다각수

수학에서 다각수는 일반 다각형의 모양으로 배열된 점이나 조약돌로 표현되는 숫자다. 그 점들은 강조라고 여겨진다. 이것들은 2차원 형상의 한 유형이다.

정의 및 예제

예를 들어, 숫자 10은 삼각형으로 배열될 수 있다(삼각형 숫자 참조):

그러나 10은 정사각형으로 배열할 수 없다. 반면에 숫자 9는 다음과 같을 수 있다(정사각형 번호 참조).

36과 같은 일부 숫자는 정사각형 및 삼각형으로 배열할 수 있다(정사각형 삼각형 숫자 참조).

관례상, 1은 임의의 변수에 대한 첫 번째 다각형 수입니다. 다각형을 다음 크기로 확장하는 규칙은 인접한 두 팔을 한 점씩 확장한 다음 그 사이에 필요한 추가 면을 추가하는 것이다. 다음 다이어그램에서 각 추가 레이어는 빨간색으로 표시된다.

삼각수

제곱수

오각형, 육각형 등 변이 더 많은 다각형도 이 규칙에 따라 구성할 수 있지만, 더 이상 점들이 위와 같이 완벽하게 규칙적인 격자를 형성하지는 않을 것이다.

오각형 수

육각수

공식

s-곤 번호는 s-2 삼각형 숫자와 자연 숫자로 분해될 수 있다.

$s$ 가 다각형의 변의 수인 경우, n번째 s-곤 수 $P (s, n)$ 에 대한 공식은 다음과 같다.

P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}

또는

P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n

n번째 s-곤 번호는 다음과 같이 삼각형 숫자 $T$ 와도_n 관련이 있다.

[\displaystyle P,n]=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,}

따라서 다음과 같다.

{\begin{aigned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\\\P(s+1,n)-P(s,n)&gt;&gt;=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,\end{정렬}}

주어진 s-곤 수 $P (s, n)$ = $x$ 의 경우 n은 $다음$ 과 같이 찾을 수 있다.

n={\frac {{\sqrt{8(s-2)x+{(s-4)^{2}}+(s-4)}{2(s-2)}}}

에 의해 $s$ 를 찾을 수 있다.

s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}

=

s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}

+

s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}

s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}

x

s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}

-

s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}

-

s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}

{\

}}\

cdot {\frac

{

x-n}{n-1

.

모든 육각형 숫자도 삼각형 숫자다.

위 공식을 적용하는 방법:

[\displaystyle P,n]=(s-2)T_{n-1}+n}

6개 측면의 경우 다음을 제공한다.

P(6,n)=4T_{n-1}+n}

그러나 그 이후:

T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}:

그 다음은 다음과 같다.

P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac{2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1

이는 n번째 육각수 P $(6, n)$ 도 역시 $(2n$ - $1)$ 번째 삼각수 T임을 $보여준다 2 n -1$ . 홀수 삼각형 숫자만 가지고도 육각형 숫자를 다 찾을 수 있다.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

값표

삼각형에서 8각까지의 숫자에 대한 "회귀의 합" 열의 처음 6개 값은 일반 문제에 대한 발표된 해결책에서 나온 것으로, 디감마 함수의 관점에서 보면, 또한 어느 면에 대해서도 일반적인 공식이다.^[1]

$s$	이름	공식	$n$										왕복^[1]^[2] 합계	OEIS 번호
$s$	이름	공식	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	왕복^[1]^[2] 합계	OEIS 번호
3	삼각형	$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2(n2 + n)$	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	2^[1]	A000217
4	사각형	$1 / 2 (2 n 2 - 0 n) = n 2$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	$π$ ²/6^[1]	A000290
5	오각형	$1 / 2 (3 n 2 - n)$	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	$3 ln 3 - π \sqrt 3 / 3$ ^[1]	A000326
6	육각형	$1 / 2 (4 n 2 - 2 n) = 2 n 2 - n$	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	$2 ln 2$ ^[1]	A000384
7	헵타곤	$1 / 2 (5 n 2 - 3 n)$	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	${\begin{matrix}{\tfrac {2}{3}}\ln 5\\+{\tfrac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {\pi {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}{15}}\end{matrix}}$ ^[1]	A000566
8	팔각형	$1 / 2 (6 n 2 - 4 n) = 3 n 2 - 2 n$	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	$3 / 4 ln 3 + π \sqrt 3 / 12$ ^[1]	A000567
9	비각형	$1 / 2 (7 n 2 - 5 n)$	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325		A001106
10	십각형	$1 / 2 (8 n 2 - 6 n) = 4 n 2 - 3 n$	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	$ln 2 + π / 6$	A001107
11	헨십각형	$1 / 2 (9 n 2 - 7 n)$	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	도십각형	$1 / 2 (10 n 2 - 8 n)$	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	삼면각형	$1 / 2 (11 n 2 - 9 n)$	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
14	4각형	$1 / 2 (12 n 2 - 10 n)$	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	$2 / 5 ln 2 + 3 / 10 ln 3 + π \sqrt 3 / 10$	A051866
15	오각형	$1 / 2 (13 n 2 - 11 n)$	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	육각형	$1 / 2 (14 n 2 - 12 n)$	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	헵타데크각형	$1 / 2 (15 n 2 - 13 n)$	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
18	팔각형	$1 / 2 (16 n 2 - 14 n)$	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	$4 / 7 ln 2 - \sqrt 2 / 14 ln(3 - 2 \sqrt 2)$ $+ π (1 + \sqrt 2) / 14$	A051870
19	엔네아데크각형	$1 / 2 (17 n 2 - 15 n)$	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
20	이코사사각형	$1 / 2 (18 n 2 - 16 n)$	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	이코시헨각형	$1 / 2 (19 n 2 - 17 n)$	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
22	이코시디건	$1 / 2 (20 n 2 - 18 n)$	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910		A051874
23	이코시트리건	$1 / 2 (21 n 2 - 19 n)$	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955		A051875
24	이코시테트라곤	$1 / 2 (22 n 2 - 20 n)$	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000		A051876
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10000	무량각형	$1 / 2 (9998 n 2 - 9996 n)$	1	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

온라인 정수순서 백과사전에서는 숫자 사용 용어(예: "옥각형")를 선호하여 그리스어 접두사(예: "옥각형")를 사용하는 용어(예: "8-gonal")를 사용한다.

이 표의 속성은 다음과 같은 정체성으로 표현할 수 있다(A086270 참조).

(\displaystyle 2\,P(s,n)=P(s+k,n)++P(s-k,n),}

와 함께

k=0,1,2,3,...,s-3.

조합

정사각형과 삼각형인 36과 같은 일부 숫자는 두 개의 다각형 집합으로 떨어진다. 그러한 두 세트가 주어진다면, 그 두 가지에 속하는 모든 숫자들은 문제를 펠의 방정식으로 줄임으로써 해결할 수 있다. 이것의 가장 간단한 예는 사각 삼각형 숫자의 순서다.

다음 표에는 $s$ 와 $t$ 의 작은 값에 대한 s-곤 t-곤 숫자 집합이 요약되어 있다.

$s$	$t$	순서	OEIS 번호
4	3	1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ...	A001110
5	3	1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465, …	A014979
5	4	1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ...	A036353
6	3	모든 육각형 숫자도 삼각형이다.	A000384
6	4	1, 1225, 1413721, 1631432881, 1882672131025, 2172602007770041, 2507180834294496361, 2893284510173841030625, 3338847817559778254844961, 3853027488179473932250054441, ...	A046177
6	5	1, 40755, 1533776805, …	A046180
7	3	1, 55, 121771, 5720653, 12625478965, 593128762435, 1309034909945503, 61496776341083161, 135723357520344181225, 6376108764003055554511, 14072069153115290487843091, …	A046194
7	4	1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, …	A036354
7	5	1, 4347, 16701685, 64167869935, …	A048900
7	6	1, 121771, 12625478965, …	A048903
8	3	1, 21, 11781, 203841, …	A046183
8	4	1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, …	A036428
8	5	1, 176, 1575425, 234631320, …	A046189
8	6	1, 11781, 113123361, …	A046192
8	7	1, 297045, 69010153345, …	A048906
9	3	1, 325, 82621, 20985481, …	A048909
9	4	1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, ...	A036411
9	5	1, 651, 180868051, …	A048915
9	6	1, 325, 5330229625, …	A048918
9	7	1, 26884, 542041975, …	A048921
9	8	1, 631125, 286703855361, …	A048924

$s$ = $10$ 및 t = $4$ 와 같은 경우에 두 집합 모두 1 이외의 숫자가 없다.

3개의 다각형 집합에 속하는 숫자를 찾는 문제는 더 어렵다. 오각형의 삼각형 숫자를 컴퓨터로 검색해 보면 그 외의 숫자가 없다는 증거는 아직 발견되지 않았지만, 1이라는 사소한 값만 산출해냈다.^[3]

숫자 1225는 헤카토닉오싯트란각 $(s$ = $124$ ), 육각형( $s$ = $60$ ), 이코시엔네각형( $s$ = $29$ ), 육각형, 사각형, 삼각형이다.

다른 다각형 집합에 완전히 포함되는 유일한 다각형 집합은 육각형 숫자 집합이며, 삼각형 숫자 집합에 포함되어 있다.^{[citation needed]}

참고 항목

메모들

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h "Archived copy" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2011-06-15. Retrieved 2010-06-13.{{cite web}}: CS1 maint: 타이틀로 보관된 사본(링크)
^ Basel 문제 외: 피규어 숫자의 답례 총계
^ Weisstein, Eric W. "Pentagonal Square Triangular Number". MathWorld.

참조

호기심 많고 흥미로운 숫자의 펭귄 사전, 데이비드 웰스 (Penguin Books, 1997) [ISBN 0-14-026149-4].
PlanetMath에서의 다각형 수
Weisstein, Eric W. "Polygonal Numbers". MathWorld.
F. Tapson (1999). The Oxford Mathematics Study Dictionary (2nd ed.). Oxford University Press. pp. 88–89. ISBN 0-19-914-567-9.

외부 링크

"Polygonal number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
다각형 번호: 2<=337에 대해 1에서 1000 사이의 모든 s 폴리곤 번호 클릭 가능
YouTube Ulam Spiral 그리드의 다각형 번호
다각형 번호 계산 함수: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853

[siam_07-003s-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h "Archived copy" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2011-06-15. Retrieved 2010-06-13.{{cite web}}: CS1 maint: 타이틀로 보관된 사본(링크)

[2] Basel 문제 외: 피규어 숫자의 답례 총계

[3] Weisstein, Eric W. "Pentagonal Square Triangular Number". MathWorld.

[1]

[2]

[3]

Search

다각수

네임스페이스

더

목차

정의 및 예제

삼각수

제곱수

오각형 수

육각수

공식

모든 육각형 숫자도 삼각형 숫자다.

값표

조합

참고 항목

메모들

참조

외부 링크