숫자 이론 에서 오일러 제품 은 디리클레 시리즈 를 소수들 이 지수화한 무한 제품 으로 확장하는 것이다. 원래 그러한 제품은 레온하르트 오일러 에 의해 증명된 바와 같이 특정 세력으로 끌어올린 모든 양의 정수의 합계 에 대해 주어졌다. 이 시리즈와 전체 복잡한 평면과의 연속성은 후에 리만 제타 기능 으로 알려지게 될 것이다.
정의 일반적으로 a 가 경계 승법 함수 인 경우 Dirichlet 시리즈
∑ n a ( n ) n s {\displaystyle \sum _{n}{\frac {a(n)}{n^{s}}\,} 와 같다
∏ p P ( p , s ) 을 위해 레 ( s ) > 1. {\displaystyle \p(p,s)\quad {\text{{}\operatorname {Re}(s)>1 } 여기서 제품은 소수점 p를 인수하고 P(p , s )
∑ k = 0 ∞ a ( p k ) p k s = 1 + a ( p ) p s + a ( p 2 ) p 2 s + a ( p 3 ) p 3 s + ⋯ {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a(p^{k})}{p^{ks}}}=1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+{\frac {a(p^{3})}{p^{3s}}}+\cdots } 사실, 우리가 이것을 공식적 인 생성 함수 로 간주한다면, 그러한 공식적인 오일러 제품 확장의 존재 (n ) 가 승산이 있는 필요하고도 충분한 조건이다. 이것은 정확히 (n ) 가 구별 되는 p의 힘 p k 산물로서 n개 의 요인이 있을 때마다 a (pk )
중요한 특수한 경우는 a (n )완전히 승화 하여 P(p ,s )기하 급수적인 시리즈 가 되는 경우다. 그러면
P ( p , s ) = 1 1 − a ( p ) p s , {\displaystyle P(p,s)={\frac {1}{1-{\frac {a(p)}{p^{s}}},} Riemann zeta 함수 의 경우와 같이, 여기 (n ) = 1 이며, 더 일반적으로 Dirichlet 문자 의 경우.
수렴 실제로 모든 중요한 경우들은 무한 시리즈와 무한 제품 확장이 어떤 지역에서는 절대적 으로 수렴된다.
레 ( s ) > C , {\displaystyle \operatorname {Re}(s)>C,} 즉, 복잡한 숫자의 오른쪽 반면 에 있는 것이다. 이것은 수렴하기 위해 무한 생산물이 0이 아닌 값을 주어야 하기 때문에 이미 일부 정보를 준다. 따라서 무한 시리즈에 의해 주어진 함수는 그러한 반평면에서 0이 아니다.
모듈형식 의 이론에서 분모에 2차 다항식이 있는 오일러 제품을 여기에 두는 것이 일반적이다. 일반적인 랭글랜드 철학 에는 도 m 의 다항식 연결과 GL 의m 표현 이론 에 대한 비교 가능한 설명이 포함되어 있다.
예 다음 예에서는 모든 프리타임 집합에P {\ displaystyle \mathb {P}
P = { p ∈ N p 최고다 } . {\displaystyle \mathb {P} =\{p\in N\, \,p{\text{는 prime}\}. } 리만 제타 함수 ζ (s .
∏ p ∈ P ( 1 1 − 1 p s ) = ∏ p ∈ P ( ∑ k = 0 ∞ 1 p k s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = ζ ( s ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)&=\prod _{p\ \in \ \mathbb {P} }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{ks}}}\right)\ \&=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {1}{n^{s}}=\제타(s) \end{정렬}}} Louville 함수 λ (n ) (-1 )의 경우,ω (n )
∏ p ∈ P ( 1 1 + 1 p s ) = ∑ n = 1 ∞ λ ( n ) n s = ζ ( 2 s ) ζ ( s ) . {\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}. } 이들의 왕복선을 이용하여 뫼비우스 함수 μ (n )
∏ p ∈ P ( 1 − 1 p s ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s = 1 ζ ( s ) {\displaystyle \pod _{p\,\in \\\\mathb {P}}\좌측(1-{\frac {1}{p^{s}}\우측)=\sum _{n=1}^{n=1}{n^{n^}}}={n1}{frac {1}{{nzeta}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}. 그리고
∏ p ∈ P ( 1 + 1 p s ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s = ζ ( s ) ζ ( 2 s ) . {\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac { \mu (n) }{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}. } 이 두 개의 비율을 따지면
∏ p ∈ P ( 1 + 1 p s 1 − 1 p s ) = ∏ p ∈ P ( p s + 1 p s − 1 ) = ζ ( s ) 2 ζ ( 2 s ) . {\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1+{\frac {1}{p^{s}}}}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}\right)={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}. } s 의 짝수 값에 대해 리만 제타 함수 ζ 은 π s 이성적 배수의 관점에서 분석적 식을 가지고 있기 때문에, 짝수 지수에 대해서는 이 무한 생산물이 합리적인 숫자로 평가한다. 예를 들어, 이후 ζ(2)).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{.Border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}π2/6, ζ(4))π4/90, ζ(8))π8/9450.
∏ p ∈ P ( p 2 + 1 p 2 − 1 ) = 5 3 ⋅ 10 8 ⋅ 26 24 ⋅ 50 48 ⋅ 122 120 ⋯ = ζ ( 2 ) 2 ζ ( 4 ) = 5 2 , ∏ p ∈ P ( p 4 + 1 p 4 − 1 ) = 17 15 ⋅ 82 80 ⋅ 626 624 ⋅ 2402 2400 ⋯ = ζ ( 4 ) 2 ζ ( 8 ) = 7 6 , {\displaystyle{\begin{정렬}\prod _{p\,\in \,\mathbb{P}}\left({\frac{p^{2}+1}{p^{2}-1}}\right)&, ={\frac{5}{3}}\cdot}{\frac{10}{8}\cdot{\frac{26}{24}}\cdot{\frac{50}{48}}\cdot{\frac{122}{120}}\cdots, ={\frac{\zeta(2)^{2}}{\zeta(4)}}&={\frac{5}{2}},\\[6pt]\prod _{p\,\in \,\mathbb{P}}\left({\frac{p^{4}+1}{p^{4}-1}}\rig &.ht)&){\frac {17}{15}}}\cdot {\frac {82}{80}}}\cdot {\frac {624}}}\cdot {\frac {2402}{2400}}}}\cdots &={\frac {\frac{\zeta (4)}}}}}}}{7}}}}},end\ced}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 라마누잔 에 의해 알려진 첫 번째 결과와 함께 등등. 이 무한대의 제품군도 이와 동등하다.
∏ p ∈ P ( 1 + 2 p s + 2 p 2 s + ⋯ ) = ∑ n = 1 ∞ 2 ω ( n ) n s = ζ ( s ) 2 ζ ( 2 s ) , {\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {2}{p^{s}}}+{\frac {2}{p^{2s}}}+\cdots \right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}},} 여기서 Ω (n )n 의 구별되는 주요 인자의 수를 세고ω (n ) , 2는 제곱 이 없는 분할자의 수입니다.
χ (n )N 의 디리클레 문자여서 χ ((n ) 은 n모드 의존 하며, ((n ) = n 은 N에 복사 되지 않으면 0이다.
∏ p ∈ P 1 1 − χ ( p ) p s = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s . {\displaystyle \prod _{p\,\in \\\mathb {P}{{1}{1-{\frac {\chi(p)}{p^{p^}}}}}=\sum _{n=1}^{n^{n^{s}}}}. } 여기서는 도체 N 을 제품에서 분리하는 프라임 시간을 생략하는 것이 편리하다. 라마누잔은 수첩에서 제타 기능을 위한 오일러 제품을 일반화했다.
∏ p ∈ P ( x − 1 p s ) ≈ 1 리 s ( x ) {\displaystyle \prod _{p\,\in \\\mathb {P}}}\왼쪽(x-{\frac {1}{p^{s}}\오른쪽)\관련 {\frac {1}{1}{\operatorname {Li}{s}(x)}}}}}}}}}}}}}}}} s 1 에 대하여, 여기 서s (x ) 는 다로그 다. x 1 의 경우 위의 제품은 1/ 4 불과하다 .
주목할 만한 상수 잘 알려진 많은 상수들 은 오일러 제품 확장을 가지고 있다.
π 라이프니즈 공식
π 4 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}}\sum _{n=0}^{n}{n1}:{n2}}-{{2n+1}{{1}{1}{{1}{5}-{\frac{7}}}}}cdots}} (유니크) 디리클레 문자 모듈로 4를 사용하여 디리클레 시리즈로 해석할 수 있으며, 슈퍼파트너 비율 의 오일러 제품(분자와 분모가 1로 다른 경우)으로 변환할 수 있다.
π 4 = ( ∏ p ≡ 1 ( 모드의 4 ) p p − 1 ) ( ∏ p ≡ 3 ( 모드의 4 ) p p + 1 ) = 3 4 ⋅ 5 4 ⋅ 7 8 ⋅ 11 12 ⋅ 13 12 ⋯ , {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,} 여기서 각 분자는 소수, 각 분모는 4의 가장 가까운 배수다.[1]
알려진 상수에 대한 기타 오일러 제품은 다음과 같다.
∏ p > 2 ( 1 − 1 ( p − 1 ) 2 ) = 0.660161... {\displaystyle \pod _{p>2}\좌측(1-{\frac {1}{\좌측(p-1\우측)^{2}}\우측)=0.155161... } π 4 ∏ p ≡ 1 ( 모드의 4 ) ( 1 − 1 p 2 ) 1 2 = 0.764223... 1 2 ∏ p ≡ 3 ( 모드의 4 ) ( 1 − 1 p 2 ) − 1 2 = 0.764223... {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}{p\pmod{4}}\{p\equiv 1}}\좌측(1-{{{p^{1}{p^}}}\오른쪽)^{\frac {1}{1}{1}:{764223... \\[6pt]{\frac{1}{\sqrt{2}}}\pod _{p\pmod{4}}}\좌측(1-{{p^{1}{p^{2}}}\오른쪽)^{-{{\frac {1}{1}}}&=0.764223... \end{정렬}}} ∏ p ( 1 + 1 ( p − 1 ) 2 ) = 2.826419... {\displaystyle \prod_{p}\좌측(1+{\frac {1}{\1}{\좌측(p-1\우측)^{2}}}\우측)=2.826419... } ∏ p ( 1 − 1 ( p + 1 ) 2 ) = 0.775883... {\displaystyle \pod _{p}\좌(1-{\frac {1}{\1}{\좌(p+1\우)^{2}}\우)=0.775883... } ∏ p ( 1 − 1 p ( p − 1 ) ) = 0.373955... {\displaystyle \pod _{p}\왼쪽(1-{\frac {1}{p(p-1)}\오른쪽)=0.373955... } ∏ p ( 1 + 1 p ( p − 1 ) ) = 315 2 π 4 ζ ( 3 ) = 1.943596... {\displaystyle \p}\좌측(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\우측)={\frac {315}{2\pi ^4}}\zeta(3)=1.943596... } ∏ p ( 1 − 1 p ( p + 1 ) ) = 0.704442... {\displaystyle \pod _{p}\왼쪽(1-{\frac {1}{p(p+1)}}\오른쪽)=0.704442... } 상호 OEIS :A065489 ∏ p ( 1 + 1 p 2 + p − 1 ) = 1.419562... {\displaystyle \pod _{p}\왼쪽(1+{\frac {1}{p^{2}+p-1}\오른쪽)=1.419562... } 1 2 + 1 2 ∏ p ( 1 − 2 p 2 ) = 0.661317... {\displaystyle {\frac {1}{1}:{1}:{1}{1}:{1}\prod _{p}\left(1-{\frac {2}{p^{2}}}\오른쪽)=0.661317... } ∏ p ( 1 − 1 p 2 ( p + 1 ) ) = 0.881513... {\displaystyle \pod _{p}\왼쪽(1-{\frac {1}{p^{2}(p+1)}}\오른쪽)=0.881513... } ∏ p ( 1 + 1 p 2 ( p − 1 ) ) = 1.339784... {\displaystyle \pod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.33784... } ∏ p > 2 ( 1 − p + 2 p 3 ) = 0.723648... {\displaystyle \pod _{p>2}\왼쪽(1-{\frac {p+2}{p^{3}}\오른쪽)=0.723648... } ∏ p ( 1 − 2 p − 1 p 3 ) = 0.428249... {\displaystyle \pod _{p}\left(1-{\p-1}{p^{3}}\오른쪽)=0.428249... } ∏ p ( 1 − 3 p − 2 p 3 ) = 0.286747... {\displaystyle \pod _{p}\left(1-{\p-2}{p^{3}}\right)=0. 286747... } ∏ p ( 1 − p p 3 − 1 ) = 0.575959... {\displaystyle \pod _{p}\왼쪽(1-{\frac {p}{p^{3}-1}\오른쪽)=0.575959... } ∏ p ( 1 + 3 p 2 − 1 p ( p + 1 ) ( p 2 − 1 ) ) = 2.596536... {\displaystyle \pod_{p}\왼쪽(1+{3p^{2}-1}-1}{p(p+1)\왼쪽(p^{2}-1\오른쪽)=2.596536... } ∏ p ( 1 − 3 p 3 + 2 p 4 + 1 p 5 − 1 p 6 ) = 0.678234... {\displaystyle \pod _{p}\frac {3}{p^{3}}+{p^{2}{p^{4}}+{p^{5}}}-{\frac {1}{1}{p^{6}\오른쪽)=0.678234... } ∏ p ( 1 − 1 p ) 7 ( 1 + 7 p + 1 p 2 ) = 0.0013176... {\displaystyle \prod_{p}\좌(1-{\frac {1}{p}\우)^{7}\좌(1+{7p+1}{p^{2}}\우)=0.0013176... } 메모들 참조 G . 폴리아 , 수학 제1권 프린스턴 대학 출판부 (1954) L.C. 카드 53-6388 (이 "숫자의 가장 특별한 법칙" 에 관한 오일러의 회고록 을 매우 쉽게 번역 할 수 있는 영어 번역본 91페이지부터 나온다) Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 MR 0434929 , Zbl 0335.10001 (클래식 수 이론의 맥락에서 오일러 제품의 소개 토론을 제공한다.) G.H. 하디 와 E.M. 라이트 , 숫자 이론의 소개 , 5번째 에드, 옥스퍼드 (1979년) ISBN 0-19-853171-0 (17장 추가 예시) 조지 E. 앤드류스, 브루스 C 베른트, 라마누잔의 잃어버린 노트: 제1부 스프링거(2005년), ISBN 0-387-25529-X G. Niklasch, 일부 숫자의 이론 상수: 1000자리 값"
외부 링크
![{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}\right)&={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {10}{8}}\cdot {\frac {26}{24}}\cdot {\frac {50}{48}}\cdot {\frac {122}{120}}\cdots &={\frac {\zeta (2)^{2}}{\zeta (4)}}&={\frac {5}{2}},\\[6pt]\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{4}+1}{p^{4}-1}}\right)&={\frac {17}{15}}\cdot {\frac {82}{80}}\cdot {\frac {626}{624}}\cdot {\frac {2402}{2400}}\cdots &={\frac {\zeta (4)^{2}}{\zeta (8)}}&={\frac {7}{6}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcccbdf07bb1ee4dd53c7b6de20b78509102cdc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}&=0.764223...\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=0.764223...\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd388c097bd8da13e92aaf4246187db2150572d)
