바젤 문제

바젤 문제는 역제곱의 무한합에 관한 수 이론과 관련된 수학 분석의 문제이다.그것은 1650년 피에트로 멍골리에 의해 처음 제시되었고 1734년 ^[1]레온하르트 오일러에 의해 해결되었으며 1735년 12월 5일 상트페테르부르크 ^[2]과학 아카데미에서 읽혔다.그 문제가 당대의 주요 수학자들의 공격을 견뎌냈기 때문에, 오일러의 해답은 그가 28살이었을 때 그에게 즉각적인 명성을 가져다 주었다.오일러는 이 문제를 상당히 일반화했고, 그의 생각은 수년 후에 베른하르트 리만에 의해 채택되었는데, 그는 그의 제타 함수를 정의하고 그것의 기본 특성을 증명한 1859년 그의 정석 논문 "주어진 크기보다 작은 소수에 대하여"에서 나왔다.이 문제는 오일러의 고향인 바젤과 문제를 공격하지 못한 베르누이 가문의 이름을 따서 명명되었다.

바젤 문제는 자연수 제곱의 정확한 합, 즉 무한 급수의 정확한 합을 요구한다.

\displaystyle \sum _{n=1}^{{infty}{\frac {1}{n^{2}}=param frac {1}{1^{2}}+{\frac {1}{3^{2}}+\cdots}

급수의 합계는 약 1.644934입니다.^[3]바젤 문제는 이 시리즈의 정확한 합계(닫힌 형식)와 이 합계가 맞다는 증거를 요구합니다.오일러는 정확한 합계가 $(\displaystyle \pi$ ^{ $2}/6)$ 을 $\pi^2/6$ 발견하고 1735년에 이 발견을 발표했다.그의 주장은 나중에 그가 옳았음이 입증되었지만, 그 당시에는 정당화되지 않았던 조작에 근거했다.그는 1741년에 정말로 엄격한 증거를 제시했다.

이 문제에 대한 해결책은 두 개의 큰 난수가 공수일 확률을 추정하는 데 사용할 수 있습니다.n $(\$ $displaystyle$ n $)$ 이 $n$ 무한대에 이르는 $제한$ 범위 내의 1 ~ $n$ (\ $displaystyle$ n $)$ 의 2개의 랜덤 정수는 비교적 소수이며, 바젤 ^[4]문제에 대한 해결책의 반대인 6 $6/\pi ^{2}$ / $†$ 에 $6/\pi ^{2}$ 할 가능성이 있습니다 $6/\pi ^{2}$

오일러의 접근법

오일러의 원래 값 $\pi ^{2}/6$ 2 / $\pi ^{2}/6$ (\ $displaystyle \pi ^{2}/6)$ 은 유한 다항식에 대한 관찰을 기본적으로 $\pi ^{2}/6$ 확장했으며 이러한 동일한 특성이 무한 급수에 대해 참이라고 가정했다.

물론, 오일러의 원래 추론은 정당성을 필요로 하지만(100년 후, 칼 바이어스트래스는 바이얼스트라스 인수분해 정리에 의해 무한곱으로서의 사인함수의 표현이 유효하다는 것을 증명했다), 그는 정당성 없이도, 단순히 정확한 값을 얻음으로써, 그것을 파티아에 대해 수치적으로 검증할 수 있었다.시리즈 중 1개입니다.그가 지켜낸 합의는 그에게 수학계에 그의 결과를 발표할 충분한 자신감을 주었다.

오일러의 주장을 따르려면 사인 함수의 테일러 급수 확장을 떠올리십시오.

\sin x=x-{\frac {x^{3}}}{3!}+{\frac {x^{5}}{5}!}-{\frac {x^{7}}{7}!}}+\cdots

x

(\displaystyle

x

)

로

x

나누면 다음과 같습니다.

{\displaystyle\frac{x}=1-{\frac{x^{2}}{3!}+{\frac {x^{4}}{5!}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots .}

바이어스트라스 인수분해 정리는 왼쪽이 유한 다항식과 마찬가지로 그 근에 의해 주어진 선형 인자의 산물임을 보여준다.오일러는 이를 근의 관점에서 무한도 다항식을 확장하기 위한 휴리스틱으로 가정했지만, $P(x)$ 일반 $P(x)$ P ( $P(x)$ $)\style$ P $(x$ ^[5]에 대해서는 항상 해당되지 않는다. 이 인수분해는 방정식을 다음과 같이 확장한다.

{\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\sin)}{)}}&=\left(1-{\frac{x}{\pi}}\right)\left(1+{\frac{x}{\pi}}\right)\left(1-{\frac{x}{2\pi}}\right)\left(1+{\frac{x}{2\pi}}\right)\left(1-{\frac{x}{3\pi}}\right)\left(1+{\frac{x}{3\pi}}\right)\cdots, =\left(1-{\frac{{2}}x^{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac{{2}}x^{4\pi ^{2}}}\right)\l \\&.eft(1-{)frac {x^{2}}{9\pi^{2}}\right}\cdots\end{aligned}}

만약 정식으로 나가서 모든x2 조건(우리가 그렇게 할 뉴턴의 정체성 때문에 허용된다)를 수집 이 제품을 하는데, 우리가 유도가.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion의 미국 계수{을 볼 수 있습니다.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}죄 x/x[6]은

-\pi\frac {1}{4\pi ^{2}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}+\cdots \right}=-{\frac {1}{\pi ^2}}\sum {n = {{1} ^{{{\fty } } {\frac} } } }

그러나 $sin$ x $/ x$ 의 $원래$ 무한 급수 팽창에서 $x$ 의² 계수는 $-1 /$ 3 $!$ = $-1 / 6$ 입니다.이 두 계수는 같아야 합니다. 따라서

-{\frac {1}{6}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^{2}}}.

이 방정식의 양변에 -θ를² 곱하면 양의 제곱 정수의 역수 합계가 나옵니다.

\sum _{n=1}^{infty}{\frac {1}{n^{2}}=black {{pi ^2}}{6}.

$이$ 계산 방법은 오일러 감마 ^[7]상수와 관련된 많은 제타 $\zeta (2)$ 함수, 로그 관련 급수와 적분 및 역사적 관점에 대해 자세히 설명하는 하빌의 감마 책에서 가장 두드러지게 설명된다 $.$

기본 대칭 다항식을 이용한 오일러 방법의 일반화

기본 대칭 ^[8]다항식으로부터 얻은 공식을 사용하여 베르누이 수에 의해 확장되는 다음과 같은 알려진 공식을 갖는 짝수 지수 짝수 제타 상수에 대한 공식을 열거하는 데 동일한 접근방식을 사용할 수 있다.

\zeta (2n) = flac { (-1)^{n-1} (2\pi)^2n}}{2\cdot (2n)!}}B_{2n}.

예를 들어 위와 같이 확장된 ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ $\sin(x)$ ( $\sin(x)$ ) { $displaystyle \sin ( x$ ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ ) ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ ( ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ - ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ 2 ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ ) { ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ style { S _ { n ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ （ ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ x ) } { x ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ } { x } : = k ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ 1 ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ n ${\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)$ ）。 $=\cdot _{k=1}^{n}\left$ (1- ${\frac$ { $x^{2$ }}{k^{2 $}\cdot$ \pi $^{2}}\right$ 그런 다음 기본 대칭 다항식(일명 뉴턴의 공식)에 대해 알려진 공식을 사용하면 (예를 들어) 다음과 같은 것을 볼 수 있다.

{\displaystyle{\begin{정렬}[x^{4}\right]{\frac{S_{n}())}{)}}&={\frac{1}{2\pi ^{4}}}\left(\left(H_{n}^{(2)}\right)^{2}-H_{n}^{(4)}\right)\qquad\xrightarrow{n\rightarrow \infty}\qquad{\frac{1}{2\pi ^{4}}}\left(\zeta(2)^{2}-\zeta(4)\right)\\[4pt]&,\qquad \implies((4)={\frac{\pi ^{4}}{90}}=-2\pi ^{4}\cdot[x^{4}]{\frac. {\sin())}{x}+{\frac {{pi ^{4}}{36)\left[x^{6}\right]{\frac {S_{n}(x)}{x}&=-{\frac {1}{6}\left(\flac {n}^{2}^{3}-H})^2}^2}\left(오른쪽)H_{n}^{(4)}+2H_{n}^{(6)\오른쪽)\qquad \xrightarrow {n\rightarrow \infty }\qquad {frac {1}{6\pi ^{6}\left(\zeta (2)^3}-3\zeta (4)\zeta (4\q)

[ $[x^{2k}]{\frac {S_{n}(x)}{x}}$ $[x^{2k}]{\frac {S_{n}(x)}{x}}$ k $[x^{2k}]{\frac {S_{n}(x)}{x}}$ ] $[x^{2k}]{\frac {S_{n}(x)}{x}}$ n ( $[x^{2k}]{\frac {S_{n}(x)}{x}}$ x ) $[x^{2k}]{\frac {S_{n}(x)}{x}}$ { $displaystyle [x^{2k}}{\frac {S_{n}(x)}{x$ 의 후속 계수에 대해서도 마찬가지입니다.기본 대칭 다항식의 관점에서 (확정) $){$ 을 $H_{n}^{(2k)}$ 나타내는 뉴턴의 항등식에는 다른 형태가 있다 $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ ( $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ - $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ 2 , $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ - $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ 2 $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ , - $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ , - $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ . $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ ) $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ , $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ { $display style$ . $\leftfrac$ {\ $frac$ {\pi ^{ $2}}$ { $1^{2}},-{\frac$ {{ $pi$ ^{ $2}},-{\frac {{3^{2}}},-{\frac$ {{ $pi ^{2}},\ldots$ \right $\zeta (2k)$ 의 $e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),$ 공식에 대해 보다 직접적인 경로를 지정할 수 있습니다.즉, 기본 대칭 다항식과 멱합 다항식 사이에 반복 관계가 있습니다.

{{displaystyle (-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{j=1}^{k-j-1}p_{j}(x_{1},\ldots,x_n},

이것은 우리의 상황에서 제한적인 반복 관계(또는 생성 함수 컨볼루션 또는 생성물)가 확장되는 것과 같다.

{\frac ^{k}{2}}\cdot {(2k)\cdot(-1)^{k}}{(2k+1)!}}=synx^{2k}{\frac {sin(\pi x)}{\pi x}}\times \sum _{i\geq 1)\zeta(2i)x^{i}.

그런 다음 이전 방정식의 항을 미분하고 재배치함으로써 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

(\displaystyle \zeta (2k)=[x^{2k}){\frac {1}{2}\left(1-\pi x\cot(\pi x)\right).}

오일러의 증명 결과

상기 결과에 의해 $\zeta (2k)$ ( $)\displaystyle\zeta(2k)$ 는 $\zeta (2k)$ 항상 $(\$ 의 유리배수이며, 특히 $(\displaystyle\pi})$ 와 $\pi$ 그 정수승은 초월적이므로 $\zeta (2k)$ ( $)style$ irta(2k $)$ 라는 $\zeta (2k)$ 결론을 내릴 수 있다. $반면$ , Apery $\zeta (3)$ $\zeta (3)$ ( $3$ ) $k\geq 1$ \ $displaystyle$ $\zeta$ ( $3)$ 를 포함한 홀수 색인의 제타 상수의 특성은 거의 완전히 알려져 있지 않습니다 $.$

리만 제타 함수

리만 제타 함수 $θ$ ( $s)$ 는 소수 분포와의 관계 때문에 수학에서 가장 중요한 함수 중 하나이다.제타 함수는 다음 공식에 의해 실수 부분이 $1$ 보다 큰 복소수 s에 대해 정의됩니다.

\zeta(s)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^{s}}}.

$s$ = $2$ 를 취하면, $θ$ ( $2)$ 는 모든 양의 정수의 제곱의 역수 합계와 같다는 것을 알 수 있다.

\displaystyle \zeta (2) = \sum _{n=1}^{\infty } {\frac {1} {n^{2} } = flac {1} {1^{2} } + {\frac {1} {3^{2}} + {\frac {\cd1} {cd1} {cd} ^{2} } }}

수렴은 적분 검정 또는 다음과 같은 부등식으로 증명할 수 있습니다.

{displaystyle _{n=1}^{n2}{n}&<1+\sum _{n=2}^{N}{\frac {1}{n-1}}}\&=1+\sum _{n2}^{N}\left_{n1}{n}{n}}\end { aligned}

이 값은 상한 2를 나타내며, 무한합은 음수 항을 포함하지 않으므로 0과 2 사이의 값으로 수렴해야 합니다.s가 양의 짝수 정수일 $때$ 마다 $θ (s)$ 는 베르누이 수에서 간단한 식을 갖는다는 것을 알 수 있다.s = ^[9] $2n$ 일 $경우$ :

\zeta (2n)=frac {(2\pi)^2n}(-1)^{n+1}B_{2n}{2\cdot (2n)!}}.

오일러의 공식과 로피탈의 법칙을 이용한 증명

정규화된 sinc ${\text{sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$ sync ( ${\text{sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$ ) ${\text{sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$ ${\text{sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$ ${\text{sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$ ( ${\text{sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$ x ) ${\text{sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$ x { $displaystyle$ { $text$ { $}$ ( x ) = $sin$ frac { $sin$ ( \ pi x ) }{ \ pi $x$ }는 ${\text{sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$ 무한곱으로서 바이에르스트라스 인수분해 표현을 가진다.

(\displaystyle {\frac {sin(\pi x)}{\pi x}=\display _{n=1}^{\infty}\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}\오른쪽).}

무한곱은 분석적이므로, 양변의 자연대수를 취하여 수율을 미분한다.

{\frac \cos(\pi x)}{\frac {1}{x}=-\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {2x}-x^{2}}}

(균일한 수렴에 의해 도함수와 무한 급수의 교환이 허용된다.)방정식을 $2x$ x $2$ 로 $2x$ $2x$ 다시 정리하면

{1}{2x^{2}}-{\frac {pi \cot(\pi x)}{2x}=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^2}-x^{2}}}.

변수( $x=-it$ $x=-it$ - $x=-it$ { $displaystyle$ x = - $it$ } )를 변경합니다.

- {\frac {1}{2t^{2}}+{\frac {\pi \cots\pi it}{2it}=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}+t^{2}}}.

오일러의 공식을 사용하여 을 추론할 수 있다.

{\frac \cot\pi it} {2it} = frac {i\left(e^{2\pi t} + 1\right}}{e^{2\pi t}-1}=pi frac {2t}+{\frac {pi }{t\left(e^{2\pi t}-1\right)}}

또는 쌍곡선 함수를 사용합니다.

{\frac \coth\pi it} {2it} = flac {\pi } {2t} = coth(\pi t) = flac {\pi } {2t} \ coth(\pi t)

그리고나서

\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}} = specfrac {\pi \left(te^{2\pi t} + t\right) - e^{2\pi t} + {2\left(t^{2} e^{2\pi t} - t^{2}\right} =-{\frac {1} + {\frac {\frc} {2\pi t}}

$이제$ 우리는0에 $t$ 가까워짐에 $따라$ 한계를 받아들이고 L'Hopipital의 규칙을 세 번 사용합니다. ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ t ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ 1 / ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ ( ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ 2 ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ + ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ / ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ 2 ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ ) { $textstyle \lim$ _ { $t\to$ \ $infty$ } \ $sum$ _ { $n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2$ 에 ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$ 되는 태너리의 정리에 의해 한계와 ${\textstyle \lim _{t\to 0}\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+t^{2})=\sum _{n=1}^{\infty }1/n^{2}}$ 와 한계 ${\textstyle \lim _{t\to 0}\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+t^{2})=\sum _{n=1}^{\infty }1/n^{2}}$ ${\textstyle \lim _{t\to 0}\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+t^{2})=\sum _{n=1}^{\infty }1/n^{2}}$ 을 교환할 수 있다. $t\to$ 0 $\sum$ _ ${n=1}^{\infty }1/(n^{2}+t^{2$ })=\ $sum$ _ ${n=1}^{\infty }1/n^{$ 2}} $및$ L'Hopital의 법칙에 따라

{\displaystyle{\begin{정렬}\sum _{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}}&=\lim _{t\to 0}{\frac{\pi}{4}}{\frac{2\pi te^{2\pi지}-e^{2\pi지}+1}{\pi t^{2}e^{2\pi지}+te^{2\pi지}-t}}\\[6pt]&, =\lim _{t\to 0}{\frac{\pi ^{3}te^{2\pi지}}{2\pi \left(\pi t^{2}e^{2\pi t}+2te^{2\pi t}\right)+e^{2\pi지}-1}}\\[6pt]&, =\lim _{t\to 0}{\frac{\pi ^{2}(2\pi.t+1)}{4\pi^{2}t^{2}+12\pi t+6}\\[6pt]&=sncfrac {pi ^{2}}{6}}.\end { aligned}}

푸리에 급수를 이용한 증명

Parseval의 아이덴티티 $(함수$ f( $x$ ) = x)를 사용하여 구합니다.

\sum _{n=-\infty }^{n} ^{2} = snfrac {1}{2\pi }} int _{-\pi }^{2}x^{2},pi

어디에

{displaystyle} c_{n}&=pi frac {1}{2\pi }}\int _{-pi }xe^{-inx}, pi\[4pt]&=pi \cos(n\pi)-sin(n\pi)\pi ={\pi

n ≠ $0$ , $c 0$ = $0$ 의 $경우$ .따라서,

c_{n}^{2}=cases}{\dfrac {1}{n^{2}}},&{\text{neq 0,\0,&{\text{}n=0,\end{cases}}}

그리고.

{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{n}^{2}=2\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^{2}}=pic frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi } } 、 {n} 。

그러므로,

\sum _{n=1}^{infty}{\frac {1}{n^{2}}=pi frac {1}{4\pi }}}\int _{-\pi }^{2},pi=pi frac {6

필요에 따라서.

Parseval의 신원을 사용한 또 다른 증거

L2 주기 함수의 L $L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ $L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ (0 $,$ )에 $(0,1)$ 한 직교 기준(0 $,$ $(0,1)$ ) ${{\operatorname {per}^{2}(0,1)}$ {{,1)} {{,1)} { $\{e_{i}\}_{i=-\infty }^{\infty }$ 스타일 $(0,1)}($ 즉, 주기적 적분함수(즉, $\{e_{i}\}_{i=-\infty }^{\infty }$ ) $\{e_{i}\}_{i=-\infty }^{\infty }$ i $\{e_{i}\}_{i=-\infty }^{\infty }$ 에 $L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ 대하여 $(0,1)$ $-\infty }^{\infty$ Parseval의 아이덴티티는 다음과 같습니다.

\ x\ ^{2}=\sum _{i=-\infty}^{\infty} \suble e_{i},x\rangle ^{2

여기서 $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ x $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ : $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ , x ${\$ { $displaystyle \ x$ \ : = $sqrt$ { \ $displaystyle x$ , x \ rangle $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ }}는 $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ 다음과 같이 주어진 힐베르트 공간의 내부 곱의 관점에서 정의됩니다.

f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(x){\overline {g(x)}},f,g\in L_{\operatorname {per}}^2}(0,1).

$e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )$ k $e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )$ $e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )$ k ( $e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )$ ) : $e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )$ $e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )$ （ $e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )$ $e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )$ $e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )$ $）\displaystyle e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta)$ 에 의해 정의된 이 공간에 대한 직교 정규 기준을 고려할 수 있습니다. $=\exp(2\pi$ \ $imath$ k\ $vartheta)}$ ⟨ $\langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}$ $\langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}$ , $\langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}$ e $\langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}$ j $\langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}$ $\langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}$ 0 $\langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}$ $\langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}$ $\langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}$ （ $\langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}$ - $\langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}$ ） $\langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}$ d = $\langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}$ d 、 $、$ j \ $displaystyle e_{ k$ } $\rangle$ = \ $int$ { $0 ^1$ } e ( k $e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )$ - j ) $imath$ ） $。$ $=\vartheta$ }, 이 두 가지를 모두 계산할 수 있습니다.

{\displaystyle {f\{2}&=int _{0}^{1}\vartheta ^{2},d\vartheta =partfrac {1}{3}\\\int _0}^{1}\piathev

기초 미적분과 부품별 적분.마지막으로, 위의 양식에 명시된 Parseval의 신원에 의해, 우리는 그것을 얻는다.

{displaystyle}\f\^{2}=frac {1}{3}&=\sum _{\stackrel {k=-\infty}{k\neq 0}{\infty }{\frac {1}{2}+{\frac {4}}{\sum ={{\fty}\end { aligned}

일반화 및 반복 관계

$f_{j}(\vartheta ):=\vartheta ^{j}\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ j ( $f_{j}(\vartheta ):=\vartheta ^{j}\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ )의 고차승 : $f_{j}(\vartheta ):=\vartheta ^{j}\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ $f_{j}(\vartheta ):=\vartheta ^{j}\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ j $f_{j}(\vartheta ):=\vartheta ^{j}\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ $f_{j}(\vartheta ):=\vartheta ^{j}\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ / $f_{j}(\vartheta ):=\vartheta ^{j}\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ ( $f_{j}(\vartheta ):=\vartheta ^{j}\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ , $f_{j}(\vartheta ):=\vartheta ^{j}\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ $){$ $displaystyle f_{j}$ (\ $vartheta$ )를 고려하면 다음과 같이 됩니다. $=\vartheta ^{j$ }\ $in$ L_ ${\operatorname {per} }^{2}(0,1$ $j>1$ 의 $f_{j}(\vartheta ):=\vartheta ^{j}\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)$ 부품별 적분을 사용하여 이 $j>1$ 을 j $>$ $1일$ 때 $j>1$ $\zeta (2j)$ ( $\zeta (2j)$ 2 $j$ ) \ $displaystyle$ $\zeta$ ( $\zeta (2j)$ 2 $j$ )의 공식을 열거하는 것으로 확장할 수 있습니다. 특히 다음과 같이 가정합니다.

(\displaystyle I_{j,k:=\int _{0}^{1}\vartheta ^{j}e^{-2\pi \imath k\vartheta },d\vartheta,}

부품에 의한 통합이 반복 관계를 만들어 낼 수 있도록

디스플레이 스타일I_{j,k}&=begin{case}{\frac {1}{j+1},&k=0;\[4pt]-{\frac {1}{2\pi \imath \cdot k}+{\frac {j}{2\pi \imath \cdot k}}I_{j-1,k},&k\neq 0\end{cases}\\[6pt]&=cases{1},&k=0;\[4pt]-\sum \cases_{m=1}^{\frac {j!}{(j+1-m)}!}}\cdot {1}{(2\pi \imath \cdot k)^{m}}},&k\neq 0.\end {case}\end {aligned}}

그리고 위의 첫 번째 사례에서와 같이 내부 제품의 선형성과 함께 Parseval의 정체성을 적용함으로써 다음을 산출합니다.

{\f_{j}\^{2}=flac {1}{2j+1}}&=2\sum _{k\geq 1)I_{j,k}_{\bar {I}_{j,k}+{\frac {1}{{j+1}^2}}}\\[6pt]&=2\sum _{m=1}^{j}\sum _{r=1}^{j}{\frac {j!^{2}}{(j+1-m)!(j+1-r)!}}{\frac {(-1)^{r}}{\imath ^{m+r}}{\frac {(2\pi)^{m+r}}+{\frac {1}{(j+1)^2}}}.\end { aligned}

코시의 증거

대부분의 증명은 푸리에 해석, 복소 해석, 다변수 미적분과 같은 고급 수학의 결과를 사용하지만, 다음은 단일 변수 미적분(끝에 단일 한계가 취해질 때까지)을 필요로 하지 않는다.

잔차 정리를 사용한 증명은 링크된 문서를 참조하십시오.

이 증명의 이력

그 증거는 오귀스틴 루이 코시로 거슬러 올라간다. (Cours d'Analyze, 1821, Note VII).1954년, 이 증거는 아키바와 이사크 야글롬의 책 "초급 박람회의 보조적인 문제"에 등장했습니다.이후 1982년 존 스콜스의 것으로 알려진 유레카 ^[10]저널에 실렸지만 스콜스는 그가 피터 스위너튼-다이어로부터 그 증거를 배웠으며, 어떤 경우에도 그 증거는 "1960년대 후반 캠브리지에서의 상식"이었다고 주장한다.

증명

불평등

{ tfrac {1} {2} \tan \theta > {\tfrac {1} {2} \theta > {\tfrac {1} {2} r^{2} \sin \theta

에 나타냅니다.맞바꾸고 스쿼어링을 하면

\cot ^{2}\theta <{\tfrac {1}{\theta ^{2}}}<\csc ^{2}\theta

2

\cot ^{2}\theta <{\tfrac {1}{\theta ^{2}}}<\csc ^{2}\theta

<

\cot ^{2}\theta <{\tfrac {1}{\theta ^{2}}}<\csc ^{2}\theta

\cot ^{2}\theta <{\tfrac {1}{\theta ^{2}}}<\csc ^{2}\theta

\cot ^{2}\theta <{\tfrac {1}{\theta ^{2}}}<\csc ^{2}\theta

<

\cot ^{2}\theta <{\tfrac {1}{\theta ^{2}}}<\csc ^{2}\theta

2

\cot ^{2}\theta <{\tfrac {1}{\theta ^{2}}}<\csc ^{2}\theta

>

{\

{

displaystyle \cot

^

{2

} \

theta

< { \

tfrac

{

1} {\theta

^ {2}

\csc

。

그 증거 뒤에 있는 주된 생각은 부분적인 (확정적인) 합계를 묶는 것이다.

\sum _{k=1}^{2}}{\frac {1}{1^{2}}+{\frac {1}{2^{2}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}}}}

m이 무한대에 가까워지면

각각

µ

²6이 되는 경향이 있다.두 표현은 코탄젠트 및 코탄젠트 함수와 관련된 동일성에서 파생됩니다.이러한 정체성은 드 무브르의 공식에서 도출되며, 이제 우리는 이러한 정체성의 확립에 눈을 돌립니다.

x는 0 $< x$ < $// 2$ 의 $실수$ , n은 양의 홀수 정수라고 $합니다$ .그리고 드 무브르의 공식과 코탄젠트 함수의 정의로부터, 우리는

{\frac {\cos(nx)+i\sin(nx)} {\sin ^{n}} {\sin ^{n}} {\sin ^{n}} {\[4pt] =\frac {\cos x+i\sin x} {\sin x} {\sin x} {\right}^{n}\\[4pt]&=(\cot x+i)^{n}.\end { aligned}

이항 정리로부터, 우리는

(\displaystyle\cot x+i)^{n}=&{n \choose 0}\cot ^{n}x+{n\choose 1}(\cot ^{n-1})i^{n-1}+{n\choose n}i^{n}\[6pt]=&{bigg}(\cot ^{n} 선택)Bigg (} {n \ choose 1 } \cot ^ {n-1} x - {n \ choose 3} \cot ^ {n-3} x \pm \cdots \cdots \Bigg } ) 。\end { aligned}}

두 방정식을 결합하고 허구 부분을 동일시함으로써 동일성을 얻을 수 있다.

{\frac {sin(nx)}{\sin ^{n}x}={n\cot ^{n-1}x-{n\choose 3)\cot ^{n-3}x\pm \cdots {bigg}}.

이 항등식을 취하여 양의 $정수$ m을 고정하고, n $=$ $2m$ + $1$ 로 설정하고, $r =$ 1, $2$ , ..., $m$ 에 대해 x = $r$ $// 2m$ + $1$ 을 $고려$ 합니다_r. $그러면 r$ nx는 $θ$ 의 $배수$ 이므로 sin $(nx r)$ = $0$ 입니다. 따라서,

{{displaystyle 0=param2m+1}\cot ^{2m}x_{r}-{2m+1}\cot ^{2m-2}x_{r}\pm \cdots +(-1){2m+1}\choose {2m+1}\cotselose {2m+1}}

$모든 r$ $r$ $= 1, 2$ , $...,$ $m$ . $x m$ = $x 1, x 2$ , $...,$ x는 0 $< x r$ < $µ$ /2 $간격$ 의 고유한 숫자입니다. $함수 2$ $요람$ x는 이 구간에서 일대일이기 때문에, 숫자 $t r$ = $요람 2 r$ x는 r $= 1, 2$ , $...,$ $m$ 에 $대해$ 구별된다. 위의 방정식에 따르면, 이 $m$ 숫자는 m차 다항식의 근이다.

{{displaystyle p(t)=param2m+1}\choose 1}t^{m}-{2m+1}\choose 3}t^{m-1}\pm \cdots +(-1)^{2m+1}\choose {2m+1}\choose {2m+1}.}

비에타의 공식에 의해 우리는 다항식의 처음 두 계수를 조사함으로써 직접 근의 합을 계산할 수 있고, 이 비교는 다음을 보여준다.

\cot ^{2}x_{1}+\cot ^{2}x_{2}+\cdots +\cot ^{2}x_{m}=binfrac {2m+1}{3}}{\binom {2m+1}{1}}}}=snapfrac {2m(2m-1)}{6}.}

$항등식 2 csc 2$ $x$ = $요람$ x + 1로 치환하면 다음과 같이 된다.

\csc ^{2}x_{2}+\cdots +\csc ^{2}x_{m}=black {2m(2m-1)}{6}+m=black {2m(2m+2)}{6}.

이제 $부등식 2$ $요람$ x < $1$ / $x 2$ < $csc 2$ x (위의 기하학적 그림)에 대해 생각해 보겠습니다. $각 r$ 숫자 x $=$ $rθ/2m$ + 1에 대해 이 모든 부등식을 더하면 위의 두 개의 항등식을 사용하면

{{displaystyle {2m-1}{6}<\left\frac {2m+1}{\pi }}}{2}+\frac {2\pi }}\frac {2\pi }}{2}+\cdots +\leftfrac {m+1}{\pi } } ^{2} } } } } ^{\} } } }}

$(θ / 2m$ $+ 21$ )를 곱하면, 이는

{\frac ^{2}}{6}\leftfrac {2m+1}\right)\frac {2m-1}{2m+1}\frac {\frac {1}+{\frac {1}+{\frac {1}\{\frac {1}+{\frac {\frac {1}

m이 무한대에 $가까워지면$ 왼쪽과 오른쪽 식은 각각 $θ$ ²/6에 가까워지기 때문에 스퀴즈 정리에 의해

{\displaystyle \zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty}=\lim _{m\to\infty}\left\frac {1}{1^{2}+{\cdots +{m}{{frac1}{\infty}}}=\lim_{m\lim_{m\to\to\frac}{m}{m\to\frac}{m}{m}{m}{m}{m}{m}{m}{frac}{frac}{{{

이것으로 증명은 완료됩니다.

기타 아이덴티티

s $s=2.$ $.\displaystyle$ s $=2.$ 기타 $s=2.$ 주목할 만한 특수 항등식 및 상수의 표현이 아래 단원에 나와 있을 $s=2.$ 리만 제타 함수에 대한 식별의 특수한 경우를 참조하십시오.

시리즈 표현

다음은 ^[11]상수의 열 표현입니다.

{displaystyle}\zeta (2)&=3\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {1}{k^{2}{\binom {2k}}}}\[6pt]&={infty}{\sum {j=1}^{\infty}{\fty}{\frac}{\frc}{{\frc}{{\frc}{\frc}{\frac}{\f}{\f}{\f}}{(i+j)!}}.\end {aligned}

$또,$ 「」(2 $) [11]$ 에는, BBP 타입의 시리즈 확장이 있습니다.

적분 표현

$\zeta (2){\text{:}}$ 은 $\zeta (2){\text{:}}$ ( $\zeta (2){\text{:}}$ ) $\zeta (2){\text{:}}$ : \ $displaystyle$ \ $zeta$ (2) { \ $text {$ }의 필수 표현입니다. $}}}$ ^[12]^[13]^[14]

{displaystyle}\zeta (2)&=-int _{0}^{1-x}{\frac\{0}^{\infty}{\frac {x}{e^{x}-1}{\frac}{\inty}{\frac}{{\frac}{{0}{\frac}{{{{0}}{\frac}{{{\}{\frac}{\fr}{\fr}}{0}{\}}{\frac}{{\}},frac\[6pt]&=2+2\int _{1}^{\infty}{\frac {lfloor x\floor -x}{x},frac\[6pt]&=\left (2\int _{2}{\infty}{\ft}{x}{\flflflflflflfloor -x}{{x}}}{x}{{x}}}{x}{\f}}}}}{\f}{\f}}}}{\f\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {blac,dy}{1-xy}}\[6pt]&=flac {4}{3}\int _{0}{1}\int _{{0}{{1-(xy)^{}\pt}{6}\pt}\frac {\frac {{1}\flac {1-}\frac}\end { aligned}

연속 분수

$반$ 데르 푸르텐의 고전적인 글에서 저자는 $\zeta (2)$ 의 $\zeta (2)$ 불합리성을 입증하는 데 있어서 몇 가지 유사점을 지적하고 있다 $.$ 특히, 그는 상수에 대한 상수 및 연속 분수로 수렴되는 거의 정수 시퀀스에 대한 반복 관계를 기록한다.이 상수에^[16] 대한 다른 연속 분수는 다음과 같다.

({displaystyle {{frac {zeta (2)}{2}=glapac {1}-{\glapac {1^{4}}-{\glapac {2^{2}-{\glapac {3^{4}}}-{v_{4}}}}}-{v_{\glapac {4}}}}}}}}}}}}}}},

그리고^[17]^{[unreliable source?]}

{{frac {zeta (2)}{5}=gladac {1}-{\widetilde {1^{4}}-{\widetilde {2^{2}-{\widetilde {v}-{3}}-{widet}{widet}}}{widet {4}}

$v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}$ 서 $v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}$ $v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}$ $v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}$ - $v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}$ { $v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}$ , $v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}$ , $v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}$ , $v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}$ , $v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}$ 9 $v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}$ } $v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}$ { $displaystyle v_{n$ } = $2n-1\mapsto \{1,$ 3 $,5,7,9,\$ ldots $\}$ ${\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}$ 및 $v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}$ ${\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}$ ~ ${\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}$ ${\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}$ ${\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}$ 2 - ${\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}$ + ${\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}$ { ${\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}$ 3, ${\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}$ ${\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}$ ${\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}$ $}$ { $styledisplay {widet$ } { $n}$

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

를 클릭합니다Weil, André (1983), Number Theory: An Approach Through History, Springer-Verlag, ISBN 0-8176-3141-0.
를 클릭합니다Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-328-0.
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메모들

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^ 선험적으로, 좌변은 (무한도의) 다항식이기 때문에 우리는 그것을 그 근의 곱으로 다음과 같이 쓸 수 있다. ${displaystyle \sin(x)&=x(x^{2}-\pi ^{2})(x^{2}-4\pi ^{2})(x^{2}-9\pi ^{2}\cdots \&=Ax\left(1-{x^2}}{\pi ^{2}})\fright {1$ $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ 다음 기본 미적분을 통해 림 x $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ sin $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ ( $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ x ) $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${x\rightarrow$ 0 $}{\frac {sin(x}}=$ 1 $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ 이라는 $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ 을 알 수 있으므로 선행 상수는 A $A=1$ { $displaystyle$ A $=1$ 을 $A=1$ 해야 한다는 결론을 내릴 수 있습니다.
^ 특히, $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ n $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ ( $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ ) : $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ k $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ n $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ - $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ ( \ $displaystyle H_{$ n}^{n}^{n}k $^{-$ 2}): $[x^{2}]\prod _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)=-{\frac {H_{n}^{(2)}}{\pi ^{2}}}\rightarrow -{\frac {\zeta (2)}{\pi ^{2}}}$ \ $sum$ _ { $k=1}^{n}k^{-2$ }}이 $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ 일반화 2차 고조파수를 $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ [ $[x^{2}]\prod _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)=-{\frac {H_{n}^{(2)}}{\pi ^{2}}}\rightarrow -{\frac {\zeta (2)}{\pi ^{2}}}$ ( $[x^{2}]\prod _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)=-{\frac {H_{n}^{(2)}}{\pi ^{2}}}\rightarrow -{\frac {\zeta (2)}{\pi ^{2}}}$ - $[x^{2}]\prod _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)=-{\frac {H_{n}^{(2)}}{\pi ^{2}}}\rightarrow -{\frac {\zeta (2)}{\pi ^{2}}}$ - $[x^{2}]\prod _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)=-{\frac {H_{n}^{(2)}}{\pi ^{2}}}\rightarrow -{\frac {\zeta (2)}{\pi ^{2}}}$ 을 $[x^{2}]\prod _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)=-{\frac {H_{n}^{(2)}}{\pi ^{2}}}\rightarrow -{\frac {\zeta (2)}{\pi ^{2}}}$ 쉽게 증명할 수 있다. $tyle [x^{2}\pi$ _ ${k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi$ ^{ $2}\right$ )=-{\ $frac$ { $H_{n}^{2}}{\$ pi }}{\ $rightarrow -$ {\frac { $z (2$ 2}}\ $pi$ →{{} } } } } } $^{$ $n\rightarrow \infty$ } } } ^2} ^2} ^2} ^} $n\rightarrow \infty$ ^2} ^2} ^} ^} →
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외부 링크

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[1] Ayoub, Raymond (1974). "Euler and the zeta function". Amer. Math. Monthly. 81 (10): 1067–86. doi:10.2307/2319041. JSTOR 2319041.

[2] E41 – De summis serierum 상호 카룸

[3] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A013661". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[4] Vandervelde, Sam (2009). "Chapter 9: Sneaky segments". Circle in a Box. MSRI Mathematical Circles Library. Mathematical Sciences Research Institute and American Mathematical Society. pp. 101–106.

[5] 선험적으로, 좌변은 (무한도의) 다항식이기 때문에 우리는 그것을 그 근의 곱으로 다음과 같이 쓸 수 있다. ${displaystyle \sin(x)&=x(x^{2}-\pi ^{2})(x^{2}-4\pi ^{2})(x^{2}-9\pi ^{2}\cdots \&=Ax\left(1-{x^2}}{\pi ^{2}})\fright {1$ $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ 다음 기본 미적분을 통해 림 x $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ sin $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ ( $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ x ) $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${x\rightarrow$ 0 $}{\frac {sin(x}}=$ 1 $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ 이라는 $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$ 을 알 수 있으므로 선행 상수는 A $A=1$ { $displaystyle$ A $=1$ 을 $A=1$ 해야 한다는 결론을 내릴 수 있습니다.

[6] 특히, $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ n $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ ( $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ ) : $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ k $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ n $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ - $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ ( \ $displaystyle H_{$ n}^{n}^{n}k $^{-$ 2}): $[x^{2}]\prod _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)=-{\frac {H_{n}^{(2)}}{\pi ^{2}}}\rightarrow -{\frac {\zeta (2)}{\pi ^{2}}}$ \ $sum$ _ { $k=1}^{n}k^{-2$ }}이 $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ 일반화 2차 고조파수를 $H_{n}^{(2)}:=\sum _{k=1}^{n}k^{-2}$ [ $[x^{2}]\prod _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)=-{\frac {H_{n}^{(2)}}{\pi ^{2}}}\rightarrow -{\frac {\zeta (2)}{\pi ^{2}}}$ ( $[x^{2}]\prod _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)=-{\frac {H_{n}^{(2)}}{\pi ^{2}}}\rightarrow -{\frac {\zeta (2)}{\pi ^{2}}}$ - $[x^{2}]\prod _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)=-{\frac {H_{n}^{(2)}}{\pi ^{2}}}\rightarrow -{\frac {\zeta (2)}{\pi ^{2}}}$ - $[x^{2}]\prod _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)=-{\frac {H_{n}^{(2)}}{\pi ^{2}}}\rightarrow -{\frac {\zeta (2)}{\pi ^{2}}}$ 을 $[x^{2}]\prod _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)=-{\frac {H_{n}^{(2)}}{\pi ^{2}}}\rightarrow -{\frac {\zeta (2)}{\pi ^{2}}}$ 쉽게 증명할 수 있다. $tyle [x^{2}\pi$ _ ${k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi$ ^{ $2}\right$ )=-{\ $frac$ { $H_{n}^{2}}{\$ pi }}{\ $rightarrow -$ {\frac { $z (2$ 2}}\ $pi$ →{{} } } } } } $^{$ $n\rightarrow \infty$ } } } ^2} ^2} ^2} ^} $n\rightarrow \infty$ ^2} ^2} ^} ^} →

[HAVIL-GAMMA-7] Havil, J. (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. pp. 37–42 (Chapter 4). ISBN 0-691-09983-9.

[8] Cf. 일반화된 스털링 숫자의 공식은 다음과 같이 증명되었다.

[9] Arakawa, Tsuneo; Ibukiyama, Tomoyoshi; Kaneko, Masanobu (2014). Bernoulli Numbers and Zeta Functions. Springer. p. 61. ISBN 978-4-431-54919-2.

[10] Ransford, T J (Summer 1982). "An Elementary Proof of $\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ " (PDF). Eureka. 42 (1): 3–4.

[MWZETA2-11] Weisstein, Eric W. "Riemann Zeta Function \zeta(2)". MathWorld. Retrieved 29 April 2018.

[12] Connon, D. F. (2007). "Some series and integrals involving the Riemann zeta function, binomial coefficients and the harmonic numbers (Volume I)". arXiv:0710.4022 [math.HO].

[13] Weisstein, Eric W. "Double Integral". MathWorld. Retrieved 29 April 2018.

[14] Weisstein, Eric W. "Hadjicostas's Formula". MathWorld. Retrieved 29 April 2018.

[15] van der Poorten, Alfred (1979), "A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of $ζ (3)$ " (PDF), The Mathematical Intelligencer, 1 (4): 195–203, doi:10.1007/BF03028234, S2CID 121589323, archived from the original (PDF) on 2011-07-06

[Berndt-16] Berndt, Bruce C. (1989). Ramanujan's Notebooks: Part II. Springer-Verlag. p. 150. ISBN 978-0-387-96794-3.

[17] "Continued fractions for Zeta(2) and Zeta(3)". tpiezas: A COLLECTION OF ALGEBRAIC IDENTITIES. 4 May 2012. Retrieved 29 April 2018.

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목차

오일러의 접근법

기본 대칭 다항식을 이용한 오일러 방법의 일반화

오일러의 증명 결과

리만 제타 함수

오일러의 공식과 로피탈의 법칙을 이용한 증명

푸리에 급수를 이용한 증명

Parseval의 신원을 사용한 또 다른 증거

일반화 및 반복 관계

코시의 증거

이 증명의 이력

증명

기타 아이덴티티

시리즈 표현

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