각도절편

각도는 표시되지 않은 직선형 에지와 나침반 너머의 도구를 사용하여 신경 접합을 통해 분할될 수 있습니다.예제에서는 각도 θ>3π $/ 4$ 를 원의 반지름과 같은 길이의 자로 분할하여 분할된 각도 φ= θ $/ 3$ 을 제공합니다.

각도 분할은 고대 그리스 수학의 직선과 나침반 구조의 고전적인 문제입니다.표시되지 않은 직선 모서리와 나침반이라는 두 가지 도구만을 사용하여 주어진 임의 각도의 3분의 1에 해당하는 각도를 만드는 것에 관한 것입니다.

1837년 피에르 완첼은 임의의 각도에서 문제를 푸는 것이 불가능하다는 것을 증명했습니다.그러나 일부 특수 각도는 분할될 수 있습니다. 예를 들어 직각을 분할하는 것은 사소한 일입니다(즉, 30도 각도를 구성하는 것).

직선과 나침반 이외의 도구를 사용하여 임의의 각도를 분할할 수 있습니다.예를 들어 고대 그리스인들에게도 알려진 노이시스 구조는 표시된 직선의 가장자리를 동시에 미끄러지고 회전하는 것을 포함하는데, 이는 원래의 도구로는 달성할 수 없습니다.다른 기술들은 수세기에 걸쳐 수학자들에 의해 발전되었습니다.

그것은 단순한 용어로 정의되지만 해결할 수 없다는 것을 증명하기에는 복잡하기 때문에, 각도 분할 문제는 순진한 열광적인 사람들에 의해 해결을 위한 의사 수학적 시도의 빈번한 주제입니다.이러한 "해결책"은 종종 규칙에 대한 잘못된 해석을 수반하거나 단순히 부정확합니다.^[1]

배경 및 문제명세서

표시되지 않은 직선과 나침반만을 사용하여, 그리스 수학자들은 선을 임의의 같은 세그먼트 집합으로 나누고, 평행선을 그리고, 각도를 이등분하고, 많은 다각형을 만들고, 주어진 다각형의 넓이와 같거나 두 배의 정사각형을 만드는 방법을 발견했습니다.

구체적으로 각도를 세 번 세 번, 정육면체를 두 배로 늘리고 원을 사각형으로 만드는 세 가지 문제가 해결하기 어려운 것으로 드러났습니다.각도 분할 문제는 다음과 같습니다.

두 개의 도구만 사용하여 주어진 임의 각도의 1/3과 동일한 각도를 구성합니다(또는 세 개의 동일한 각도로 나눕니다).

표시되지 않은 직선, 그리고
나침반

불가능성증명

피에르 완첼은 1837년 임의의 각도를 고전적으로 세는 것이 불가능하다는 증거를 발표했습니다.^[2]현대 용어로 다시 언급된 완첼의 증명은 현재 전형적으로 갈루아 이론과 결합된 주제인 필드 확장 개념을 사용합니다.그러나 완첼은 에바리스트 갈루아(Evarist Galois, 1830년에 쓰여진 그의 작품은 1846년에만 출판됨)보다 먼저 이러한 결과를 발표했고 갈루아가 소개한 개념을 사용하지 않았습니다.^[3]

주어진 $측도$ θ의 각도를 구성하는 문제는 길이의 비율이 $코스$ θ가 되도록 두 세그먼트를 구성하는 것과 같습니다.이 두 문제 중 하나에 대한 해결책에서, 하나는 나침반과 직선형 구조에 의해 다른 문제의 해결책으로 전달될 수 있습니다.삼중각 공식은 원래 각도의 코사인과 그 분할과 관련된 표현을 제공합니다: $cos$ θ = 4 $cos$ θ $/ 3$ - $3 cos$ θ $/ 3$ .

따라서 단위 길이를 갖는 것으로 정의되는 세그먼트를 고려할 때, 각도 분할의 문제는 길이가 입방 다항식의 근인 세그먼트를 구성하는 것과 같습니다.이 등가성은 원래의 기하학적 문제를 순전히 대수적 문제로 축소시킵니다.

모든 유리수는 구성 가능합니다.주어진 수에서 한 단계로 구성할 수 있는 모든 비합리적인 수는 이 수들에 의해 생성된 필드의 계수를 갖는 차수 2의 다항식의 근입니다.따라서 일련의 단계로 구성할 수 있는 모든 수는 차수가 2의 거듭제곱인 최소 다항식의 근이 됩니다.각도 π $/ 3$ 라디안(60도, 필기 60도)구성 가능합니다.아래의 주장은 20°각도를 구성하는 것이 불가능하다는 것을 보여줍니다.이는 60° 각도를 분할할 수 없으므로 임의의 각도를 분할할 수 없음을 의미합니다.

유리수의 $집합$ 을 Q로 나타내시오. 만약 60°를 분할할 수 있다면 $Q$ 에 대한 $cos 20°$ 의 최소 다항식의 차수는 2의 거듭제곱이 될 것입니다. $이제$ x = $cos 20°$ 라고 합니다. $cos 60°$ = $cos$ π $/ 3$ = $1 / 2임$ 에 유의합니다.그런 다음 삼중각 공식에 의해 $cos$ π $/ 3$ = $4x$ - $3x$ 및 $4x$ - $3x$ = $1 / 2$ 입니다.따라서 $8x$ - $6x$ - 1 = $0$ . $p (t)$ 를 다항식 $p (t)$ = $8t$ - $6t$ - $1$ 로 정의합니다.

$x$ = $cos 20°$ 는 $p (t$ )의 루트이므로 $cos 20°$ 의 최소 다항식은 $p (t$ )의 인자입니다 $.$ $p (t)$ 는 차수 3을 가지므로 $Q만큼$ 줄일 수 있으면 유리근을 갖습니다.유리근 정리에 의해 이 근은 $\pm1,$ ± $1 / 2,$ ± $1 / 4$ 또는± $1 / 8$ 이어야 하지만 이들 중 어느 것도 근이 아닙니다.따라서 $p (t)$ 는 $Q만큼$ 감소할 수 없으며, $cos 20°$ 의 최소 다항식은 차수 $3$ 입니다.

따라서 측정 $각도$ 60 $°$ 는 분할할 수 없습니다.

분할 가능한 각도

그러나 일부 각도는 분절될 수 있습니다.예를 들어, 임의의 구성 $가능$ 한 각도 θ의 경우, 측정 각도 3 θ는 지정된 각도를 무시하고 측정 각도 θ를 직접 구성함으로써 세 가지로 분할할 수 있습니다.구성할 수는 없지만 분할 가능한 각도가 있습니다(1/3 각도 자체는 구성할 수 없음에도 불구하고).예를 들어, 3 π $/ 7$ 은 이러한 각도입니다. 측정 각도 5개의 π $/ 7$ 을 결합하여 측정 각도 15 π $/ 7$ 을 만듭니다. 이 각도는 전체 원에 원하는 π $/ 7$ 을 더한 값입니다.

양의 정수 $N$ 의 경우 3이 $N$ 을 $나누지 않는$ 경우에만 $측정$ 각도 2 π/N을 분할할 수 있습니다.반대로, 2 π $/ N$ 은 $N$ 이 2의 거듭제곱이거나 하나 이상의 서로 다른 페르마 소수의 곱을 갖는 $2$ 의 거듭제곱의 곱인 경우에만 구성할 수 있습니다.

대수적 특성화

다시, 유리수 집합을 $Q$ 로 표시합니다.

정리:q( $t)$ = $4t$ - $3t$ - $cos$ (θ $))$ 가필드 확장 Q( $cos($ θ $))$ 에서 축소 가능한 경우에만 측정 각도 θ를 분할할 수 있습니다.

이 증명은 위에서 제시한 $60°$ 각도가 분할 가능하지 않다는 증명을 비교적 쉽게 일반화한 것입니다.^[6]

기타부품수

0이 아닌 정수 $N$ 에 대하여 2π⁄ $N$ 라디안의 측정 각도는 $n$ 이 $2$ 의 거듭제곱이거나 $2$ 의 거듭제곱에 하나 이상의 $구별$ 된 페르마 소수의 곱을 곱한 경우에만 직선과 나침반으로 $n개$ 의 동등한 부분으로 나눌 수 있습니다.분할의 경우(페르마 소수인 $n$ = $3$ ), 이 조건은 $N$ 을 $3$ 으로 분할할 수 없다는 위의 요건이 됩니다.

기타방법

각도 분할의 일반적인 문제는 추가적인 도구를 사용함으로써 해결할 수 있으며, 따라서 나침반과 직선의 원래 그리스 틀을 벗어납니다.

일반 각도를 3등분하는 많은 잘못된 방법들이 제안되었습니다.이러한 방법 중 일부는 합리적인 근사치를 제공하며, 다른 방법(아래에 언급된 방법)은 고전적인 문제에서 허용되지 않는 도구를 포함합니다.수학자 언더우드 더들리(Underwood Dudley)는 그의 저서 세가지 영역(The Trisectors)^[1]에서 이러한 실패한 시도들을 자세히 설명했습니다.

연속 이등분선에 의한 근사치

분할은 나침반의 반복과 각도를 이등분하는 직선 에지 방법으로 근사화할 수 있습니다.기하급수 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 또는 1/3 = 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯를 이등분선의 기준으로 사용할 수 있습니다.임의의 정확도에 대한 근사치는 제한된 수의 단계로 얻을 수 있습니다.^[7]

종이접기 사용하기

자와 나침반에 의해 불가능한 많은 구조물들처럼, 종이 접기, 또는 종이 접기의 작동에 의해 쉽게 분할이 이루어질 수 있습니다.Huzita의 공리(폴딩 연산의 유형)는 주어진 길이의 입방체 확장(큐브 루트)을 구성할 수 있는 반면, 자와 나침반은 2차 확장(스퀘어 루트)만 구성할 수 있습니다.

링크 사용

Kempe의 Trisector와 Sylvester의 Link Fan 또는 Isoklinostat를 포함하여 각도를 분할하는 도구를 만드는 데 사용할 수 있는 많은 간단한 연결이 있습니다.^[8]

오른쪽 삼각자로

1932년, 루트비히 비버바흐는 Journal für die reine und angwandte Mathematik에 그의 작품 Zur Lehre von den kubischen Konstroctionen을 출판하였습니다.^[9]그는 거기서 다음과 같이 진술합니다(자유 번역).

"알려진 대로... 모든 입방체는 각의 삼등분과 정육면체의 곱셈, 즉 세 번째 근의 추출로 거슬러 올라갈 수 있습니다. 저는 이 두 고전적인 과제가 어떻게 직각 훅을 통해 해결될 수 있는지 보여주기만 하면 됩니다."

구성은 분할할 각도의 꼭짓점 $P$ 를 통과하는 원을 그리는 것으로 시작되며, 이 각도의 가장자리에서 $A$ 를 중심으로 하고, 가장자리와 두 번째 교차점으로 $B$ 를 갖습니다. $P$ 에 중심을 두고 반지름이 같은 원은 $A$ 와 $O$ 의 모서리를 지지하는 선과 교차합니다.

오른쪽 삼각형 자는 다음과 같은 방식으로 도면에 배치됩니다. 직각의 한 다리는 $O$ 를 통과하고, 직각의 꼭짓점은 $선$ PC의 한 점 $S$ 에 배치됩니다. 두 번째 다리는 $A$ 를 중심으로 하는 원에 $대해$ E로 접하게 됩니다.원래의 각도는 $PE선$ 과 $PD선$ 이 $SE선$ 과 수직이고 $P선$ 을 통과하는 것으로 이어집니다.이 선은 올바른 삼각형 자를 다시 사용하거나 전통적인 직선과 나침반 구조를 사용하여 그릴 수 있습니다.유사한 구조로, E의 위치를 개선할 수 있는데, $이$ 는 선( $SE$ )과 A를 통과하는 선(E)의 수직 교차점이라는 것입니다.

증명 : 각도 균등성 ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}}$ ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}}$ ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}}$ = ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}}$ ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}}$ ${\displaystyle {\widehat {EPD$ }} = {\ $widehat {DPS}},$ ${\widehat {BPE}}={\widehat {EPD}}.$ ${\widehat {BPE}}={\widehat {EPD}}.$ = ${\widehat {BPE}}={\widehat {EPD}}.$ ${\widehat {BPE}}={\widehat {EPD}}.$ ${\displaystyle {\widehat {B$ $PE}}={\widehat {EPD}}$ 세 줄 $OS$ , $PD$ 및 $AE$ 가 병렬입니다.선분 $OP$ 와 $PA$ 가 동일하기 때문에 이 세 평행선은 다른 모든 세그먼트에서, 특히 공통 수직 $SE$ 에서 두 개의 동일한 선분을 구분합니다.따라서 $SD'$ = $D' E$ , 여기서 $D'$ 는 선 $PD$ 와 $SE$ 의 교차점입니다.오른쪽 삼각형 $PD' S$ 와 $PD' E$ 가 일치하므로 ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}},$ ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}},$ ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}},$ = ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}},$ ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}},$ ${\displaystyle {\widehat {EPD$ }}={\ $widehat {DPS}},$ 첫 번째 원하는 동일성입니다.반면, 삼각형 $PAE$ 는 원의 모든 반지름이 같기 때문에 이등변입니다. 즉, ${\widehat {APE}}={\widehat {AEP}}.$ ${\widehat {APE}}={\widehat {AEP}}.$ = ${\widehat {APE}}={\widehat {AEP}}.$ ${\widehat {APE}}={\widehat {AEP}}.$ . ${\displaystyle {\widehat {APE$ }} = {\ $widehat {AEP}}.$ 이 두 각도는 두 평행선에 대해 가로 방향으로 교차하는 각도이므로 하나는 ${\widehat {AEP}}={\widehat {EPD}},$ ${\widehat {AEP}}={\widehat {EPD}},$ = ${\widehat {AEP}}={\widehat {EPD}},$ ${\widehat {AEP}}={\widehat {EPD}},$ ${\widehat {AEP}}={\widehat {EPD}},$ , ${\widehat {AEP$ }} = {\ $widehat {EPD}}$ 도 갖습니다.이것은 두 번째 소망하는 평등을 증명하고, 따라서 구성의 정확성을 증명합니다.

보조 곡선으로

아르키메데스 나선형을 이용한 분할
Maclaurin 삼등분선을 사용한 분할

다른 방법을 사용하여 평면에 그려지는 경우 임의의 각도를 분할하는 데 사용할 수 있는 삼등분선이라고 하는 특정 곡선이 있습니다.^[10]예를 들어, 암시적 방정식에 의해 데카르트 좌표로 주어진 콜린 매클로린의 삼등분선이 있습니다.

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),

그리고 아르키메데스의 나선형.실제로 나선형은 각도를 동일한 수의 부분으로 분할하는 데 사용될 수 있습니다.아르키메데스는 기원전 225년경 나선형에서 아르키메데스의 나선형을 이용하여 각도를 분할하는 방법을 설명했습니다.

마킹 자로

그리스 틀 밖에서 "작은" 단계로 임의의 각도를 분할하는 또 다른 방법은 거리가 설정된 두 표시가 있는 자를 통해서입니다.다음 공사는 원래 노이시스(Neusis) 공사라고 불리는 아르키메데스(Archimedes) 때문입니다. 즉, 표시되지 않은 직선이 아닌 다른 도구를 사용하는 것입니다.우리가 사용하는 다이어그램은 예각에 대한 이 구조를 보여주지만, 실제로는 180도까지의 어떤 각도에서도 작동합니다.

이를 위해서는 기하학에서 세 가지 사실(오른쪽)이 필요합니다.

일직선상에 있는 모든 각도의 집합은 180°가 추가됩니다.
삼각형의 각도의 합은 180°이고,
이등변 삼각형의 두 등변은 같은 각도에서 세 번째 변과 만납니다.

$제$ 가 인접한 다이어그램에서 가로선이 되도록 하겠습니다.각도 $a$ (점 $B$ 의 왼쪽)는 분할 대상입니다.첫째, $점$ $A$ 는 B에서 한 단위 떨어진 각도의 광선으로 그려집니다.반지름 $AB$ 의 원이 그려집니다.그러면, 자의 표시가 작용합니다: 한 자의 표시는 $A$ 에, 다른 자는 $B$ 에 놓입니다.눈금자(표시는 제외)가 $A$ 에 닿은 상태에서 하나의 표시가 원 위에 있고 다른 $하나$ 가 l 위에 있을 때까지 눈금자가 미끄러지고 회전합니다.원의 표시는 $C$ 로 표시되고 선의 $표시$ 는 D로 표시됩니다.그러면 $CD$ = $AB$ 가 보장됩니다.선분 $AB$ , $BC$ 및 $CD$ 의 길이가 모두 같다는 것을 명확하게 하기 위해 $반지름$ BC를 그립니다.이제 $삼각형$ ABC와 $BCD$ 는 이등변이므로 (위의 팩트 3에 의해) 각각 두 개의 동일한 각도를 갖습니다.

가설: $AD$ 는 직선이고 $AB$ , $BC$ , $CD$ 는 모두 길이가 같으므로,

결론: 각도 $b$ = $a / 3$ .

증명:

위 팩트 1)부터 $e+c=180$ + $e+c=180$ = $e+c=180$ ${\displaystyle e$ + c = $180}°.$
삼각형 BCD를 보면 $e+2b=180$ 2) e $e+2b=180$ + 2 $e+2b=180$ = $e+2b=180$ ${\displaystyle$ e + $2b$ = $180}°$ 부터 입니다.
마지막 두 방정식에서 $c=2b$ = $c=2b$ ${\displaystyle$ c = $2b}$ 입니다 $c=2b$
사실 2)로부터 $d+2c=180$ + $d+2c=180$ $d+2c=180$ = $d+2c=180$ ${\displaystyle d$ + 2 c = $180}°$ 이므로 $d=180$ = $d=180$ ${\displaystyle$ d = $180$ $-2c$ - 2 $-2c$ ${\displaystyle$ - 2 $c$ 이므로 마지막부터 $d=180$ = $d=180$ ${\displaystyle$ d = $180$ - $-4b$ $-4b$ ${\displaystyle$ - 4 b $}$ 입니다 $-4b$
위 사실 1)로부터 $a+d+b=180$ + $a+d+b=180$ + $a+d+b=180$ = $a+d+b=180$ ${\displaystyle a$ + $d$ + b = $180}°,$ $a+(180$ + $a+(180$ ( $a+(180$ {\ $displaystyle a$ + ( $180$ $-4b)+b=180$ - $-4b)+b=180$ ) + $-4b)+b=180$ = $-4b)+b=180$ ${\displaystyle -4b)$ + b = $180°.$

클리어링, $a$ - $3b$ = $0$ $또는$ a = $3b$ 를 하면 정리가 증명됩니다.

이번에도 이 공사는 표시된 직선을 사용함으로써 허용된 공사의 틀을 벗어났습니다.

끈으로

토마스 허치슨은 수학 선생님에^[11] 나침반과 직선 대신 끈을 사용한 글을 실었습니다.끈은 직선의 가장자리 또는 나침반으로 사용될 수 있으며(한 점을 고정하고 다른 점을 식별함으로써), 허치슨 해의 열쇠인 원통을 감쌀 수도 있습니다.

허치슨은 각도를 가로지르는 호를 그려서 원으로 완성하고, 그 원으로부터 정삼각형(예를 들어 360도 각도를 3으로 나눈 것)이 새겨진 원을 그리면서 분할할 각도에서 원을 만들었습니다.그리고 나서 이것은 비슷한 삼각형의 간단한 증명과 함께 분할할 각도에 "매핑"되었습니다.

"토마호크"와 함께

토마호크가 각을 세우며.토마호크는 굵은 선과 음영이 있는 반원으로 형성됩니다.

"토마호크"는 반원과 두 개의 직교 선분으로 구성된 기하학적 모양으로, 짧은 선분의 길이가 원의 반지름과 같습니다.토마호크의 짧은 세그먼트의 끝을 한 광선에 기대고, 다른 한 광선에 원의 가장자리를 기대어 "핸들"(긴 세그먼트)이 각도의 꼭지점과 교차하도록 분할을 실행합니다. 세절선은 꼭지점과 반원의 중심 사이를 지나갑니다.

토마호크는 나침반과 직선으로 만들 수 있지만 원하는 위치에 토마호크를 만드는 것은 일반적으로 불가능합니다.따라서, 위 구성은 자와 나침반만으로 각도의 비보호성과 모순되지 않습니다.

토마호크는 정방형으로 사용할 수 있기 때문에 §에서 설명한 방법으로 삼각형 모양의 자를 사용하여 분할각에도 사용할 수 있습니다.

토마호크는 종이 접기 방식과 동일한 기하학적 효과를 내는데, 원의 중심과 더 짧은 세그먼트의 끝 사이의 거리는 반지름의 두 배이며, 이는 각도와 접촉하는 것이 보장됩니다.건축가 L-룰러(Carpenter's Square)를 사용하는 것과 맞먹습니다.

서로 연결된 컴퍼스로

각도는 기본적으로 나침반의 네 갈래 버전인 장치와 인접한 갈래 사이의 세 각도를 동일하게 유지하도록 설계된 갈래 사이의 연결로 분할될 수 있습니다.^[12]

각도 분할의 용도

Neus의 애니메이션은 토마호크를 이용한 각도 분할을 이용하여 Andrew M. Gleason을 기반으로 하는 ${\overline {OA}}=6$ 원둘레 반경 ${\overline {OA}}=6$ ¯ = ${\overline {OA}}=6$ {\ $overline {OA$ }}= 6 ${\displaystyle {\$ overline { { $6}.$

실수 계수를 갖는 입방정 방정식은 3개의 실수근을 갖는 경우에만 나침반, 직선, 각도 삼등분선으로 기하학적으로 풀 수 있습니다.^[13]^{: Thm. 1}

$n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ 의 변을 가진 정다각형은 n = $n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ r $n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ $n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ $n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ $n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ p $n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ ⋯ $n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ ${\displaystyle$ n= $2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ r, s, k ≥ 0이고 p가 $2^{t}3^{u}+1$ $2^{t}3^{u}+1$ $2^{t}3^{u}+1$ $2^{t}3^{u}+1$ + 1 ${\displaystyle$ 2 $^{t}3^{u}+1}($ 즉, 3보다 큰 피어폰트 소수)인 경우에만 자, 나침반 및 각도 삼등분기로 구성할 수 있습니다.

참고 항목

참고문헌

^ ^a ^b Dudley, Underwood (1994), The trisectors, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-514-0
^ Wantzel, P M L (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" (PDF). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1. 2: 366–372. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09. Retrieved 3 March 2014.
^ Ruffini와 Abel의 초기 연구에서 Wantzel의 증명의 역사적 근거와 갈루아에 대한 시기에 대해서는 을 참조하십시오.
^ 맥헤일, 데스몬드."정수각 구성", 수학공보 66, 1982년 6월, 144-145
^ ^a ^b McLean, K. Robin (July 2008). "Trisecting angles with ruler and compasses". Mathematical Gazette. 92: 320–323. doi:10.1017/S0025557200183317. S2CID 126351853. See also Feedback on this article in vol. 93, March 2009, p. 156.
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^ 루트비히 비버바흐(1932) "주르 레 폰 덴 쿠비셴 콘스트룩티오넨", 당완테 수학 저널, H. 하센 L.Schlesinger, Band 167 Berlin, p. 142–146 온라인 사본 (GDZ)2017년 6월 2일 회수.
^ 짐 로이
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^ 아이작, 루퍼스, "말 없는 두 편의 수학 논문", 수학 잡지 48, 1975, p. 198. 수학 잡지 78, 2005년 4월 p. 111에서 재인쇄.
^ ^a ^b ^c Gleason, Andrew Mattei (March 1988). "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon" (PDF). The American Mathematical Monthly. 95 (3): 185–194. doi:10.2307/2323624. JSTOR 2323624. Archived from the original (PDF) on November 5, 2014.

추가열람

쿠랑, 리차드, 허버트 로빈스, 이안 스튜어트, 수학이란?: 아이디어와 방법에 대한 기본적인 접근법, 옥스포드 대학 출판부 US, 1996.ISBN 978-0-19-510519-3.

외부 링크

기타 분할수단

애니메이션으로 근사 각도 분할, 각도 ≈ ±4E-8°의 최대 오차
Pascal의 리마콘(Archive 2009-10-25)을 통해 트리섹트릭스(Trisectrix) 참조
Archimedean Spiral(아키메데스 나선형)을 통한 삼등분하기
니코메데스의 콘코이드를 통해 삼등분하기
sciencenews.org 종이접기 이용 사이트
쌍곡절개와 정다각형의 스펙트럼

[trisectors-1] Dudley, Underwood (1994), The trisectors, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-514-0

[2] Wantzel, P M L (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" (PDF). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1. 2: 366–372. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09. Retrieved 3 March 2014.

[3] Ruffini와 Abel의 초기 연구에서 Wantzel의 증명의 역사적 근거와 갈루아에 대한 시기에 대해서는 을 참조하십시오.

[4] 맥헤일, 데스몬드."정수각 구성", 수학공보 66, 1982년 6월, 144-145

[McLean-5] McLean, K. Robin (July 2008). "Trisecting angles with ruler and compasses". Mathematical Gazette. 92: 320–323. doi:10.1017/S0025557200183317. S2CID 126351853. See also Feedback on this article in vol. 93, March 2009, p. 156.

[Stewart-6] Stewart, Ian (1989). Galois Theory. Chapman and Hall Mathematics. pp. g. 58. ISBN 978-0-412-34550-0.

[7] Jim Loy (2003) [1997]. "Trisection of an Angle". Archived from the original on February 25, 2012. Retrieved 30 March 2012.

[8] Yates, Robert C (1942). The Trisection Problem (PDF). The National Council of Teachers of Mathematics. pp. 39–42. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.

[Ludwig_Bieberbach-9] 루트비히 비버바흐(1932) "주르 레 폰 덴 쿠비셴 콘스트룩티오넨", 당완테 수학 저널, H. 하센 L.Schlesinger, Band 167 Berlin, p. 142–146 온라인 사본 (GDZ)2017년 6월 2일 회수.

[10] 짐 로이

[11] Hutcheson, Thomas W. (May 2001). "Dividing Any Angle into Any Number of Equal Parts". Mathematics Teacher. 94 (5): 400–405. doi:10.5951/MT.94.5.0400.

[12] 아이작, 루퍼스, "말 없는 두 편의 수학 논문", 수학 잡지 48, 1975, p. 198. 수학 잡지 78, 2005년 4월 p. 111에서 재인쇄.

[Gleason-13] Gleason, Andrew Mattei (March 1988). "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon" (PDF). The American Mathematical Monthly. 95 (3): 185–194. doi:10.2307/2323624. JSTOR 2323624. Archived from the original (PDF) on November 5, 2014.

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