절대값(알지브라)

대수학에서 절대값(일반적으로 "표준"은 필드에서 특정 종류의 절대값을 가리킨다 하더라도 평가, 규모 또는 규범이라고도 한다)^[1]은 필드나 적분영역에서 원소의 "크기"를 측정하는 함수다. 보다 정확히 말하면, D가 통합 도메인인 경우 절대값은 D에서 실제 숫자 R까지의 모든 매핑 x이다:

이러한 공리에서 1 = 1 및 -1 = 1이 된다. 또한, 모든 양의 정수 n에 대해,

n = 1 + 1 + ... + 1(n회) = -1 - 1 - ... - 1(n회) ≤ n.

고전적 "절대값"은 예를 들어 2 =2이지만, 많은 다른 함수가 위에 언급된 요구 사항을 충족하는 경우, 예를 들어 고전적 절대값의 제곱근(그 제곱은 아님)이다.

절대값은 $d{\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$- ${\displaystyle g}$. ${\displaystyle d(f,g)=f-g .}$만큼 메트릭(및 위상)을 유도한다.

예

• 정수의 표준 절대값.
• 복잡한 숫자에 대한 표준 절대값.
• 합리적인 숫자의 p-adic 절대값.
• If R is the field of rational functions over a field F and ${\displaystyle p(x)}$ is a fixed irreducible element of R, then the following defines an absolute value on R: for ${\displaystyle f(x)}$ in R define ${\displaystyle f }$ to be ${\displaystyle 2^{-n}}$, where ${\displaystyle f(x)=p(x{}^{}}$${\displaystyle f(x)=p(x)^{n}{\frac {g(x)}{h(x)}}}$ and ${\displaystyle \gcd(g(x),p(x))=1=\gcd(h(x),p(x)).$$}$

절대값의 종류

사소한 절대값은 x=0과 x=1일 경우 x =0을 갖는 절대값이다.^[2] 모든 필수 영역은 최소한 사소한 절대적 가치를 지니고 있을 수 있다. 0이 아닌 원소는 1을 산출할 수 있는 어떤 힘으로 끌어올릴 수 있기 때문에 사소한 값은 유한한 분야에서 유일하게 가능한 절대값이다.

절대값이 모든 x와 y에 대해 더 강한 속성 x + y ≤ max(x , y )를 만족하는 경우, x를 초경량 또는 비 아르키메데스 절대값이라고 하며, 그 외의 경우 아르키메데스 절대값이라고 한다.

장소

같은 정역 D에 만약 x1x2두 절대 값 만약 x1개체, 그 외에 두개의 절대 가치들과 동등하다는 1만일 x2개체, 1에 대한 모든인데 만약에 두 중대한. 절대 값이 상응하는, 그런 다음 일부 지수 e우리가 가진 x1e cmx2에 대한 모든인데 기르는 것은 절대적 가치에 전력을 1이하의 결과에 다른 absolu.기 가치가 아닌 1보다 큰 전력으로 상승한다고 해서 반드시 절대값이 되는 것은 아니다.(예를 들어, 실수에 통상적인 절대값을 제곱하면 규칙 x+y ≤ x + y를 위반하기 때문에 절대값이 아닌 함수가 발생한다.) 등가치까지의 절대값, 즉 절대값의 동등성 등급은 ca이다.한 곳을 샅샅이 뒤지다

오스트로스키의 정리는 이성수 Q의 비종교적 위치가 통상적인 절대값이며 각 prime p에 대한 p-adic 절대값이라고 명시하고 있다.^[3] 주어진 prime p의 경우, 모든 합리적인 숫자 q는 pⁿ(a/b)로 쓸 수 있다. 여기서 a와 b는 p로 나눌 수 없는 정수이고 n은 정수다. p-adic 절대값 q는

${\displaystyle \left p^{n}{\frac {a}{b}}\오른쪽 _{p}=p^{n}.}$

일반적인 절대값과 p-adic 절대값이 위의 정의에 따라 절대값이기 때문에, 이것들은 장소를 정의한다.

가치평가

일부 초경량 절대값과 b > 1에 대해 ν(x) = -log_b x for x ≠ 0과 ν(0) = ∞을 정의하면, 여기서 ∞은 모든 실수보다 크도록 순서를 정하면 D에서 R ∪ {∞}까지의 함수를 얻을 수 있으며, 그 속성은 다음과 같다.

• ν(x) = ∞ x = 0,
• ν(xy) = ν(x)+ν(y),
• ν(x + y) ≥ 최소(x), ν(y).

그러한 함수는 부르바키 용어에서는 평가라고 알려져 있지만, 다른 저자들은 절대 가치에 대한 평가라는 용어를 사용하고 나서 평가 대신 지수적 평가라고 말한다.

완성도

절대값을 갖는 적분영역 D를 주어진다면, 우리는 모든 정수 m에 대해 n > 모든 정수 m에 대해 cauchy 시퀀스는 x_m - x < ε_n. Cauchy 시퀀스는 점의 덧셈과 곱셈에 따라 링을 형성하도록 요구함으로써 절대값과 관련하여 D 요소의 Cauchy 시퀀스를 정의할 수 있다. 또한 null 시퀀스를 0으로 수렴하는_n D 원소의 시퀀스(a_n)로 정의할 수 있다. Null 시퀀스는 Cauchy 시퀀스의 링에서 가장 이상적인 것이며, 따라서 지수 링은 통합 영역이다. 도메인 D는 절대값 x 에 관해서 D의 완성이라 불리는 이 지수 링에 내장되어 있다.

필드는 필수 영역이기 때문에, 이것은 절대값에 관한 필드의 완성을 위한 구성이기도 하다. 결과가 단지 통합적인 영역이 아닌 하나의 필드라는 것을 보여주기 위해, 우리는 null 시퀀스가 최대 이상형을 형성한다는 것을 보여줄 수도 있고, 그렇지 않으면 그 역순을 직접 구성할 수도 있다. 후자는 지수 링의 모든 0이 아닌 원소에 대해 시퀀스의 마지막 0 원소를 벗어난 지점에서 시작하는 시퀀스를 취함으로써 쉽게 수행할 수 있다. 지수 링의 0이 아닌 원소는 그러한 순서와 null 순서에 따라 다를 것이며, 점적 반전을 취함으로써 우리는 대표적인 역 원소를 찾을 수 있다.

알렉산더 오스트로우스키의 또 다른 정리는 아르키메데스의 절대값과 관련하여 완성된 어떤 분야도 실제 수치나 복잡한 숫자에 대해 이형성이며, 그 가치평가는 통상적인 것과 동등하다는 것이다.^[4] Gelfand-Treatedheim 정리는 Archimedean의 평가가 있는 모든 분야는 C의 하위 영역에 이형적이며, 그 평가는 C에 대한 일반적인 절대값과 동등하다고 명시한다.^[5]

필드 및 통합 도메인

만약 D가 절대값 x 를 가진 정수 영역이라면, 우리는 D의 분수 영역까지 설정하여 절대값의 정의를 확장할 수 있다.

${\displaystyle x/y = x / y .\,}$

한편 F가 초경량 절대값 x 를 가진 필드인 경우, x 1 1과 같은 F의 요소 집합은 가치평가 링을 정의하며, 이는 F의 0이 아닌 모든 요소 x에 대해 적어도 x 또는⁻¹ x 중 하나가 D에 속하도록 F의 하위링 D이다. F는 밭이기 때문에 D는 제로가 없고 일체형 도메인이다. 그것은 x < 1과 같은 x 전체로 구성되는 독특한 최대 이상을 가지고 있으며, 따라서 국부적인 고리인 것이다.

메모들

참조