중국의 나머지 정리

수학에서, 중국의 나머지 정리는 만약 한 사람이 정수 n의 유클리드 분할의 잔존자를 몇 개의 정수로 알고 있다면, 이 정수의 산물에 의한 n 분할의 나머지의 나머지를 특이하게 결정할 수 있다고 기술하고 있다.

가장 먼저 알려진 정리 진술은 CE 3세기 순쯔 수안칭의 중국 수학자 순쯔에 의한 것이다.

중국의 나머지 정리는 작은 정수에 대한 몇 개의 유사한 계산에 의해 결과의 크기에 대한 한계를 아는 계산을 대체할 수 있기 때문에 큰 정수를 가진 계산에 널리 사용된다.

중국의 나머지 정리(결론적 관점에서 표현)는 모든 주요 이상영역에 걸쳐 사실이다. 그것은 양면적인 이상을 포함하는 제형으로 어떤 고리에도 일반화되었다.

역사

구체적인 숫자의 문제로서 가장 일찍 알려진 정리의 진술은 중국 수학자 순쯔의 3세기 책 순쯔 수안칭에 나온다.^[1]

숫자를 알 수 없는 것들이 있다. 셋으로 세면, 우리는 두 개가 남고, 다섯 개로 세 개가 남고, 일곱 개로 두 개가 남는다. 얼마나 많은 것들이 있는가?^[2]

순쯔의 작품에는 증거도, 완전한 알고리즘도 들어 있지 않다.^[3] 이 문제를 해결하기 위한 알고리즘에 해당하는 것은 아리야바타(6세기)에 의해 기술되었다.^[4] 중국 나머지 정리의 특수한 사례는 브라흐마굽타(7세기)에도 알려졌으며, 피보나찌의 리베르 아바시(1202년)에도 등장한다.^[5] 그 결과는 이후 영국 선교사 알렉산더 윌리에가 19세기 초 영어로 번역한 '친 치우샤오 1247수학논문( (書九, 슈슈 치우창)'^[6]에서 다얀슈(大大術)라는 완전한 해법으로 일반화되었다.^[7]

합성의 개념은 칼 프리드리히 가우스가 1801년 그의 디스퀴지스 산수화에서 처음 도입하여 사용하였다.^[9] 가우스는 달력과 관련된 문제, 즉 "태양과 달의 주기와 로마자 표기법에 관해 일정한 기간 숫자를 가진 연도를 찾기 위한"^[10] 문제에 대한 중국의 나머지 정리를 설명한다. 가우스는 이미 레온하르트 오일러가 사용했던 문제 해결 절차를 소개하지만, 사실 여러 차례 등장했던 고대의 방법이었다.^[11]

성명서

n₁, ...n을_k moduli 또는 divisor라고 하는 1보다 큰 정수로 한다. N으로 N의_i 제품을 표시하자.

중국의 나머지 정리는 n이_i 쌍으로 이루어진 복사임이고, a₁, ...가_k 모든 i에 대해 0 ≤ a_i < n을_i 나타내는 정수라면, 0 ≤ x < N을 나타내는 정수 x가 하나 있고, 나머지 x by n은_i 모든 i에 대한 정수_i x가 하나뿐이라고 주장한다.

이러한 사항은 다음과 같이 재구성할 수 있다. n이_i 쌍으로 이루어진 복사물이고, a₁, ...가_k 정수라면, 시스템이다.

${\displaystyle {\pmod{n_{1}x&\equiv a_{1}{1}{n_{1}\\\\\\\\\\\vdots \\\x&\equiv a_{k}{pmod{n_}},\end{aged}}}}}}}}}}$

솔루션이 있으며, x와₁ x와₂ 같은 두 가지 솔루션은 합치된 모듈로 N, 즉₁ x ≡ x (mod N)이다₂.^[12]

추상대수학에서 정리는 종종 다음과 같이 재작성된다:n이_i 쌍방향 복사임인 경우, 지도.

${\displaystyle x{\bmod{{N}\;\mapsto \(x{\bmod {n}_{1},\dots ,\,x{\bmod {n}_{k})}$

고리 이형성을^[13] 규정하다.

${\displaystyle \mathb {Z} /N\mathb {Z} \cong \mathb {Z} /n_{1}\mathb {Z} \times \cdots \times \mathb {Z} /n_{k}\mathb {Z}}}}}}}}}}}}}}}}}$

정수 모듈로 N의 링과 정수_i 모듈로 N의 링의 직접 생산물 사이. This means that for doing a sequence of arithmetic operations in ${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ,}$ one may do the same computation independently in each ${\displaystyle \mathbb {Z} /n_{i}\mathbb {Z} }$ and then get the result by applying the isomorphism (from the right to the left). 이는 N과 연산 수가 클 경우 직접 연산보다 훨씬 빠를 수 있다. 이것은 복수모형 연산이라는 이름으로 정수나 합리적인 숫자에 대한 선형대수에 널리 사용된다.

정리는 또한 정수의 무한 산술적 진보가 헬리 가문을 형성한다는 사실로서 콤비네이터 언어에서도 재작성될 수 있다.^[14]

증명

해결책의 존재와 고유성은 독립적으로 증명될 수 있다. 그러나 아래에 제시된 최초의 존재 증명은 이러한 고유성을 이용한다.

유니크함

x와 y가 모든 합치에 대한 해결책이라고 가정하자. x와 y가 같은 나머지를 주듯이, n으로_i 나눌 때, 그들의 차이 x - y는 각 n의_i 배수가 된다. n은_i 쌍방향 복사임으로서, 그들의 제품 N은 x - y도 나누며, 따라서 x와 y는 합치되는 모듈로 N이다. 만약 x와 y가 non-ne이고 N보다 작아야 한다면, 그들의 차이는 x = y의 배수가 될 수 있다.

존재(첫 번째 증거)

지도

${\displaystyle x{\bmod {N}\mapsto(x{\bmod {n}_{1},\ldots,x{\bmod {n}_{k})}$

maps concluence class modulo N을 concluence class modulo n의_i 시퀀스에 매핑한다. 고유성의 증거는 이 지도가 주입식이라는 것을 보여준다. 이 지도의 도메인과 코도메인은 같은 수의 원소를 가지고 있기 때문에 지도도 역시 허탈하기 때문에 해결책의 존재를 증명한다.

이 증거는 매우 간단하지만 해결책을 계산하는 어떤 직접적인 방법도 제공하지 않는다. 더욱이 다음과 같은 증거가 있을 수 있는 다른 상황으로는 일반화할 수 없다.

존재(시공 증명)

존재는 x의 명시적 구성에 의해 성립될 수 있다.^[15] 이 공사는 두 가지 단계로 나눌 수 있는데, 첫째는 두 가지 모듈리의 경우 문제를 해결하고, 둘째는 모듈리의 수에 따라 유도하여 일반 사례로 이 해결책을 확장하는 것이다.

2모듈리의 경우

우리는 이 시스템을 해결하기를 원한다.

${\displaystyle {\pmod}x&\equiv a_{1}{\pmod {n_{1}}\x&\equiv a_{2}{\pmod{n_}},\end{igned}}}}}}$

$여기$서 n ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은$$ 동일하다.

베주트의 정체성은 다음과$$ 같이 두 정수 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}과$$ m ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}의 $존재$를 주장한다.

${\displaystyle m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2}=1.}$

정수 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\$및$$ $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은 확장 유클리드 알고리즘으로 계산할 수 있다$$.

해결책은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle x=a_{1}m_{2}n_{2}n_{2}+a_{2}m_{1}n_{1}.}$

정말,

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a_{1}m_{2}n_{2}+a_{2}m_{1}n_{1}\\&=a_{1}(1-m_{1}n_{1})+a_{2}m_{1}n_{1}\\&=a_{1}+(a_{2}-a_{1})m_{1}n_{1},\end{aligned}}}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$ a ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$( ${\displaystyle \mathrm{mod}}$ ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1{}_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ x$\equiv a_{1}{\pmod{n_{1}}.$$}$ 첨자 1과 2를 교환하여 두 번째$$ 합치를 비슷하게 증명한다.

일반사례

다음과 같은 조합 방정식의 순서를 고려하십시오.

${\displaystyle {\pmod}x&\equiv a_{1}{\pmod {n_{1}}\\\vdots \\x&\equiv a_{k}{pmod{n_}},\end{aigned}}}}}$

$여기$서 n ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 쌍방향 복사임입니다$$. 두 개의 첫 번째 방정식은 이전 절의 방법에 의해 ${\displaystyle {제공}_{}}$된 $1{\displaystyle {}_{}}$, 2${\$2}}개의 $용액$을 가지고 있다. 이 두 첫 번째 방정식의 해법 집합은 방정식의 모든 해법 집합이다.

${\displaystyle x\equiv a_{1,2}{\pmod {n_{1}n_{2}}.}$

다른 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1n\mathrm{}}_{}}$2,$${\$displaystyle n_{$1}$n_{2$}과$($와) 동시 실행이므로$$ $k{\displaystyle }$방정식의 초기$$를 k - 1 {\$displaystyle k-1}$ 방정식과$$ 유사한 문제로 해결할 수 있다. 그 과정을 반복하면 결국 초기 문제의 해결책을 얻게 된다.

존재(직접 시공)

솔루션을 구축하기 위해서는 moduli의 개수를 유도할 필요가 없다. 그러나 그러한 직접구축은 많은 숫자의 연산을 더 많이 수반하므로 효율성이 떨어지고 사용도 덜하게 된다. 그럼에도 불구하고 라그랑주 보간술은 정수 대신 다항식술에 적용되는 특수한 경우다.

Let ${\displaystyle N_{}i}$= ${\displaystyle N_{}}$ / n i ${\$n_${i$}}를 제외한$$ 모든 모듈리의 제품이다. $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 쌍방향 복사임이므로$$, ${\displaystyle N_{}}$ i$${\$displaystyle N_{i}$과(는) ${\$은 복사임이다$$. 따라서 Bézout의 정체성이 적용되며, 정수 M ${\displaystyle i_{}}$ ${\$와 $m{\displaystyle {}_{}}$ i ${\$이 ${\displaystyle {있다}_{}}$.

${\displaystyle M_{i}N_{i}+m_{i}n_{i}=1.}$

응결체계의 해결책은

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{k}a_{i}M_{i}N_{i}.}$

실제로 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은${\displaystyle (}$는)${\displaystyle i}$ ${\$의 배수인 만큼$$, ${\displaystyle i\neq j}$은(는) 다음과 같다$$.

${\displaystyle x\equiv a_{i}M_{i}N_{i}\equiv a_{i}(1-m_{i}n_{i})\equiv a_{{i}{\pmod{n_{i}}}}},},}$

모든 $i{\displaystyle .}$ ${\displaystyle i$에 대해$.$$}$

연산

다음과 같은 조합 체계를 고려하십시오.

${\displaystyle {\pmod}x&\equiv a_{1}{\pmod {n_{1}}\\\vdots \\x&\equiv a_{k}{pmod{n_}}\end{aged}}}}}}$

여기서 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle n_{i}$은(는) 쌍으로 구성된 coprime이며, $N{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle k_{}}$. ${\displaystyle N=n_{1}n_{2}\cdots n_{k}.$$}}$ 이 섹션에서는$$ < N, ${\displaystyle 0\leq$ x$<N}$과 같은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$에 대한 고유한 솔루션을 계산하기 위한 몇 가지 방법이 설명되며, 이러한 방법은 예에 적용된다.

${\displaystyle {\pmod}x&\equiv 0{\pmod{3}\\x&\equiv 3{\pmod{4}\x&\equiv 4{\pmod {5}}.\end{정렬}}}$

체계적 검색

x의 값이 해결책인지 쉽게 확인할 수 있다. x의 유클리드 분할의 나머지를 n마다_i 계산하면 충분하다. 따라서 해결책을 찾기 위해서는 해결책을 찾을 때까지 0부터 N까지의 정수를 연속적으로 확인하는 것으로 충분하다.

비록 매우 간단하지만, 이 방법은 매우 비효율적이다. 여기서 고려한 간단한 예제의 경우 40개의 정수(0을 포함)를 확인하여 용액을 찾아야 하는데, 이는 39이다. 이것은 입력의 크기가 상수인자까지 N의 자릿수가 되고, 평균 연산수가 N의 순서가 되기 때문에 지수 시간 알고리즘이다.

따라서 이 방법은 손으로 쓴 계산이나 컴퓨터에서도 거의 사용되지 않는다.

체로 검색

체에 거름으로써 해결책의 검색이 극적으로 더 빨리 이루어질 수 있다. 이 방법의 경우, 일반성을 상실하지 않고 a< n > n i${\$이 경우가 아니라면 ${\displaystyle {각}_{}}$ i${\$를 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\${i$}$만큼 분할의 나머지로$$ 교체하는 것으로 충분하다고 가정한다.$$ 이는 해법이 산술적 수열에 속함을 의미한다.

${\displaystyle a_{1},a_{1}+n_{1},a_{1}+2n_{1},\ldots }$

이러한 숫자의 값을 modulo ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ 2 ,${\displaystyle n_{2}}$ 시험함으로써 두 개의$$ 첫 번째 조합 중 하나의$$ 솔루션 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개를 결국 찾는다. 그렇다면 해법은 산술적 수열에 속한다.

${\displaystyle x_{2},x_{2}+n_{1}n_{2},x_{2}+2n_{1}n_{1}n_{2},\ldots }}$

이러한 숫자의 값을 $모듈$로 n ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle$ n_${3$ 그리고 모든 계수가 테스트될 때까지 계속하면 결국 해결책이 나온다.

이 방법은 moduli가 값을 감소시켜 순서가 된 경우, 즉 > 2> > n ${\displaystyle n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}}}.$ 예를 들면 다음과 같은 연산을 제공한다. 먼저 4 modulo 5 (가장 큰 계량)에 해당하는 숫자로, 4, 9 = 4 + 5, 14 = 9 + 5, ...을 고려한다. 각 모듈럼에 대해 3모듈로 4에 해당하는 숫자를 얻을 때까지 나머지 값을 4(두 번째로 큰 계량)로 계산한다. 그 다음 각 단계에서 20 = 5×4를 더하고 남은 것만 3까지 계산하면 진행할 수 있다. 이것으로 알 수 있다.

4 mod 4 → 0. 계속

4 + 5 = 9 mod 4 →1 계속

9 + 5 = 14 mod 4 → 2. 계속

14 + 5 = 19 mod 4 → 3. OK, remainder modulo 3을 고려하고 매번 5×4 = 20을 추가하는 것으로 계속한다.

19모드 3 → 1.계속

19 + 20 = 39 mod 3 → 0. OK, 결과 입니다.

이 방법은 너무 크지 않은 모듈리 제품을 사용한 수기 연산에도 잘 통한다. 그러나, 모듈리의 매우 큰 제품의 경우, 다른 방법보다 훨씬 느리다. 비록 체계적 검색보다 엄청나게 빠르지만, 이 방법은 또한 기하급수적인 시간 복잡성을 가지고 있기 때문에 컴퓨터에서는 사용되지 않는다.

존재 구조 사용

건설적 존재 증거는 2 moduli의 경우, moduli의 Bézout 계수의 계산에 의해 용액을 얻을 수 있으며, 이어서 modulo n $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$(간격으로 결과를 얻기 위해${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1n\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle(0,n_{$1}$n_{2$}-$1)}.$ As the Bézout's coefficients may be computed with the extended Euclidean algorithm, the whole computation, at most, has a quadratic time complexity of ${\displaystyle O((s_{1}+s_{2})^{2}),}$ where ${\displaystyle s_{i}}$ denotes the number of digits of ${\displaystyle n_{i}.$$}$

두 모듈리 이상의 경우, 두 모듈리 방법은 한 모듈리 제품에서 두 개의 결합물을 대체할 수 있다. 이 과정을 반복하면 결국 모든 모듈리 제품의 숫자에서 2차적인 복잡성이 해결된다. 이러한 이차적 시간 복잡성은 모듈리가 다시 편성되는 순서에 따라 달라지지 않는다. 하나는 첫 번째 모듈리 두 개를 다시 묶고, 그 결과로 생긴 모듈리를 다음 모듈리와 다시 묶는 등의 작업을 할 수 있다. 이 전략은 실행하기 가장 쉽지만, 또한 많은 숫자와 관련된 더 많은 계산이 필요하다.

또 다른 전략은 유사한 크기의 제품을 가진 쌍으로 모듈리를 분할하고(가능한 한 많이), 각 쌍에 두 모듈리의 방법을 병렬로 적용하며, 여러 모듈리를 근사하게 두 개로 나눈 반복으로 구성된다. 이 방법은 알고리즘을 쉽게 병렬화할 수 있다. 또한, 기본 연산에 빠른 알고리즘(Quasilinar time에서 작동하는 알고리즘)을 사용하는 경우, 이 방법은 Quasilinar time에서 작동하는 전체 연산에 대한 알고리즘을 제공한다.

현재의 예(모듈리가 3개밖에 없는)에서는 두 가지 전략이 동일하며 다음과 같이 작용한다.

3번과 4번 베주트의 정체는

$1\displaystyle 1\displaystyle 4+(-1)\display 3=1.}$

이것을 존재를 증명하기 위해 주어진 공식에 넣는 것은

$0\displaystyle 0\buffer 1\buffer 4+3\buffer(-1)\buffer 3=-9}$

두 개의 첫 번째 합치의 용액에 대해, 다른 용액은 3×4 = 12의 배수를 -9에 추가하여 얻는다. 이러한 솔루션 중 하나를 사용하여 계속 진행할 수 있지만, 솔루션 3 = -9 +12는 (절대값으로) 더 작기 때문에 계산이 더 쉬워질 수 있다.

5와 3×4 = 12의 베즈아웃 아이덴티티는

$5+(-2)\12=1}$

동일한 공식을 다시 적용하면 다음과 같은 문제를 해결할 수 있다.

$4=-21.displaystyle 25\cHB 3-24\cHB 4=-21.}$

다른 용액은 3×4×5 = 60의 배수를 더하면 얻을 수 있으며, 가장 작은 양의 용액은 -21 + 60 = 39이다.

선형 디오판틴 시스템으로서

중국의 나머지 정리에 의해 해결된 합문체계는 동시 선형 디오판틴 방정식의 체계로서 다시 쓰일 수 있다.

${\displaystyle {\regated}x&=a_{1}+x_{1}n_{1}\\\\\vdots \\\x&=a_{k}+x_{k}n_{k}},\end{aged}}}}}}}}$

여기서 알 수 없는 정수는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및$$ ${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle x_{i}$이다.$}$ 따라서$$ 이러한 시스템을 해결하기 위한 모든 일반적인 방법을 사용하여 시스템의 행렬을 스미스 정상형이나 헤르미테 정상형식으로 축소하는 등 중국 나머지 정리의 해결책을 찾을 수 있다. 그러나, 보다 구체적인 문제에 대해 일반 알고리즘을 사용할 때는 평소와 같이, 이 접근방식은 베주트의 정체성을 직접 이용하는 것에 근거해, 앞의 절의 방법보다 효율성이 떨어진다.

기본 이상 도메인 이상

§ Statement에서, 중국의 나머지 정리는 3가지 다른 방법으로 명시되었다: 잔존자, 결합자, 고리 이형성. 잔여물 용어의 문구는 일반적으로 그러한 링에서 잔여물이 정의되지 않기 때문에 주요 이상적인 영역에는 적용되지 않는다. 그러나 다른 두 버전은 주요 이상적인 도메인 R에 대해 타당하다. 즉, "integer"를 "도메인 요소"로, Z ${\$를) R로$$ 대체하는 것으로 충분하다. 이 두 가지 버전의 정리는 이 맥락에서 사실인데, 그 증명(첫 번째 존재 증명 제외)은 유클리드(Euclid)의 보조기(lema)와 베주트의 정체성에 기초하고 있기 때문이며, 이는 모든 주요 영역에 걸쳐 사실이기 때문이다.

그러나, 일반적으로 정리란 존재의 정리일 뿐, 베주트의 정체성의 계수를 계산하는 알고리즘을 가지고 있지 않는 한, 해결책을 계산하는 어떠한 방법도 제공하지 않는다.

일변량 다항식 링 및 유클리드 도메인 이상

§ Organization 성명에 제시된 잔여물 측면에서의 진술은 어떠한 주요 이상 영역에도 일반화될 수 없지만, 유클리드 영역에 대한 일반화는 간단하다. 한 필드의 단변 다항식은 정수가 아닌 유클리드 영역의 전형적인 예다. 따라서 우리는 $필드{\displaystyle }$ K${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ K$.}$에 걸쳐 일변수 $영역{\displaystyle }$ R${\displaystyle }$= ${\displaystyle K}$[ X ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle R=K[X]}$의 링의 경우에 대한 정리를 기술한다. 일반$$ 유클리드 영역에 대한 정리를 얻으려면 유클리드 영역의 유클리드 함수로 학위를 대체하는 것으로 충분하다.

The Chinese remainder theorem for polynomials is thus: Let ${\displaystyle P_{i}(X)}$ (the moduli) be, for i=1, ..., k, pairwise coprime polynomials in ${\displaystyle R=K[X]}$. Let ${\displaystyle d_{i}=\deg P_{i}}$ be the degree of ${\displaystyle P_{i}(X)}$, 및 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은(는) $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$. ${\displaystyle d_{i}$의 합이다.} 같다면 A나는(X), …, Ak(X){\displaystyle A_{나는}(X),\ldots ,A_ᆱ(X)}은 다항식과 같은 A나는(X)=0{\displaystyle A_{나는}(X)=0}또는 deg ⁡ 나는 <, 지금 나는{\displaystyle\deg A_{나는}<, d_{나는}}를 위해 명확히 설명, 그 때는 하나 다항식 P(X){P(X)\displaystyle}, 그런. 도 < ${\displaystyle \$$deg$$P<D}$과(와) ${\displaystyle P_{}}$ (${\displaystyle X}$) ${\$$displaystyle$ $P(X$$)}$에$$$의한$$$유클리드 분할의 나머지 부분은 매 I (${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle X}$$)$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ A $($ X)이다.

해결책의 구성은 § 존재(건설적 증명) 또는 § 존재(직접적 증명)에서와 같이 수행될 수 있다. 그러나 후자의 구성은 확장된 유클리드 알고리즘 대신 다음과 같이 부분분수분해법을 사용하여 단순화할 수 있다.

따라서, 우리는 합치를 만족시키는 $다항식{\displaystyle }$ P${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$ ) ${\displaystyle P(X$을(를) 찾고자 한다.

${\displaystyle P(X)\equiv A_{i}(X){\pmod {P_{i}}}},}$

$i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle k}$. ${\displaystyle i=1,\ldots,k.}$에 대해

다항식 고려

${\displaystyle {\begin}Q(X)&=\prod _{i=1}^{k_{i}(X)\\Q_{i}(X)&={\frac {Q(X)}{P_{i}(X)}}}.\end{정렬}}}$

$1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle Q}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ 1/$Q($${\displaystyle X}$$)}$의 부분 분율 분해는 K 다항식 ${\displaystyle S_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle S_{i}(X)}$을(를) 제공하며$$$$, 그러한 경우 D (), ${\displaystyle \deg S_{i}d_{i}}}}}}}}}}.$

${\displaystyle {\frac {1}{Q(X)}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {S_{i}(X)}{P_{i}(X)}}},}$

따라서

${\displaystyle 1=\sum _{i=1}^{k}S_{i}(X)Q_{i}(X).}$

그 후 다항식(다항식)에 의해 동시합성계통의 해법이 주어진다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}}A_{i}(X)S_{i}(X)Q_{i}(X).}$

사실, 우리는

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}}A_{i}(X)S_{i}(X)Q_{i}(X)=A_{i}(X)+\sum _{j=1}^{k}(A_{j}(X)-A_{i}(X))S_{j}(X)Q_{j}(X)\equiv A_{i}(X){\pmod {P_{i}(X)}},}$

$1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle 1\leq$ i$\leq k.}$에 대해

이 솔루션은 $D{\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{1k}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle$ D$=\sum _{i=1}^{k}d_{i}$보다 더 클 수 있다.$}$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$보다 낮은 수준의 고유한$$ 솔루션은 ${\displaystyle A_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$($)$의 유클리드 분할의$$ 나머지 ${\displaystyle B_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$ )${\displaystyle }$${\displaystyle B_{i}(X$$)$를 고려하여 추론할 수 있다$$.${\displaystyle {S\_}_{}}$${i}(X)$ by$$ P i${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle P_{i}(X).$${}$ 이 솔루션은$$

${\displaystyle P(X)=\sum _{i=1}^{k_{k}B_{i}(X)Q_{i}(X).}$

라그랑주 보간법

다항식(多항식)에 대한 중국 나머지 정리의 특별한 사례는 라그랑주 보간이다. 이를 위해 k 단항 다항식 1을 고려하십시오.

${\displaystyle P_{i}(X)=X-x_{i}.}$

$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$이(가$$) 모두 다르면 쌍방향 복사 시간이다. ${\displaystyle {다항식}_{}}$ $P{\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle P(X)}$의 $P{\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}X)}$ ${\displaystyle P_{i}(X)}$에 의한 나머지 분할은 $P{\displaystyle (}$ x ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle P(x_{i})$이다.$}$

Now, let ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ be constants (polynomials of degree 0) in ${\displaystyle K.}$ Both Lagrange interpolation and Chinese remainder theorem assert the existence of a unique polynomial ${\displaystyle P(X),}$ of degree less than ${\displaystyle k}$ such that

${\displaystyle P(x_{i})=A_{i}}$

모든 $i{\displaystyle .}$ ${\displaystyle i$에 대해$.$$}$

라그랑주 보간식은 위의 용액 구성의 결과로서 이 경우 정확하게 나타난다. 더 정확히 말하자면, 그렇게 합시다.

${\displaystyle {\begin}Q(X)&=\prod _{i=1}^{k}(X-x_{i})\\[6pt]Q_{i}(X)&={\frac {Q(X)}{X-x_{i}}.\end{정렬}}}$

${\displaystyle \frac{1Q(X}{}}$) ${\$ {$1}{Q(X)}}$의 부분분수 분해는$$

${\displaystyle {\frac {1}{Q(X)}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{Q_{i}(X_{i})}}.}$

사실 오른쪽을 공통분모로 축소하는 것.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{Q_{i}(x_{i})(X-X_{i})}}={\frac{1}{Q(X)}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {Q_{i}(X)}{Q_{i}}}},},}$

분자는 $1$과 같으며, $이$는 $X$의 다른$$ 값인 k ${\displaystyle k}$에 대한 값인 k${\displaystyle ,}$ ${\$$displaystyle k$$}$보다 작은 수준의 다항식이다$.$

위의 일반 공식을 사용하여 다음과 같은 Lagrange 보간 공식을 얻는다.

${\displaystyle P(X)=\sum _{i=1}^{k}}A_{i}{\frac {Q_{i}(X)}{Q_{i}(x_{i}}}}}}.}$

헤르미트 보간법

헤르미트 보간술은 일변량 다항식들에 대해 중국 나머지 정리를 적용한 것으로, 임의의 수준의 모듈리를 포함할 수 있다(Lagrange 보간술은 1도의 모듈리만 포함한다).

문제는 다항식 및 그 첫 번째 파생상품이 일부 고정점에서 주어진 값을 취하도록 가능한 최소 수준의 다항식을 찾는 것으로 구성된다.

More precisely, let ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$ be ${\displaystyle k}$ elements of the ground field ${\displaystyle K,}$ and, for ${\displaystyle i=1,\ldots ,k,}$ let ${\displaystyle a_{i,0},a_{i,1},\ldots ,a_{i,r$$_{i}-1}$은(는) x i ${\$다항식 자체의 값인 0번째 파생상품 포함)에서 추구하는 다항식의 첫 $번째{\displaystyle {}_{}}$ r ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 파생상품의$$ 값이다$$. The problem is to find a polynomial ${\displaystyle P(X)}$ such that its jth derivative takes the value ${\displaystyle a_{i,j}}$ at ${\displaystyle x_{i},}$ for ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$ and ${\displaystyle j=0,\ldots ,r_{j}.$$}$

다항식 고려

${\displaystyle P_{i}(X)=\sum _{j=0}^{r_{i}-1}{\frac {a_{i,}}{j!}}}}}{j}}}}}$

이것은 알 수 없는 $다항식{\displaystyle }$ P${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$ )의$$x $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ x_${$$i$$\}\}$에 있는 $순서{\displaystyle {}_{}}$ r${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ - ${\displaystyle 1}$ ${\$$displaystyle$ $r_{i}-1$의 Taylor $다항식이다.$$}$ 그러므로$$ 우리는 반드시

${\displaystyle P(X)\equiv P_{i}(X){\pmod {(X-x_{i})^{r_{i}}}}.}$

반대로, 이러한 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 합치를$$ 만족하는$$ 모든 다항식 $P{\displaystyle (X)}$ ${\displaystyle P(X)}$은 특히 $i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$,${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$에 대해 검증한다.

${\displaystyle P(X)=P_{i}(X)+o(X-x_{i})^{r_{i}-1}$

따라서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$( $){\displaystyle P_$${\displaystyle {}_{}}$$i}(X)}$는 $taylor{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {다항식}_{}}$순서 r i - 1 {\$displaystyle$ $r_{$$i}-$$1},$$$$즉{\displaystyle }$ P${\displaystyle }$($){\displaystystyle$ P$($$X)$가 초기 Hermite 보간 문제를 해결한다$$. 중국의 나머지 정리는 이러한 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$합의를$$ 만족하는$$ ${\displaystyle r_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{i}$의 합보다 정확히 한 개의 정도의 다항식이 존재한다고 주장한다.

솔루션 $P{\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle P(X$)를 계산하는 몇 가지 방법이 있다$.}$ § Over Univariate 다항식 링과 유클리드 도메인의 시작 부분에서 설명한 방법을 사용할$$ 수 있다. 또한 § 존재(건설적 증명) 또는 § 존재(직접적 증명)에 제시된 구조물을 사용할 수 있다.

비복사모듈리에 대한 일반화

중국의 나머지 정리는 비복사모듈리로 일반화할 수 있다. $m{\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle b}$ , b ${\displaystyle m,n,a,b}$을(를) 모든 정수로 하고$$${\displaystyle }g{\displaystyle }$ = ${\displaystyle gcd(m}$,${\displaystyle n}$) ${\displaystyle$g=\$gcd(m$,n$)}$을(를)$$정수로 하고 다음과 같은 합치 체계를 고려한다.

${\displaystyle {\pmod}x&\equiv a{\pmod{m}\x&\equiv b{pmod{n},\end{aigned}}}}}$

${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle b}$(${\displaystyle mod}$ g${\displaystyle }$) ${\$ b${\pmod{g$ 이 방정식 시스템에는 고유한 솔루션 modulo ${\displaystyle \mathrm{lcm}m}$(${\displaystyle m,n}$ $)$=$$ / g ${\displaystyle \{\backslash }$displaysty $\backslash$$operatorname {lcm}(m,n)=mn/g}.$ 그렇지 않으면 해결책이 없다.

Bézout의 ID를 사용하여 $g{\displaystyle }$ =${\displaystyle u}$ m${\displaystyle }$+ ${\displaystyle v}$ n ${\displaystyle g=um+vn}$을$($를) 작성하면 해결책은

${\displaystyle x={\frac {avn+bum}{g}}.}$

이것은 g가 m과 n을 모두 나누기 때문에 정수를 정의한다. 그렇지 않으면, 그 증거는 coprime moduli의 그것과 매우 유사하다.

임의 링에 대한 일반화

중국의 나머지 정리는 복음화 이상(일명 콤막시멀 이상이라고도 함)을 사용함으로써 어떤 고리에도 일반화할 수 있다. $i{\displaystyle +j}$=${\displaystyle 1}$. ${\displaystyle i$$\in I}$ 및 $j$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle j$$\in$ $J$$}$이(가$)$ 있는 경우 두 개의 이상 I와 J는 동일하다.$}}$ 이러한$$ 관계는 이 일반화와 관련된 증명에서 베주트의 정체성의 역할을 하는데, 그렇지 않으면 매우 유사하다. 일반화는 다음과 같이 명시할 수 있다.^{[16] [17]}

내가₁, ... 나는_k $[\displaystyle R]$의 양면 이상이 되어$$ 그들의 교차점이 되게 하라. 만약 이상이 쌍방향의 복사라면, 우리는 다음과 같은 이형성을 가진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}R/I&\to (R/I_{1})\times \cdots \times (R/I_{k})\\x{\bmod {I}}&\mapsto (x{\bmod {I}}_{1},\,\ldots ,\,x{\bmod {I}}_{k}),\end{aligned}}}$

between the quotient ring ${\displaystyle R/I}$ and the direct product of the ${\displaystyle R/I_{i},}$ where "${\displaystyle x{\bmod {I}}}$" denotes the image of the element ${\displaystyle x}$ in the quotient ring defined by the ideal ${\displaystyle I.}$ Moreover, if ${\displaystyle R}$$[\displaystyle R}$은(는) 대응적이며, 그렇다면 쌍으로 구성된 복사 이상과의 이상적인 교차점은 그 제품과 동일하다. 즉,

${\displaystyle I=I_{1}\cap I_{2}\cap \cdots \cap I_{k}=I_{1}I_{2}\cdots I_{k}}$

만약 나와_i 내가_j i ≠ j와 같은 시간이라면.

특유한텐트의 해석

$I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$I ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을(를) $\bigcap {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}{}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{1k}\underset{}{\overset{}{}}}$ =$$0, {\$displaystyle$ \$bigcap _{i=1}^{k}$와(으)를(으)로 하여 쌍방향 복사한다$$.$I_$${i}=0,}$ 및

${\displaystyle \varphi :R\to(R/I_{1})\time \cdots \times(R/I_{k})}$

위에서 정의한 이형성이다. Let ${\displaystyle f_{i}=(0,\ldots ,1,\ldots ,0)}$ be the element of ${\displaystyle (R/I_{1})\times \cdots \times (R/I_{k})}$ whose components are all 0 except the ith that is 1, and ${\displaystyle e_{i}=\varphi ^{-1}(f_{$$i}).}$

The ${\displaystyle e_{i}}$ are central idempotents that are pairwise orthogonal; this means, in particular, that ${\displaystyle e_{i}^{2}=e_{i}}$ and ${\displaystyle e_{i}e_{j}=e_{j}e_{i}=0}$ for every i and j. $게다가{\displaystyle {}_{}}$ e $1{}_{}$+ $\cdots$+ $e_{}$ ${}_{}$= $1$, ${\textstyle e_{1}+\cdots +e}=1,},$ ${\displaystyle I_{}}$ = R${\displaystyle (1}$- e ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle I_{i}=R(1-e_{i}).$$}$

요컨대, 이 일반화된 중국인의 나머지 정리는 교차로 0인 쌍방향 복선 이상을 주는 것과 1에 합한 중심직교 및 쌍방향 직교 특이점을 주는 것 사이의 동등성이다.^[18]

적용들

시퀀스 번호 매기기

중국의 나머지 정리는 괴델의 불완전성 이론의 입증에 관여하는, 순서들을 위한 괴델 번호 매기기를 구성하기 위해 사용되었다.

고속 푸리에 변환

프라임-인자 FFT 알고리즘(Good-Thomas 알고리즘이라고도 함)은 크기가 ${\displaystyle {작은\mathrm{}}_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$n_$${$1}$n\_{\displaystyle {}_{}}$${$$2$}}$개$의 빠른 푸리에 변환을 계산하기$$ 위해 중국어 남은 정리를 사용한다$.$$스타일 n_{2$}}($$$n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및 $n$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ coprime)이라고$$ 함).

암호화

대부분의 RSA 구현에서는 HTTPS 인증서 서명 및 암호 해독 중에 중국어 나머지 정리를 사용한다.

중국인의 나머지 정리도 비밀 공유에 사용될 수 있는데, 비밀 공유는 모두 함께(그러나 그 누구도 혼자서는) 주어진 주식 집합으로부터 일정한 비밀을 되찾을 수 없는 무리들 사이에 일련의 주식을 분배하는 것으로 구성된다. 각각의 지분은 합성으로 표현되며, 중국인의 잔존 정리를 이용한 응집체계의 해결은 회수할 수 있는 비밀이다. 중국 잔여 정리를 이용한 비밀 공유는 중국 잔여 정리와 함께 특정 카디널리티 이하의 주식 집합에서 비밀을 회수하는 것이 불가능함을 보장하는 특별한 정수 순서를 사용한다.

범위 모호성 해결

중간 펄스 반복 주파수 레이더와 함께 사용되는 범위 모호성 분해능 기법은 중국 나머지 정리의 특수한 경우로 볼 수 있다.

유한 아벨 집단의 거부 분해

$유한{\displaystyle \mathbb{}}$ 아벨리안 집단의 Z${\displaystyle }$/${\displaystyle n}$ →${\displaystyle Z\mathbb{}}$ / ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathb {Z}$ /$n\to \mathb {Z} /m}$을(를) 추론할 때, 우리는 중국의 나머지 정리를 사용하여 그러한 지도에 대한 완전한 설명을 할 수 있다. 우선 정리는 이형성을 부여한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Z} /n&\cong \mathbb {Z} /p_{n_{1}}^{a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{n_{i}}^{a_{i}}\\\mathbb {Z} /m&\cong \mathbb {Z} /p_{m_{1}}^{b_{1}}\times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{m_{j}}^{b_{i}}\end{aligned}}}$

여기서${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {m{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , p ${\displaystyle {m{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {j_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}\subseteq \{{n{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {n{}_{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle \dots ,}$ p n ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\displaystyle \{p_{m_{1},\ldots, p_{m_{j}\}\subseteq \{p_{n_{1},\$1}, 기타 유도된 지도에 대해서도$.$

${\displaystyle \mathb{Z} /p_{n_{k}^{a_{k}}\mathb {Z} /p_{l_}^{b_{l}}}}}}}}$

${\displaystyle {원래}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$로부터${\displaystyle {}_{}}$ primes $p{\displaystyle ,}$ $, {\displaystyle a_$${k}\geq b_{l},$ ${\displaystyle {{pn}_{}}_{}}$ = p ${\displaystyle {m_{}}_{}}$ l ${\$$m_$${l$$\}\}\},$ 0이 아닌 유일한 추출을 할 때,

${\displaystyle \mathb {Z} /p^{a}\to \mathb {Z} /q^{b}}$

$p{\displaystyle }$${\displaystyle }$= ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p=q}$ 및$$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\geq b}$인 경우 정의할 수 있다$.$

이러한 관측치는 그러한 모든 지도에 대한 역 한계로 주어지는 무한정 정수의 링을 구성하는 데 중추적인 역할을 한다는 점에 유의한다.

데데킨트의 정리

등장인물의 선형 독립에 관한 데데킨드의 정리. M을 하나의 일체형 영역으로 하고, k에 대한 곱셈을 고려함으로써 하나의 통합 영역으로 본다. 그러면 구별되는 단성 동형체_i f : M → k의 어떤 유한가족(f_{i i∈I})은 선형적으로 독립한다. 즉, α_i ∈ k를 만족시키는 원소의 모든 가족(α_i)_i∈I이 되는 것이다.

${\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha _{i}f_{i}=0}$

가족(0)과 같아야 한다._i∈I

증명. 먼저 k가 필드라고 가정하고 그렇지 않으면, 통합 도메인 k를 그 지수 필드로 대체하면, 아무것도 변하지 않는다. 우리는 단성 동형체 f_i : M → k를 k-algebra 동형체 F_i : k[M] → k까지 선형적으로 확장할 수 있으며, 여기서 k[M]은 k over k의 M의 단성 링이다. 그러면, 선형성에 의해, 조건은

${\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha _{i}f_{i}=0,}$

수확하다

$\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha _{i}F_{i}=0.}$

다음으로 i의 경우, j ∈ I; i ≠ j 두 k-선형 지도 F_i : k[M] → k, F_j : k[M] → k는 서로 비례하지 않는다. 그렇지 않으면 f와_i f도_j 비례할 것이고, 따라서 그들이_i 만족하는 단일 동형성으로서: f (1) = 1 = f_j (1)이며, 이것은 그들이 구별된다는 가정과 모순된다.

따라서 커널 F와_i 커 F는_j 구별된다. k[M]/Ker F_i ≅ F_i(k[M]) = k는 필드이기 때문에 ker F는_i 모든 i ∈ I에 대해 k[M]의 최대 이상이다. ker F와_i ker F는_j 구별되고 최대이기 때문에 ker F와 ker F는 coprime이다. 중국 나머지 정리(일반 고리용)는 다음과 같은 이형성을 산출한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi :k[M]/K&\to \prod _{i\in I}k[M]/\mathrm {Ker} F_{i}\\\phi (x+K)&=\left(x+\mathrm {Ker} F_{i}\right)_{i\in I}\end{aligned}}}$

어디에

${\displaystyle K=\prod _{i\in I}\mathrm {Ker}F_{i}=\bigcap _{i\in I}\mathrm {Ker}F_{i}.}$

결과적으로, 지도는

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}\Phi :k[M]&\to \prod _{i\in I}k[M]/\mathrm {Ker}\{i}\\phi(x)&=\좌측(x+\mathrmat {Ker}F_{i}\right)_{i\in I}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

허탈하다 이형성 k[M]/Ker F_i → F(k_i[M]) = k에서 지도 φ은 다음에 해당한다.

${\displaystyle {\begin}\psi :k[M]&\to \prod_{i\in I}k\\psi(x)&=\왼쪽[F_{i}(x)\right]_{i\in I}\end{aigned}}}}$

지금

$\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha _{i}F_{i}=0}$

수확하다

${\displaystyle \sum _{i\in I}\알파 _{i}u_{i}=0}$

ψ 지도 영상의 모든 벡터(u_i)_i∈I에 대해. ψ은 허탈하기 때문에, 이것은 라는 뜻이다.

${\displaystyle \sum _{i\in I}\알파 _{i}u_{i}=0}$

모든 벡터에 대하여

$\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i\in I}\prod_{i\in I}k.}$

결과적으로 (α_i)_i∈I = (0)._i∈I QED.

참고 항목

• 커버링 시스템
• 하세 원리
• 잔류수 체계

메모들

참조

• Dauben, Joseph W. (2007), "Chapter 3: Chinese Mathematics", in Katz, Victor J. (ed.), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India and Islam : A Sourcebook, Princeton University Press, pp. 187–384, ISBN 978-0-691-11485-9
• Dence, Joseph B.; Dence, Thomas P. (1999), Elements of the Theory of Numbers, Academic Press, ISBN 9780122091308
• Duchet, Pierre (1995), "Hypergraphs", in Graham, R. L.; Grötschel, M.; Lovász, L. (eds.), Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2, Amsterdam: Elsevier, pp. 381–432, MR 1373663. 섹션 2.5, "헬리 속성", 페이지 393–394를 참조하십시오.
• Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithemeticae, translated by Clarke, Arthur A. (Second, corrected ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-96254-2
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X
• Kak, Subhash (1986), "Computational aspects of the Aryabhata algorithm" (PDF), Indian Journal of History of Science, 21 (1): 62–71
• Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (2nd ed.), Addison Wesley Longman, ISBN 978-0-321-01618-8
• Libbrecht, Ulrich (1973), Chinese Mathematics in the Thirteenth Century: the "Shu-shu Chiu-chang" of Ch'in Chiu-shao, Dover Publications Inc, ISBN 978-0-486-44619-6
• Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
• Pisano, Leonardo (2002), Fibonacci's Liber Abaci, translated by Sigler, Laurence E., Springer-Verlag, pp. 402–403, ISBN 0-387-95419-8
• Rosen, Kenneth H. (1993), Elementary Number Theory and its Applications (3rd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0201-57889-8
• Sengupta, Ambar N. (2012), Representing Finite Groups, A Semimsimple Introduction, Springer, ISBN 978-1-4614-1232-8
• Bourbaki, N. (1989). Algebra I. Springer. ISBN 3-540-64243-9.

추가 읽기

• 제31.5절: 중국의 나머지 정리, 페이지 873–876을 참조한다Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001), Introduction to Algorithms (Second ed.), MIT Press and McGraw-Hill, ISBN 0-262-03293-7.
• Ding, Cunsheng; Pei, Dingyi; Salomaa, Arto (1996), Chinese Remainder Theorem: Applications in Computing, Coding, Cryptography, World Scientific Publishing, pp. 1–213, ISBN 981-02-2827-9
• Hungerford, Thomas W. (1974), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 73, Springer-Verlag, pp. 131–132, ISBN 978-1-4612-6101-8
• Knuth, Donald (1997), The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms (Third ed.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-89684-2 volume= 추가 텍스트(도움말)가 있음. 섹션 4.3.2 (pp. 286–291), 연습 4.6.2–3 (456 페이지)을 참조한다.

외부 링크

• "Chinese remainder theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Chinese Remainder Theorem". MathWorld.
• 플래닛매트릭스의 중국 잔존 정리
• 순쯔 수안칭 전문(중국어) – 중국어 텍스트 프로젝트