정사각 삼각수

정사각형 삼각형 36번은 정사각형 숫자로 그려졌다.

수학에서 사각 삼각형수(또는 삼각형수)는 삼각형수인 동시에 완벽한 사각형이다. 무한히 많은 정사각형 삼각형 숫자가 있다; 처음 몇 가지는 다음과 같다.

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025(OEIS의 경우 시퀀스 A001110)

명시적 공식

k번째 사각 삼각형 숫자로 $N$ 을_k 쓰고, 해당 사각형과 삼각형의 옆면에 $s$ 와_k $t$ 를_k 쓰도록 한다.

N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1){2}.

N).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser- 삼각수의 삼각형 뿌리를 정의합니다.출력.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆫn(n+1)/2n. 이 정의와 이차 공식으로 볼 때

n={\frac {{\sqrt{8N+1}-1}{2}.

$따라서$ $8N$ + $1$ 이 정사각형인 경우에만 N이 삼각형( $n$ 은 정수)이다. 따라서 $8M 2$ + $1$ 이 정사각형인 경우, $즉 2 x 2$ - $8y$ = 1과 같은 $숫자$ x와 $y$ 가 있는 경우에만 정사각형 숫자 $M$ 도² 삼각형이다. $이것$ 은 n = $8$ 의 Pell 방정식의 한 예다. 모든 Pell 방정식은 $사소한$ 해법 $x$ = 1 $,$ n에 $대해$ y = $0$ 을 가지고 있다. 이를 제로 해법이라고 하며 ( $x 0,$ $y 0) =$ (1 $,0$ )으로 색인화한다 $.$ $(x k,$ $y k)$ 가 특정 $n$ 에 대한 Pell 방정식에 대한 k번째 비경쟁적 용액을 나타내는 경우, 다음과 같은 강하 방법을 통해 확인할 수 있다.

{\pregated}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}x_{1}-x-1}\\y_{k+1}&=2y_{k_{1}x_{1}-y_{k-1}.\end{정렬}}

따라서 $n$ 이 정사각형이 아닐 때마다 고정되는 하나의 비경쟁 방정식이 있는 펠 방정식에 대한 해결책은 무한하다. $n$ = $8일$ 때 첫 번째 비경쟁적 해결책은 찾기 쉽다: 그것은 (3,1)이다. $n$ = $8$ 에 대한 Pell 방정식에 대한 $해법 k (x k,$ y)은 다음과 같이 사각 삼각형 숫자와 그 제곱과 삼각형 뿌리를 산출한다.

s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.

따라서 (3,1)에서 도출된 첫 번째 사각 삼각형 숫자는 1이고, 다음 숫자는 6 × (3,1) - (1,0) = (17,6)에서 도출된 36이다.

$N k$ , $s k$ , $t k$ 시퀀스는 각각 OEIS: A001110, OEIS: A001109, OEIS: A001108이다.

1778년 레온하르트 오일러는 명시적 공식을^[1]^[2]^{: 12–13} 결정했다.

N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt{2}}\오른쪽)^{k}-\왼쪽(3-2{\sqrt{2}}\오른쪽)^{k}{4}{\sqrt{2}}\}\오른쪽)^{2}

편리할 수 있는 기타 등가 공식(이 공식을 확장하여 확인됨)은 다음과 같다.

{\reasoned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac{1}{32}}\왼쪽(왼쪽(17+12{\sqrt{2}}\오른쪽)^{k}-2+\왼쪽(17-12{\sqrt{2}}\오른쪽)^{k}\오른쪽).\end{정렬}}

$s$ 와_k $t$ 에_k 대한 해당 명시적 공식은 다음과 같다.^[2]^{: 13}

{\regated}s_{k}&={\frac(왼쪽(3+2{\sqrt{2}}\오른쪽)^{k}-\왼쪽(3-2{\sqrt{2}}\오른쪽)^{k}}{{4}{\sqrt{2}},\t_{k}&={\frac(왼쪽(3+2{\sqrt{2}}\오른쪽)^{k}+\왼쪽(3-2{\sqrt{2}}\오른쪽)^{k}-2}{4}.\end{정렬}}

펠 방정식

사각 삼각형 숫자를 찾는 문제는 다음과 같은 방법으로 펠의 방정식으로 줄어든다.^[3]

모든 삼각형 숫자는 $t (t$ + 1 $)/ 2$ 형식이다. $그러므로$ 우리는 다음과 같은 정수 $t$ 를 구한다.

{\frac {t(t+1)}{2}}}=s^{2}.

재배열, 이것이

\left(2t+1\오른쪽)^{2}=8s^{2}+1,

$그리고$ x = $2t$ + $1$ 과y = $2s$ 로, 우리는 디오판틴 방정식을 얻는다.

x^{2}-2y^{2}=1,

그건 펠 방정식의 한 예야 이 특별한 방정식은 Pell number $P$ 에_k 의해^[4] 해결된다.

x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};

따라서 모든 해결책은

{\displaystyle s_{k}={\frac {P_{2k}:{2}},\quad t_{k}+P_{2k-1}{2}},\quad N_{k}=\좌측({\frac {P_{2k}}}{2k}}}}{{2k\오른쪽^2}}.

Pell 숫자에 대한 많은 정체성이 있고, 이것들은 정사각형의 삼각형 숫자에 대한 정체성으로 번역된다.

재발관계

정사각형 삼각형 숫자뿐만 아니라 관련된 정사각형과 삼각형의 측면에 대한 반복적인 관계가 있다. 우리는^[5]^{: (12)} 가지고 있다.

{\reasoned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&#{\text{{}{{0}&#{\text{{\text{} 및 }N_{1}=1;\\\\\\}N_{k}&=\left(6{\sqrt{N_{k-1}-{n_{k-2}}:\오른쪽)^{2},&{{{{{{0}&}=0\text{}, }}{{{1}n_{1}=1}=1.\end{정렬}}

우리는^[1]^[2]^{: 13} 가지고 있다.

{\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{with }}s_{0}&=0{\text{ and }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{with }}t_{0}&=0{\text{ and }}t_{1}=1.\end{정렬}}

기타 특성화

모든 정사각형 삼각형 숫자는 $bc 22$ 형태를 가지고 있으며, $여기$ 서b/ $c$ 는 is2의 지속적인 부분 확장에 대한 수렴이다.^[6]

A. V. 실웨스터는 정사각형 삼각형의 숫자가 무한하다는 짧은 증거를 제시했다.^[7] n번째 삼각형 숫자 $n (n$ + 1 $)/ 2가$ 정사각형인 경우, 다음과 같은 $이유로 4n (n +$ 1)번째 삼각형 수가 더 크다.

{\displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{{4n(n+1)+1{\bigr )}{2}}=4\,{\frac {n(n+1){2}{2}}}}\\왼쪽(2n+1\오른쪽)^{2}.

세 칸의 산물로서 오른손은 사각형이다. 삼각근 $t$ 는_k $k$ 가 짝수일 경우 정사각형 이하, 짝수일 경우 정사각형 2배 이하, $홀수$ 일 경우 정사각형 2배 이하가 번갈아 나타난다. 그러므로

49 = 7² = 2 × 5² − 1,

288 = 17² - 1 = 2 × 12²

1681 = 41² = 2 × 29² − 1.

각각의 경우에 관련된 두 제곱근은 s를_k 곱하여 5 × 7 = 35, 12 × 17 = 204, 29 × 41 = 1189를 준다.^{[citation needed]}

추가:

N_{k}-N_{k-1}=s_{2k-1};

36 - 1 = 35, 1225 - 36 = 1189, 41616 - 1225 = 40391. 즉, 연속된 두 개의 제곱 삼각형 숫자의 차이는 다른 제곱 삼각형 숫자의 제곱근이다.^{[citation needed]}

사각 삼각형 숫자의 생성 기능은 다음과 같다.^[8]

{\frac {1+z}{{1-z}{{{2}-34z+1\오른쪽)}}}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots }

수치 데이터

$k$ 가 커지면 비율 $t k / s$ 가_k approaches2 ≈ 1.41421356에 접근하고, 연속적인 사각 삼각형 숫자의 비율은 (1 + ⁴172) = 17 + 12 ≈2 70 33.970562748에 근접한다. 아래 표는 $0$ 에서 11 사이의 k 값을 나타내며, 모든 사각¹⁶ 삼각형 숫자를 10까지 파악한다.

$k$	$N k$	$s k$	$t k$	$t k / s k$	$N k / N k - 1$
0	0	0	0	$t k / s k$
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1.33333333	36
3	1225	35	49	1.4	34.027777778
4	41616	204	288	1.41176471	33.972244898
5	1413721	1189	1681	1.41379310	33.970612265
6	48024900	6930	9800	1.41414141	33.970564206
7	1631432881	40391	57121	1.41420118	33.970562791
8	55420693056	235416	332928	1.41421144	33.970562750
9	1882672131025	1372105	1940449	1.41421320	33.970562749
10	63955431761796	7997214	11309768	1.41421350	33.970562748
11	2172602007770041	46611179	65918161	1.41421355	33.970562748

참고 항목

정사각형과 정사각형의 피라미드를 동시에 가진 숫자의 대포알 문제
여섯 번째 검정력, 정사각형과 정사각형의 숫자를 동시에 나타냄

메모들

^ ^a ^b Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. History of the Theory of Numbers. 2. Providence: American Mathematical Society. p. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.
^ ^a ^b ^c Euler, Leonhard (1813). "Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)". Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg (in Latin). 4: 3–17. Retrieved 2009-05-11. According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.
^ Barbeau, Edward (2003). Pell's Equation. Problem Books in Mathematics. New York: Springer. pp. 16–17. ISBN 978-0-387-95529-2. Retrieved 2009-05-10.
^ Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). Oxford University Press. p. 210. ISBN 0-19-853171-0. Theorem 244
^ Weisstein, Eric W. "Square Triangular Number". MathWorld.
^ Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987). Mathematical Recreations and Essays. New York: Dover Publications. p. 59. ISBN 978-0-486-25357-2.
^ Pietenpol, J. L.; Sylwester, A. V.; Just, Erwin; Warten, R. M. (February 1962). "Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 69 (2): 168–169. doi:10.2307/2312558. ISSN 0002-9890. JSTOR 2312558.
^ Plouffe, Simon (August 1992). "1031 Generating Functions" (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique. p. A.129. Retrieved 2009-05-11.

외부 링크

[Dickson-1] Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. History of the Theory of Numbers. 2. Providence: American Mathematical Society. p. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.

[Euler-2] Euler, Leonhard (1813). "Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)". Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg (in Latin). 4: 3–17. Retrieved 2009-05-11. According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.

[3] Barbeau, Edward (2003). Pell's Equation. Problem Books in Mathematics. New York: Springer. pp. 16–17. ISBN 978-0-387-95529-2. Retrieved 2009-05-10.

[4] Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). Oxford University Press. p. 210. ISBN 0-19-853171-0. Theorem 244

[5] Weisstein, Eric W. "Square Triangular Number". MathWorld.

[Ball-6] Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987). Mathematical Recreations and Essays. New York: Dover Publications. p. 59. ISBN 978-0-486-25357-2.

[Sylwester-7] Pietenpol, J. L.; Sylwester, A. V.; Just, Erwin; Warten, R. M. (February 1962). "Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 69 (2): 168–169. doi:10.2307/2312558. ISSN 0002-9890. JSTOR 2312558.

[8] Plouffe, Simon (August 1992). "1031 Generating Functions" (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique. p. A.129. Retrieved 2009-05-11.

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