무한 집합

Infinite set
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집합론에서, 무한 집합은 유한 집합이 아닌 집합이다.무한 집합은 셀 수도 있고 셀 [1][2]수도 없습니다.

특성.

자연수의 집합(그 존재는 무한의 공리에 의해 가정됨)은 [2][3]무한하다.이 집합은 공리에 의해 직접 무한으로 요구되는 유일한 집합입니다.다른 무한 집합의 존재는 Zermelo-Fraenkel 집합론(ZFC)에서 증명될 수 있지만, 자연수의 존재로부터 나온다는 것을 보여줌으로써만 증명될 수 있다.

집합은 모든 자연수에 대해 그 카디널리티가 [citation needed]자연수인 서브셋이 있는 경우에만 무한합니다.

선택 공리가 유지되면 계산 가능한 무한 서브셋을 포함하는 경우에만 집합이 무한합니다.

집합 집합이 무한하거나 무한 요소를 포함하는 경우 집합의 합계는 무한합니다.무한 집합의 거듭제곱 집합은 [4]무한합니다.무한 집합의 모든 슈퍼 집합은 무한합니다.무한 집합이 여러 개의 하위 집합으로 분할되어 있는 경우, 그 중 적어도 하나는 무한이어야 합니다.무한 집합에 매핑할 수 있는 모든 집합은 무한합니다.무한 집합과 비어 있지 않은 집합의 데카르트 곱은 무한하다.각각 최소 두 개의 요소를 포함하는 집합의 무한 개수의 데카르트 곱은 비어 있거나 무한입니다. 선택 공리가 유지되면 무한입니다.

무한 집합이 순서가 올바른 집합인 경우 가장 큰 요소가 없는 비어 있지 않고 중요하지 않은 하위 집합이 있어야 합니다.

ZF에서 집합은 그 멱집합의 멱집합이 데데킨드 무한집합이며,[5] 그 자체와 등치인 적절한 서브셋을 갖는 경우에만 무한집합이다.만약 선택 공리도 참이라면, 무한 집합은 정확히 데데킨드 무한 집합이다.

무한 집합이 정렬 가능한 집합인 경우, 무한 집합은 비동형인 다수의 정렬을 가집니다.

무한 집합론은 증명과 [6]정의를 포함한다.버튼에 의해 논의된 중요한 아이디어에는 "요소" 또는 집합의 일부를 정의하는 방법, 집합에서 고유한 요소를 정의하는 방법 및 [6]무한성을 증명하는 방법이 포함됩니다.버튼은 또한 셀 수 있는 [6]집합과 셀 수 없는 집합을 포함한 다양한 유형의 무한대에 대한 증거에 대해서도 논의합니다.무한 집합과 유한 집합을 비교할 때 사용되는 항목에는 순서 집합, 카디널리티, 등가성, 좌표 평면, 유니버설 집합, 매핑, 부분 집합, 연속성 및 [6]초월성이 포함됩니다.캔더의 고정관념은 삼각법과 무리수의 영향을 받았다.버튼, 폴라, 나리, 로저가 언급한 무한 집합론의 다른 핵심 아이디어들은 파이, 정수, 오일러의 [6][7][8]수와 같은 실수들을 포함한다.

버튼과 로저스 모두 유한 집합을 사용하여 매핑, 유도에 의한 증명 또는 [6][8]모순에 의한 증명과 같은 증명 개념을 사용하여 무한 집합을 설명하기 시작합니다.수학 트리는 [9]무한 집합을 이해하기 위해 사용될 수도 있습니다.버튼은 또한 유니언과 [6]서브셋과 같은 아이디어를 포함한 무한 집합의 증거에 대해 논의합니다.

수학의 역사 12장에서: 서론에서 버튼은 저멜로, 데데킨드, 갈릴레오, 크로네커, 칸토어, 볼자노와 같은 수학자들이 무한 집합론을 [6]어떻게 연구하고 영향을 미쳤는지를 강조한다.1800년대 프러시아의 역사와 같은 잠재적인 역사적 영향은 칸도르의 무한 [6]집합 이론을 포함한 학문적인 수학적 지식의 증가를 가져왔다.

저멜로, 데데킨드, 갈릴레오, 크로네커, 칸토르, 볼자노를 포함한 수학자들이 무한 집합론을 연구하거나 영향을 주었다.이 수학자들 중 많은 이들이 무한함을 논하거나 무한 [6]집합의 개념에 추가되었다.

무한 집합론의 한 가지 잠재적인 적용은 유전학과 [10]생물학이다.

예

셀 수 있는 무한 집합

모든 정수의 집합 {..., -1, 0, 1, 2, ...}은(는) 셀 수 있는 무한 집합입니다.모든 짝수 정수의 집합은 [4]정수의 적절한 부분 집합일지라도 셀 수 있을 만큼 무한 집합입니다.

모든 유리수의 집합은 정수 [4]집합에 분사가 있기 때문에 셀 수 있을 만큼 무한 집합이다.

셀 수 없는 무한 집합

모든 실수의 집합은 셀 수 없을 정도로 무한하다.모든 무리수의 집합은 셀 수 없을 정도로 무한하다.[4]

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Infinite Set". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-29.
  2. ^ a b "infinite set in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2019-11-29.
  3. ^ Bagaria, Joan (2019), "Set Theory", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2019-11-30
  4. ^ a b c d Caldwell, Chris. "The Prime Glossary — Infinite". primes.utm.edu. Retrieved 2019-11-29.
  5. ^ 특히 32-33페이지를 참조하십시오Boolos, George (1994), "The advantages of honest toil over theft", Mathematics and mind (Amherst, MA, 1991), Logic Comput. Philos., Oxford Univ. Press, New York, pp. 27–44, MR 1373892.
  6. ^ a b c d e f g h i j Burton, David (2007). The History of Mathematics: An Introduction (6th ed.). Boston: McGraw Hill. pp. 666–689. ISBN 9780073051895.
  7. ^ Pala, Ozan; Narli, Serkan (2020-12-15). "Role of the Formal Knowledge in the Formation of the Proof Image: A Case Study in the Context of Infinite Sets". Turkish Journal of Computer and Mathematics Education (TURCOMAT). 11 (3): 584–618. doi:10.16949/turkbilmat.702540.
  8. ^ a b Rodgers, Nancy (2000). Learning to reason: an introduction to logic, sets and relations. New York: Wiley. ISBN 978-1-118-16570-6. OCLC 757394919.
  9. ^ Gollin, J. Pascal; Kneip, Jakob (2021-04-01). "Representations of Infinite Tree Sets". Order. 38 (1): 79–96. doi:10.1007/s11083-020-09529-0. ISSN 1572-9273.
  10. ^ Shelah, Saharon; Strüngmann, Lutz (2021-06-01). "Infinite combinatorics in mathematical biology". Biosystems. 204: 104392. doi:10.1016/j.biosystems.2021.104392. ISSN 0303-2647.

외부 링크