합수

숫자 이론에서, 일치된 숫자는 세 개의 이성적인 숫자 면을 가진 직각 삼각형의 영역인 양의 정수다.^[1][2]보다 일반적인 정의는 이 속성에 대한 모든 양의 합리적 숫자를 포함한다.^[3]

(integer) 일치 숫자의 순서는 다음과 같이 시작한다.

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, ... (sequence A003273 in the OEIS)

예를 들어, 5는 a (20/3, 3/2, 41/6) 삼각형의 영역이기 때문에 합치수다.마찬가지로 6은 a(3,4,5) 삼각형의 면적이기 때문에 합치수다. 3과 4는 합치수가 아니다.

q가 합치수인 경우, sq는² 자연수 s에 대한 합치수(삼각형의 각 면에 s를 곱하는 것만으로)이기도 하며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.이것은 0이 아닌 합리적 숫자 q가 합치된 숫자인지 아닌지는 그룹 내의 잔류물에 의해서만 결정된다는 관찰로 이어진다.

${\displaystyle {\mathbb{Q}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {\mathrm{Q}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\$

여기서 $Q{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$은(는) 0이 아닌 합리적 숫자의 집합이다.

이 그룹의 모든 잔류물 등급은 정사각형이 없는 정수를 정확히 1개 포함하며, 따라서 일치된 숫자에 대해 말할 때 정사각형이 없는 양의 정수만 고려하는 것이 일반적이다.

일치 번호 문제

주어진 합리적 숫자가 합치수인지 아닌지를 판단하는 문제를 합치수 문제라고 한다.이 문제는 (2019년 현재) 성공적으로 해결된 것이 아니다.Tunnell의 정리는 숫자가 일치하는지 여부를 쉽게 시험할 수 있는 기준을 제공하지만, 그의 결과는 Birch와 Swinnerton-Dyer 추측에 의존하는데, 이것은 여전히 증명되지 않았다.

피에르 드 페르마의 이름을 딴 페르마의 오른쪽 삼각형 정리에는 어떤 사각형 번호도 합치수가 될 수 없다고 명시되어 있다.그러나 모든 합금(삼각형의 산술적 진행에서 연속 원소의 차이)이 비제곱이라는 형태에서는 피보나치에게 이미 (증거 없이) 알려져 있었다.^[4]모든 합은 합치수이고, 모든 합치수는 합치수의 산물이며, 합치수의 제곱이다.^[5]그러나 숫자가 일치하는지 아닌지를 결정하는 것은 일치하는지 여부를 결정하는 것보다 훨씬 쉽다. 조합에 대한 매개변수화된 공식은 정밀하게 많은 매개변수 값만 시험하면 되기 때문이다.^[6]

해결 방법

n은 시스템인 경우 및 시스템인 경우에만 합치되는 경우

${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- n ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {u\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ x$^{2}-ny^{2}=u^{2$ $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {v\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ x$^{2}+ny^{2$}$}}=v^{2}}:$

$x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x,y,u}$및 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이(가) 정수인$$ 솔루션이 있다.^[7]

해결책을 제시하면, 세 숫자 ${\displaystyle {u\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$$}},$ $v{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}는 공통 차이 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ ny$^{2$}}로 산술적 추이 될 것이다$.$

더욱이 하나의 해결책(우측면이 정사각형인 곳)이 있다면 무한히 많다: 어떤 ${\displaystyle \mathrm{해결책}}({\displaystyle x}$,${\displaystyle }$y ) ${\displaystyle (x,y$ 또 다른 해결책$({\displaystyle {}^{}{}^{},}$ , y${\displaystyle {}^{})}$ )$${\$displaystyle$ ($x',y')$은 다음에서^[8] 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u{}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle n}$( y ${\displaystyle v{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$

${\displaystyle y^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle u}$ v ${\displaystyle$ y$'=2xyuv$

${\displaystyle \mathrm{예}}$를 들어 $n{\displaystyle }$ =${\displaystyle }$6 ${\displaystyle n=6}$을$($를) 사용하는 경우 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- 6 ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {u\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$

${\$$}}=v^{2$

하나의 해결책은 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 5}$,${\displaystyle \mathrm{y}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x=5,y=2}$이다($$그러므로 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle v}$= ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle u=1,v=7}).$또 다른 해결책은

${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 1{}^{}}$) ${\displaystyle 2{}^{}}$+ ${\displaystyle {6\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \cdot }$ 7${\displaystyle {}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1201}$ ${\displaystyle$ x$'=(5\cdot 1)^{2}+6(2\cdot$ 7$),^\{$$2}=1201},$

${\displaystyle y^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 7}$= ${\displaystyle 140}$ ${\displaystyle y'=2\cdot 5\cdot 2\cdot 1\cdot 7=140}$.

이 새로운 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및 $y$ ${\displaystyle y}$을$($를) 사용하는 경우에도 오른쪽 면은 여전히 정사각형이다.

${\displaystyle u^{2}=1201^{2}-6\cdot 140^{2}=1324801=1151^{2}}:$

${\displaystyle v^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {1201\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {140\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1560001}$= ${\displaystyle {1249}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$

$x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x,y,u}$및 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을$($를) 지정하면 ,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b}$및 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$을(를) 얻을 수 있다.

${\$$$$}}=c^{2}}:$및 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$= n ${\displaystyle {\frac {ab}{2}}=n}$

로부터

${\displaystyle }$$a{\displaystyle }$${\displaystyle }$= ${\displaystyle v\frac{}{}}$ -${\displaystyle \frac{}{}}$ y ${\$ a$={\frac {v-u}{y$ b${\displaystyle }$= ${\displaystyle v\frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{}{}}$ y ${\$ {$v+u}{y}},$ c$$=${\displaystyle }2{\displaystyle }$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$y$\}\}\}\}\}\}\}\}.$

그러면 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b}$ 및 $c$ ${\displaystyle c}$은 영역 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 있는 직각 삼각형의 다리 및 하이포텐션이다$.$

The above values ${\displaystyle (x,y,u,v)=(5,2,1,7)}$ produce ${\displaystyle (a,b,c)=(3,4,5)}$. The values ${\displaystyle (1201,140,1151,1249)}$ give ${\displaystyle (a,b,c$$)=(7/10,120/7,1201/70)}$.이 오른쪽 삼각형 두 개 모두 $영역{\displaystyle }$n = ${\displaystyle 6}${\$displaystyle$n=$6}$이(가) 있다$.$

타원곡선에 대한 관계

주어진 숫자가 일치하느냐는 문제는 특정 타원형 곡선이 양의 순위를 갖는 조건과 동등한 것으로 밝혀졌다.^[3]아이디어에 대한 대안적 접근방식은 아래에 제시되어 있다(Tunnell의 논문 소개에서도 본질적으로 찾을 수 있듯이).

a, b, c가 다음 두 방정식을 만족하는 숫자(필수적으로 양수 또는 이성적인 것은 아님)라고 가정하자.

${\displaystyle {\display}a^{2}+b^{2}}&=&c^{2},\\\\tfrac {1}{2}}ab&=&n.\end{{11}}}$

그런 다음 x = n(a+c)/b 및 y = 2n²(a+c)/b를² 설정하십시오.계산하면 알 수 있다.

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$

그리고는 y가 0이 아닌(만약 y=0thena=-c, 그렇게 b=0, 하지만(.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1⁄2)는)는 얼마인가?영이 아닌, 모순 cm이다.

반대로 x와 y가 위의 방정식을 충족하는 숫자이고 y가 0이 아닌 경우 a = (x² - n²)/y, b = 2nx/y², c = (x² + n)/y를 설정하십시오.계산은 위의 a, b, c에 대한 이 세 개의 방정식을 만족시킨다는 것을 보여준다.

(a,b,c)와 (x,y) 사이의 이 두 대응은 서로 상극이므로, a, b, c의 두 방정식 중 어떤 해법과 y nonzero의 x와 y의 어떤 해법 사이에 일대일 대응성이 있다.특히 두 서신에 합리적인 n에 대한 공식에서 우리가 만일 해당하는 x와가 어두워져서는 합리적이라고는, b, c, 반대하는은 이성적이다.(우리는 또한 만일 x와가 어두워져서 모두 긍정적이 a, b, c는 모든 긍정적입니다;그 방정식 y2에서)x3-xn2=-1(x2-n2다)하면, 어두워져서posit 있는 것을 봅니다.ive² x - n은² 양수여야 하므로 위의 공식은 양수)

따라서 방정식 y² = x³ - nx가² y가 0이 아닌 합리적인 점을 갖는 경우에만 양수 이성수 n이 합치된다.이 타원곡선의 비틀림 포인트는 y가 0인 점뿐임을 알 수 있으므로 y가 0이 아닌 이성적인 점의 존재는 타원곡선이 양의 순위를 가졌다고 말하는 것과 동등하다.

N으로 표기된 n의 정수값으로 시작하여 푸는 것도 해결의 또 다른 접근법이다.

${\displaystyle N^{2}=ed^{2}+e^{2}}}$

어디에

${\displaystyle {\explaysty}c&=&n^{2}/e+e\\\a&n\n\\b&n^{2}/e-e\end}}}}$

최소 솔루션

David Goldberg는 상응하는 a와 b 값과 함께 10 미만의⁴ 합치된 제곱 없는 숫자를 계산했다.^[9]

현재 진행률

합당한 숫자를 분류하는 많은 작업이 수행되었다.

예를 들어, 소수 p의 경우, 다음과 같은 조건이 유지된다고 알려져^[10] 있다.

• p ≡ 3 (mod 8)인 경우, p는 합치수가 아니지만, 2p는 합치수가 된다.
• p ≡ 5 (mod 8)이면 p는 합치수다.
• p p 7 (mod 8)이면 p와 2p는 합치수다.

또한 각 조합 등급 5, 6, 7 (mod 8)에서는 주어진 k에 대해 k 주요 인자를 갖는 제곱이 없는 조합 숫자가 무한히 많다고 알려져^[11] 있다.

메모들

참조

• Alter, Ronald (1980), "The Congruent Number Problem", American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 87 (1): 43–45, doi:10.2307/2320381, JSTOR 2320381
• Chandrasekar, V. (1998), "The Congruent Number Problem" (PDF), Resonance, 3 (8): 33–45, doi:10.1007/BF02837344
• Dickson, Leonard Eugene (2005), "Chapter XVI", History of the Theory of Numbers, Dover Books on Mathematics, vol. II: Diophantine Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-44233-4 - 문제의 내역은 다음과 같다.
• Guy, Richard (2004), Unsolved Problems in Number Theory, Problem Books in Mathematics (Book 1) (3rd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl 1058.11001 - 많은 참고문헌이 수록되어 있다.
• Tunnell, Jerrold B. (1983), "A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2", Inventiones Mathematicae, 72 (2): 323–334, Bibcode:1983InMat..72..323T, doi:10.1007/BF01389327, hdl:10338.dmlcz/137483

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Congruent Number". MathWorld.
• 많은 참고문헌과 함께 문제의 현재 상태에 대한 짧은 토론은 앨리스 실버버그의 산술 대수 기하학에서 찾아볼 수 있다.
• 1조 삼각형 - 수학자들이 첫 번째 1조 건을 해결했다.