루카스 수

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루카스 숫자 또는 루카스 시리즈는 수학자 프랑수아 에두아르 아나톨레 루카스(1842–91)의 이름을 딴 정수 시퀀스로, 그 순서와 밀접하게 연관된 피보나치 숫자 모두를 연구했다. 루카스 숫자와 피보나치 숫자는 루카스 수열의 상호보완적인 예를 형성한다.

루카스 수열은 피보나치 수열과 같은 재귀적 관계를 가지는데, 여기서 각 항은 이전의 두 항을 합한 것이지만 출발 값은 다르다.^[1] 이것은 연속된 항들의 비율이 황금 비율에 근접하는 순서를 만들어 내고, 사실 항들 자체는 황금 비율의 정수 힘의 반올림이다.^[2] 그 순서는 또한 피보나치 순서에서 어떤 두 개의 피보나치 숫자를 더하면 그 사이에 루카스 숫자가 된다는 사실처럼 피보나치 수와의 다양한 관계를 가지고 있다.^[3]

처음 몇 루카스 번호는

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ....

정의

피보나치 숫자와 유사하게, 각 루카스 숫자는 바로 앞의 두 용어의 합으로 정의되어 피보나치 정수 시퀀스를 형성한다. 처음 두 Lucas 번호는 ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$= 2 ${\displaystyle L_{0}=2}$이고 L ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\$$displaystyle L_{1}=1}$이며, F 1${\displaystyle {}_{}}$= $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$$displaystyle F_{1}=1}$과(와$)$는 대조적이다$.$ 정의상 밀접한 관련이 있지만 루카스와 피보나치 숫자는 뚜렷한 성질을 보인다.

따라서 루카스 번호는 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle L_{n}}={\begin{case}2&{\text}{{{\n=0;\1&{\text{{}}}:{n-1}}}}{n-1}+L_{n-2}&{\text{n}}1}1}1}.\end{case}}}$

(여기서 n은 자연수에 속함)

처음 12개의 루카스 숫자의 순서는 다음과 같다.

${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$1,${\displaystyle 1\mathrm{}}$, 3,${\displaystyle 4\mathrm{}}$,${\displaystyle }$7, ${\displaystyle 11,}$ ${\displaystyle 18}$, ${\displaystyle 29,}$ ${\displaystyle 47,}$ ${\displaystyle 76,}$ ${\displaystyle 123,}$ ${\displaystyle 199,}$ $…[\\1,\;3,\4,\\,\$4,\\\,\$7,\11,\;18,\29,\\,\47,\\;$7,\;$123,\199,\dots$ $\backslash \}($OEIS에서 순차 A000032).

모든 피보나치 같은 정수 시퀀스는 와이토프 배열의 행으로 이동된 형태로 나타난다; 피보나치 시퀀스 자체는 첫 번째 행이고 루카스 시퀀스는 두 번째 행이다. 또한 모든 피보나치 같은 정수 시퀀스와 마찬가지로 루카스 연속 두 수 사이의 비율이 황금 비율에 수렴된다.

음의 정수로 확장

$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle 2_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ - ${\displaystyle L_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$을 사용하여 루카스 숫자를 음의 정수로 확장하여 두 배의 무한 시퀀스를 얻을 수 있다.

..., -11, 7, $-4$, 3, -1, 2, 3, 3, 4, 7, 11, ...${\displaystyle }$(${\displaystyle 5}$≤${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle$ $L_{n$$}}$에 대한$$ 단락 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$$displaystyle L_{n}}$이 표시됨$$)

이 시퀀스에서 음수 지수를 갖는 항의 공식은

${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}$

피보나치 수와의 관계

루카스의 숫자는 피보나치 숫자와 많은 정체성에 의해 연관되어 있다. 이 중 다음과 같은 것이 있다.

• ${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}.$
• ${\displaystyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}{F_{n-1}$
• ${\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}}}}}$
• ${\displaystyle F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}}$
• ${\displaystyle 2F_{2n+k}=L_{n}F_{n+k}+L_{n+k}F_{n}}}{n}}}}}}}}}$
• ${\$$F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$, so ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}}$.
• ${\displaystyle L_{n+k}-(-1)^{k}L_{n-k}=5F_{n}F_{k}}$; in particular, ${\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}$, so ${\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}$.

이들의 폐쇄 공식은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\}$

여기서 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) 황금 비율이다. 또는, n>에 1− n{\displaystyle(-\varphi)^{-n}(− φ)}그 말의 크기{\displaystyle n> 1}반보다 덜, Ln{\displaystyle L_{n}}가장 가까운 정수 n{\displaystyle\varphi ^{n}φ에}또는 동등하게,φ n의 정수 부분+1/2{\displaystyle cm이다.varph$^{n}+1/2},$$also$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$+ ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor \varphi ^{n}+1/2\floor$}로도 쓰임$.$

위와 비넷의 공식을 합치면

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}{n}{\sqrt{5}}\}}}$

${\displaystyle {\phi n}^{}}$ ${\$에 대한 공식:

${\displaystyle \varphi ^{n}={{{}L_{n}+F_{n}{\sqrt{5}} \{n}}{\}이상,}$

루카스 정체성

많은 피보나치 신원은 루카스 수에서 유사하다. 예를 들어 카시니 정체성은

${\displaystyle L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=(-1)^{n+1}5}$

또한

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}=L_{n+2}-1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}^{2}=L_{n}L_{n+1}+2}$

${\displaystyle 2L_{n-1}^{2}+L_{n}^{2}=L_{2n+1}+5F_{n-2}^{2}}$

여기서 ${\displaystyle {Fn}_{}}$= ${\displaystyle \frac{{\mathrm{L}}_{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{1_{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{L_{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$ ${\$

${\displaystyle L_{n}^{k}=\sum _{j=0}^{\flack {k}{2}}\rfloor }-1)^{j}{\binom {n}{j}{{j}{{j-}}{j-2}}:00}$

여기서 $L{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= L ${\displaystyle n_{}}$ ${\$${\displaystyle \mathrm{L\_}}$${n}}}$을(를) 제외하고$$ L ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= 1 ${\displaystyle L'_{0}=1$

For example, ${\displaystyle L_{n}^{3}=L'_{3n}-3L'_{n}}$ and ${\displaystyle L_{n}^{4}=L'_{4n}-4L'_{2n}+6$$L'_{0}}}$

확인, L ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 4}$,${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 64}$= ${\displaystyle 76}$- 3${\displaystyle }$( ${\displaystyle 4}$ )${\displaystyle L_{3}=4^{3}=64=76-3(4$ ${\displaystyle 256}$= ${\displaystyle 322}$- 4${\displaystyle }$( ${\displaystyle 18}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 6}$ $(\displaystyle 256=3-4$(18$)+6}$

생성함수

내버려두다

${\displaystyle \Phi(x)=2+x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots=\sum _{n=0}^{n}}\infl_{n}x^{n}}}}}}}}}$

루카스 번호의 생성 기능이다. 직접 계산해 보면

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&=L_{0}+L_{1}x+\sum _{n=2}^{\infty }L_{n}x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=2}^{\infty }(L_{n-1}+L_{n-2})x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=1}^{\infty }L_{n}x^{n+1}+\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n+2}\\&=2+x+x(\Phi (x)-2)+x^{2}\Phi (x)\end{aligned}}}$

로 재배열할 수 있는

${\displaystyle \Phi(x)={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}:$

${\displaystyle \Phi (-{\frac {1}{x}})}$ gives the generating function for the negative indexed Lucas numbers, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}L_{n}x^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{-n}x^{-n}}$, and

${\displaystyle \Phi(-{\frac {1}{x})={\frac {x+2x^{2}}:{1-x-x^{2}}:$

${\displaystyle \mathrm{\phi }}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \Phi (x)}$이(가) 함수 방정식을 충족함$$

${\displaystyle \Phi(x)-\Phi(-{\frac {1}{x}})=2}$

피보나치 숫자의 생성 함수는 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}:$

우리는 가지고 있다.

$[\displaystyle s(x)+]\Phi (x)={\frac {2}{1-x-x^{2}}:$

는 것을 증명한다.

${\displaystyle F_{n}+L_{n}=2F_{n+1}}$

그리고

$(\displaystyle 5s(x)+)\Phi (x)={\frac {2}{x}}\Phi(-{\frac {1}{1}{x})=2{{{\frac {1}{1-x^{2}}+4}{\x}{1-x-x^{2}}:}}}}}}}}$

라는 것을 증명하다

${\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}.$

부분분수분해효과는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle \Phi(x)={\frac {1}{1-\phi x}+{\frac {1}{1-\psi x}}}}$

여기서 $\varphi {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{5}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{2\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ ${\$}}{2$}}:}$는 황금비, ${\displaystyle \psi \frac{\mathrm{}}{}}$= 1${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{5\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ ${\$은 결합이다$$.

이것은 다음과 같이 발생함수를 증명하는 데 사용할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(\phi ^{n}+\psi ^{n})x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\phi ^{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{n}x^{n}={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}=\Phi (x)}$

화합 관계

$F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$≥ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle F_{n}\geq 5}$이(가) 피보나치 번호인 경우, 어떤 루카스 ${\displaystyle {번호}_{}}$도 F n ${\$로 구분되지 않는다$.$

${\displaystyle {}_{}}$$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ $L_$${n}$은(는) n ${\displaystyle$ n$}$이(가) prime이면$$ 1 $modulo{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$과(와) 일치하지만$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 일부 복합 값에도$$ 이 속성이 있다. 이것들은 피보나찌 가성비다.

${\displaystyle L_{}}$- L ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle 4_{}}$ ${\$은(는) 0 modulo 5와 일치한다$$.

루카스 프라임즈

Lucas prime은 Lucas의 prime이다. 처음 몇 루카스 프라임은

2, 3, 7, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 3010349, 54018521, 370248451, 66438879, ...(OEIS의 경우 순서 A005479).

이러한 소수점의 지수는 다음과 같다(예₄: L = 7).

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 353, 613, 613, 613, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, …(OEIS에서 순차 A001606).

2015년^[update] 9월 현재 루카스 프라임은 30950자리의 소수점인 L이다₁₄₈₀₉₁.^[4] 2017년^[update] 6월 현재 루카스 예상 프라임은 484177자리의 소수점_2316773 L로 가장 많이 알려져 있다.^[5]

L이_n prime이면 n은 0, prime 또는 power 2이다.^[6] L은_2^m m = 1, 2, 3, 4의 prime이며 m의 다른 알려진 값은 없다.

루카스 다항식

피보나치 다항식들이 피보나치 수에서 파생되는 것과 같은 방법으로 루카스 다항식 $L{\displaystyle {}_{}}$ $){\displaystyle L_{n}(x)}$은 루카스 수에서 파생된 다항식 수열이다.

적용들

루카스 숫자는 2016년 해바라기 657개를 분석한 결과 시계방향과 시계반대방향 나선형을 세는 피보나치 수 다음으로 해바라기에서 두 번째로 흔한 패턴이다.

참고 항목

• 피보나치 수치의 일반화

참조

외부 링크

• "Lucas polynomials", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Lucas Number". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Lucas Polynomial". MathWorld.
• "루카스 넘버" 론 너트 박사
• 루카스 번호와 골든 섹션
• 루카스 숫자 계산기는 여기서 찾을 수 있다.
• OEIS 시퀀스 A000032(2부터 시작하는 루카스 번호)