프로닉 넘버

발음 번호는 연속된 두 정수의 산물, 즉 n(n + 1) 형식의 산물이다.^[1] 이 숫자들의 연구는 아리스토텔레스로 거슬러 올라간다. 이들은 장방형수, 이형수 또는 ^[2]직사각형수라고도 불리지만,^[3] 복합수에는 "직사각형수"라는 용어도 적용되었다.^[4][5]

처음 몇 개의 발음 번호는 다음과 같다.

0, 2, 6, 6, 12, 20, 30, 42, 42, 56, 72, 90, 110, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462 … (OEIS에서 연속 A0023788)

n이 발음이 되는 숫자라면, 다음이 참이다.

${\displaystyle \lfloor{\sqrt{n}\cdot \lceil {\sqrt}\rceil =n}$

비유 숫자로써

아리스토텔레스의 형이상학에서 발음이 삼각수와 사각수와 나란히 있는 형상으로 연구되었고,^[2] 이들의 발견은 훨씬 더 일찍 피타고라스의 소행으로 여겨졌다.^[3] 구상 숫자의 일종으로 발음 번호는 다음과 같은 방식으로 다각형 숫자와 유사하기 때문에 장방형이라고^[2] 부르기도 한다.^[1]

1 × 2	2 × 3	3 × 4	4 × 5

두 개의 연속된 발음 숫자에 대한 산술 평균은 제곱 숫자:

${\displaystyle {\frac {n(n+1)+(n+1)+(n+1)}{2}}=(n+1)^{2}}$

So between the consecutive pronic numbers there is always a square, and only unique one (since ${\displaystyle n^{2}<n(n+1)<(n+1)^{2}<(n+1)(n+2)<(n+2)^{2}}$).

n번째 발음은 n번째 삼각형의^[1][2] 2배, n번째 제곱수의 n보다 n이 많다. 이는 발음의 대체 공식 n² + n이 주는 것이다. n번째 발음은 홀수 제곱(²2n + 1)과 (n+1)st 중심 육각수의 차이이기도 하다.

발음의 합계

발음 번호의 왕복수 합계(0은 제외)는 1을 합한 텔레스코핑 시리즈다.^[6]

${\displaystyle 1={\frac {1}{1}:{2}}+{{6}+{{1}{1}}{{12}}}\frac {1}}\cdots =\sum _{i=1}^{\inflit }{1}{i(i+1)}}}}}.}$

이^[6] 시리즈의 첫 번째 n개 항의 부분 합은

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i+1}}}={\frac {n}{n+1}.}$

첫 번째 n개 발음의 부분 합은 n번째 사면수의 두 배 값이다.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{nk(k+1)={\frac {n(n+1)}{3}}}=2T_{n}={\frac {n^{\overline{3}}{3}}}.}$

추가 속성

n번째 발음은 첫 번째 짝수의 합이며, 따라서 두 번째 삼각형 숫자의 두 배가 된다.^[2] 모든 발음번호는 짝수고, 2는 유일한 발음번호는 2이다. 또한 피보나치 수열의 유일한 발음이자 유일한 발음이 되는 루카스 수이다.^[7][8]

정사각형 행렬의 비대각 입력 수는 항상 발음이 된다.^[9]

연속 정수는 복음이고, 발음은 연속 정수의 산물이라는 사실은 여러 가지 성질을 낳는다. 발음의 각 뚜렷한 주요 인자는 n 또는 n + 1 요인 중 하나에만 존재한다. 따라서 n과 n + 1이 또한 제곱이 없는 경우에만, 발음 번호는 제곱이 없다. 발음의 구별되는 주요 인자의 수는 n과 n + 1의 구별되는 주요 인자의 수를 합한 것이다.

만약 25가 어떤 발음 숫자의 십진수 표현에 추가된다면, 결과는 정사각형 번호(예: 625 = 25², 1225 = 35²)가 된다. 왜냐하면

$($${\$$^{2}=100n^{2}+100n+25=100n(n+1)+25\,}$.

참조