounded gaps between primes". Annals of Mathematics. 179 (3): 1121–1174. doi:10.4007/annals.2014.179.3.7. MR 3171761.
  11. ^ Tao, Terence (June 4, 2013). "Polymath proposal: bounded gaps between primes".
  12. ^ a b "Bounded gaps between primes". Polymath. Retrieved 2014-03-27.
  13. ^ Goldston, Daniel Alan; Motohashi, Yoichi; Pintz, János; Yıldırım, Cem Yalçın (2006), "Small gaps between primes exist", Japan Academy. Proceedings. Series A. Mathematical Sciences, 82 (4): 61–65, arXiv:math.NT/0505300, doi:10.3792/pjaa.82.61, MR 2222213.
  14. ^ Goldston, D. A.; Graham, S. W.; Pintz, J.; Yıldırım, C. Y. (2009), "Small gaps between primes or almost primes", Transactions of the American Mathematical Society, 361 (10): 5285–5330, arXiv:math.NT/0506067, doi:10.1090/S0002-9947-09-04788-6, MR 2515812
  15. ^ Maynard, James (2015), "Small gaps between primes", Annals of Mathematics, Second Series, 181 (1): 383–413, arXiv:1311.4600, doi:10.4007/annals.2015.181.1.7, MR 3272929
  16. ^ Polymath, D. H. J. (2014), "Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes", Research in the Mathematical Sciences, 1: Art. 12, 83, arXiv:1407.4897, doi:10.1186/s40687-014-0012-7, MR 3373710
  17. ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A005597 (Decimal expansion of the twin prime constant)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2019-11-01.
  18. ^ 베이트맨 & 다이아몬드(2004) 페이지.334–335
  19. ^ Caldwell, Chris K. "The Prime Database: 2996863034895*2^1290000-1".
  20. ^ "World Record Twin Primes Found!".
  21. ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A007508 (Number of twin prime pairs below 10^n)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2019-11-01.
  22. ^ Tomás Oliveira e Silva (7 April 2008). "Tables of values of pi(x) and of pi2(x)". Aveiro University. Retrieved 7 January 2011.

추가 읽기

외부 링크