클래스 번호 문제

수학에서 가우스 클래스 번호 문제(상상적 2차 필드의 경우)는 일반적으로 이해한 바와 같이, 클래스 번호 n을 가진 가상 2차 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ Q${\displaystyle }$($){\daystyle \mathb{Q}($부정수 d의 경우$)$의 전체 목록을$$각 n provide 1에 제공하는 것이다.칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)의 이름을 딴 것이다.그것은 또한 차별적인 측면에서도 진술할 수 있다.$실제{\displaystyle }$ 2차 분야와 d${\displaystyle }$→ -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle d\to$ -$\fty }$으로서의 행동과 관련된 질문이 있다$.$

난이도는 효과적인 한계 계산에 있다: 주어진 판별의 경우, 클래스 번호를 계산하기 쉽고, 클래스 번호에 몇 가지 비효율적인 하한(계산되지 않은 상수를 포함한다는 의미)이 있지만, 유효 한계(및 리스트의 완전성을 명시적으로 증명)는 더 어렵다.

가우스의 원래 추측

이 문제들은 1801년 가우스의 《산수》에 제시되어 있다(섹션 V, 제303조 및 제304조).^[1]

가우스는 제303조에서 상상의 이차적 분야를 논하고, 제1조 2차 추측을 명기하며, 제3차 추측을 명기하여 제304조에서 실제 이차적 분야를 논한다.

가우스 추측(클래스 수가 무한대로 증가하는 경향이 있음)

${\d(d)\to \inflt{{}d\to -\inflt .}$

가우스 클래스 번호 문제(하위 클래스 번호 목록)

주어진 낮은 클래스 번호(예: 1, 2, 3)에 대해 가우스는 주어진 클래스 번호와 함께 가상의 2차 필드 목록을 제공하고 그것들이 완전하다고 믿는다.

1등급을 가진 무한히 많은 실제 2차 필드

가우스는 1등급을 가진 진짜 2차 분야가 무한히 많다고 추측한다.

상상의 이차적 영역에 대한 원래의 가우스 등급 번호 문제는 현대적인 진술과는 상당히 다르고 쉽다: 그는 심지어 차별자에까지 제한했고, 비근본적인 차별자를 허용했다.

상태

가우스 추측

해결, 헤이즐브론, 1934년

로우 클래스 번호 목록

1등급: 해결, 베이커(1966), 스타크(1967), 희그너(1952년)

클래스 2: 해결, 베이커(1971),^[2] 스타크(1971)

3급 : 해결, 오오에스테레(1985)^[2]

클래스 번호 h 최대 100: 해결, Watkins 2004^[3]

1등급을 가진 무한히 많은 실제 2차 필드

개방하다

클래스 1의 판별 리스트

가상 2차 수 필드의 경우 클래스 1의 (기본) 판별은 다음과 같다.

${\displaystyle d=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-167.}$

클래스 1의 비근본적 차별성은 다음과 같다.

$d=-12,-16,-27,-28}$

따라서 클래스 1의 짝수 변별력, 기본적 및 비근본적(Gauss의 원래 질문)은 다음과 같다.

$d=-4,-8,-12,-16,-28}$

현대적 발전

1934년, 한스 헤일브론은 가우스 추측을 증명했다.동등하게, 주어진 클래스 번호에 대해, 해당 클래스 번호를 가진 가상의 2차 숫자 필드만 매우 많다.

또한 1934년 헤이즐브론, 에드워드 린풋은 1등급(알려진 9개, 그리고 그 이상 1개)을 가진 가상의 2차수 필드가 최대 10개라는 것을 보여주었다.결과는 비효과적이었다(숫자 이론의 효과적인 결과 참조): 나머지 영역의 크기에 대한 한계를 주지 않았다.

이후 전개에서 사례 n = 1은 커트 히그너에 의해 처음 논의되었는데, 모듈형 형식과 모듈 방정식을 사용하여 그러한 분야는 더 이상 존재할 수 없음을 보여주었다.이 작품은 처음에 받아들여지지 않았다. 오직 해롤드 스타크와 브라이언 버치(예: 스타크-히그너 정리 및 희그너 수에 관한)의 후기 작품으로 그 입장을 명확히 하고 히그너의 작품이 이해되었다.실질적으로 동시에 앨런 베이커는 우리가 지금 알고 있는 것을 대수적 숫자의 로그에서 선형 형태에 대한 베이커의 정리라고 하는 것을 증명했는데, 이것은 전혀 다른 방법으로 문제를 해결했다.사건 n = 2는 베이커의 작품을 응용한 것으로서, 적어도 원칙적으로는 그 직후에 태클되었다.^[4]

클래스 1이 있는 가상의 2차 필드의 전체 목록은 $Q{\displaystyle \mathbf{}}$( ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle \mathbf {Q}({\sqrt {k})$이며 k는 다음 중 하나임

${\displaystyle -1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-11}$

일반적인 경우는 1976년 도리안 골드펠트의 발견을 기다려 등급번호 문제가 타원곡선의 L-기능에 연결될 수 있었다.^[5]이것은 그러한 L-함수의 복수 0의 존재를 확립하는 것에 대한 효과적인 결정의 문제를 효과적으로 줄였다.^[5]1986년 Gross-Zagier 정리의 증명과 함께, 주어진 등급 번호를 가진 가상의 이차적 장의 전체 목록은 유한한 계산에 의해 명시될 수 있었다.n = 100까지의 모든 케이스는 2004년에 왓킨스에 의해 계산되었다.^[3]전체 클래스 번호 목록(OEIS의 순서 A202084)

실제 이차장

실제 2차 영역의 대조적인 경우는 매우 다르며, 훨씬 덜 알려져 있다.그 이유는 클래스 번호에 대한 분석 공식에 입력되는 것은 그 자체로 클래스 번호인 h가 아니라 where이 기본 단위인 h log ε이기 때문이다.이 여분의 요소는 제어하기 어렵다.실제 2차 영역의 1등급이 무한히 자주 발생하는 경우가 당연할 것이다.

코헨-렌스트라 휴리스틱스는^[6] 이차적 분야의 클래스 그룹의 구조에 대한 보다 정확한 추측의 집합이다.실제 분야의 경우, 프라임의 제곱근을 결합하여 얻은 필드의 약 75.446%가 1등급으로 계산에 동의할 것으로 예측한다.^[7]

참고 항목

• 클래스 1이 있는 숫자 필드 리스트

메모들

참조

• Goldfeld, Dorian (July 1985), "Gauss' Class Number Problem For Imaginary Quadratic Fields" (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society, 13 (1): 23–37, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15352-2
• Heegner, Kurt (1952), "Diophantische Analysis und Modulfunktionen", Mathematische Zeitschrift, 56 (3): 227–253, doi:10.1007/BF01174749, MR 0053135
• te Riele, Herman; Williams, Hugh (2003), "New Computations Concerning the Cohen-Lenstra Heuristics" (PDF), Experimental Mathematics, 12 (1): 99–113, doi:10.1080/10586458.2003.10504715
• Cohen, Henri (1993), A Course in Computational Algebraic Number Theory, Berlin: Springer, ISBN 978-3-540-55640-4
• Baker, Alan (1990), Transcendental number theory, Cambridge Mathematical Library (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39791-9, MR 0422171

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Gauss's Class Number Problem". MathWorld.