연결합계

수학에서, 특히 위상에서, 연결된 합들의 연산은 다지관의 기하학적 수정이다. 그 효과는 주어진 두 다지관을 각각에 대해 선택된 지점 근처에서 함께 결합하는 것이다. 이 구조는 닫힌 표면의 분류에 핵심적인 역할을 한다.

보다 일반적으로, 동일한 서브매니폴드를 따라 다지관을 함께 결합할 수도 있다. 이러한 일반화를 섬유 합이라고 부른다. 매듭 합 또는 매듭의 구성이라고 불리는, 매듭에 연결된 합이라는 개념도 밀접하게 관련되어 있다.

연결된 합계의 그림.

점에서의 연결된 합

2 m차원 다지관의 연결된 합은 각 다지관 내부의 볼을 삭제하고 그 결과로 생긴 경계 구를 접착하여 형성된 다지관이다.

두 다지관이 모두 방향인 경우, 접착 맵 역방향으로 정의되는 고유한 연결 합계가 있다. 이 공사는 공의 선택을 이용하지만, 결과는 동형사상까지 독특하다. 또한 이 작전이 원만한 범주에서 작동하도록 만들 수 있으며, 그 결과는 차이점포화까지 독특하다. 매끄러운 경우에는 미묘한 문제가 있다: 방향성을 올바르게 선택하더라도 구 경계 사이의 모든 차이점들이 동일한 복합 다지관을 주는 것은 아니다. 예를 들어, 밀너 박사는 7-sphere와 다른 구형이 아닌 이국적인 구 동형체가 되도록 두 개의 7-셀을 경계선을 따라 접착할 수 있다는 것을 보여주었다.

단, M ${\$ }과 $M_{1}$ M ${\$ }}의 접착을 선택하는 표준적인 방법이 있어, 고유한 $M_{2}$ 잘 정의된 연결 합을 제공한다.^[1] 임베딩 $i_{1}:D_{n}\rightarrow M_{1}$ $i_{1}:D_{n}\rightarrow M_{1}$ : $i_{1}:D_{n}\rightarrow M_{1}$ $i_{1}:D_{n}\rightarrow M_{1}$ → $i_{1}:D_{n}\rightarrow M_{1}$ $i_{1}:D_{n}\rightarrow M_{1}$ ${\$ }를 선택하십시오 $.$ $D_{n}\오른쪽$ 화살표 $M_{1}$ 및 $i_{1}:D_{n}\rightarrow M_{1}$ $i_{2}:D_{n}\rightarrow M_{2}$ $i_{2}:D_{n}\rightarrow M_{2}$ : $i_{2}:D_{n}\rightarrow M_{2}$ $i_{2}:D_{n}\rightarrow M_{2}$ → $i_{2}:D_{n}\rightarrow M_{2}$ $i_{2}:D_{n}\rightarrow M_{2}$ ${\$ $i_{1}$ ${n}\오른쪽$ 화살표 $M_{2$ }}: $i_{1}$ 1 ${\$ 는 $i_{1}$ 방향을 $i_{2}$ 하고 $i_{2}$ 2 ${\$ }}: 방향을 반전시킨다 $i_{2}$ . 이제 분해합에서 $M_{1}\mathbin {\#} M_{2}$ $M_{1}\mathbin {\#} M_{2}$ $M_{1}\mathbin {\#} M_{2}$ # $M_{1}\mathbin {\#} M_{2}$ $M_{1}\mathbin {\#} M_{2}$ ${\$ }}:

(M_{1}-i_{1}(0))\sqcup (M_{2}-i_{2}(0))

나는 2((1−지)ux{\displaystyle i_{2}((1-t)u와 같이 나는 1(tu){\displaystyle i_{1}(tu)}을 확인함으로써}을 위해 각각의 단위 벡터 u∈ Sn− 1{\displaystyleu\in S^{n-1}}과 각 0<>t<1{\displaystyle 0<, t< 1}로도 그 방향에 대한 M1)M2{\displaystyle M_{1}\mathbin. {)#}M_{2}} $M_{1}\mathbin {\#} M_{2}$ $M_{1}$ $M_{1}$ ${\$ 및 $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{2}$ ${\$ }}과 호환 가능 $M_{2}$ 이 구조가 잘 정립되어 있다는 사실은 결정적으로 디스크 정리에 달려 있는데, 이것은 전혀 명백하지 않다. 자세한 내용은 을 참조하십시오.

연결된 합계의 연산은 $\#$ # $\#$ 으로 표시된다 $\#$ 예를 들어 $,$ $A\mathbin {\#} B$ # B ${\$ $displaystyle$ $A$ $}$ 과 $A$ ( $와$ $)$ {\ $displaystyle$ B}의 연결된 합을 나타낸다 $A\mathbin {\#} B$ $B$

연결된 합의 작동은 $S^{m}$ S m ${\$ 을(를) $M$ 로 한다. 즉 $S^{m}$ , M # S $M\mathbin {\#} S^{m}$ ${\$ 은 M ${\displaystym$ M $}$ 에 대한 동형(또는 차이점형)이다 $M\mathbin {\#} S^{m}$ $M$

토폴로지에서 기초적이고 역사적으로 중요한 결과인 닫힌 표면의 분류는 닫힌 표면은 토리의 $g$ g $g$ 과 실제 투영면의 일부 $k$ 수 $k$ $k$ 을(를) 가진 구의 연결된 합으로 표현될 수 있다고 명시한다.

서브매니폴드를 따라 연결된 합

$M_{1}$ $M_{1}$ ${\$ 및 $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{2}$ ${\$ }}개의 $M_{2}$ 부드러운 방향 다지관과 $V$ $V$ 이 $V$ (가) M 1 ${\$ $M_{$ $1}$ 및 $M_{1}$ M $M_{2}.$ . ${\displaystytym M_{$ 2}에 하위 manifold로 내장되도록 두십시오 $M_{2}.$ . 정상 묶음의 이형성이 존재한다.

[\displaystyle \property :N_{M_{1}V\to N_{M_{2}}V}

각 섬유에 대한 방향을 반대로 만드는 겁니다. 그러면 $\psi$ $\psi$ 은(는) 지향성 보존적 차이점 형질성을 유도한다 $\psi$ .

N_{1}\setminus V\cong N_{M_{1}V\setminus V\to N_{2}}V\setminus V\cong N_{2}\setminus V,

여기서 각 일반 번들 $N_{M_{i}}V$ $N_{M_{i}}V$ V $N_{M_{i}V$ 은 $N_{{M_{i}}}V$ $M_{i}$ 는) $M_{i}$ ${\$ 에서 $V$ V $V$ 의 $N_{i}$ $N_{i}$ ${\$ 와 지도 간에 차이점식으로 식별된다.

N_{M_{2}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V

방향과 방향의 차이점이 비자발적인가?

v\mapsto v/ v ^{2}

정상 벡터로 $V$ $V$ 을 $M_{1}$ $M_{2}$ (를) 따라 M $M_{1}$ ${\$ $M_{2}$ $M_{2}$ ${\$ }}의 연결된 합이 공간인 경우 $V$

(M_{1}\setminus V)\빅컵 _{N_{1}\setminus V=N_{2}\setminus V}(M_{2}\setminus V)}

오리엔테이션과 차이점 유형화에 의해 삭제된 이웃을 함께 붙임으로써 얻어진다. 그 합은 종종 표시된다.

{\displaystyle(M_{1},V)\mathbin {\#}(M_{2},V)}

$차이점$ 유형으로는 V $V$ 의 두 임베딩 선택과 $V$ $\psi$ $\psi$ 의 선택에 따라 다르다 $\psi$

느슨하게 말하면 $서브매니폴드$ V $V$ 의 각 일반 섬유는 V $V$ 의 단일 지점을 포함하고 있으며 $V$ $V$ $V$ $V$ 을 따라 연결된 합은 $V$ 각 섬유소를 따라 수행된 앞의 절에서 설명한 연결 합에 불과하다. 이러한 이유로 $V$ $V$ 을 따라 연결된 합을 섬유 합이라고 부르는 $V$ 경우가 많다.

$V$ $V$ 의 $V$ 특수한 경우 점은 앞의 섹션의 연결된 합을 복구한다.

코디멘션을 따라 연결된 합-2 하위 관리본드

$V$ $V$ 의 치수가 $M_{i}$ $M_{i}$ ${\$ 의 치수보다 두 개 작을 $V$ 때 또 다른 중요한 특수한 경우가 발생한다 $M_{i}$ 그러면 오일러 클래스가 반대일 때마다 일반 번들의 $\psi$ 이소모르프 $\psi$ $\psi$ 이(가) 존재한다.

e\left(N_{M_{1}V\right)=-e\left(N_{M_{2}}V\right).

더욱이, 이 경우 정상다발의 구조 그룹은 서클 그룹 S $SO(2)$ ( 2 $SO(2)$ ) $SO(2)$ 이다 $SO(2)$ 임베딩의 선택은 $V$ $V$ 에서 서클에 이르는 $V$ 지도의 호모토피 클래스 그룹과 함께 표준적으로 식별될 수 있으며, 이는 다시 첫 번째 통합형 코호몰로지 그룹과 동일하다. $H^{1}(V)$ $H^{1}(V)$ ( $H^{1}(V)$ ) ${\displaystyle H^{1}(V$ 따라서 합계의 차이점형 유형은 $\psi$ $\psi$ 의 선택과 $\psi$ H $H^{1}(V)$ ( $H^{1}(V)$ ) ${\displaysty H^{1}(V)}$ 의 선택 항목에 따라 달라진다 $H^{1}(V)$

$코디멘션-2V$ $V$ 을 따라 연결된 합은 공감각 다지관의 범주에서도 수행할 수 있다 $V$ . 이러한 정교함을 공감각 합이라고 한다.

국지적

연결된 합계는 다지관에 대한 로컬 작업이며, $V$ 는 V $V$ 의 근방에서만 합계를 변경한다는 것을 의미한다 $V$ 예를 들어, $이$ 합계가 $V$ ${\displaystyle V$ 의 두 개의 분리 복사본을 포함하는 $M$ 단일 $다지관$ M ${\displaystytle M}$ 에 대해 수행될 수 있음을 의미한다 $.$ $\displaystyle M}$ 자체 $M$ . 예를 들어 구의 두 개의 뚜렷한 지점에서 2-sphere의 연결된 합이 2-토루스를 생성한다.

연결된 매듭의 합

2노트의 연결된 합에 대한 밀접한 관련성이 있다. 실제로 매듭을 단지 1매니폴드로만 본다면, 2노트의 연결된 합은 단지 1차원 다지관으로서 연결된 합일 뿐이다. 그러나 매듭의 본질적 특성은 그 다지관 구조(모든 매듭이 원과 같은 밑)가 아니라 주위 공간에 박혀 있는 것이다. 그래서 연결된 매듭의 합은 다음과 같이 잘 정의된 임베딩을 생성하는 보다 정교한 정의를 가지고 있다.

각 매듭의 분리 평면 투영을 고려하십시오.

한 쌍의 면이 각 매듭을 따라 호로 되어 있지만, 그렇지 않으면 매듭에서 분리되는 평면에서 직사각형을 찾는다.

이제 매듭에서 이 호를 삭제하고 사각형의 다른 한 쌍을 이루는 호를 추가하여 두 개의 매듭을 함께 묶으십시오.

이 절차는 원래 매듭의 새 매듭, 연결된 합(또는 매듭 합 또는 구성)을 투영하게 된다. 연결된 매듭의 합이 잘 정의되려면 3공간의 방향 매듭을 고려해야 한다. 두 방향 노트에 대해 연결된 합을 정의하려면:

각 매듭의 평면 투영을 고려하고 이 투영이 분리되었다고 가정한다.
한 쌍의 면이 각 매듭을 따라 호로 되어 있지만, 그렇지 않으면 매듭에서 분리되어 직사각형의 측면에 있는 매듭의 호가 같은 방향으로 직사각형의 경계를 중심으로 향하도록 평면에서 직사각형을 찾는다.
이제 매듭에서 이 호를 삭제하고 사각형의 다른 한 쌍을 이루는 호를 추가하여 두 개의 매듭을 함께 묶으십시오.

결과적으로 연결된 총합은 두 개의 원래 노트의 방향과 일치하는 방향을 이어받으며, 결과의 방향 주변 동위원소 등급은 원래 두 노트의 방향 주변 동위원소 등급에만 의존하여 잘 정의된다.

이 작업에서는 3공간의 방향 매듭이 독특한 프라임 인자화(primary factorization)와 함께 정류성 단모형을 형성하는데, 이를 통해 프라임 매듭이 의미하는 바를 정의할 수 있다. 일치성의 증거는 한 요약이 매우 작을 때까지 축소되도록 한 다음 다른 매듭을 따라 잡아당기면 볼 수 있다. Unknot은 유닛이다. 두 개의 삼포일 매듭은 가장 단순한 원시 매듭이다. $n$ $n$ -speres를 $n$ 스플라이싱하여 고차원 매듭을 추가할 수 있다.

3차원으로 보면 언코트는 두 개의 비삼각 매듭의 합으로 쓸 수 없다. 이 사실은 매듭 속에 대한 부가성에서 비롯된다; 또 다른 증거는 때때로 Mazur 사기라고 불리는 무한한 구조에 의존한다. 더 높은 치수(최소 3개)에서는 비교 매듭 2개를 더하면 언코트를 얻을 수 있다.

매듭의 방향을 고려하지 않으면 (비지향적) 노트의 동위원소 등급에서 연결된 총 연산이 잘 정의되지 않는다. 이를 확인하려면 (지향적인 매듭으로) 등가물이 아닌 두 개의 비반복성 매듭 K, L을 고려하십시오. 예를 들어 두 개의 프레첼 매듭 K = P(3, 5, 7) 및 L = P(3, 5, 9)를 사용하십시오. K와₊ K는₋ 그 두 가지 불평등한 방향과 함께 K가 되고, L과₊ L은₋ 그 두 가지 불평등한 방향과 함께 L이 되게 하라. 우리가 형성할 수 있는 네 가지 방향의 연결 합계가 있다.

A = K₊ # L₊
B = K₋ # L₋
C = K₊ # L₋
D = K₋ # L₊

이 네 가지 방향 노트의 방향 주위 동위원소 등급은 모두 구별된다. 그리고 방향과 무관하게 노트의 주변 동위원소를 고려할 때, 두 가지 뚜렷한 등가 등급이 있다: { A ~ B }과(와) { C ~ D }. A와 B가 지향적이지 않은 등가물이라는 것을 알기 위해서는, 이들 둘 다 위에서와 같은 쌍의 분리 매듭 투영으로 구성될 수 있다는 것을, 유일한 차이는 매듭의 방향이라는 것에 주목하라. 마찬가지로, C와 D는 동일한 쌍의 분리 매듭 투영으로 구성될 수 있다고 본다.

참고 항목

추가 읽기

로버트 곰프: 공감각 다지관의 새로운 건축, 수학 연보 142 (1995), 527–595
윌리엄 S. 매시, 1991년 스프링거-베를라그 대수 위상 기초 과정. ISBN 0-387-97430-X.

참조

^ 케르베어와 밀너, 호모토피 스피어 1조, 수학실록 제77권 제3호 1963년 5월 3일
^ Kosinski, Differential Multiples, Academic Press Inc(1992).

[1] 케르베어와 밀너, 호모토피 스피어 1조, 수학실록 제77권 제3호 1963년 5월 3일

[2] Kosinski, Differential Multiples, Academic Press Inc(1992).

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