루카스 프라이머리티 테스트

계산 번호 이론에서 루카스 테스트는 자연수 n에 대한 원시성 테스트로, n - 1의 주요 요인을 이미 알고 있어야 한다.^[1][2] n이 프라임이라는 간결한 검증을 하는 것이 프랫 인증서의 기본이다.

개념

n을 양의 정수가 되게 하라. 만일 정수 a, 1 < a < n이 존재한다면, 다음과 같은 것이 있다.

${\displaystyle a^{n-1}\\equiv \1{\pmod{n}\,}$

n - 1의 모든 주요 요인 q에 대해

${\displaystyle a^{{n-1}/q}\not \equiv \1{\pmod{n}\,}$

그러면 n은 prime이다. 이러한 숫자 a가 존재하지 않는 경우 n은 1, 2 또는 복합 값이다.

이 주장의 정확성의 이유는 다음과 같다: 첫 번째 등가성이 a를 유지한다면, a와 n은 동일시라고 추론할 수 있다. 또한 a가 두 번째 단계에서 살아남는 경우, 그룹 내의 a 순서(Z/nZ)*는 n-1과 같으며, 이는 해당 그룹의 순서가 n-1(그룹의 모든 요소의 순서가 그룹의 순서를 나누기 때문에)임을 의미하며, n이 prime임을 암시한다. 반대로 n이 prime이면 원시 루트 modulo n, 또는 그룹의 생성기(Z/nZ)*가 존재한다. 그러한 발전기는 순서(Z/nZ)* = n-1이며, 두 동등성은 그러한 원시 뿌리에 대해 모두 유지된다.

첫 번째 등가성이 실패하는 < n>이 존재한다면, a는 n의 합성성에 대해 페르마트 증인이라고 불린다.

예

예를 들어 n = 71을 취하십시오. 그 다음 n - 1 = 70이고 70의 주요 요인은 2, 5, 7이다. 우리는 임의로 a=17 < n. 이제 우리는 다음을 계산한다.

$\displaystyle 17^{70}\\equiv \ 1{\pmod {71}}.}$

모든 정수에 대해, 는 알려져 있다.

${\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod{n}\{\text{{n}\text{{\text}}}{\text}}}}{\text{ ord}(a)(n-1)만 해당.}$

따라서 17(mod 71)의 승수 순서는 반드시 70이 되는 것은 아니다. 70의 일부 요소도 위에서 작동할 수 있기 때문이다. 따라서 70을 주요 요소로 나눈 값:

${\displaystyle 17^{35}\\equiv \70\\not \equiv \ 1{\pmod{71}}}$

${\displaystyle 17^{14}\ \equiv \ 25\\not \equiv \ 1{\pmod{71}}}$

${\displaystyle 17^{10}\\equiv \1\equiv \ 1{\pmod {71}}.}$

불행히도, 우리는 그 17파운드¹⁰ 1모드(71)를 얻는다. 그래서 우리는 여전히 71이 프라임인지 아닌지 모른다.

우리는 다른 임의의 a를 시도한다. 이번에는 a = 11을 선택한다. 이제 다음을 계산해 보십시오.

${\displaystyle 11^{70}\\equiv \ 1{\pmod {71}}.}$

다시 말하지만, 이것은 70의 일부 요소도 작용하기 때문에 11(mod 71)의 승수 순서가 70이라는 것을 보여주지 않는다. 따라서 70을 주요 요소로 나눈 값:

${\displaystyle 11^{35}\\equiv \70\\not \equiv \ 1{\pmod{71}}}$

${\displaystyle 11^{14}\ \equiv \54\\not \equiv \ 1{\pmod{71}}}$

$\displaystyle 11^{10}\\equiv \ 32\ \not \equiv \ 1{\pmod {71}.}$

따라서 11(mod 71)의 승순은 70이며, 따라서 71은 프라임이다.

(이러한 모듈형 지수를 수행하기 위해 이진 또는 추가 체인 지수와 같은 빠른 지수를 사용할 수 있다.)

알고리즘.

알고리즘은 다음과 같이 필적할 수 있다.

algorithm_primality_test는 입력: n > 2, primality에 대해 테스트할 홀수 정수. k, 테스트의 정확도를 결정하는 파라미터.     출력: n이 prime인 경우 prime, 그렇지 않은 경우 복합 또는 가능한 복합적인 경우.      determine the prime factors of n−1.      LOOP1: repeat k times:         pick a randomly in the range [2, n − 1]             if ${\displaystyle a^{n-1}\not \equiv 1{\pmod {n}}}$ then return composite else # ${\displaystyle \color {Gray}{a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}}$                 LOOP2: n-1의 모든 prime 요인 $q$에 ${\displaystyle {대해\frac{:}{}}^{}}$n - ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{}{}}^{}1}$1 ( ${\displaystyle mod}$n ) {\$displaystyle$ a$^{\frac{n1}{q}}}\not \equiv$ 1${\pmod{$n$$}}}}}, n-1의 모든 primequenequences에 대해 이 동등함을 확인했다면 LOO2를 계속한다. 그렇지 않으면 LOO2 # $a{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {n\frac{}{}}^{}}$- ${\displaystyle {\frac{}{}}^{}(\mathrm{mod}}$ 1 (${\displaystyle mod)}$${\displaystyle \color {Gray}{a^{\frac {n-1}{q}\equiv$ 1${\pmod{n}}}$ 계속$$ LOOP1 반환 가능 합성 가능.  

참고 항목

• Edouard Lucas, 이 시험의 이름을 따서 명명되었다.
• 페르마의 작은 정리
• pockelington primality test, n - 1의 부분 인자화만 필요한 이 테스트의 개선된 버전
• 프라이머리티 인증서

메모들