소수의 역수

소수의 역수는 여러 가지 이유로 수학자들의 관심사였습니다. 그들은 레온하르트 오일러가 1737년에 증명했듯이 유한한 합을 갖지 않습니다.

모든 유리수와 마찬가지로 소수의 역수도 소수 표현이 반복됩니다. 말년에 조지 샐먼(George Salmon, 1819–1904)^[1]은 소수의 역수를 나타내는 소수 표현의 반복 주기에 관심을 가졌습니다.

이와 동시에 윌리엄 섕크스(William Shanks, 1812–1882)는 수많은 소수들의 역수와 그 반복 주기를 계산했고^[2], 1873년과 1874년에 두 편의 논문 "소수들의 역수에 관한 기간들"을 발표했습니다.^[3] 1874년 그는 또한 소수들의 표와 그들의 상호작용의 기간을 20,000년까지 출판했습니다. 조지 연어("George Salmon")와 다른 세 명의 저자가 이전 표의 오류를 지적했습니다.^[4]

샹크스의 1874년 소수표의 마지막 부분과 그 반복 주기. 맨 위 행에서 6952는 6592여야 합니다(오류를 찾기 쉬우므로 소수

p

에 대한

주기

가 p -

1

을 나누어야 합니다). 같은 해 표를 30,000으로 확장한 그의 보고서에서 샹크스는 이 오류를 보고하지 않았지만, 같은 칼럼에서 1984년은 반대인 1984년이 64가 되어야 한다고 보고했습니다. *그의 연구가 발표된 이후에 수정되었을 수 있는 또 다른 오류는 19423의 반대이며, 역수는 3237마다가 아니라 6474자리마다 반복됩니다.

유리 분수로부터 소수를 반복하는 주기를 계산하는 규칙은 1878년 제임스 휘트브레드 리 글래셔에 의해 주어졌습니다.^[5] 소수 $p$ 의 경우, 그 역수의 $주기$ 는 p - $1$ 을 나눕니다.^[6]

역수 소수(OEIS의 시퀀스 A002371)의 재발 주기 순서는 1973년 정수 시퀀스 핸드북에 나와 있습니다.

소수의 역수 목록

프라임 (p)	기간 길이	역수 (1/p)
2	0	0.5
3	† 1	0.3
5	0	0.2
7	* 6	0.142857
11	† 2	0.09
13	6	0.076923
17	* 16	0.0588235294117647
19	* 18	0.052631578947368421
23	* 22	0.0434782608695652173913
29	* 28	0.0344827586206896551724137931
31	15	0.032258064516129
37	† 3	0.027
41	5	0.02439
43	21	0.023255813953488372093
47	* 46	0.0212765957446808510638297872340425531914893617
53	13	0.0188679245283
59	* 58	0.0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661
61	* 60	0.016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459
67	33	0.014925373134328358208955223880597
71	35	0.01408450704225352112676056338028169
73	8	0.01369863
79	13	0.0126582278481
83	41	0.01204819277108433734939759036144578313253
89	44	0.01123595505617977528089887640449438202247191
97	* 96	0.010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567
101	† 4	0.0099
103	34	0.0097087378640776699029126213592233
107	53	0.00934579439252336448598130841121495327102803738317757
109	* 108	0.009174311926605504587155963302752293577981651376146788990825688073394495412844036697247706422018348623853211
113	* 112	0.0088495575221238938053097345132743362831858407079646017699115044247787610619469026548672566371681415929203539823

*전체 파충류 소수점은 이탤릭체로 표시됩니다.
†고유한 소수점이 강조되어 있습니다.

완전파충류 소수

완전한 파충류의 소수, 완전한 반복의 소수, 적절한 소수^[7]^{: 166} 또는 b의 긴 소수는 페르마 몫과 같은 홀수 소수 p입니다.

q_{p}(b)={\frac {b^{p-1}-1}{p}}

(여기서 p는 b를 나누지 않습니다)는 p - 1자리의 순환수를 제공합니다. $1/p$ 1 $1/p$ / $1/p$ $1/p$ 의 base b 확장은 해당 순환수의 자릿수를 무한 반복합니다 $1/p$ .

고유 소수

소수 p(10진법에서 p ≠ 2, 5인 경우)는 소수 q의 십진법 전개의 주기 길이가 q, 1/q의 역수의 주기 길이와 같도록 다른 소수 q가 없는 경우 고유라고 합니다. 예를 들어, 3은 주기가 1인 유일한 소수이고, 11은 주기가 2인 유일한 소수입니다. 37은 주기 3을 갖는 유일한 소수이고 101은 주기 4를 갖는 유일한 소수이므로 고유한 소수입니다. 다음으로 큰 고유 소수는 9091이고 주기는 10이지만 다음으로 큰 주기는 9(소주는 333667)입니다. 독특한 소수들은 1980년 사무엘 예이츠에 의해 묘사되었습니다.^[9] 소수 p는 다음과 같은 것이 존재하는 경우에만 유일합니다.

{\frac {\Phi _{n}(10)}{\gcd(\Phi _{n}(10),n)}}

는 p의 거듭제곱이며, 여기서 $\Phi _{n}(b)$ φ n $($ b) ${\displaystyle \Phi_{$ n}(b)}는 b ${\displaystyle$ b $b$ 에서 $평가$ 된 $n {\displaystyle$ n}번째 사이클로토믹 다항식을 $n$ . n의 값은 십진법 확장의 주기 1/p입니다.^[10]

현재 50개 이상의 소수 고유 소수나 가능성이 있는 소수가 알려져 있습니다. 그러나 10¹⁰⁰ 이하의 고유 소수는 23개에 불과합니다.

십진법 고유 소수 목록

다음 표는 소수점 단위의 첫 번째 23개의 고유 소수(OEIS의 시퀀스 A040017)를 나열합니다.

기간 길이	프라임
1	3
2	11
3	37
4	101
10	9,091
12	9,901
9	333,667
14	909,091
24	99,990,001
36	999,999,000,001
48	9,999,999,900,000,001
38	909,090,909,090,909,091
19	1,111,111,111,111,111,111
23	11,111,111,111,111,111,111,111
39	900,900,900,900,990,990,990,991
62	909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
120	100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001
150	10,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001
106	9,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
93	900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991
134	909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
294	142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143
196	999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001

표 바로 뒤에 있는 24번째 고유 소수는 128자리와 마침표 길이 320을 가지고 있습니다. (90₃₂₃₂)₂ + 1로 표기할 수 있으며, 여기서 첨자 번호 n은 첨자 앞에 숫자 또는 숫자 그룹의 연속된 n개 사본을 나타냅니다.

또한, 리유닛 프라임 $R_{317}$ ${\$ 는 $R_{317}$ 29번째 유니크 프라임이며, $R_{1031}$ ${\$ 는 $R_{1031}$ 45번째 프라임입니다.

A040017이 고유 소수의 목록을 포함하는 경우, A007615는 주기 길이로 정렬된 소수입니다. A051627은 주기(해당 소수에 의해 정렬됨)를 포함하고 A007498은 A007615에 대응하는 주기를 포함합니다.

가장 큰 고유 소수

1996년에 증명된¹¹³² 가장 큰 고유 소수는 (10 + 1)/10001 또는 위의 표기법을 사용한 (999990000)+₁₄₁1이었습니다. 그것은 1128자리 숫자를 가지고 있습니다.^[11] 이 기록은 그 이후로 여러 번 개선되었습니다.

2023년^[update] 기준으로 입증된 가장 큰 고유 프라임은 $R_{86453}$ $R_{86453}$ ${\$ 으로 $R_{86453}$ 86453자리가 반복됩니다.^[12] 반면에, repunit (10^8177207 – 1) / 9는 알려진 가장 큰 확률적인 고유 소수입니다.^[13]

일반화된 고유 소수

다른 기저 b > 1에서 표준 정의를 만족하는 고유 소수 p를 일반화된 고유 소수라고 합니다.^[10]

알려진 가장 큰 일반화된 고유 프라임(2023년 10월 발견)은 $\Phi _{3}(-516693^{1048576})=516693^{2097152}-516693^{1048576}+1$ φ $\Phi _{3}(-516693^{1048576})=516693^{2097152}-516693^{1048576}+1$ ( - 516693 $\Phi _{3}(-516693^{1048576})=516693^{2097152}-516693^{1048576}+1$ 1048576) = $2097152 -$ 516693 1048576 + 1 {\displaystyle \Phi_{3}( -516693^{1048576}) = 516693^{2097152} - 516693^{1048576}+1}이며, 이는 알려진 프라임 중 7번째로 큰 것입니다. 비메르센족의 가장 큰 소수(^[16]2024년 1월 기준).

참고문헌

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외부 링크

Parker, Matt (March 14, 2022). "The Reciprocals of Primes - Numberphile". YouTube.

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[5]

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v t 소수 클래스
공식별로	페르마 ( $2 2 n$ + 1) 메르센 ( $2 p$ - 1) 더블 메르센 ( $2 2 p -1$ - 1) 와그스태프( $2 p +1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) 요인( $n!$ ± 1) 기본( $p n #$ ± 1) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) 솔리나( $2 m n$ ± $2$ ± 1) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) 우돌 ( $n \cdot2 n$ - 1) 쿠바어( $x 3 3$ - y $)/(x$ - y) 레일랜드 ( $x y x$ + y) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) $밀스$ (⌊A ⌋)
정수열별	피보나치 루카스 펠 뉴먼-샹크스-윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
재산별	비페리치 (쌍) 월-일-일 울스텐홈 윌슨 럭키 운이 좋은 라마누잔 필라이 규칙적인. 강한. 스턴 초단수(타원곡선) 초싱글(moonshine theory) 좋아요. 잘 하는 군요 힉스 고도의 코토텐셜 독특한
염기 의존적	회문 에미르프 리유닛 $(10 n$ - 1 $)/9$ 순열 원형 자를 수 있음 미니멀 연약한 원시 완전 파충류 독특한 행복해 자신 스마란다치-웰린 스트로보그래머틱 정이십면체 테트라디칼
패턴	트윈( $p,$ p $+2$ ) 쌍쌍 체인( $n$ ± $1, 2n$ ± $1, 4n$ ± 1, $\dots)$ 삼중항( $p,$ $p$ + 2 $또는 p$ + 4, $p$ + $6$ ) 4중( $p,$ $p$ + $2, p$ + $6, p$ + $8$ ) k- tup 사촌( $p, p$ + 4) 섹시( $p, p +6$ ) 첸 소피저메인/세이프( $p,2p+1$ ) 커닝햄 ( $p, 2p$ ± 1, $4p$ ± 3, $8p$ ± 7, $...)$ 산술 진행 ( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = 0, 1, $2, 3, ...)$ 균형( $연속$ $p$ - $n,$ $p,$ $p$ + n)
크기별	메가(1,000,000자리 이상) 가장 많이 알려진 목록.
복소수	아이젠슈타인 소수 가우시안 프라임
합성수	슈도프라임 카탈루냐어 타원형 오일러 오일러-야코비 페르마 프로베니우스 루카스 Somer–Lucas 강한. 카마이클 번호 거의 황금. 세미프라임 스페닉 넘버 인터프라임 악질적인
관련주제	확률적 소수 공업급 프라임 불법프라임 소수 공식 프라임 갭
첫 60개의 소수	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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