대칭적이고 정보적으로 완전하며 양 의 운전자 가치 측정 (SIC-POVM)은 양자역학 분야에서 사용되는 힐버트 공간 에 대한 일반화된 측정 의 특별한 경우다.규정된 형태의 측정은 QBism 에서 가장 두드러진 기초 양자역학 연구에 활용되는 "표준 양자 측정"의 흥미로운 후보로서 특정 정의 품질을 만족시킨다. 더욱이 양자 상태 단층촬영 과[1] 양자암호화 에서 응용이 존재한다는 것이 밝혀졌으며 [2] 힐버트의 열두 번째 문제 와의 연관성이 발견되었다.[3]
정의 수학의 미해결 문제 :
SIC-POVM이 모든 차원에서 존재하나?
주로 양자역학에서 SIC-POVM을 사용하기 때문에, 힐버트 공간 의 원소를 나타내기 위해 Dirac 표기법 이 이 글 전반에 걸쳐 사용될 것이다.
d {\displaystyle d} 공간 {\ displaystyle {\mathcal {H} {\displaystyle m} 양성-세미드파인 연산자 F 1 m {\ displaystystylefinite =\{{{{} Hilbert 공간의 F_{i}\mid \in 1,\ldots,m\}\ 오른쪽 \}}}.
∑ i = 1 m F i = I . {\displaystyle \sum _{i=1}^{m }{F_{i}=I. } If a POVM consists of at least d 2 {\displaystyle d^{2}} span the space of self-adjoint operators L ( H ) {\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})} d 2 {\displaystyle d^{2}} inimal. d 2 {\ displaystyle ^{2}}개 순위-1 프로젝터 π π i ∈ i ∈ 1 d 2 ∧ i 2 i } displaysty Pi =\lef\\{\\\\\\\\\\\\\\} Pi _{i }\ mid i\in \{1,\ldots,d^{2}\}\land \Pi _{i}^{2}=\Pi _{i}\right\}}}} Hilbert-Schmidt 내부 제품 을 가지고 있으며 T r ( Π i Π j ) = d δ i j + 1 d + 1 , {\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\Pi _{i}\Pi _{j}\right)={\frac {d\delta _{ij}+1}{d+1},},} 최소 IC-POVM F Fi ∣ ∈ 2 ∧ i Fi 1 i 1 i } {\ displaystyle =\lef\{{} F_{i}\mid i\in \{1,\ldots,d^{2}\}\land F_{i}={\frac {1}{d}}\Pi _{i}\land \Pi }\in \Pi \right\}}}}
특성. 대칭 위에서 정의한project i { displaystyle \Pi \{i}\in \Pi } 1 d ∑ i I {\displaystyle {\frac {1}{d}\sum _{i}\Pi _{i}= I} T r π i π j c {\displaystyle \mathrm {Tr}(\Pi _{i}\Pi _{j}=c
d = T r ( I 2 ) = 1 d 2 ∑ i , j T r ( Π i Π j ) = 1 d 2 ( d 2 + c d 2 ( d 2 − 1 ) ) {\displaystyle {\begin}d&=\mathrm {Tr}(I^{2})\ \&={\frac {1}{d^{2}}\sum _{i,j}\mathrm {Tr}(\Pi _{i}\Pi _{j}\\\&={\frac {1}{d^{2}}}\좌측(d^{2}-1)+cd^{2}\riged}}}}}}}}}\end{oped}}}}}}} c 1d 1 {\ displaystyle c={\frac {1}{d+1 T r ( Π i Π j ) = d δ i j + 1 d + 1 . {\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\Pi _{i}\Pi _{j}\right)={\frac {d\delta _{ij}+1}{d+1}. } 이 속성은 SIC-POVM을 대칭적 으로 만드는 것이다. Hilbert-Schmidt 내부 제품 과 관련하여, 어떤 요소 쌍도 다른 쌍과 동등하다.
슈퍼 오퍼레이터 SIC-POVM 요소를 사용할 때 흥미 H L H {\displaystyle {\mathcal{L}({\mathcal {H})\오른쪽 {\mathcal {L}({\mathcal {H 이 연산자는 구면 t-설계와 SIC-POVM의 관계 를 고려할 때 가장 유용하다. 지도 고려
G : L ( H ) → L ( H ) A ↦ ∑ α ψ α ⟩ ⟨ ψ α A ψ α ⟩ ⟨ ψ α {\displaystyle{\begin{aigned}{\mathcal{G}}}mith\mathcal{L}({\mathcal{H})\\mathcal {L}\mathcal {H}\)\ \A&\mapsto \displaystyle \sum \{\alpha }\psi _{\alpha }\langle \langle \psi _{\alpha }{\langle \psi _{\alphaigned}}}}}}}}}}}? 이 운영자는 SIC-POVM 요소에서 ID와 매우 유사한 방식으로 작용한다.
G ( Π β ) = ∑ α Π α ⟨ ψ α ψ β ⟩ 2 = Π β + 1 d + 1 ∑ α ≠ β Π α = d d + 1 Π β + 1 d + 1 Π β + 1 d + 1 ∑ α ≠ β Π α = d d + 1 Π β + d d + 1 ∑ α 1 d Π α = d d + 1 ( Π β + I ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {G}}(\Pi _{\beta })&=\displaystyle \sum _{\alpha }\Pi _{\alpha }\left \langle \psi _{\alpha } \psi _{\beta }\rangle \right ^{2}\\&=\displaystyle \Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\sum _{\alpha \neq \beta }\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\ Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}\ Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}:{d+1}\sum _{\alpha \neq \beta }\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}\\\\\\\\}\\\\\\\ Pi _{\beta }+{\frac {d}{d+1}:{d+1}\sum _{\frac {1}{d}\pi _{\alpha }\\\\=displaystyle {\frac {d}{d+1}\pi _{\beta }\iriged}}}}}}}}}}}}}}}}\ended}}}}}}}}}}}}}}}}}}}" 그러나 SIC-POVM의 요소들이 어떤 양자 상태를 완전하고 독특하게 결정할 수 있기 때문에, 이 선형 연산자는 어떤 상태의 분해에도 적용되어 다음과 같은 내용을 작성할 수 있다.
G = d 1 I {\ 디스플레이 스타일 G={\frac {d}{d+1}}\왼쪽({\mathcal {I}}+) I\right)} I( A A I A ) T r A ) I {\displaystyle (A)= A{\text{ 및 }{\mathcal{I}(A)}=\mathrm {Tr}(A) I} 여기서 왼쪽 역행 1 1d ( d + 1 II displaystyle G^{-1}={\frac {1}{d}\왼쪽[d+1\오른쪽] [4] I-{\mathcal{I}\right
I = G − 1 G = 1 d ∑ α [ ( d + 1 ) Π α ⊙ Π α − I ⊙ Π α ] {\displaystyle I=G^{-1}G={\frac {1}{d}}\sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }\odot \Pi _{\alpha }-I\odot \Pi _{\alpha }\right]} 상태 ρ {\displaystyle \rho } 준반사 분포 관점에서 생성할 수 있다
ρ = I ρ ) = ∑ α [ ( d + 1 ) Π α − I ] ( Π α ρ ) d = ∑ α [ ( d + 1 ) Π α − I ] T r ( Π α ρ ) d = ∑ α p α [ ( d + 1 ) Π α − I ] 어디에 p α = T r ( Π α ρ ) / d = − I + ( d + 1 ) ∑ α p α ψ α ⟩ ⟨ ψ α = ∑ α [ ( d + 1 ) p α − 1 d ] ψ α ⟩ ⟨ ψ α {\displaystyle{\begin{정렬}\rho=I \rho)&=\displaystyle \sum _ᆮ\left[(d+1)\Pi_{\alpha}-I\right]{\frac{(\Pi_{\alpha}\rho)}{d}}\\&,=\displaystyle \sum _ᆱ\left[(d+1)\Pi_{\alpha}-I\right]{\frac{\mathrm{Tr}(\Pi_{\alpha}\rho)}{d}}\\&,=\displaystyle \sum _ᆴp_ᆵ\left[(d+1)\Pi_{\alpha}-I\right]\.쿼드{\text{ where }}p_{\alpha }=\mathrm {Tr} (\Pi _{\alpha }\rho )/d\\&=\displaystyle -I+(d+1)\sum _{\alpha }p_{\alpha } \psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha } \\&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)p_{\alpha }-{\frac {1}{d}}\right] \psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha } \end{aligned}}} 여기서 ρ ){\displaystyle \rho )} 공간 H {\displaystyle {\mathcal{L}({\mathcal {H})} . 이는 상태 displaystyle \rho }
( d + 1 ) p α − 1 d {\displaystyle (d+1)p_{\pair }-{\frac {1}{d}}} SIC 세트 찾기 가장 간단한 예 d 2 {\displaystyle d=2}
ψ 1 ⟩ = 0 ⟩ ψ 2 ⟩ = 1 3 0 ⟩ + 2 3 1 ⟩ ψ 3 ⟩ = 1 3 0 ⟩ + 2 3 e i 2 π 3 1 ⟩ ψ 4 ⟩ = 1 3 0 ⟩ + 2 3 e i 4 π 3 1 ⟩ , {\displaystyle{\begin{정렬}\psi _{1}\rangle&=0\rangle \\ \psi _{2}\rangle&={\frac{1}{\sqrt{3}}}0\rangle +{\sqrt{\frac{2}{3}}}1\rangle \\ \psi _{3}\rangle&={\frac{1}{\sqrt{3}}}0\rangle +{\sqrt{\frac{2}{3}}}e^{나는{\frac{2\pi}{3}}}1\rangle \\ \psi _{4}\rangle&={\frac{1}{\sqrt{3}}}0\rangle +{\sqrt{\frac{2}{3}}.}e^{나는{\frac{4\p i}{3}}} 1\rangele,\end{aigned}} Bloch 구체 에서 정규 4면체의 정점을 형성한다.SIC-POVM을 정의하는 프로젝터는 π i ψ ψ ψ {\ displaystyle \Pi _{i}= \psi _{i}\랑글 \langle \psi_{i}} } .
더 높은 차원의 경우 이는 실현 불가능하며, 보다 정교한 접근법을 사용해야 한다.
그룹 공분산 일반 그룹 공분산 SIC-POVM P {\displaystyle P} 같은 displaystyle d^{2 단일 한 표현 을 가진G {\displaystyle G} 그룹 공변량 이라고 한다
∀ ψ ⟩ ⟨ ψ ∈ P , ∀ U g ∈ G , U g ψ ⟩ ∈ P {\displaystyle \psi \langle \langle \psi \in P,\quad \{g}\psi \angle \in P} ∀ ψ ⟩ ⟨ ψ , ϕ ⟩ ⟨ ϕ ∈ P , ∃ U g ∈ G , U g ϕ ⟩ = ψ ⟩ \displaystyle \psi \langle \langle \psi , \phi \langle \langle \langle \langle \p,\quad \exists U_{g}\pi \rangle = \psi } SIC-POVM에 대한 검색은 그룹 공분산의 특성을 이용하여 크게 단순화할 수 있다. 실제로 문제는 다음과 같은표준화 된 기준 벡터 ϕ{\displaystyle \phi \rangele}
⟨ ϕ u 22 2 1d ∀ g ≠ i {\displaystyle langle \langle U_{g phi \rangle ^{ frac { d+1}\fall g\neq id 그런 다음 SIC-POVM은 ϕ{\displaystyle \pi \rangle } U g {\ displaystyle U_{g} 작업 에 의해 생성 된 집합이다.
Zd d 지금까지 대부분의 SIC-POVM의 Zd{\displaystyle \mathbb{Z}_{d}\times \mathbb{Z}_{d}}.[5]귀일 표현을 구축하기 위해, 우리는 매핑 하Zd×Zd{\displaystyle \mathbb{Z}_{d}\times}U(d){U(d)\displaystyle}에{Z}_{d}\mathbb, gro×Zd에 그룹 공분산을 고려하여 발견되었다.를 D-11에 있는 단일 요원들 중 한 명이요 우선 몇 명의 연산자를 도입해야 한다. e ⟩ {\displaystyle e_{i}\rangele } H {\ displaystyle {\mathcal H} 위상 연산자는
T e i ⟩ Ω i ⟩ {\displaystyle e_{i}\rangele =\ e_{i omega ^} e 2 π i {\ displaystyle \omega=e^{\frac {2\pi }{d}}}} 그리고 교대조 운영자 는 다음과 같이 한다.
S e i ⟩ = e i + 1 ( 모드의 d ) ⟩ {\displaystyle S e_{i}\rangele = e_{i+1{\pmod{d}}\rangele } 이 두 연산자를 결합하면 Weyl 연산자 W( p q p T q {\ displaystyle W(p,q)= 하이젠베르크-와일 ^{p}T^{q}}. 이후 단일 운영자 입니다.
W ( p , q ) W † ( p , q ) = S p T q T − q S − p = I d {\displaystyle {\begin}W(p,q)^{\dager }(p,q)&=S^{p} T^{q}T^{-q}S^{-p}\&=ID\end{정렬}}}} \mathb {Z} _{d }\ mathb _{ }\mathb { } _{d}\d rightarrow W(p,q)} 매핑 또한 그룹 공분산의 모든 속성을 만족시키며,[6]
자우너의 추측 SIC-POVM의 유용한 특성 중 일부를 고려할 때, 그러한 세트를 임의 차원의 힐버트 공간에서 구성할 수 있는지 여부를 긍정적으로 알면 유용할 것이다. 원래 자우너 논문에서 제시되었던,[7]
좀 더 구체적으로 말하자면
For every dimension d ≥ 2 {\displaystyle d\geq 2} E 0 {\displaystyle E_{0}} Weyl–Heisenberg group H d {\displaystyle H_{d}} E 0 {\displaystyle E_{0}} J d H d ⋊ S L 2 Z {\displaystyle J_{d}= H_{d}\rtimes SL(2,\mathb {Z} _{d 센터 내 {\ dplaystyle {d
Z d × Z d {\ dplaystyle \mathb {Z} _{d}\time \mathb {Z} _{d}} .
치수 d ∈ {\ displaystyle d\in \mathb{N {k } 0 d 1 displaystyle\{k\right\}_{k=0}^{d-1} C displaysty \mathb {C}}{ }}}}}}
ω = e 2 π i d , D j , k = ω j k 2 ∑ m = 0 d − 1 ω j m k + m ( 모드의 d ) ⟩ ⟨ m {\displaystyle \dmod}\e^{\frac {2\pi i}{d}},\quad \quad D_{j,k}=\frac ^{jk}{2}}\sum _{m=0}^{d-1}\jmod}{d}{d}\langle \langle }}}}}}}}. Then ∃ ϕ ⟩ ∈ C d {\displaystyle \exists \phi \rangle \in \mathbb {C} ^{d}} { D j , k ϕ ⟩ } j , k = 1 d {\displaystyle \left\{D_{j,k} \phi \rangle \right\}_{j,k=1}^{d}}
부분 결과 임의 차원에 대한 SIC-POVM의 존재에 대한 증거는 여전히 공개적인 문제로 남아 있지만 [6]
D 2 {\displaystyle d=2} 53 displaystyle d=53} 확인 5779 displaystyle d=5779 차원 displaystyle d} [a] 더욱이, Z d d {\ dplaystyle \mathb {Z} _ }\time\mathb {Z} _{ }}} 193 {\ displaystyle d=193} d 2208 } . [b]
구형 t-설계와의 관계 A spherical t-design S = { ϕ k ⟩ : ϕ k ⟩ ∈ S d } {\displaystyle S=\left\{ \phi _{k}\rangle : \phi _{k}\rangle \in \mathbb {S} ^{d}\right\}} hypersphere , such that the average value of any t t h {\displaystyle t^{th}} f t ( ψ ) {\displaystyle f_{t}(\psi )} S {\displaystyle S} f t ( ψ ) {\displaystyle f_{t}(\psi )} ψ ⟩ {\displaystyle \psi \rangle } H t = ⨂ i = 1 t H {\displaystyle {\mathcal {H}}_{t}=\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{t}{\mathc 힐버트 공간의 t-폴드 텐서 제품 으로al{H}}
S t = ∑ k = 1 n Φ k t ⟩ ⟨ Φ k t , Φ k t ⟩ = ϕ k ⟩ ⊗ t {\displaystyle S_{t}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n} \Phi_{k}^{k}}}}}\langle \langle \langle \clangle \phi _{k}}}}}{t}\notimes t}}}}}}}}}}}}}}}} that[8]정규화된 벡터의 집합을 n≥(t+d− 1d− 1){\displaystyle n\geq{t+d-1\choose d-1}과 \in \mathbb{S}^{d}\right\}_{k=1}^{n}{ϕ k⟩ ∈ Sd}k=1n{\displaystyle \left\{\phi_{k}\rangle}}구면 t-desi을 형성하는t-fold 텐서 제품 프레임 사업자로써, 그것은 표시할 수 있다.자유락하 표준 가속도 만약의 경우에 한해서만
T r [ S t 2 ] = ∑ j , k ⟨ ϕ j ϕ k ⟩ 2 t = n 2 t ! ( d − 1 ) ! ( t + d − 1 ) ! {\displaystyle \mathrm {Tr} \left[S_{t}^{2}\right]=\sum_{j,k}\left \langle \langle \langle ^{2t}={\frac {n^{2}t!(d-1)! }{{(t+d-1)! }}} 그 후 즉시 모든 SIC-POVM은 2-design이며, 그 이유는 다음과 같다.
T r ( S 2 2 ) = ∑ j , k ⟨ ϕ j ϕ k ⟩ 4 = 2 d 3 d + 1 {\displaystyle \mathrm {Tr}(S_{2}^{2})=\displaystyle \sum_{j,k}\langle \phi _{k}\rangele ^{4}={\frac {2d^{3}}{d+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 그것은 정확하게 위의 정리를 만족시키는 필요한 값이다.
MUB와의 관계 d차원 힐베르트 공간에서는 두 개의 뚜렷한 기초가 { ψ ϕ j ⟩ {\ displaystyle \{psi _{i}\rangle \right\}}, \phi _{j}\rangle \right\}}}}}}}} 상호 편향 이 없다고 한다
⟨ ψ i ϕ j ⟩ 2 = 1 d , ∀ i , j {\displaystyle \langle \langle _{i} \phi _{j}\angle ^{2}={\frac {1}{d}},\frac \frac \all i,j} 이 SIC-POVM Wootters 는 전체 d {\displaystyle d+1} 유한 투영 평면 으로 알려진 기하학적 구조를 생성하는 반면, SIC-POVM은 (주력 인 어떤 차원에서도) 정의 가 있는 구조 의 일종인 유한 부속 평면을 산출한다고 지적한다.점 및 선의 역할이 교환된 유한 투영 평면의 그것과 동일하다. 이러한 의미에서 SIC-POVM과 상호 편견 없는 베이스의 문제는 서로 이중적이다.[17]
차원 d 3 {\displaystyle d=3 [18] SIC-POVM의 9개 벡터는 상호 편향되지 않은 베이스의 12개 벡터와 함께 Kochen-Speker 교정 에서 사용할 수 있는 세트를 형성한다.[19] 그러나 6차원 힐베르트 공간에서는 SIC-POVM이 알려져 있지만, 상호간에 편향되지 않은 베이스의 완전한 집합은 아직 발견되지 않았으며, 그러한 집합은 존재하지 않는다고 널리 알려져 있다.[20] [21]
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(를) 설정하고 
![G^{{-1}}={\frac 1d}\left[\left(d+1\right)I-{\mathcal {I}}\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bdbbf381bdbd4410d6f8ac6fc59a71ba8950d1b)
![I=G^{{-1}}G={\frac 1d}\sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }\odot \Pi _{\alpha }-I\odot \Pi _{\alpha }\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f54e6afd97fbf3668fc78fb99c6c78776a8e05)
![{\begin{aligned}\rho =I|\rho )&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]{\frac {(\Pi _{\alpha }|\rho )}{d}}\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]{\frac {{\mathrm {Tr}}(\Pi _{\alpha }\rho )}{d}}\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }p_{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]\quad {\text{ where }}p_{\alpha }={\mathrm {Tr}}(\Pi _{\alpha }\rho )/d\\&=\displaystyle -I+(d+1)\sum _{\alpha }p_{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)p_{\alpha }-{\frac 1d}\right]|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2088df121b10afe1ab4ece2d17afea549abf102d)
통합의 뿌리다.
모든 차원의 힐버트 공간에 대해 정확한 표현식이 
![\displaystyle {\mathrm {Tr}}\left[S_{t}^{2}\right]=\sum _{{j,k}}\left|\langle \phi _{j}|\phi _{k}\rangle \right|^{{2t}}={\frac {n^{2}t!(d-1)!}{(t+d-1)!}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d1489da662ee59dbc132f7eeed093b939b8b79)
불편함 기반은 
